====== 2 Einfache Gleichstromkreise ======

<WRAP right>
<imgcaption BildNr91 | Beispiel für einen Stromkreis>
</imgcaption>
{{drawio>BeispieleStromkreis}}
</WRAP>

Bisher wurden nur einfache Stromkreise aus einer Quelle und einem mit Leitungen verbundenen Verbraucher betrachtet. \\ Im Folgenden werden kompliziertere Schaltungsanordnungen analysieren. Diese beinhalten zunächst nur eine Quelle, aber mehrere Leitungen und viele ohmsche Verbraucher (vgl. <imgref BildNr91>).

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===== 2.1 ideale Bauelemente =====

<callout>

=== Ziele ===

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  - die Darstellung von idealen Strom- und Spannungsquellen im U-I-Diagramm kennen.
  - wissen, welchen Innenwiderstand ideale Strom- und Spannungsquellen haben.
  - das Symbol von idealen Strom- und Spannungsquellen kennen.
  - die Eigenschaften des idealen Widerstands und der idealen Verbindung kennen.

</callout>

Jeder elektrische Stromkreis besteht aus drei Elementen:

  - **Verbraucher**: Verbraucher wandeln die elektrische Energie in eine nicht rein-elektrische Energie um. \\ z.B. 
    - in elektrostatische Energie (Kondensator)
    - in magnetostatische Energie (Magnet)
    - in elektromagnetische Energie (LED, Glühbirne)
    - in mechanische Energie (Lautsprecher, Motor)
    - in chemische Energie (Laden eines Akkumulators)
  - **Erzeuger (Quellen)**: Erzeuger wandeln die Energie aus einer anderen Energieform in elektrisch Energie. (z.B. Generator, Batterie, Photovolatik)
  - **Verbindungen** (bzw. Stromnetz): die Verbindungsleitungen verknüpfen Verbraucher mit Quellen.

Diese Elemente sollen im Folgenden näher betrachtet werden.

==== Verbraucher ====

<WRAP right>
<imgcaption BildNr4 | Beispiele für Strom-Spannungs-Kennlinie>
</imgcaption>
{{drawio>BeispieleStromSpannungsKennlinie}}
</WRAP>

  * Der umgangssprachlicher Begriff Verbraucher steht in der Elektrotechnik für einen elektrischen Verbraucher - also einem Bauteil, welches die elektrische Energie in eine andere Energieform wandelt. 
  * Ein Widerstand wird häufig auch als Verbraucher bezeichnet. Neben den reinem ohmschen Verbraucher existieren aber auch ohmsch-induktive Verbraucher (z.B. Spulen im Motor) oder ohmsch-kapazitive Verbraucher (z.B. verschiedene Netzteile durch Kondensatoren am Ausgang). Entsprechend ist die Gleichsetzung von Widerstand und Verbraucher falsch.
  * **Strom-Spannungs-Kennlinien** (vgl. <imgref BildNr4>) 
    * Strom-Spannungs-Kennlinien eines Verbrauchers verlaufen immer durch den Ursprung, da ohne Strom keine Spannung anliegt und umgekehrt.
    * Ohm'sche Verbraucher besitzen eine lineare Strom-Spannungs-Kennlinie, welche durch einen einzigen Zahlenwert beschrieben werden kann. \\ Die Steigung in der $U$-$I$-Kennlinie ist die Leitfähigkeit: $I = G \cdot U = {{U}\over{R}}$

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==== Quellen ====

<WRAP right>

Ideale Quellen
{{youtube>IZDh_EUuhRs}}

\\
<WRAP group><WRAP column 45%>
<imgcaption BildNr6 | ideale Spannungsquelle>
</imgcaption>
{{drawio>IdealeSpannungsquelle}}
</WRAP>
<WRAP column 45%>

<imgcaption BildNr7 | ideale Stromquelle>
</imgcaption>
{{drawio>IdealeStromquelle}}

</WRAP></WRAP></WRAP>

  * Quellen wirken als Erzeuger elektrischer Energie
  * Es werden ideale und reale Quellen unterschieden. \\ Die realen Quellen werden im nachfolgenden Kapitel ([[Lineare Quellen und Zweipole]]) beschrieben.

