====== Block 04 — Passive Filter: vom Frequenzgang zur realen Schaltung ======
===== 4.0 Einführung =====
In [[block02|Block 02]] haben wir das Bode-Diagramm kennengelernt. In [[block03|Block 03]] wurde deutlich, warum sich ein realer Kondensator bei hohen Frequenzen nicht mehr wie eine ideale Kapazität verhält. Jetzt werden beide Erkenntnisse zusammengeführt.
In der Motorsteuerungs-Leitschaltung soll der Strom über einen Shunt gemessen werden. Gleichzeitig können beim Schalten der MOSFETs unerwünschte Signalanteile auftreten. Auch die Versorgung empfindlicher Elektronik muss vor schnellen Störungen geschützt werden.
**Wie wählen wir ein Filter aus, das die gewünschte Funktion erfüllt, ohne dabei neue Probleme zu erzeugen?**
Als roter Faden dienen zwei unterschiedliche Aufgaben:
- **Signalfilter:** Das gewünschte Messsignal soll zum Analog-Digital-Umsetzer (ADC) gelangen; störende Frequenzanteile sollen abgeschwächt werden.
- **Versorgungsfilter:** Die Steuerelektronik soll möglichst wenig von schnellen Schwankungen einer gemeinsam genutzten Versorgung beeinflusst werden. Die [[https://cdn-shop.adafruit.com/datasheets/WS2812.pdf|originale WS2812]] liefert dazu ein reales Datenblattbeispiel.
Beide Aufgaben lassen sich zunächst mit einem RC-Tiefpass lösen. Die unterschiedlichen Anforderungen zeigen aber, warum ein einziges Filterrezept nicht genügt.
==== 4.0.1 Lernziele ====
Nach diesem Block können Sie
* Nutzband, Sperrbereich, Grenzfrequenz und Nyquist-Frequenz voneinander unterscheiden,
* die Übertragungsfunktion eines RC-Tiefpasses wiederholen und seinen Betrags- und Phasengang interpretieren,
* die Dämpfung einer gegebenen Frequenz berechnen,
* Aliasing bei der Abtastung erkennen und die Aufgabe eines analogen Antialiasing-Filters erklären,
* das RC-Versorgungsfilter der **WS2812** anhand ihres Datenblatts untersuchen,
* die Auswirkungen von Quellenwiderstand, Last und Gleichstrom auf einen passiven Filter abschätzen,
* RC-, LC- und Ferritfilter für eine Anwendung begründet unterscheiden.
==== 4.0.2 Vorbereitung zu Hause ====
Wiederholen Sie aus den vorherigen Lehrveranstaltungen den Spannungsteiler, die Impedanz $Z_C=1/(\mathrm{j}\omega C)$, die logarithmische Frequenzachse und die Umrechnung $A_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}|H|$.
Überlegen Sie vorab: Warum kann das Vergrößern eines Widerstands die Filterwirkung verbessern und gleichzeitig die Versorgung einer Schaltung verschlechtern?
==== 4.0.3 90-Minuten-Plan ====
- **10 min:** Bekannter RC-Tiefpass, Begriffe und Bode-Diagramm.
- **25 min:** ADC, Aliasing und Antialiasing anhand einer Sample-and-Hold-Simulation.
- **20 min:** Versorgungsfilter der originalen WS2812 aus dem Datenblatt.
- **10 min:** Quellen- und Lastimpedanz sowie der reale ADC-Eingang.
- **18 min:** Entscheidung zwischen RC, LC und Ferritperle.
- **7 min:** Transfer zur Motorsteuerung, häufige Fehler und Ausblick.
==== 4.0.4 Konzeptübersicht ====
* Ein Filter verändert das Verhältnis zwischen Eingangs- und Ausgangssignal abhängig von der Frequenz.
* Vor der Dimensionierung muss klar sein, **was erhalten bleiben** und **was gedämpft werden** soll.
* Passive Filter belasten ihre Quelle und können durch ihre Last beeinflusst werden.
* Ein RC-Filter in einem Signalpfad und ein RC-Filter in einer Versorgung nutzen dieselbe Physik, müssen aber unterschiedlich bewertet werden.
* Die Auswahl zwischen Widerstand, Spule und Ferritperle hängt von Störfrequenz, Strom, Verlusten und möglichen Resonanzen ab.
===== 4.1 Bekanntes Werkzeug: RC-Tiefpass und Frequenzgang =====
==== 4.1.1 Was bedeuten Nutzband, Sperrbereich und Grenzfrequenz? ====
Ein reales Signal kann mehrere Frequenzanteile enthalten. Nicht alle sind für unsere Anwendung gleich wichtig:
* **Nutzband:** Der Frequenzbereich, in dem die Information liegt, die wir verarbeiten möchten. Soll ein Sensor beispielsweise langsame Temperatur- oder Stromänderungen von $0~\mathrm{Hz}$ bis $100~\mathrm{Hz}$ liefern, ist genau das unser **Nutzband**. Es ist eine **Anforderung der Anwendung**, kein automatisch aus dem Filter folgender Bereich.
* **Durchlassbereich:** Frequenzen, die ein Filter ausreichend gut überträgt. „Ausreichend“ hängt von der zulässigen Dämpfung ab.
* **Sperrbereich:** Frequenzen, die das Filter in der geforderten Stärke unterdrücken soll. Ein Filter erster Ordnung unterdrückt dort nicht unendlich stark.
* **Übergangsbereich:** Der Bereich zwischen Durchlass- und Sperrbereich; hier ändert sich die Übertragung mit der Frequenz deutlich.
* **Grenzfrequenz $f_\mathrm{g}$:** Bei einem idealen RC-Tiefpass erster Ordnung die Frequenz, bei der der Spannungsbetrag auf $1/\sqrt{2}$ seines niederfrequenten Werts abgesunken ist. Dies entspricht ungefähr $-3{,}01~\mathrm{dB}$.
**Nutzband und Grenzfrequenz sind nicht dasselbe.** Das Nutzband wird durch die Messaufgabe festgelegt. Die Grenzfrequenz wählen wir so, dass innerhalb des Nutzbandes der zulässige Fehler eingehalten wird und außerhalb ausreichende Unterdrückung erreicht wird.
==== 4.1.2 Der RC-Tiefpass ====
Beim einfachen RC-Tiefpass liegt der Widerstand $R$ in Reihe zur Signalquelle. Der Kondensator $C$ verbindet den Ausgang mit Masse; die Ausgangsspannung wird über dem Kondensator abgegriffen. Wir betrachten zunächst eine ideale Spannungsquelle und einen unbelasteten Ausgang.
Für den Kondensator gilt $Z_C=1/(\mathrm{j}\omega C)$. Mit dem bekannten Spannungsteiler folgt
$\underline{H}(\omega)=\frac{\underline{U}_\mathrm{out}}{\underline{U}_\mathrm{in}}=\frac{Z_C}{R+Z_C}=\frac{1}{1+\mathrm{j}\omega RC}$.
