====== Block 07 — Aktive Filter und eine brauchbare Messkette ====== ===== 7.0 Einstieg und Arbeitsplan ===== Der RC-Tiefpass aus Block04 schwächt eine Störung ab. Eine strengere Forderung kann er aber verfehlen: Das Nutzsignal soll bis $100~\mathrm{Hz}$ nahezu unverändert bleiben, während eine Störung bei $940~\mathrm{Hz}$ stark unterdrückt werden soll. Die Grenzfrequenz immer weiter abzusenken ist keine gute Lösung. **Wie gewinnen wir mehr Trennung zwischen Nutzsignal und Störung, und welche Eigenschaften geben wir dafür auf?** ==== 7.0.1 Lernziele ==== Nach diesem Block können Sie * belastete RC-Kaskaden von gepufferten und aktiven Filtern unterscheiden, * Polfrequenz, Güte und Grenzfrequenz eines Tiefpasses zweiter Ordnung auseinanderhalten, * Bessel, Butterworth und Chebyshev Typ I anhand einer Anforderung vergleichen, * einen gegebenen Sallen-Key-Tiefpass dimensionieren und seine Verstärkung berücksichtigen, * Integrator und Differentiator aus komplexen Impedanzen erklären, * Messbereich und wesentliche Fehler einer ADC-Messkette abschätzen. ==== 7.0.2 Vorbereitung und Verständnischeck ==== Wiederholen Sie [[block02|Bode-Diagramm]], [[block04|Filter und Aliasing]] sowie [[block05|OPV-Grundschaltungen]]. Setzen Sie im invertierenden Verstärker allgemein $R_\mathrm{in}\rightarrow Z_\mathrm{in}$ und $R_\mathrm{f}\rightarrow Z_\mathrm{f}$. **Vorab:** Warum ergibt das Hintereinanderschalten zweier gleicher RC-Glieder nicht automatisch das Quadrat des unbelasteten Einzel-Frequenzgangs? Wann darf man die Übertragungsfunktionen dennoch multiplizieren? ==== 7.0.3 90-Minuten-Plan ==== - **10 min:** Vom belasteten RC-Glied zum Puffer. - **20 min:** Tiefpass zweiter Ordnung und Sallen-Key. - **15 min:** Bessel, Butterworth und Chebyshev im Vergleich. - **15 min:** Integrator und Differentiator im Frequenzbereich. - **25 min:** Präsenzaufgabe 07.1 mit Simulation. - **5 min:** Messkette und Labortransfer. Die markierte Präsenzaufgabe gehört zu diesen 90 Minuten. Weitere Übungen dienen der Nachbereitung. Mit **Vertiefung** bezeichnete Abschnitte sind Lesestoff für das Projekt oder für später; sie erweitern den Pflichtumfang des Termins nicht. ===== 7.1 Warum aktive Filter? ===== Zwei passive RC-Stufen beeinflussen sich gegenseitig. Ein Spannungsfolger zwischen ihnen kann diese Belastung stark verringern. Im ideal gepufferten Fall multiplizieren sich ihre Übertragungsfunktionen. Bei zwei gleichen Stufen folgt $H(s)=1/(1+sRC)^2$ mit $s=\mathrm{j}\omega$. Bei der Polfrequenz $f_0=1/(2\pi RC)$ besitzt jede Stufe $-3{,}01~\mathrm{dB}$, die Kaskade also etwa $-6{,}02~\mathrm{dB}$. Eine gepufferte Kaskade ist deshalb noch kein Butterworth-Tiefpass zweiter Ordnung. Ein **aktives Filter** verbindet frequenzabhängige Netzwerke mit einem Verstärker und erlaubt zusätzliche Gestaltungsmöglichkeiten, etwa