Die **ideale Spannungsquelle** erzeugt eine definierte Ausgangsspannung $U_q$. 
Um diese Spannung zu halten kann sie einen beliebigem Strom abgeben. 
Die Strom-Spannungs-Kennlinie stellt dies auch dar (siehe <imgref BildNr6>). \\
Das Schaltzeichen zeigt einen Kreis mit zwei Anschlüssen. Im Kreis sind die beiden Anschlüsse kurzgeschlossen. \\ 
Eine weiteres Schaltzeichen zeigt den negativen Anschluss der Spannungsquelle als "dickes Minus", der positive Anschluss ist breiter gezeichnet. 

Die **ideale Stromquelle** erzeugt eine definierten Ausgangsstrom $I_q$. 
Damit dieser Strom fließen kann, ist eine beliebigem Spannung an ihren Klemmen möglich. 
Die Strom-Spannungs-Kennlinie stellt dies auch dar (siehe <imgref BildNr7>). \\
Das Schaltzeichen zeigt einen Kreis mit zwei Anschlüssen. Im Kreis sind die beiden Anschlüsse offengelassen und eine Linie senkrecht dazu gezeichnet.

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==== Verbindungen ====

  * Die ideale Verbindungsleitung ist widerstandsfrei und übermittelt Strom und Spannung instantan.
  * Real vorhandene Einflüsse (z.B. Spannungsabfall) von Verbindungen werden über separat gezeichnete Bauteile (z.B. ohmschen Widerstand) berücksichtigt.


===== 2.2 Bezugspfeile und erste Betrachtung eines Gleichstromkreises =====


<WRAP right>
<imgcaption BildNr5 | Beispiel einer Schaltung>
</imgcaption> \\
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWcMBMcUHYMGZIA4UA2ATmIxEJRCQBZsAoAJxDqsJvA0JGO8hBRpITTt14hsacMSr9Mw5pP5gZEwnnA0OyhHBGsKHGuJQI+LDHubHup7kumyQBKxKkqqNMPfVRwQhRYTMxZvNQ1+dUCUGmVVbzlYvzAAkQcPASTsbHMzVxj+bO4vHwiLEQKJHP8NTCcweHoANxqBDCowLh5zfiT+JH4YMARiYeM6SBl6AGUBPFr8TLlF5RAAMwBDABsAZwBTPxR6AHc5hY101WikwQ4EtqdsYmFT+8qU2vaoE-BCOS+Pg9vgAPAQjaQQTBIFRGTIgab0UHYGjkFIQbAIDQpWFSI5Ip7gFISFGE2gSfgASXo2Es4U0HGweDuKCxfheEiZrQM7BBbTuxFqeCQaAgHHc9CAA 600,500 noborder}}
</WRAP>

<callout>
=== Ziele ===

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  - in der Lage sein, das Erzeuger- und Verbraucherbezugspfeilsystem anwenden und unterscheiden zu können.
</callout>

Im Kapitel Grundlagen wurde bereits der konventionelle (=dem Konventionen entsprechende) Richtungssinn von [[grundlagen_und_grundbegriffe#festlegung_der_stromrichtung|Strömen]] und [[grundlagen_und_grundbegriffe#spannung_zwischen_zwei_punkten|Spannungen]] besprochen. Leider ist bei vermaschten Netzen häufig vor der Berechnung nicht überschaubar in welche Richtung der konventionelle Richtungssinn aller Ströme und Spannungen verläuft. 

in <imgref BildNr5> ist ein solches vermaschtes Netz gezeigt. In dieser Schaltung ist ein Schalter $S_1$ und ein Strom $I_2$ gekennzeichnet. \\
Wird über den Schalter $S_1$ der Widerstand gewechselt, so ändert sich die Richtung des Stroms $I_2$

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<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">
<WRAP right>
<imgcaption BildNr1 | Bezugspfeile>
</imgcaption>
{{drawio>Bezugspfeile1}}
</WRAP>

