{{fa>pencil?32}} {{elektrotechnik_1:schaltung_klws2020_3_2_1.jpg?400}} Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit \\ * $U = 10 V$ * $I = 4 mA$ * $R_1 = 100 \Omega, R_2 = 80 \Omega, R_3 = 50 \Omega, R_4 = 10 \Omega$ * $C = 40 nF$ Zu Beginn ist der Kondensator entladen, alle Schalter sind geöffnet. Der Schalter S1 wird zum Zeitpunkt t = 0 s geschlossen. 1. Bestimmen Sie die Zeitkonstante $\tau$ für diesen Ladevorgang. {{icon>eye}} Tipps * Welche Ersatzschaltung ergibt sich durch die Schalterstellung? * Durch welche Größen lässt sich $\tau$ bestimmen? * Wodurch fließt der Ladestrom? {{icon>eye}} Lösungsweg Es ergibt sich eine Reihenschaltung von $R_1$, $R_2$ und $C$, welche durch $U$ gespeist wird. Damit wird die Zeitkonstante $\tau$ zu: \begin{align*} \tau &= (R_1 + R_2) \cdot C \\ \tau &= 180 \Omega \cdot 40 nF \end{align*} {{icon>eye}} Endergebnis \begin{align*} \tau = 7,2 µs \end{align*} \\ 2. Welche Spannung stellt sich am Kondensator $C$ zum Zeitpunkt $t=10 µs$ ein? {{icon>eye}} Lösungsweg Es gilt: \begin{align*} U_C(t) = U \cdot (1 - e^{-t/\tau}) \\ U_C(t) = 10 V \cdot (1 - e^{-10 µs/7,2 µs}) \end{align*} {{icon>eye}} Endergebnis \begin{align*} U_C(t) = 7,506 V -> 7,5 V \end{align*} \\ 3. Wie hoch ist die Energie im Kondensator, wenn dieser vollständig geladen ist? {{icon>eye}} Lösungsweg \begin{align*} W_C &= \frac{1}{2}CU^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 40nF \cdot (10V)^2 \end{align*} {{icon>eye}} Endergebnis \begin{align*} W_C = 2 µJ \end{align*} \\ 4. Bestimmen Sie die neue Zeitkonstante, die wirksam ist, wenn nach dem vollständigen Laden der Schalter S1 geöffnet und gleichzeitig S2 geschlossen wird. {{icon>eye}} Lösungsweg Hierbei entlädt sich der Kondensator $C$ über die in Reihe geschalteten Widerstände $R_2$ und $R_3$. \begin{align*} \tau &= (R_2 + R_3) \cdot C \\ \tau &= 130 \Omega \cdot 40 nF \end{align*} {{icon>eye}} Endergebnis \begin{align*} \tau = 5,2 µs \end{align*} \\ 5. Nachdem der Kondensator vollständig entladen wurde, werden alle Schalter wieder geöffnet. Der Schalter S4 wird für $t = 1μs$ geschlossen. \\ Welche Spannung stellt sich an C ein? {{icon>eye}} Tipps * Durch die Stromquelle ergibt sich ein kontinuierlicher Fluss an Ladungen in den Kondensator. * Die Widerstände auf dem Weg sind für den Strom in den Kondensator irrelevant. Sie erhöhen bei einer idealen Stromquelle nur die notwendige Spannung, um den Strom zu treiben. {{icon>eye}} Lösungsweg Die Spannung $U_C$ ergibt sich allgemein über: $U_C = \frac{Q}{C}$. In diesem Fall erzeugt der konstante Strom I die Ladung $Q = \int I dt = I \cdot t$ \begin{align*} U_C(t) &= \frac{Q}{C} \\ U_C(t) &= \frac{I \cdot t}{C} \\ U_C(1μs) &= \frac{4mA \cdot 1μs}{40nF} = \frac{4 \cdot 10^{-3}A \cdot 1\cdot 10^{-6}s}{40\cdot 10^{-9}F} \\ \end{align*} {{icon>eye}} Endergebnis \begin{align*} U_C(1μs) &= 1V \\ \end{align*} \\