Verstärkung und Güte. ===== 7.2 Zweite Ordnung: Frequenz und Güte ===== Ein Tiefpass zweiter Ordnung lässt sich in der Form $H(s)=\frac{K}{1+s/(Q\omega_0)+(s/\omega_0)^2}$ beschreiben. $K=H(0)$ ist die Gleichspannungsverstärkung, $\omega_0=2\pi f_0$ die **Polkreisfrequenz** und $Q$ die **Güte**. Die Güte bestimmt, wie stark der Übergangsbereich angehoben oder gedämpft ist. Sie ist hier eine Eigenschaft des gesamten Filters, nicht automatisch die Güte einer einzelnen Spule. Mit $x=f/f_0$ gilt $\frac{|H(f)|}{K}=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)^2+(x/Q)^2}}$. Bei $f=f_0$ ist $|H|/K=Q$. Deshalb liegt dort nur für $Q=1/\sqrt2$ der Wert $-3{,}01~\mathrm{dB}$. Für $Q=0{,}5$ liegt er bei etwa $-6{,}02~\mathrm{dB}$. Bei größerer Güte kann eine Überhöhung entstehen. Weit oberhalb der Pole fällt der ideale Betragsgang um $40~\mathrm{dB}$ pro Dekade. Reale OPV und parasitäre Kopplungen begrenzen diese Aussage. ===== 7.3 Einen Sallen-Key-Tiefpass aufbauen ===== In unserer Schaltung führt $R_1$ von Eingang nach Knoten A, $R_2$ von A nach B. B liegt am nichtinvertierenden OPV-Eingang. $C_2$ liegt von B nach GND, $C_1$ **von A zum OPV-Ausgang**. Der OPV ist nichtinvertierend mit $K=1+R_\mathrm{f}/R_\mathrm{g}$ beschaltet. Die Verbindung von $C_1$ zum Ausgang ist wesentlich; ein Kondensator von A nach GND wäre eine andere Schaltung. Für $R_1=R_2=R$ und $C_1=C_2=C$ gilt im idealen Modell $f_0=1/(2\pi RC)$ und $Q=1/(3-K)$. Damit lassen sich Frequenz und Güte vergleichsweise einfach einstellen. Für Butterworth benötigen wir $Q=1/\sqrt2$ und somit $K=3-\sqrt2\approx1{,}586$. Mit $C=100~\mathrm{nF}$ und $f_0=300~\mathrm{Hz}$ ergibt sich $R\approx5{,}305~\mathrm{k\Omega}$. Als erster Aufbau dienen $R=5{,}3~\mathrm{k\Omega}$, $R_\mathrm{g}=10~\mathrm{k\Omega}$ und $R_\mathrm{f}=5{,}86~\mathrm{k\Omega}$. Der Filter verstärkt niedrige Frequenzen um etwa $1{,}586$. Wird davor bereits um 50 verstärkt, beträgt die Gesamtverstärkung etwa 79,3. Ein ADC kann dadurch übersteuern. Filter- und Messverstärkung müssen gemeinsam ausgelegt werden. Die Vergleichssimulationen arbeiten bewusst mit bipolarer Modellversorgung und kleinen Signalen; eine reale unipolare Messkette benötigt passende Bezugspotentiale und Ausgangsreserven. **Bauteiltoleranzen:** Besonders bei hoher Güte kann eine kleine Änderung von $K$, R oder C die Form des Frequenzgangs merklich ändern. Für diese Gleichbauteil-Topologie muss $K<3$ bleiben; die Nähe zu 3 ist kein sinnvoller Weg zu einem robusten Messfilter. Endliche OPV-Bandbreite verändert ebenfalls Güte und Frequenzgang. ===== 7.4 Drei Charakteristiken vergleichen ===== Eine **Filtercharakteristik** legt fest, wie Amplitude und Phase zugunsten einer bestimmten Eigenschaft verteilt werden. Sie ist von der konkreten Schaltungstopologie zu unterscheiden: Sallen-Key und Multiple