Daraus ergeben sich
* **Zeitkonstante:** $\tau=RC$,
* **Grenzfrequenz:** $f_\mathrm{g}=1/(2\pi RC)$,
* **Betragsgang:** $|H(f)|=1/\sqrt{1+(f/f_\mathrm{g})^2}$,
* **Phasengang:** $\varphi(f)=-\arctan(f/f_\mathrm{g})$.
Bei niedrigen Frequenzen ist die Kondensatorimpedanz groß und $U_\mathrm{out}\approx U_\mathrm{in}$. Bei hohen Frequenzen wird die Impedanz kleiner und die Ausgangsspannung sinkt. An der Grenzfrequenz gilt $|H|\approx0{,}707$ und $\varphi=-45^\circ$.
==== 4.1.3 Das Bode-Diagramm richtig lesen ====
Im logarithmischen Frequenzdiagramm lässt sich der Tiefpass näherungsweise durch zwei Geraden beschreiben: weit unterhalb $f_\mathrm{g}$ verläuft der Betragsgang bei ungefähr $0~\mathrm{dB}$; weit oberhalb sinkt er um ungefähr $20~\mathrm{dB}$ pro Dekade. **Eine Dekade** bedeutet eine Verzehnfachung der Frequenz.
Die Geraden schneiden sich bei $f_\mathrm{g}$, aber der **exakte** Frequenzgang liegt an diesem Punkt bei ungefähr $-3~\mathrm{dB}$. Diese Unterscheidung kennen Sie bereits aus Block 02.
==== 4.1.4 Kurzer Vergleich: RC-Hochpass ====
Werden $R$ und $C$ vertauscht und wird die Ausgangsspannung über $R$ abgegriffen, entsteht ein Hochpass. Seine Grenzfrequenz ist ebenfalls $f_\mathrm{g}=1/(2\pi RC)$; niedrige Frequenzen werden gedämpft, hohe werden übertragen. Den Hochpass verwenden wir hier als bekanntes Vergleichsbeispiel. Die beiden folgenden Anwendungen benötigen hingegen Tiefpasswirkung.
===== 4.2 Anwendung 1: Ein Filter vor dem ADC =====
Ein ADC (''Analog-to-Digital Converter'', Analog-Digital-Umsetzer) erfasst eine analoge Spannung und liefert digitale Zahlenwerte. Bei der Messung des Shunt-Stroms unserer Motorsteuerung können neben dem gewünschten Verlauf auch schnelle PWM-Störungen vorhanden sein.
**Beobachten Sie zunächst die folgende Simulation.** Sie zeigt zwei Abtastzweige, die dasselbe analoge Signal verarbeiten. Nur einer der Zweige besitzt einen RC-Tiefpass vor dem getakteten Sample-and-Hold. Verändern Sie die Frequenz der Sinusquelle zunächst auf $60~\mathrm{Hz}$ und anschließend auf $940~\mathrm{Hz}$. Was fällt Ihnen an den treppenförmigen Ausgangssignalen auf?
Ein **Sample-and-Hold** übernimmt zu vorgegebenen Zeitpunkten die momentane Spannung (''Sample'') und hält diese näherungsweise bis zur nächsten Abtastung fest (''Hold''). Deshalb sieht sein Ausgang häufig wie eine Treppe aus. Die Simulation veranschaulicht **Abtastung und Halten**, noch nicht die Quantisierung in ADC-Zahlenwerte.
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=DwYwlgTgBAZgvAIgIwKgFwM6IAwDpsEEBMqYIiSeRxA7DQMzYAcRAbAJzs2ogBGiAVmyoADvwRDUANwiDUAW0yCApgFokKAHwAoKFGAAlKAA8KrKEnZEoq+tcslYOVAHd4yVDFkJWwqPIBDYykKVF4wAKwEIlwBBAB6HT1gFxNEdnMiAXMkXygs1k9nRN19VNNkPNzsfKYmC18ihGES5Mi06LqGmvomABZupr8IAHsAO0RqVFGYd0pCBYJUNAALSdiEpLKO3oHqqD7cwadmzdLQDsOcvKv8oj6hngo1JlIQ5vxsFCgMbz8pAAmiHouHovmwQghSD6fSYrCQ3Fa+gA5pcjkR7gd0X0-O4WltDDswRYaOZ6MTqK8Tn43JNPN55n5AsF1nEoOFIqzUACAK5oACeAGF+SAADbKHD4FBIlIdfbyvIFR4y6AVfa7O4DXaPKAMwhnZLlSaYjVELra6kG-QgDoYrX9TUHVgPS1QcgfRbfMDvPAEb6-ZxQQHrMHO1jZehWSzYVgMK3AVEVO1OgbJ2G44oE9pJ80OjUWvHTcaTYYjWYURaLZZraIbGVGhD5h23AuZ842iot5tHGFUwtu56qKneyV+1AB05BoG1gTsAQFbB9diLufh+OJxC3XtY8x9Z3KglGCrk3cEKAng52HW06L0itLfxBd4xNkcqIv7l8oUi8Wj6UE4xbToCw2HPAQaBA9gmhdDAwAoF00AlBAAGUAnkERxXiAAJEZRQBeNAM7btrGydgsTZdwYLg5AEKQgBBAARQVVAAUTAMZkQCDj41FMY0WuGolwEnVEMQABVAB9EYeL4zsjg1ITz36ESkMkkYABoYDAUVEIgeNkI6DJ8myA56iVV1RWotlVmBeMjzMYzzFsaxzP7G9vi8dIcQUJ9QnZCJ3zrQ85TJagbDsc8plddy72QGMmV8jx-M5Gd4wgBsjgcUz8m8y1NFydSHAAblhQqrBKph1PubBgHidKCXSkLHOy1znHy1gquyCrOtYWr6vORq1VCwSzJoRxC3a9S7Gwbrpu6ogxr6lwCV4ID7CQaw+lnfI10tGVVqTUlz3oJAnXoUyXULGVCMmJhTvoPdz3hc8l2g8dqOhZYkNQ9DMJwvD4wyxUTPVZS9oJZCQBGERlA6VQjPoecoCM3tHi2ZIRigZQJiSjARGBcbEGMRx8YQdQEHRvR9BEINAwwd04iRKnqdpxtx3dPB-1KZJ4hGAl4kh6HlAhqGYY6cDMmYKAmAiq40e5-RMexktx1Jq8TmJwgNtERBycp5IaZ9dmKwUKI8DZdDdeXK1meAGmkKIb4jZ+d1KFNyULdJodEUp2q+fOAXReF84boQGWcusIz7gozd3pV9BvrOWrwAgHQgA 950,400 noborder}}
Ändern Sie die Eingangssignalfrequenz erst auf $60~\mathrm{Hz}$, dann auf $940~\mathrm{Hz}$. Vergleichen Sie die oberen und unteren Sample-and-Hold-Ausgänge; die Aufgabe 4.1 führt schrittweise durch die Messung.
==== 4.2.1 Abtastrate, Nyquist-Frequenz und Aliasing ====
Ein ADC misst zu diskreten Zeitpunkten. Bei einer **Abtastfrequenz** von $f_\mathrm{s}=1~\mathrm{kHz}$ entsteht alle $T_\mathrm{s}=1/f_\mathrm{s}=1~\mathrm{ms}$ ein neuer Abtastwert. Die zugehörige **Nyquist-Frequenz** ist $f_\mathrm{N}=f_\mathrm{s}/2=500~\mathrm{Hz}$.