  * **Vor der Berechnung** werden die __Bezugspfeile__ für Ströme und Spannungen beliebig festgelegt
  * **Nach der Berechnung** bedeutet
    * $I>0$: Der Bezugspfeil gibt den konventionellen Richtungssinn des Stroms wider
    * $I<0$: Der Bezugspfeil zeigt in die Gegenrichtung zum konventionellen Richtungssinn des Stroms
  * Bezugspfeile des Stroms werden nach Möglichkeit **__in__** den Leitungszug gezeichnet.
</callout>

==== Erzeuger- und Verbraucher(bezugs)pfeilsysteme ====

<WRAP group><WRAP column 45%>
<callout color="grey">
<WRAP right>
<imgcaption BildNr2 | Erzeugerpfeilsystem>
</imgcaption>
{{drawio>Erzeugerpfeilsystem}}
</WRAP>
=== Erzeugerpfeilsystem ===

Bei **Quellen** (oder Erzeugern) wird aus der Umgebung Energie entnommen und dem Stromkreis zur Verfügung gestellt. \\
Bei Erzeugern hängt der Pfeil__fuß__ des Stromes an Pfeil__spitze__ der Spannung. Spannungs- und Strompfeil sind antiparallel ($\uparrow \downarrow$).

Für Erzeuger gilt: 

$P_{1} = U_{12} \cdot I_1 \stackrel{!}{>} 0$

Die Leistungstransfer von der Umgebung in das Stromnetz __über den Erzeuger bzw. das Erzeugerpfeilsystem__ wird positiv gerechnet.

</callout>
</WRAP><WRAP column 45%>

<callout color="grey">
<WRAP left>
<imgcaption BildNr3 | Verbraucherpfeilsystem>
</imgcaption>
{{drawio>Verbraucherpfeilsystem}}
</WRAP>
=== Verbraucherpfeilsystem===

Bei **Verbrauchern** wird aus dem Stromkreis Energie entnommen und der Umgebung zur Verfügung gestellt. \\
Bei Verbrauchern hängen der Pfeil__füße__ bzw. Pfeil__spitzen__ des Stromes und der Spannung zusammen. Spannungs- und Strompfeil sind parallel ($\uparrow \uparrow$).

Für Verbrauchern gilt: 

$P_{3} = U_{34} \cdot I_3 \stackrel{!}{>} 0$

Die Leistungstransfer vom Stromnetz in die Umgebung __über den Verbraucher bzw. das Verbraucherpfeilsystem__ wird auch positiv gerechnet.

</callout>
</WRAP></WRAP>

<WRAP right>
Das Zählpfeilsystem
{{youtube>ceWNJQpgy8E}}
</WRAP> 

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===== 2.3 Knoten, Zweige und Maschen =====

<WRAP right>
Erklärung der verschiedenen Netzwerkstrukturen \\ (Graphen und Bäume werden erst in späteren Kapiteln benötigt)
{{youtube>c7z1pRCzEuw}}
</WRAP>

<callout>
=== Ziele ===

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  - in einer Schaltung die Knoten, Zweige und Maschen identifizieren können.
  - eine Schaltung damit übersichtlicher darstellen können.

</callout>

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<WRAP right>
<imgcaption BildNr0 | Stromkreise und Stromnetze>
</imgcaption> \\
{{drawio>Stromkreise_Stromnetze}}

<imgcaption BildNr8 | Knoten, Zweige und Maschen>
</imgcaption> \\
{{drawio>KnotenZweigeMaschen}}
</WRAP>


Elektrische Stromkreise haben typischerweise die Struktur von Netzen. Netze bestehen aus zwei elementaren Strukturelementen:

  - <fc #cd5c5c>**Zweige/Kanten**</fc>: Verbindungen zwischen zwei Knoten
  - <fc #6495ed>**Knoten**</fc>: Verbindungspunkte mehrerer Zweige 

Bei elektrischen Schaltkreisen ist zu beachten:

  - <fc #cd5c5c>**Zweige**</fc> beinhalten mindestens ein Bauteil.
  - <fc #6495ed>**Knoten**</fc> verbinden mehr als zwei Zweige und können auch räumlich ausgedehnt sein. 