Feedback sind Realisierungsmöglichkeiten, Butterworth und Bessel sind Charakteristiken. ^ Charakteristik ^ Schwerpunkt ^ Konsequenz für unsere Entscheidung ^ | Butterworth | Maximal flacher Betragsgang bei kleinen Frequenzen | Gut für möglichst gleichmäßige Amplitudenübertragung; kein universell bestes Filter | | Bessel | Möglichst konstante Gruppenlaufzeit nahe $f=0$ | Frequenzanteile im unteren Bereich werden annähernd gleich verzögert; der Betragsübergang ist sanfter | | Chebyshev Typ I | Zugelassene Welligkeit im Durchlassbereich | Steilerer Übergang möglich, dafür amplitudenabhängiger Übertragungsfehler über der Frequenz | Die **Gruppenlaufzeit** ist $\tau_\mathrm{g}=-\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d}\omega$, wobei die Phase im Bogenmaß eingesetzt wird. Anschaulich beschreibt sie die Verzögerung einer schmalbandigen Signalhülle. Eine lineare Phase entspricht einer konstanten Verzögerung. Bei einer Überlagerung verschiedener Sinusanteile verändert eine ungleiche Verzögerung deren relative Phasen und damit die Signalform. Auch frequenzabhängige Amplitudendämpfung verändert die Form; beides muss beim Vergleich auseinandergehalten werden. ==== 7.4.1 Vergleich unter definierten Bedingungen ==== Die folgenden drei Schaltungen sind jeweils zweiter Ordnung. Ihre Frequenzskalierung ist so gewählt, dass sie bei $300~\mathrm{Hz}$ auf $1/\sqrt2$ ihres **jeweiligen DC-Werts** abgesunken sind. Die OPV-Verstärkungen sind verschieden; vergleichen Sie deshalb zunächst $|H|/K$ beziehungsweise ziehen Sie $20\log_{10}K$ ab. ^ Variante ^ $Q$ ^ $f_0$ bei gleichem DC-bezogenem $f_{-3\mathrm{dB}}=300~\mathrm{Hz}$ ^ $K=3-1/Q$ ^ | Bessel | $0{,}57735$ | $381{,}61~\mathrm{Hz}$ | $1{,}26795$ | | Butterworth | $0{,}70711$ | $300~\mathrm{Hz}$ | $1{,}58579$ | | Chebyshev Typ I, $1~\mathrm{dB}$ Welligkeit | $0{,}95652$ | $240{,}85~\mathrm{Hz}$ | $1{,}95454$ | Bei Chebyshev wird der Durchlassbereich üblicherweise auf sein Maximum bezogen. Unsere DC-Normierung verschiebt den Pegelbezug: Die Überhöhung liegt dann bei $+1~\mathrm{dB}$. Die hier verwendete DC-bezogene $-3~\mathrm{dB}$-Frequenz ist **nicht** seine übliche Durchlassbandkante. {{:elektronische_schaltungstechnik:est2026:07_filter_B.svg?800|Schaltung zu Block 7}} {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=%24%201%201e-06%2010.2%2060%205%2050%0Aa%20320%20224%20416%20224%208%2015%20-15%201000000%200%200%20100000%0AR%2064%20240%2032%20240%200%201%20100%200.1%200%200%200.5%0Ar%2064%20240%20144%20240%200%205305.164769729845%0Ar%20144%20240%20240%20240%200%205305.164769729845%0Aw%20240%20240%20320%20240%200%0Ac%20240%20240%20240%20320%200%201e-7%200%0Ag%20240%20320%20240%20336%200%0Ac%20144%20240%20144%20352%200%201e-7%200%0Aw%20144%20352%20416%20352%200%0Aw%20416%20352%20416%20224%200%0Ar%20320%20128%20416%20128%200%205857.864376269049%0Aw%20320%20128%20320%20208%200%0Aw%20416%20128%20416%20224%200%0Ar%20320%20128%20224%20128%200%2010000%0Ag%20224%20128%20208%20128%200%0AO%20416%20224%20496%20224%200%0Ax%2080%2048%20240%2064%200%2016%20Butterworth%0Ao%201%2064%200%204098%205%200.1%200%201%20Eingang%0Ao%2015%2064%200%204098%205%200.1%201%201%20Ausgang%0A 