Liegt das Nutzband eines Sensors zwischen $0~\mathrm{Hz}$ und $100~\mathrm{Hz}$, so ist die Nyquist-Frequenz **nicht** das Ende des Nutzbandes: $100~\mathrm{Hz}$ stammen aus der Messaufgabe, $500~\mathrm{Hz}$ aus der gewählten Abtastrate.
Ein Sinus von $940~\mathrm{Hz}$ kann bei $f_\mathrm{s}=1~\mathrm{kHz}$ als scheinbarer $60~\mathrm{Hz}$-Anteil erscheinen:
$f_\mathrm{Alias}=|940~\mathrm{Hz}-1000~\mathrm{Hz}|=60~\mathrm{Hz}$.
Dieses Phänomen heißt **Aliasing**. Die ursprünglich hochfrequente Störung ist nun vom Frequenzinhalt her nicht mehr sicher von einem echten $60~\mathrm{Hz}$-Signal zu unterscheiden. Ein rein digitaler Tiefpass **nach** dem ADC löst dieses Problem nicht.
==== 4.2.2 Antialiasing – warum ein Filter vor den ADC gehört ====
Ein **Antialiasing-Filter** ist ein analoger Filter **vor** der Abtastung. Er soll unerwünschte hohe Frequenzanteile bereits abschwächen, bevor sie im digitalen Ergebnis unter einer falschen Frequenz erscheinen.
Nehmen wir $R=1~\mathrm{k\Omega}$ und $C=1~\mathrm{\mu F}$. Daraus folgen $\tau=1~\mathrm{ms}$ und $f_\mathrm{g}\approx159~\mathrm{Hz}$.
^ Frequenz ^ Betrag $|H(f)|$ ^ Wirkung ^
| $60~\mathrm{Hz}$ | $0{,}936$ | Nutzsignal wird etwas gedämpft |
| $940~\mathrm{Hz}$ | $0{,}167$ | Störung wird bereits **vor der Abtastung** deutlich kleiner |
Der Filter ist damit ein brauchbarer **Demonstrator**, nicht automatisch eine fertig dimensionierte Messschaltung: Auch ein $100~\mathrm{Hz}$-Nutzsignal wird bei dieser Grenzfrequenz bereits erkennbar abgeschwächt, und die Aliasstörung verschwindet keineswegs vollständig.
==== 4.2.3 Warum ein RC-Tiefpass allein oft nicht reicht ====
Würde die Grenzfrequenz noch kleiner gewählt, würde die $940~\mathrm{Hz}$-Störung stärker unterdrückt – allerdings auch das Nutzsignal. Für strengere Anforderungen muss möglicherweise ein Filter höherer Ordnung verwendet werden. Zwei RC-Glieder lassen sich dabei nicht einfach wie voneinander unabhängige Blöcke behandeln: Die zweite Stufe belastet die erste. Diese Problematik führt später zu Puffern und aktiven Filtern in [[block05|Block 05]].
==== 4.2.4 Der reale ADC-Eingang: Abtastkondensator und Einschwingzeit ====
Viele Mikrocontroller-ADCs enthalten eine kleine **Sample-and-Hold-Kapazität**, die während der **Erfassungszeit** (auch ''Acquisition Time'') über einen internen Schalter auf die Eingangsspannung geladen wird.
Ein großer Widerstand vor dem ADC erleichtert zwar die Realisierung einer niedrigen RC-Grenzfrequenz, er kann aber auch das Einschwingen dieser internen Kapazität verlangsamen. Deshalb sind **Quellenimpedanz, Abtastkapazität und Erfassungszeit** gemeinsam zu betrachten. Der externe Kondensator am ADC-Eingang kann zudem bei kurzen Ladeimpulsen Ladung bereitstellen.
[[https://developerhelp.microchip.com/xwiki/bin/view/products/data-converters/adc-specs/acquisition-time/|Microchip: ADC Acquisition Time]] erläutert diesen Zusammenhang an einem SAR-ADC.
Ein Filter darf den ADC nicht nur vor Aliasing schützen; seine Ausgangsimpedanz muss auch zur zeitlichen Arbeitsweise des ADC passen. Eine Simulation eines normalen RC-Tiefpasses zeigt **nicht automatisch** dieses Einschwingproblem.
**Kurzer Transfer:** Ein RC-Filter kann auch den Mittelwert einer PWM-Spannung glätten. Bei PWM zwischen $0~\mathrm{V}$ und $U_\mathrm{H}$ gilt idealisiert $\overline{U}\approx D\,U_\mathrm{H}$ mit Tastgrad $D$. Größere $RC$ reduzieren den Ripple, verlängern jedoch die Einschwingzeit. Die detaillierte PWM-Auslegung kann bei der späteren Ansteuerung vertieft werden.
===== 4.3 Anwendung 2: Versorgungsfilter in der originalen WS2812 =====
Bei der WS2812 sollen nicht analoge Messwerte geglättet, sondern die internen Steuerschaltungen von schnellen Störungen auf der gemeinsamen LED-Versorgung entkoppelt werden.
==== 4.3.1 Was steht wirklich im Datenblatt? ====
Öffnen Sie das [[https://cdn-shop.adafruit.com/datasheets/WS2812.pdf|WS2812-Datenblatt]] und betrachten Sie **Seite 5, „Typical application circuit“**. Es handelt sich ausdrücklich um die **WS2812**, nicht um die spätere WS2812B.
* **$V_\mathrm{DD}$, Pin 5:** Versorgung des LED-Leistungsteils, hier direkt an der Versorgung.
* **$V_\mathrm{CC}$, Pin 3:** Versorgung der Steuerelektronik; sie erhält ihre Spannung **über $R_1=130~\Omega$**.
* **$C_1=100~\mathrm{nF}$:** Der aufgedruckte Code ''104'' steht für $10\cdot10^4~\mathrm{pF}=100~\mathrm{nF}$. $C_1$ liegt vom gefilterten $V_\mathrm{CC}$-Knoten nach Masse.
Der Serienwiderstand liegt damit bewusst nur im empfindlicheren Versorgungszweig. $R_1$ und $C_1$ bilden zusammen einen **Versorgungs-Tiefpass**.
==== 4.3.2 Was bewirkt dieser Tiefpass? ====
Für das vereinfachte und zunächst unbelastete RC-Modell gilt:
$\tau=130~\Omega\cdot100~\mathrm{nF}=13~\mathrm{\mu s}$ und $f_\mathrm{g}=\frac{1}{2\pi RC}\approx12{,}2~\mathrm{kHz}$.
Bei einer Störung mit $f=100~\mathrm{kHz}$ folgt $|H|\approx0{,}122$, entsprechend etwa $-18{,}3~\mathrm{dB}$.
In der realen WS2812 benötigt die Steuerelektronik jedoch Strom. $V_\mathrm{CC}$ ist deshalb nicht automatisch exakt gleich der unbelasteten RC-Ausgangsspannung.