Zweige in elektrischen Netzwerken bezeichnet man als Zweipole. 
Ihr Verhalten wird durch Strom-Spannungs-Kennlinien beschrieben und im Kapitel [[Lineare Quellen und Zweipole]] näher erklärt. 

Zudem soll noch ein weiterer Begriff erklärt werden: \\ 
Eine **<fc #ffa500>Masche</fc>** ist ein geschlossener Weg im Netz. Das heißt eine Masche beginnt und endet am gleichen Knoten und läuft über mindestens einen weiteren Knoten.

Da auch ein Voltmeter als Komponente zwischen zwei Knoten vorhanden sein kann, ist es auch möglich eine Masche über eine Angabe einer Spannung zu schließen (vgl. $U_1$ in <imgref BildNr8>).

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Im Gegensatz zu den anderen Ursache-Wirkungs-Beziehungen ändert sich bei den vernetzten Stromkreisen fast immer das gesamte Verhalten, wenn in einem Zweig / an einem Knoten eine Änderung auftritt. \\ Dies ist vergleichbar mit anderen Änderungen in anderen Netzen, z.B. einem Stau im Straßennetz, aufgrund dessen andere Straßen eine höhere Belastung erfahren. Für die Elektrotechnik bedeutet dies, dass bei sich ändernde Schaltungen eine Ermittlung der Zusammenhänge (Formeln, Strom-Spannungs-Kennlinien) häufig im Vordergrund steht und nicht ein einzelner Zahlenwert.

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==== Vereinfachungen ====

<WRAP right>
<imgcaption BildNr9 | Beispiel zur Umwandlung einer Schaltung>
{{elektrotechnik_1:umwandlungeinerschaltung.gif}}
</imgcaption>
</WRAP>

Mit der Kenntnis von Knoten, Zweigen und Maschen lassen sich Schaltungen vereinfachen.
Schaltungen lassen sich beliebig umformen, solange nach der Umformung alle Zweige an den gleichen Knoten bleiben 
Die <imgref BildNr9> zeigt wie eine solche Umformung möglich ist. 

Bei praktischen Aufgaben kann ein wiederholtes Ausprobieren sinnvoll sein. 
Wichtig dabei ist eine nachträgliche Kontrolle, dass an jedem Knoten die selben Komponenten wie vor der Umwandlung angeschlossen sind.

Weitere Beispiele sind in folgendem Video zu finden
{{youtube>bB19bhd6iSI}}

~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~

<panel type="info" title="Aufgabe 2.3.1 Zweige und Knoten"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
<WRAP right>
<imgcaption BildNr70 | Zweige und Knoten>
</imgcaption>
{{drawio>ZweigeundKnoten}}
</WRAP>

Geben Sie für die Markierungen in den Schaltkreisen in <imgref BildNr70> an, ob es sich um einen Zweig, einen Knoten oder weder noch handelt.

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.3.2 Vereinfachungen von Schaltungen"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
<WRAP right>
<imgcaption BildNr71 | Zweige und Knoten>
</imgcaption>
{{drawio>SchaltungenVereinfachen}}
</WRAP>

Vereinfachen Sie die Schaltungen in  <imgref BildNr71>. 
</WRAP></WRAP></panel>

===== 2.4 Kirchhoffsche Gleichungen =====


<WRAP right>
Darstellung und Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze 
{{youtube>qkKaNsHdxgc?start=6}}
</WRAP> 

<callout>
=== Ziele ===

Nach dieser Lektion sollten Sie:
  - die Kirchhoffschen Gleichungen bzw. Knoten- und Maschensatz kennen und anwenden können.
</callout>

~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
==== Der Knotensatz (1. Kirchhoffsche Gleichung) ====

Der Knotensatz formuliert in der Sprache der Mathematik die Erfahrung, dass sich in elektrischen Leitern keine Ladungs"anhäufungen" auftreten.
Dies ist von besonderer Relevanz an einem Netzknoten (<imgref BildNr10>).
Zur Formulierung der Gleichung werden bei diesem Netzknoten die Bezugspfeile der Ströme alle in gleicher Weise festgelegt.
Das heißt: alle zeigen vom Knoten weg oder auf ihn zu.