950,450 noborder}} Die eingebettete Butterworth-Schaltung lässt sich verändern. Die zugehörigen Varianten öffnen Sie über [[https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=%24%201%201e-06%2010.2%2060%205%2050%0Aa%20320%20224%20416%20224%208%2015%20-15%201000000%200%200%20100000%0AR%2064%20240%2032%20240%200%201%20100%200.1%200%200%200.5%0Ar%2064%20240%20144%20240%200%204170.662592953257%0Ar%20144%20240%20240%20240%200%204170.662592953257%0Aw%20240%20240%20320%20240%200%0Ac%20240%20240%20240%20320%200%201e-7%200%0Ag%20240%20320%20240%20336%200%0Ac%20144%20240%20144%20352%200%201e-7%200%0Aw%20144%20352%20416%20352%200%0Aw%20416%20352%20416%20224%200%0Ar%20320%20128%20416%20128%200%202679.4919243112304%0Aw%20320%20128%20320%20208%200%0Aw%20416%20128%20416%20224%200%0Ar%20320%20128%20224%20128%200%2010000%0Ag%20224%20128%20208%20128%200%0AO%20416%20224%20496%20224%200%0Ax%2080%2048%20240%2064%200%2016%20Bessel%0Ao%201%2064%200%204098%205%200.1%200%201%20Eingang%0Ao%2015%2064%200%204098%205%200.1%201%201%20Ausgang%0A|Bessel]] und [[https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=%24%201%201e-06%2010.2%2060%205%2050%0Aa%20320%20224%20416%20224%208%2015%20-15%201000000%200%200%20100000%0AR%2064%20240%2032%20240%200%201%20100%200.1%200%200%200.5%0Ar%2064%20240%20144%20240%200%206608.160063696159%0Ar%20144%20240%20240%20240%200%206608.160063696159%0Aw%20240%20240%20320%20240%200%0Ac%20240%20240%20240%20320%200%201e-7%200%0Ag%20240%20320%20240%20336%200%0Ac%20144%20240%20144%20352%200%201e-7%200%0Aw%20144%20352%20416%20352%200%0Aw%20416%20352%20416%20224%200%0Ar%20320%20128%20416%20128%200%209545.436315284054%0Aw%20320%20128%20320%20208%200%0Aw%20416%20128%20416%20224%200%0Ar%20320%20128%20224%20128%200%2010000%0Ag%20224%20128%20208%20128%200%0AO%20416%20224%20496%20224%200%0Ax%2080%2048%20240%2064%200%2016%20Chebyshev%20Typ%20I%2C%201%20dB%0Ao%201%2064%200%204098%205%200.1%200%201%20Eingang%0Ao%2015%2064%200%204098%205%200.1%201%201%20Ausgang%0A|Chebyshev]]. Für den Frequenzgang steht außerdem [[https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?running=false&cct=%24%201%201e-06%2010.2%2060%205%2050%0Aa%20320%20224%20416%20224%208%2015%20-15%201000000%200%200%20100000%0AR%2064%20240%2032%20240%200%201%20100%200.1%200%200%200.5%0Ar%2064%20240%20144%20240%200%205305.164769729845%0Ar%20144%20240%20240%20240%200%205305.164769729845%0Aw%20240%20240%20320%20240%200%0Ac%20240%20240%20240%20320%200%201e-7%200%0Ag%20240%20320%20240%20336%200%0