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=%24%201%201.0E-6%2010.391409633455755%2065%205.0%2050%0Ap%20160%20176%20160%20256%200%0Ag%20160%20256%20160%20272%200%0A170%20160%20176%20128%20176%203%20100.0%20200000.0%201.0%202.0%0Ar%20160%20176%20320%20176%200%20130.0%0Ac%20320%20176%20320%20256%200%201.0E-7%200.0%0Ag%20320%20256%20320%20272%200%0AO%20320%20176%20432%20176%200 840,500 noborder}}
**In dieser Simulation:** Ein vereinfachtes RC-Filter mit $130~\Omega$ und $100~\mathrm{nF}$. Variieren Sie die Frequenz der Spannungsquelle und vergleichen Sie Ein- und Ausgang. Die WS2812 selbst und ihr zeitabhängiger Steuerstrom sind **nicht** als Bauteilmodell enthalten.
==== 4.3.3 Der Preis des Serienwiderstands ====
Am Widerstand fällt bei einem Steuerstrom $I_\mathrm{CC}$ die Spannung $U_R=R_1 I_\mathrm{CC}$ ab; die Verlustleistung beträgt $P_R=I_\mathrm{CC}^2 R_1$.
Als **angenommenes Rechenbeispiel**, nicht als garantierter Datenblattwert, ergibt sich für $I_\mathrm{CC}=2~\mathrm{mA}$ ein Spannungsabfall von $0{,}26~\mathrm{V}$.
Würden dagegen die LED-Ströme von beispielsweise $60~\mathrm{mA}$ durch $130~\Omega$ fließen, ergäbe die Rechnung $7{,}8~\mathrm{V}$ Spannungsabfall. Das wäre bei einer Versorgung von $5~\mathrm{V}$ nicht möglich. Die Rechnung zeigt sofort, warum die LED-Leistungsversorgung **nicht** hinter diesem Filterwiderstand liegt.
===== 4.4 Filter sind Teil ihrer Umgebung =====
==== 4.4.1 Der belastete RC-Tiefpass ====
Bisher haben wir beim RC-Tiefpass einen unbelasteten Ausgang angenommen. Eine nachfolgende Schaltung besitzt aber eine endliche Eingangsimpedanz. Für einen rein ohmschen Lastwiderstand $R_\mathrm{L}$ liegt dieser parallel zu $C$.
Im stationären Gleichstromfall bildet sich damit ein Spannungsteiler:
$H(0)=\frac{R_\mathrm{L}}{R+R_\mathrm{L}}$.
Das zeigt: Die Dämpfung kann bereits bei **$f=0$** auftreten. Für die vollständige Übertragungsfunktion muss $R_\mathrm{L}$ zusammen mit $C$ berücksichtigt werden. Eine weitere Abweichung entsteht, wenn die Signalquelle selbst einen Innenwiderstand besitzt.
==== 4.4.2 Ein Entwurfsproblem, zwei unterschiedliche Lösungen ====
Beim **ADC-Signalfilter** interessiert uns die möglichst fehlerarme Weitergabe des gewünschten Nutzsignals, beispielsweise von $0~\mathrm{Hz}$ bis $100~\mathrm{Hz}$. Ein gewisser Stromfluss durch den Filterwiderstand kann akzeptabel sein, solange ADC und Filter ausreichend schnell einschwingen.
Bei einer **Leistungsversorgung** muss dagegen möglicherweise ein Gleichstrom von mehreren hundert Milliampere fließen. Ein großer Längswiderstand würde dann zu unzulässigem Spannungsabfall und hoher Verlustleistung führen. Deshalb fragen wir im nächsten Abschnitt nach Alternativen.
===== 4.5 Wenn ein Serienwiderstand zu viel Verlust verursacht =====
==== 4.5.1 RC oder LC? ====
Ein RC-Filter benötigt einen Längswiderstand $R$. Wird darüber ein größerer Gleichstrom geführt, entstehen ein Spannungsabfall $U_R=IR$ und eine Verlustleistung $P_R=I^2R$. Ein LC-Tiefpass nutzt dagegen die mit der Frequenz zunehmende Impedanz einer Spule. Ihre Wicklung besitzt zwar ebenfalls einen Widerstand, dieser kann aber bei Gleichstrom deutlich kleiner sein als der eines RC-Filters.
=== Zwei Schaltungen unter denselben Bedingungen ===
In der folgenden Simulation speist dieselbe Spannungsquelle zwei Filterzweige. **Oben liegt ein RC-Tiefpass, unten ein LC-Tiefpass.** Beide Ausgänge sind mit einem Widerstand $R_\mathrm{L}=50~\Omega$ belastet.
* **RC-Zweig:** $R=10~\Omega$, $C=4{,}7~\mathrm{\mu F}$.
* **LC-Zweig:** $L=47~\mathrm{\mu H}$, $C=47~\mathrm{\mu F}$ und ein vereinfachter Spulen-Gleichstromwiderstand $R_\mathrm{DC}=0{,}2~\Omega$.
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=%24%201%201.0E-6%2010.391409633455755%2065%205.0%2050%0A170%2080%20240%2048%20240%203%20100.0%2040000.0%201.0%202.0%0Aw%2080%20240%20128%20240%200%0Aw%20128%20160%20128%20240%200%0Aw%20128%20240%20128%20320%200%0Ar%20128%20160%20224%20160%200%2010.0%0Aw%20224%20160%20320%20160%200%0Ac%20224%20160%20224%20240%200%204.7E-6%200.0%0Ag%20224%20240%20224%20256%200%0Ar%20320%20160%20320%20240%200%2050.0%0Ag%20320%20240%20320%20256%200%0AO%20320%20160%20448%20160%200%0Ar%20128%20320%20176%20320%200%200.2%0Al%20176%20320%20256%20320%200%204.7E-5%200.0%0Aw%20256%20320%20352%20320%200%0Ac%20256%20320%20256%20400%200%204.7E-5%200.0%0Ag%20256%20400%20256%20416%200%0Ar%20352%20320%20352%20400%200%2050.0%0Ag%20352%20400%20352%20416%200%0AO%20352%20320%20448%20320%200%0Ax%20203%20115%20244%20116%200%2015%20RC-Tiefpass%0Ax%20235%20275%20295%20276%200%2015%20LC-Tiefpass 950,460 noborder}}
**Wichtig zur Verschaltung:** Die beiden Ausgänge sind **nicht** direkt mit GND verbunden. Jeweils der Kondensator und der **Lastwiderstand** führen vom Ausgang nach GND; ein Kurzschluss würde den Vergleich unbrauchbar machen.
Zum Vergleichen lohnt es sich, zunächst zwei Größen zu berechnen:
- Ohne Last hätten die beiden gewählten Bauteilkombinationen die charakteristischen Frequenzen $f_\mathrm{g,RC}=1/(2\pi RC)\approx3{,}39~\mathrm{kHz}$ und $f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})\approx3{,}39~\mathrm{kHz}$. **Das bedeutet nicht**, dass ihre real belasteten Frequenzgänge gleich sind.