<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">
<WRAP right>
<imgcaption BildNr10 | Knotensatz>
</imgcaption>
{{drawio>Knotensatz}}
</WRAP>

Die Summe aller Ströme, welche aus den Knoten zulaufen, muss Null sein.

$\boxed{I_1 + I_2 + I_3 + ... + I_n = \sum_{x=1}^{n} I_x=0}$

Es gilt von nun an folgende Festlegung: 
  * Ströme, deren Strompfeile auf den Knoten hin zeigen, werden in der Rechnung addiert.
  * Ströme, deren Strompfeile vom Knoten weg zeigen, werden in der Rechnung subtrahiert.
</callout>

<WRAP right>
<imgcaption BildNr11 | Parallelschaltung>
</imgcaption>
{{drawio>Parallelschaltung}}
</WRAP>

=== Parallelschaltung von Widerständen ===

Aus dem Knotensatz lässt sich der Gesamtwiderstand für parallel geschaltete Widerstände herleiten (<imgref BildNr11>):

Da an allen Widerständen die gleiche Spannung $U_{ab}$ abfällt, gilt mit dem Knotensatz:

$\large{{U_{ab}}\over{R_1}}+ {{U_{ab}}\over{R_2}}+ ... + {{U_{ab}}\over{R_n}}= {{U_{ab}}\over{R_{ersatz}}}$

$\rightarrow \large{{{1}\over{R_1}}+ {{1}\over{R_2}}+ ... + {{1}\over{R_n}}= {{1}\over{R_{ersatz}}} = \sum_{x=1}^{n} {{1}\over{R_x}}}$

Bei parallel geschalteten Widerständen ergibt sich also der Leitwert $G_{ersatz}$ als Summe der Einzelleitwerte: $G_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} {G_x}$

__Allgemein gilt__: Der Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Widerstand.

Speziell für zwei parallele Widerstände $R_1$ und $R_2$ gilt: $R_{ersatz}= \large{{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}}$

=== Stromteiler ===

<WRAP right>
Herleitung des Stromteilers mit weiteren Betrachtungen
{{youtube>JgHwK1jMauM}}
</WRAP>

Aus dem Knotensatz lässt sich auch die Stromteiler-Regel herleiten. \\ 
Diese besagt, dass sich bei parallel geschalteten Widerständen $R_1, ... R_n$ deren Ströme $I_1, ... I_n$ sich gerade so verhalten wie die Leitwerte $G_1, ... G_n$ durch welche sie fließen.

$\large{{I_1}\over{I_g}} = {{G_1}\over{G_g}}$ 

$\large{{I_1}\over{I_2}} = {{G_1}\over{G_2}}$

~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~


<panel type="info" title="Aufgabe 2.4.1 Stromteiler"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

<WRAP right>
<imgcaption BildNr85| Stromteiler>
</imgcaption> \\
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsBMA2AzAgnAdjBgBxhgK7q64gKTXWQBQATiCgmuLh2xxpACxRwcBmHKt2nbpLApCQqkiS0V0JADUA9gBsALgEMA5gFMGhibwzTeCFFAYB3CyD6CeLq+GYvbUn3dchMHhHfxcBMIxPMDNIzywA30YnQLEbOzT7J3dM1K4s50ywNFpMxhZi2hQUQUrnUpCnOtSSjw4Y82bo1oSCupyeiMYAZ3BW6trWsvAQADN9bWHTIA 600,400 noborder}}
</WRAP>

In der Simulation in <imgref BildNr85> ist ein Stromteiler zu sehen. Die Ströme verhalten sich dort gerade umgekehrt proportional zu den durchflossenen Widerständen. 

  - Welche Ströme erwarten Sie in den einzelnen Zweigen, wenn die Eingangsspannung von $5V$ auf $3,3V$ gesenkt würde? __Nachdem__ Sie Ihr Ergebnis überlegt hatten, können Sie durch Bewegen des Sliders ''Spannung'' (unten rechts neben der Simulation) entsprechend einstellen. 
  - Überlegen Sie sich was passiert wenn Sie den Schalter umlegen __würden__, __bevor__ Sie den Schalter umlegen. \\ Wie lässt sich, nachdem Sie den Schalter umgelegt haben, der Strom in dem Zweig erklären?