Ac%20144%20240%20144%20352%200%201e-7%200%0Aw%20144%20352%20416%20352%200%0Aw%20416%20352%20416%20224%200%0Ar%20320%20128%20416%20128%200%205857.864376269049%0Aw%20320%20128%20320%20208%200%0Aw%20416%20128%20416%20224%200%0Ar%20320%20128%20224%20128%200%2010000%0Ag%20224%20128%20208%20128%200%0AO%20416%20224%20496%20224%200%0Ax%2080%2048%20240%2064%200%2016%20Butterworth%0Ao%201%2064%200%204098%205%200.1%200%201%20Eingang%0Ao%2015%2064%200%204098%205%200.1%201%201%20Ausgang%0A|derselbe Butterworth-Filter in AFilter]] bereit. Im Paket liegen alle drei CircuitJS-Dateien und die berechneten Vergleichskurven. Die Kurven verwenden ideale OPV; sie ersetzen keinen Bandbreitennachweis am realen Bauteil. **Beobachtungsauftrag:** Prüfen Sie bei $30~\mathrm{Hz}$, $100~\mathrm{Hz}$, $300~\mathrm{Hz}$ und $940~\mathrm{Hz}$ die auf DC normierten Amplituden. Welches Filter würden Sie für eine enge Trennung zwischen Nutzsignal und Störung wählen? Welche zusätzliche Information benötigen Sie, wenn die Signalform wichtig ist? {{:elektronische_schaltungstechnik:est2026:filtervergleich.svg?900|Betrag, Phase und Gruppenlaufzeit im definierten Filtervergleich}} ===== 7.5 Integrator und Differentiator als OPV-Schaltungen ===== ==== 7.5.1 Vom invertierenden Verstärker zum Integrator ==== Im idealen invertierenden Verstärker gilt allgemein $H=-Z_\mathrm{f}/Z_\mathrm{in}$. Wird der Rückkopplungswiderstand durch C ersetzt, folgt $H(s)=-1/(sRC)$. Der Betrag fällt um $20~\mathrm{dB}$ pro Dekade. Dies ist der **invertierende Integrator**. Für positive Frequenzen besitzt seine Übertragung im idealen Bereich eine Phase von $+90^\circ$ beziehungsweise $-270^\circ$. Bei DC fehlt dem idealen Kondensator ein stationärer Rückkopplungsstrompfad. Schon kleine Offset- und Biasfehler können den Ausgang an einen Anschlag treiben. Ein paralleler Widerstand $R_\mathrm{f}$ begrenzt die DC-Verstärkung: $H(s)=-\frac{R_\mathrm{f}/R}{1+sR_\mathrm{f}C}$. Unterhalb $1/(2\pi R_\mathrm{f}C)$ verhält sich die Schaltung wie ein invertierender Verstärker; deutlich darüber näherungsweise wie ein Integrator, solange die OPV-Eigenschaften mitspielen. Diese Schaltung ist gleichzeitig ein aktiver Tiefpass erster Ordnung. Bei unipolarer Versorgung wird die geeignete Bezugsspannung anstelle der virtuellen Masse verwendet. ==== 7.5.2 Warum ein idealer Differentiator problematisch ist ==== Mit einem Eingangskondensator C und Rückkopplungswiderstand $R_\mathrm{f}$ gilt ideal $H(s)=-sR_\mathrm{f}C$. Die Verstärkung steigt mit der Frequenz. Damit werden auch hochfrequente Störungen stark verstärkt. Ein Serienwiderstand $R_\mathrm{s}$ zum Eingangskondensator und ein kleiner Kondensator $C_\mathrm{f}$ parallel zu $R_\mathrm{f}$ begrenzen die Übertragung: $H(s)=-\frac{sR_\mathrm{f}C}{(1+sR_\mathrm{s}C)(1+sR_\mathrm{f}C_\mathrm{f})}$. In einem geeigneten