- Bei Gleichstrom beträgt die Spannungsübertragung durch den RC-Zweig wegen des Lastwiderstands $50/(10+50)\approx0{,}833$, beim LC-Zweig vereinfacht $50/(0{,}2+50)\approx0{,}996$.
Verändern Sie in der Simulation die Frequenz und beobachten Sie insbesondere die Ausgangsspannung im Bereich einiger $\mathrm{kHz}$. Der LC-Zweig kann nahe seiner Resonanzfrequenz sogar eine **größere Wechselspannungsamplitude als am Eingang** aufweisen. Das bedeutet keine Energieverstärkung, sondern eine Resonanzüberhöhung.
=== Frequenzgang mit Falstads AFilter untersuchen ===
Für das gezielte Ablesen des Frequenzgangs eignet sich **Falstads AFilter** (Analog Filter Applet). Die folgende Ansicht enthält den **LC-Zweig mit derselben Last und demselben Serienwiderstand** wie im Vergleich zuvor. Hier steht die frequenzabhängige Übertragung im Mittelpunkt.
{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=%24%201%201.0E-6%2010.391409633455755%2065%205.0%2050%0A170%20128%20160%2096%20160%203%20100.0%2040000.0%201.0%202.0%0Ar%20128%20160%20208%20160%200%200.2%0Al%20208%20160%20288%20160%200%204.7E-5%200.0%0Aw%20288%20160%20368%20160%200%0Ac%20288%20160%20288%20240%200%204.7E-5%200.0%0Ag%20288%20240%20288%20256%200%0Ar%20368%20160%20368%20240%200%2050.0%0Ag%20368%20240%20368%20256%200%0AO%20368%20160%20464%20160%200%0Ax%20233%20104%20303%20104%200%2015%20LC-Tiefpass 950,460 noborder}}
Prüfen Sie in AFilter, an welcher Frequenz die Übertragung ein Maximum besitzt und wie schnell sie oberhalb dieses Bereichs abfällt. Erhöhen Sie anschließend den Spulen-Serienwiderstand von $0{,}2~\Omega$ auf $2~\Omega$ oder verringern Sie $R_\mathrm{L}$: Welche Auswirkung hat die zusätzliche Dämpfung auf die Resonanzüberhöhung?
Ein LC-Filter verursacht häufig kleinere Gleichspannungsabfälle als ein vergleichbar dämpfender RC-Serienwiderstand. Allerdings kann es eine **Resonanzüberhöhung** hervorrufen und benötigt deshalb eine passende Dämpfung sowie die Berücksichtigung von Quelle und Last. Die Eigenfrequenz $f_0$ ist nicht automatisch die $-3~\mathrm{dB}$-Grenzfrequenz des belasteten Filters.
==== 4.5.2 Was ist eine Ferritperle? ====
Eine **Ferritperle** (''Ferrite Bead'', im Schaltplan oft ''FB'') ist ein passives Bauteil mit frequenzabhängiger komplexer Impedanz. Sie wird häufig in Serie zu einer Versorgung eingesetzt, um insbesondere höherfrequente Störanteile zu reduzieren.
Im Gegensatz zu einer idealen Spule besitzt eine Ferritperle im vorgesehenen Frequenzbereich häufig einen deutlichen **wirksamen Widerstandsanteil**, an dem Störenergie in Wärme umgesetzt wird. Bei Gleichstrom ist ihr Widerstand oft klein. Die Eigenschaften ändern sich jedoch mit **Frequenz** und **Gleichstrombelastung**.
Ein Beispiel zum gezielten Datenblattlesen ist [[https://www.analog.com/en/resources/app-notes/an-1368.html|Analog Devices AN-1368 – Ferrite Bead Demystified]]. Eine Angabe wie ''100 Ω bei 100 MHz'' beschreibt die Impedanz bei **dieser** Frequenz, nicht einen Gleichstromwiderstand von $100~\Omega$. Sie sagt auch nichts darüber aus, wie gut eine Störung bei $20~\mathrm{kHz}$ gefiltert wird.
^ Längselement ^ Typischer Vorteil ^ Einschränkung ^
| Widerstand $R$ | Einfach; grundsätzlich dämpfend | Gleichspannungsabfall und $I^2R$-Verlust |
| Spule $L$ | Kleine Gleichstromverluste möglich | Wicklungswiderstand, Sättigung, Resonanz |
| Ferritperle ''FB'' | Häufig nützlich gegen Hochfrequenzstörungen | Frequenz- und stromabhängige Impedanz; Resonanz mit Kondensatoren möglich |
===== 4.6 Rückkehr zur Motorsteuerung =====
Die drei Leitfragen dieses Blocks lassen sich direkt auf die spätere Leit-Schaltung übertragen:
- **ADC-Strommessung:** Wie unterdrücken wir PWM-Störungen, ohne langsame Stromänderungen unzulässig zu verfälschen?
- **Steuer- und Treiberversorgung:** Welche Störungen gelangen über die Versorgung, und welche Filterbauteile können sie reduzieren?
- **Schnelle Abschaltung:** Eine Schutzschaltung darf durch Filterung nicht so stark verzögert werden, dass sie den MOSFET zu spät abschaltet.
**Weiterführende Anwendungen**, die an späteren Stellen verständlicher sind: ein **RC-Snubber** zum Dämpfen von MOSFET-Schwingungen, **EMV-Filter** mit Gegen- und Gleichtaktstörungen und ein **thermisches RC-Ersatznetzwerk** beim Aufheizen von Leistungshalbleitern. Diese Themen werden hier nur angekündigt, nicht als zusätzliche abgeschlossene Kapitel behandelt.
===== 4.7 Häufige Fehler =====
* Nutzband, Grenzfrequenz und Nyquist-Frequenz gleichsetzen.
* Annehmen, dass ein Tiefpass ab $f_\mathrm{g}$ alle höheren Frequenzen vollständig entfernt.
* Ein Alias-Signal erst nach der Abtastung digital beseitigen wollen.
* Die Last oder den Eingangswiderstand der nächsten Schaltung ignorieren.
* Eine WS2812 mit einer WS2812B und deren anders aufgebauter Versorgung verwechseln.
* Für alle Versorgungsfilter nur einen größeren Widerstand vorsehen, ohne Gleichspannungsabfall und Verlustleistung zu prüfen.
* Die LC-Eigenfrequenz grundsätzlich mit einer $-3~\mathrm{dB}$-Grenzfrequenz gleichsetzen.
* Eine Ferritperle wie einen frequenzunabhängigen Widerstand behandeln.
===== 4.8 Übungen =====
#@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#04.~~#@ee1_taskctr#~~ Warum misst der ADC eine Frequenz, die gar nicht vorhanden ist?
#@TaskText_HTML@#
Ein Sensor liefert ein Spannungssignal, dessen **Nutzband von $0~\mathrm{Hz}$ bis $100~\mathrm{Hz}$** reicht. Ein Mikrocontroller soll das Signal mit einem ADC erfassen. Die Abtastfrequenz beträgt $f_\mathrm{s}=1~\mathrm{kHz}$.