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.4.2 zwei Widerstände"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

Zwei Widerstände von $18\Omega$ und $2 \Omega$ sind parallel geschalten. Der Gesamtstrom die Widerstände liegt bei $3A$. \\ Berechnen Sie den Gesamtwiderstand und die Stromaufteilung.

</WRAP></WRAP></panel>
\\ 
~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
==== Der Maschensatz (2. Kirchhoffsche Gleichung) ====

Auch der Maschensatz beschreibt in in der mathematischen Sprache eine praktischer Erfahrung: 
Zwischen zwei Punkten $a$ und $b$ eines Netzwerks ergibt sich nur eine Potentialdifferenz.
Die Potentialdifferenz ist damit insbesondere unabhängig davon auf welchem Weg ein Netzwerk zwischen den zwei Punkten $1$ und $2$ durchlaufen wird.
Dies lässt sich durch die Betrachtung von Maschen beschreiben.

<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">
<WRAP right>
<imgcaption BildNr12 | Maschensatz>
</imgcaption>
{{drawio>Maschensatz}}
</WRAP>

In jeder beliebigen Masche eines elektrischen Netzwerks ist die Summe aller Spannungen gleich null (<imgref BildNr12>):

$\boxed{U_{1} + U_{2} + ... + U_{n} = \sum_{x=1}^{n} U_x = 0}$

Zur Berechnung muss ein Umlaufsinn festgelegt werden. Diese kann zunächst beliebig gewählt werden.
Es gilt dann aber folgende Festlegung: 
  * Spannungen, deren Spannungspfeile im Umlaufsinn zeigen, werden in der Rechnung addiert.
  * Spannungen, deren Spannungspfeile gegen Umlaufsinn zeigen, werden in der Rechnung subtrahiert.
</callout>

=== Beweis des Maschensatzes ===

Drückt man die Spannungen in <imgref BildNr12> durch die Potentiale in den Knotenpunkten aus, so ergibt sich:

$U_{12}= \varphi_1 - \varphi_2 $ \\
$U_{23}= \varphi_2 - \varphi_3 $ \\
$U_{34}= \varphi_3 - \varphi_4 $ \\
$U_{41}= \varphi_4 - \varphi_1 $

Werden diese Spannungen in die Maschengleichung eingesetzt, so wird

$U_{12}+U_{23}+U_{34}+U_{41} = 0$ \\ \\

=== Reihenschaltung von Widerständen ===

<WRAP right>
<imgcaption BildNr13 | Reihenschaltung>
</imgcaption>
{{drawio>Reihenschaltung}}
</WRAP>

Über den Maschensatz lässt sich der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung (<imref BildNr13>) leicht ermitteln:

$U_1 + U_2 + ... + U_n = U_g$

$R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2 + ... + R_n \cdot I_n = R_{ersatz} \cdot I $

Da bei der Reihenschaltung der Strom durch alle Widerstände gleich sein muss - also $I_1 = I_2 = ... = I$ -  ergibt sich:

$R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{ersatz} =  \sum_{x=1}^{n} R_x $

__Allgemein gilt__: Der Ersatzwiderstand einer Reihenschaltung ist stets größer als der größte Widerstand.

~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~

<panel type="info" title="Aufgabe 2.4.3 drei Widerstände"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

Gegeben sind drei gleiche Widerstände mit je $20k\Omega$. \\ 
Welche Werte sind durch beliebige Verschaltung von einem bis drei Widerstände realisierbar?