Frequenzbereich entsteht die gewünschte Differentiation; außerhalb wird die Verstärkung begrenzt. Die detaillierte Stabilitätsauslegung gehört zur Vertiefung. Im Paket liegt eine SPICE-Schaltung für beide praktischen Netzwerke mit Frequenzanalyse. ===== 7.6 Eine Messkette als Ganzes prüfen ===== **Vertiefung / Projektarbeit:** Ein bidirektionaler Strom von $-3\ldots+3~\mathrm{A}$ soll um einen Ausgangsmittelwert von $1{,}65~\mathrm{V}$ dargestellt werden. Bei $R_\mathrm{s}=20~\mathrm{m\Omega}$ und $G=20$ ist das Signal $U_\mathrm{ADC}=1{,}65~\mathrm{V}+0{,}4~\mathrm{V/A}\cdot I$; der Bereich reicht von $0{,}45~\mathrm{V}$ bis $2{,}85~\mathrm{V}$. Diese affine Übertragung kann beispielsweise ein geeigneter Strommessverstärker mit Referenzeingang liefern. Sie folgt nicht automatisch aus dem einfachen Verstärker aus Block05. Prüfen Sie die Shunt-Gleichtaktspannung, mögliche negative Eingangsdifferenz, Referenzbelastung, Offset und Ausgangsreserven. Der [[https://www.ti.com/lit/ds/symlink/ina240.pdf|INA240]] bietet einen realen Anknüpfungspunkt; seine Referenzpins sind nach der konkreten Datenblattbeschaltung zu verbinden. Ein Filter mit zusätzlicher DC-Verstärkung darf den Mittelwert nicht unbeabsichtigt mitverstärken. Möglich sind ein Filter mit DC-Verstärkung 1, geeignete Skalierung oder ein auf die Referenz bezogenes Netzwerk. Vergleichen Sie dabei Rauschabstand, Headroom und Fehler. Ein **Fehlerbudget** sammelt die Beiträge, beispielsweise Shunt-Toleranz, Verstärkungsfehler, Offset, Referenzfehler und ADC-Fehler. Unabhängige Zufallsbeiträge dürfen nur mit begründetem statistischem Modell quadratisch kombiniert werden; garantierte Grenzfälle werden zunächst konservativ betrachtet. Der ADC-Pfad darf stärker filtern als der schnelle Schutzpfad. Beide dürfen dasselbe Messsignal verwenden, sofern Belastung und Fehlerfolgen geprüft sind. Die Trennung ihrer Anforderungen ist wichtiger als eine möglichst geringe Bauteilanzahl. ===== 7.7 Übungen ===== #@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#07.~~#@ee1_taskctr#~~ Ein Filter für Nutzsignal und Störung #@TaskText_HTML@# **Präsenzaufgabe, etwa 25 min.** Ein idealer Butterworth-Tiefpass zweiter Ordnung soll bei $100~\mathrm{Hz}$ höchstens $1~\mathrm{dB}$ dämpfen und bei $940~\mathrm{Hz}$ mindestens $18~\mathrm{dB}$, jeweils relativ zur DC-Verstärkung. Wählen Sie zunächst $f_0=300~\mathrm{Hz}$. 1. Prüfen Sie beide Anforderungen mit $|H|/K=1/\sqrt{1+(f/f_0)^4}$. #@HiddenBegin_HTML~EST07_1_1Sol,Solution~@# Bei $100~\mathrm{Hz}$ ist $|H|/K\approx0{,}9939$, entsprechend $-0{,}053~\mathrm{dB}$. Bei $940~\mathrm{Hz}$ ist $|H|/K\approx0{,}1013$, entsprechend $-19{,}88~\mathrm{dB}$. Beide Anforderungen sind im idealen Modell erfüllt. #@HiddenEnd_HTML~EST07_1_1Sol,Solution ~@# 2. Dimensionieren Sie R und K für die Gleichbauteil-Sallen-Key-Schaltung