Auf der Sensorleitung können zusätzlich höherfrequente Störungen auftreten. Deshalb wird untersucht, ob ein **RC-Tiefpass am ADC-Eingang** sinnvoll ist.
Die für die Aufgabe benötigte Simulation befindet sich bereits in **Abschnitt 4.2**. Sie können sie dort direkt bedienen oder [[https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=DwYwlgTgBAZgvAIgIwKgFwM6IAwDpsEEBMqYIiSeRxA7DQMzYAcRAbAJzs2ogBGiAVmyoADvwRDUANwiDUAW0yCApgFokKAHwAoKFGAAlKAA8KrKEnZEoq+tcslYOVAHd4yVDFkJWwqPIBDYykKVF4wAKwEIlwBBAB6HT1gFxNEdnMiAXMkXygs1k9nRN19VNNkPNzsfKYmC18ihGES5Mi06LqGmvomABZupr8IAHsAO0RqVFGYd0pCBYJUNAALSdiEpLKO3oHqqD7cwadmzdLQDsOcvKv8oj6hngo1JlIQ5vxsFCgMbz8pAAmiHouHovmwQghSD6fSYrCQ3Fa+gA5pcjkR7gd0X0-O4WltDDswRYaOZ6MTqK8Tn43JNPN55n5AsF1nEoOFIqzUACAK5oACeAGF+SAADbKHD4FBIlIdfbyvIFR4y6AVfa7O4DXaPKAMwhnZLlSaYjVELra6kG-QgDoYrX9TUHVgPS1QcgfRbfMDvPAEb6-ZxQQHrMHO1jZehWSzYVgMK3AVEVO1OgbJ2G44oE9pJ80OjUWvHTcaTYYjWYURaLZZraIbGVGhD5h23AuZ842iot5tHGFUwtu56qKneyV+1AB05BoG1gTsAQFbB9diLufh+OJxC3XtY8x9Z3KglGCrk3cEKAng52HW06L0itLfxBd4xNkcqIv7l8oUi8Wj6UE4xbToCw2HPAQaBA9gmhdDAwAoF00AlBAAGUAnkERxXiAAJEZRQBeNAM7btrGydgsTZdwYLg5AEKQgBBAARQVVAAUTAMZkQCDj41FMY0WuGolwEnVEMQABVAB9EYeL4zsjg1ITz36ESkMkkYABoYDAUVEIgeNkI6DJ8myA56iVV1RWotlVmBeMjzMYzzFsaxzP7G9vi8dIcQUJ9QnZCJ3zrQ85TJagbDsc8plddy72QGMmV8jx-M5Gd4wgBsjgcUz8m8y1NFydSHAAblhQqrBKph1PubBgHidKCXSkLHOy1znHy1gquyCrOtYWr6vORq1VCwSzJoRxC3a9S7Gwbrpu6ogxr6lwCV4ID7CQaw+lnfI10tGVVqTUlz3oJAnXoUyXULGVCMmJhTvoPdz3hc8l2g8dqOhZYkNQ9DMJwvD4wyxUTPVZS9oJZCQBGERlA6VQjPoecoCM3tHi2ZIRigZQJiSjARGBcbEGMRx8YQdQEHRvR9BEINAwwd04iRKnqdpxtx3dPB-1KZJ4hGAl4kh6HlAhqGYY6cDMmYKAmAiq40e5-RMexktx1Jq8TmJwgNtERBycp5IaZ9dmKwUKI8DZdDdeXK1meAGmkKIb4jZ+d1KFNyULdJodEUp2q+fOAXReF84boQGWcusIz7gozd3pV9BvrOWrwAgHQgA|in einem eigenen Browserfenster öffnen]].
Die Simulation bildet eine **getaktete Sample-and-Hold-Abtastung** nach. Die eigentliche Quantisierung in digitale ADC-Codes ist bewusst nicht enthalten. Beide Abtastzweige verwenden dasselbe Eingangssignal mit Frequenz $f$; nur einer besitzt ein RC-Filter davor.
1. Das **Nutzband** liegt zwischen $0~\mathrm{Hz}$ und $100~\mathrm{Hz}$. Bestimmen Sie die Nyquist-Frequenz. Warum sind Nutzband und Nyquist-Frequenz nicht dasselbe?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_1_1Sol,Solution~@#
Die Nyquist-Frequenz ergibt sich zu $f_\mathrm{N}=f_\mathrm{s}/2=500~\mathrm{Hz}$. Das **Nutzband** beschreibt die relevanten Signalanteile der Anwendung; die **Nyquist-Frequenz** ergibt sich dagegen aus der Abtastfrequenz. Ein ADC mit $1000$ Abtastungen pro Sekunde macht nicht automatisch alle Frequenzen bis $500~\mathrm{Hz}$ für unseren Sensor sinnvoll.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_1_1Sol,Solution ~@#
2. Ändern Sie die Frequenz der Spannungsquelle in der Simulation zunächst auf **$60~\mathrm{Hz}$**. Vergleichen Sie den ursprünglichen Sinus und die Sample-and-Hold-Ausgänge. Warum entstehen Stufen? Welcher Zweig verändert die Amplitude etwas?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_1_2Sol,Solution~@#
Die Sample-and-Hold-Schaltung übernimmt bei jedem Abtastimpuls eine Spannung und hält sie bis zum nächsten Impuls konstant. Es entsteht ein **Treppenverlauf**. Der RC-Tiefpass im unteren Zweig dämpft und verzögert das $60~\mathrm{Hz}$-Signal geringfügig. Der ungefilterte Zweig übernimmt näherungsweise die ursprünglichen Abtastwerte.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_1_2Sol,Solution ~@#
3. Stellen Sie das Eingangssignal anschließend auf **$940~\mathrm{Hz}$**. Welche deutlich kleinere Frequenz erscheint in den Abtastwerten? Berechnen Sie diese und erklären Sie, weshalb ein digitaler Tiefpass das Problem nicht sicher beseitigt.
#@HiddenBegin_HTML~EST04_1_3Sol,Solution~@#
Es entsteht die Aliasfrequenz $f_\mathrm{Alias}=|f_\mathrm{Stör}-f_\mathrm{s}|=|940-1000|~\mathrm{Hz}=60~\mathrm{Hz}$. Die hochfrequente Störung erscheint **im Nutzband**. Nach der Abtastung lässt sie sich allein anhand der Frequenz nicht mehr sicher von einem echten $60~\mathrm{Hz}$-Signal unterscheiden.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_1_3Sol,Solution ~@#
4. Im gefilterten Zweig gelten $R=1~\mathrm{k\Omega}$ und $C=1~\mathrm{\mu F}$. Berechnen Sie $f_\mathrm{g}$ und $|H|$ bei $60~\mathrm{Hz}$ sowie $940~\mathrm{Hz}$. Was beobachten Sie?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_1_4Sol,Solution~@#
$f_\mathrm{g}=1/(2\pi RC)\approx159~\mathrm{Hz}$. Mit $|H(f)|=1/\sqrt{1+(f/f_\mathrm{g})^2}$ erhält man $|H(60~\mathrm{Hz})|\approx0{,}936$ (etwa $-0{,}57~\mathrm{dB}$) und $|H(940~\mathrm{Hz})|\approx0{,}167$ (etwa $-15{,}5~\mathrm{dB}$). Die Störung wird **vor** der Abtastung deutlich abgeschwächt, ist aber nicht vollständig entfernt.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_1_4Sol,Solution ~@#
5. Wäre es sinnvoll, die Grenzfrequenz immer auf die Nyquist-Frequenz, hier $500~\mathrm{Hz}$, zu setzen? Welche Angaben brauchen Sie für die reale Dimensionierung?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_1_5Sol,Solution~@#
**Nein, nicht grundsätzlich.** Bei $f_\mathrm{g}=500~\mathrm{Hz}$ würde eine $940~\mathrm{Hz}$-Störung nur mit $|H|\approx0{,}470$ (etwa $-6{,}6~\mathrm{dB}$) übertragen. Entscheidend sind die maximal erlaubte Dämpfung im Nutzband, die zulässige Aliasstörung und das tatsächliche Störspektrum. Auch Erfassungszeit und Eingangsbeschaltung des ADC müssen eingehalten werden.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_1_5Sol,Solution ~@#
#@TaskEnd_HTML@#
#@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#04.~~#@ee1_taskctr#~~ Vom bekannten RC-Glied zur realen Last
#@TaskText_HTML@#
Ein RC-Tiefpass besteht aus $R=1~\mathrm{k\Omega}$ und $C=100~\mathrm{nF}$. Der Ausgang wird anschließend durch einen ohmschen Widerstand $R_\mathrm{L}$ belastet. Die Signalquelle besitzt idealerweise keinen Innenwiderstand.
1. Bestimmen Sie $f_\mathrm{g}$ des zunächst unbelasteten Filters und beschreiben Sie seinen Grenzfall bei sehr hohen Frequenzen.
#@HiddenBegin_HTML~EST04_2_1Sol,Solution~@#
$f_\mathrm{g}=1/(2\pi\cdot1~\mathrm{k\Omega}\cdot100~\mathrm{nF})\approx1{,}59~\mathrm{kHz}$. Für hohe Frequenzen wird der Kondensator niederimpedant, deshalb sinkt im idealisierten Modell $U_\mathrm{out}$ gegen null.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_2_1Sol,Solution ~@#
2. Ein Lastwiderstand $R_\mathrm{L}=1~\mathrm{k\Omega}$ wird angeschlossen. Welcher Spannungsübertragungsfaktor ergibt sich für Gleichspannung?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_2_2Sol,Solution~@#
Der Kondensator ist bei stationärer Gleichspannung näherungsweise offen. Es bleibt der Spannungsteiler $H(0)=R_\mathrm{L}/(R+R_\mathrm{L})=1/2$. Bereits der Gleichspannungsanteil wird halbiert.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_2_2Sol,Solution ~@#
3. Warum kann der belastete Filter nicht einfach mit der unbelasteten Übertragungsfunktion dimensioniert werden?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_2_3Sol,Solution~@#
Die Last liegt parallel zum Kondensator und verändert dadurch die resultierende Impedanz. Die niedrige Frequenzverstärkung und die Polfrequenz ändern sich. Auch die Signalquelle kann mit ihrem Innenwiderstand beteiligt sein.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_2_3Sol,Solution ~@#
#@TaskEnd_HTML@#
#@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#04.~~#@ee1_taskctr#~~ Das reale Versorgungsfilter der WS2812
#@TaskText_HTML@#
Öffnen Sie das [[https://cdn-shop.adafruit.com/datasheets/WS2812.pdf|Originaldatenblatt der WS2812]], Seite 5, ''Typical application circuit''. Verwenden Sie die dort angegebene typische Beschaltung.
1. Welche Pins dienen der LED- und der Steuerteilversorgung? Wo liegen $R_1$ und $C_1$?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_3_1Sol,Solution~@#
$V_\mathrm{DD}$ (Pin 5) versorgt den LED-Leistungsteil direkt. $V_\mathrm{CC}$ (Pin 3) versorgt die interne Steuerlogik nach $R_1$. Zwischen diesem Knoten und GND liegt $C_1$. Der Laststrom der LEDs fließt also nicht durch $R_1$.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_3_1Sol,Solution ~@#
2. Lesen Sie die Werte ab und berechnen Sie $\tau$ und $f_\mathrm{g}$ für das unbelastete Ersatzmodell.
#@HiddenBegin_HTML~EST04_3_2Sol,Solution~@#
Im Datenblatt stehen $R_1=130~\Omega$ und $C_1=100~\mathrm{nF}$ (Code ''104''). Daraus folgen $\tau=RC=13~\mathrm{\mu s}$ und $f_\mathrm{g}=1/(2\pi RC)\approx12{,}2~\mathrm{kHz}$.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_3_2Sol,Solution ~@#
3. Wie viel einer Störung bei $100~\mathrm{kHz}$ wird im vereinfachten Modell übertragen?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_3_3Sol,Solution~@#
$|H(100~\mathrm{kHz})|=1/\sqrt{1+(100/12{,}24)^2}\approx0{,}122$, entsprechend ungefähr $-18{,}3~\mathrm{dB}$. Die tatsächliche Wirkung hängt auch vom zeitabhängigen Versorgungsstrom und dem realen Kondensator ab.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_3_3Sol,Solution ~@#
4. Welcher Spannungsabfall entsteht bei einem **angenommenen** Steuerstrom von $2~\mathrm{mA}$? Was wäre beim LED-Strom von $60~\mathrm{mA}$?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_3_4Sol,Solution~@#
Beim beispielhaften Steuerstrom gilt $U_R=130~\Omega\cdot2~\mathrm{mA}=0{,}26~\mathrm{V}$. Bei $60~\mathrm{mA}$ ergäbe sich rechnerisch $7{,}8~\mathrm{V}$ – mehr als die $5~\mathrm{V}$ Versorgung. Das zeigt, warum die LED-Leistungsversorgung nicht durch den Längswiderstand geführt werden darf. Beide Stromwerte sind hier **Annahmen für die Rechnung**.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_3_4Sol,Solution ~@#
#@TaskEnd_HTML@#
#@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#04.~~#@ee1_taskctr#~~ Warum für größere Versorgungsströme oft ein LC-Filter?
#@TaskText_HTML@#
Eine Versorgung liefert $I=0{,}5~\mathrm{A}$. Verglichen werden ein Serienwiderstand von $10~\Omega$ und eine Spule mit angenommenem Gleichstromwiderstand $R_\mathrm{DC}=0{,}2~\Omega$.