mit $C=100~\mathrm{nF}$. #@HiddenBegin_HTML~EST07_1_2Sol,Solution~@# $R=1/(2\pi\cdot300~\mathrm{Hz}\cdot100~\mathrm{nF})=5{,}305~\mathrm{k\Omega}$. $Q=1/\sqrt2$, $K=3-\sqrt2=1{,}5858$. Beispielsweise $R_\mathrm{g}=10~\mathrm{k\Omega}$ und $R_\mathrm{f}=5{,}858~\mathrm{k\Omega}$. #@HiddenEnd_HTML~EST07_1_2Sol,Solution ~@# 3. Vor dem Filter liegt ein Verstärker mit $G=50$. Welchen Ausgang würde die Kette für $60~\mathrm{mV}$ DC verlangen? Was folgt daraus? #@HiddenBegin_HTML~EST07_1_3Sol,Solution~@# $U_\mathrm{out}=60~\mathrm{mV}\cdot50\cdot1{,}5858\approx4{,}76~\mathrm{V}$. Ein $3{,}3~\mathrm{V}$-ADC wird übersteuert. Die Vorverstärkung muss angepasst oder ein anderes Filter mit passender DC-Verstärkung gewählt werden. Anschließend reale Toleranzen und OPV-Grenzen prüfen. #@HiddenEnd_HTML~EST07_1_3Sol,Solution ~@# #@TaskEnd_HTML@# #@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#07.~~#@ee1_taskctr#~~ Güte ist nicht Grenzfrequenz #@TaskText_HTML@# **Selbststudium / Klausurtraining.** Ein Tiefpass besitzt $f_0=1~\mathrm{kHz}$ und DC-Verstärkung $K=1$. 1. Welchen Betrag hat er bei $f_0$ für $Q=0{,}5$, $Q=0{,}7071$ und $Q=1$? #@HiddenBegin_HTML~EST07_2_1Sol,Solution~@# Dort gilt $|H|=KQ$. Die Werte sind $0{,}5$, etwa $0{,}7071$ und 1, entsprechend $-6{,}02~\mathrm{dB}$, $-3{,}01~\mathrm{dB}$ und $0~\mathrm{dB}$. #@HiddenEnd_HTML~EST07_2_1Sol,Solution ~@# 2. Warum ist die Frequenz gleicher R- und C-Werte kein fairer alleiniger Vergleich verschiedener Charakteristiken? #@HiddenBegin_HTML~EST07_2_2Sol,Solution~@# Die unterschiedlichen Güten führen zu verschiedenen Grenzfrequenzen und Durchlassbereichen. Ordnung, Frequenzskalierung und Pegelbezug müssen angegeben werden. #@HiddenEnd_HTML~EST07_2_2Sol,Solution ~@# 3. Welche Charakteristik würden Sie für eine möglichst konstante Verzögerung im unteren Band zuerst prüfen? #@HiddenBegin_HTML~EST07_2_3Sol,Solution~@# Bessel. Zusätzlich muss die verbleibende Amplitudenverzerrung im betrachteten Nutzband akzeptabel sein; die Eigenschaft gilt nicht über beliebig hohe Frequenzen. #@HiddenEnd_HTML~EST07_2_3Sol,Solution ~@# #@TaskEnd_HTML@# #@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#07.~~#@ee1_taskctr#~~ Ein praktischer Integrator #@TaskText_HTML@# **Selbststudium / Klausurtraining.** Ein invertierender OPV besitzt $R=10~\mathrm{k\Omega}$ am Eingang und $R_\mathrm{f}=1~\mathrm{M\Omega}$ parallel zu $C=100~\mathrm{nF}$ in der Rückkopplung. 