1. Bestimmen Sie Spannungsabfall und Verlustleistung im Serienwiderstand.
#@HiddenBegin_HTML~EST04_4_1Sol,Solution~@#
$U_R=IR=0{,}5~\mathrm{A}\cdot10~\Omega=5~\mathrm{V}$; $P_R=I^2R=(0{,}5~\mathrm{A})^2\cdot10~\Omega=2{,}5~\mathrm{W}$. In einer $5~\mathrm{V}$-Versorgung wäre diese Lösung offensichtlich ungeeignet.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_4_1Sol,Solution ~@#
2. Bestimmen Sie Gleichspannungsabfall und Kupferverlust der Spule.
#@HiddenBegin_HTML~EST04_4_2Sol,Solution~@#
$U_{R,\mathrm{L}}=I R_\mathrm{DC}=0{,}1~\mathrm{V}$; $P_{\mathrm{Cu}}=I^2 R_\mathrm{DC}=0{,}05~\mathrm{W}$. Weitere Wechselstrom- und Kernverluste sind hier noch nicht berücksichtigt.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_4_2Sol,Solution ~@#
3. Welche Eigenfrequenz erhält man näherungsweise bei $L=47~\mathrm{\mu H}$ und $C=47~\mathrm{\mu F}$?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_4_3Sol,Solution~@#
$f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})=1/(2\pi\sqrt{47~\mathrm{\mu H}\cdot47~\mathrm{\mu F}})\approx3{,}39~\mathrm{kHz}$. Dieser Wert ist eine Eigenfrequenz des idealen LC-Modells, **nicht automatisch** die Grenzfrequenz des belasteten Filters.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_4_3Sol,Solution ~@#
4. Weshalb kann ein LC-Filter trotz niedriger Gleichstromverluste problematisch sein?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_4_4Sol,Solution~@#
Möglich sind Resonanzüberhöhung und Überschwingen, eine Belastung der vorgeschalteten Regelung, magnetische Sättigung und zusätzliche HF-Verluste. Die Auswahl erfordert daher mehr als nur die Berechnung von $f_0$.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_4_4Sol,Solution ~@#
#@TaskEnd_HTML@#
#@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#04.~~#@ee1_taskctr#~~ Eine Ferritperle anhand ihres Datenblatts beurteilen
#@TaskText_HTML@#
Betrachten Sie [[https://www.analog.com/en/resources/app-notes/an-1368.html|Analog Devices AN-1368]] und achten Sie besonders auf die Kurven von Impedanz, Widerstands- und Blindanteil sowie auf den Gleichstrom-Einfluss.
1. Welche Funktion besitzen der Realteil $R(f)$ und der Imaginärteil $X(f)$ der Impedanz?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_5_1Sol,Solution~@#
Der Realteil $R(f)$ steht für den dissipativen Anteil (Verlustleistung), der Blindanteil $X(f)$ für das reaktive Verhalten. Beide können sich bei einer Ferritperle deutlich mit der Frequenz ändern.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_5_1Sol,Solution ~@#
2. Was bedeutet die Angabe 100 Ω bei 100 MHz? Kann man daraus die Wirkung bei einer $20~\mathrm{kHz}$-PWM-Störung ableiten?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_5_2Sol,Solution~@#
Die Angabe beschreibt einen Impedanzbetrag bei **$100~\mathrm{MHz}$** und definierten Messbedingungen. Sie ist kein Gleichstromwiderstand und erlaubt allein keine zuverlässige Aussage zur Impedanz bei $20~\mathrm{kHz}$. Dafür muss der Frequenzgang betrachtet werden.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_5_2Sol,Solution ~@#
3. Warum muss der tatsächlich fließende Gleichstrom berücksichtigt werden?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_5_3Sol,Solution~@#
Die magnetischen Eigenschaften und damit die frequenzabhängige Impedanz können sich unter Gleichstromvorspannung verändern. Die Kurven im Datenblatt sind daher nur unter passenden Betriebsbedingungen übertragbar.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_5_3Sol,Solution ~@#
#@TaskEnd_HTML@#
#@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#04.~~#@ee1_taskctr#~~ Filterentscheidung für die Motorsteuerung
#@TaskText_HTML@#
Für die folgenden Fälle ist zunächst **keine vollständige Bauteildimensionierung** erforderlich. Nennen Sie eine passende Filteridee und eine wichtige Nebenwirkung.
1. Langsame Shunt-Signale sollen von einem ADC eingelesen werden.
#@HiddenBegin_HTML~EST04_6_1Sol,Solution~@#
Ein analoger Tiefpass vor dem ADC kann hochfrequente Störungen dämpfen. Wichtig sind Nutzbanddämpfung, Aliasing, Verzögerung und die Eingangsbedingungen des ADC.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_6_1Sol,Solution ~@#
2. Eine empfindliche Logik soll von schnellen Versorgungsschwankungen möglichst wenig beeinflusst werden.
#@HiddenBegin_HTML~EST04_6_2Sol,Solution~@#
Lokale Abblockung und gegebenenfalls ein RC- oder Ferritfilter eignen sich. Entscheidend sind Störfrequenz, Strombedarf, zulässiger Spannungsabfall und parasitäre Induktivitäten.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_6_2Sol,Solution ~@#
3. Eine Versorgung muss $0{,}5~\mathrm{A}$ übertragen, aber ein großer Gleichspannungsabfall ist nicht akzeptabel.
#@HiddenBegin_HTML~EST04_6_3Sol,Solution~@#
Ein LC-Filter kann eine naheliegende Alternative zum Serien-RC-Filter sein. Resonanz, Sättigung und Verluste der Spule müssen geprüft werden.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_6_3Sol,Solution ~@#
4. Beim schnellen MOSFET-Schalten tritt Überschwingen auf. Wo würden Sie später nach einer passenden Lösung suchen?
#@HiddenBegin_HTML~EST04_6_4Sol,Solution~@#
Hier ist möglicherweise ein **RC-Snubber** zur Dämpfung parasitärer LC-Schwingungen hilfreich. Das ist ein Ausblick auf die spätere Untersuchung realer MOSFET-Schaltvorgänge; ein Snubber ist nicht einfach derselbe RC-Tiefpass wie vor dem ADC.
#@HiddenEnd_HTML~EST04_6_4Sol,Solution ~@#
#@TaskEnd_HTML@#
===== 4.9 Zusammenfassung =====
* Ein **Nutzband** kommt aus der Mess- oder Übertragungsaufgabe; eine **Grenzfrequenz** ist eine Eigenschaft des Filters.
* **Aliasing** entsteht beim Abtasten und muss durch geeignete analoge Vorfilterung begrenzt werden.
* Die originale **WS2812** zeigt einen echten RC-Tiefpass in der Versorgung der Steuerelektronik.
* Filter müssen immer mit ihrer Quelle und Last betrachtet werden.
* Bei größeren Versorgungsströmen können **LC-Filter** geeigneter sein als große Längswiderstände; dafür ist auf Resonanzen zu achten.
* **Ferritperlen** lassen sich nur unter Berücksichtigung ihrer Impedanzkurve und Gleichstrombelastung sinnvoll auswählen.
===== 4.10 Ausblick =====
In [[block05|Block 05]] werden reale Operationsverstärker behandelt. Sie können Signale verstärken, als Puffer dienen und zusammen mit passiven Bauteilen aktive Filter bilden. An unserer Motorsteuerung stellt sich damit die nächste Frage: **Wie kann ein kleines Shunt-Signal verstärkt werden, ohne die vorangehende Filterschaltung unzulässig zu verändern?**