1. Berechnen Sie DC-Verstärkung und Polfrequenz. #@HiddenBegin_HTML~EST07_3_1Sol,Solution~@# $H(0)=-100$. $f_\mathrm{p}=1/(2\pi R_\mathrm{f}C)\approx1{,}59~\mathrm{Hz}$. #@HiddenEnd_HTML~EST07_3_1Sol,Solution ~@# 2. Bestimmen Sie den näherungsweisen Betrag bei $100~\mathrm{Hz}$ im Integratorbereich. #@HiddenBegin_HTML~EST07_3_2Sol,Solution~@# $|H|\approx1/(2\pi fRC)=1/(2\pi\cdot100\cdot0{,}001)\approx1{,}59$. Die exakte Formel liefert nahezu denselben Wert. #@HiddenEnd_HTML~EST07_3_2Sol,Solution ~@# 3. Warum ist das Verhalten bei DC besser definiert als ohne $R_\mathrm{f}$? #@HiddenBegin_HTML~EST07_3_3Sol,Solution~@# $R_\mathrm{f}$ schafft einen stationären Rückkopplungspfad und begrenzt die DC-Verstärkung. Der verbleibende Offset wird weiterhin verstärkt; ein geeigneter Arbeitspunkt bleibt erforderlich. #@HiddenEnd_HTML~EST07_3_3Sol,Solution ~@# #@TaskEnd_HTML@# #@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#07.~~#@ee1_taskctr#~~ Eine bidirektionale Messkette prüfen #@TaskText_HTML@# **Selbststudium / Klausurtraining.** Es gilt $U_\mathrm{ADC}=1{,}65~\mathrm{V}+20\cdot20~\mathrm{m\Omega}\cdot I$. Der 12-Bit-ADC verwendet $3{,}3~\mathrm{V}$. 1. Bestimmen Sie die Ausgangsspannungen bei $-3~\mathrm{A}$, $0~\mathrm{A}$ und $+3~\mathrm{A}$. #@HiddenBegin_HTML~EST07_4_1Sol,Solution~@# $0{,}45~\mathrm{V}$, $1{,}65~\mathrm{V}$ und $2{,}85~\mathrm{V}$. #@HiddenEnd_HTML~EST07_4_1Sol,Solution ~@# 2. Bestimmen Sie die ideale Stromschrittweite. #@HiddenBegin_HTML~EST07_4_2Sol,Solution~@# $\Delta I=(3{,}3/4096)~\mathrm{V}/(0{,}4~\mathrm{V/A})\approx2{,}014~\mathrm{mA}$. #@HiddenEnd_HTML~EST07_4_2Sol,Solution ~@# 3. Für den Shunt gelten $1\,\%$, für die Verstärkung $0{,}2\,\%$ und für den eingangsbezogenen Offset $25~\mathrm{\mu V}$ als angenommene Grenzen. Schätzen Sie den Stromfehler bei $3~\mathrm{A}$ konservativ; weitere Fehler bleiben hier unberücksichtigt. #@HiddenBegin_HTML~EST07_4_3Sol,Solution~@# Erste-Ordnung-Abschätzung: $30~\mathrm{mA}+6~\mathrm{mA}+25~\mathrm{\mu V}/20~\mathrm{m\Omega}=37{,}25~\mathrm{mA}$. Die kleine Produktkorrektur zwischen relativen Toleranzen ist hier vernachlässigt. Referenz, ADC und Temperatur sind noch nicht enthalten. #@HiddenEnd_HTML~EST07_4_3Sol,Solution ~@# #@TaskEnd_HTML@# ===== 7.8 Was bleibt? ===== * Ein Filter zweiter Ordnung benötigt neben einer Frequenzangabe auch eine Güte. * Filtercharakteristik, Topologie und Pegelbezug sind verschiedene Dinge. * Filterverstärkung und Bezugsspannung müssen zur gesamten Messkette passen. In [[block08|Block 08]] wechseln wir zur diskreten Halbleiterschaltung. Die Prüfung von Arbeitspunkt, Belastung und realen Grenzen bleibt dieselbe. ===== 7.9 Quellen und Anschlussstellen ===== * Herleitungsweg: [[:circuit_design:4_opamp_basic_circuits_ii|Circuit Design 4]], [[:circuit_design:5_filter_circuits_i|Circuit Design 5]] und [[:circuit_design:6_filter_circuits_ii|Circuit Design 6]]. * [[https://www.ti.com/lit/an/sloa049d/sloa049d.pdf|TI SLOA049D: Active Low-Pass Filter Design]] als weiterführende Entwurfshilfe; die Zahlen des Vergleichs wurden eigenständig aus den normierten Filtern berechnet. * [[https://www.ti.com/lit/ds/symlink/ina240.pdf|TI INA240]], genaue Variante und Referenzbeschaltung prüfen.