</WRAP></WRAP></panel>

===== 2.5 unbelasteter und belasteter Spannungsteiler =====

==== Der unbelastete Spannungsteiler ====
<WRAP right>
Herleitung des unbelasteten Spannungsteilers
{{youtube>AmjaKLkPovg}}
</WRAP>

<callout>

=== Ziele ===

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  - den belasteten und unbelasteten Spannungsteiler auseinanderhalten können.
  - die Unterschiede zwischen belasteten und unbelasteten Spannungsteiler beschreiben können.
  - 

</callout>

<WRAP right>
<imgcaption BildNr14 | unbelasteter Spannungsteiler>
</imgcaption>
{{drawio>unbelasteterSpannungsteiler}}
</WRAP>

Speziell die Hintereinanderschaltung von zwei Widerständen $R_1$ und $R_2$ soll nun näher betrachtet werden.
Diese Situation tritt in vielen praktischen Anwendungen auf (z.B. Potentiometer). 
In <imgref BildNr14> ist diese Schaltung dargestellt.

Über die Maschengleichung ergibt sich 

$\boxed{ {{U_1}\over{U}} = {{R_1}\over{R_1 + R_2}} }$

Das Verhältnis $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$ entspricht auch der Position an einem Potentiometer.

~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
<panel type="info" title="Aufgabe 2.5.1 unbelasteter Spannungsteiler"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

<WRAP right>
<imgcaption BildNr81| unbelasteter Spannungsteiler>
</imgcaption> \\
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsAsB2ATAZgGw4QhmimJGOiApJSClgFABu4O1RGL1YaOUfK1JNWHQE9bihBZIk7rywY2CXhFJxkSAEoBTAM4BLXQBcAhgDsAxtvoB3EIoAc9zFJnOOkW68nspDny6edgpsGJJY-vZhUPQADn4+0REBHBDCcfaQTnKZTr5pMXZgrOA8uaW8QZzu5b6eAObeNdI+Dk6eimgJUZICob0gADq6w6O6AKoA+gD2AK5GXo4VPctVLcv5ZZ66KzmbleAgAGYmADa61kA 500,400 noborder}}
</WRAP>

In der Simulation in <imgref BildNr81> ist ein unbelasteter Spannungsteiler in Form eines Potentiometers zu sehen. Die ideale Spannungsquelle stellt $5V$ bereit. Das Potentiometer hat einen Gesamtwiderstand von $1K\Omega$. In der dargestellten Konfiguration ist dieser auf $500 \Omega$ und $500 \Omega$ ausgeteilt.

  - Welche Spannung ''U_out'' erwarten Sie, wenn der Schalter geschlossen würde? __Nachdem__ Sie Ihr Ergebnis überlegt hatten, können Sie dieses durch Schließen das Schalters überprüfen. 
  - Überlegen Sie sich zunächst was passiert wenn Sie durch Verschieben des Schleifers ("Zwischenabgriff") die Aufteilung der Widerstände verändern __würden__? \\ Durch den Slider unten rechts neben der Simulation lässt sich Ihre Vermutung überprüfen.
  - Bei welcher Stellung erhalten Sie ein ''U_out'' von $3,5V$?

</WRAP></WRAP></panel>


~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
==== Der belastete Spannungsteiler ====


<WRAP right>
<imgcaption BildNr15 | belasteter Spannungsteiler>
</imgcaption>
{{drawio>belasteterSpannungsteiler}}
</WRAP>

Wird - im Gegensatz zum obigen, unbelasteten Spannungsteiler - an den Ausgangsklemmen eine Last $R_L$ angeschlossen (<imgref BildNr15>), so beeinflusst diese die Ausgangsspannung.

Durch eine Schaltungsanalyse ergibt sich:

$ U_1 = \LARGE{{{U} \over {1 + {{R_2}\over{R_L}} + {{R_2}\over{R_1}} }}  }$

bzw. an einem Potentiometer mit $k$ und $R_s = R_1 + R_2$:

$ U_1 = \LARGE{{{k \cdot U} \over { 1 + k \cdot (1-k) \cdot{{R_s}\over{R_L}}  }}  }$


<WRAP right>
<imgcaption BildNr65 | Spannungsverlauf des belasteten Spannungsteiler>
</imgcaption>
{{drawio>SpannungsverlaufBelasteterSpannungsteiler}}
</WRAP>

<imgref BildNr65> zeigt in welchem Verhältnis die ausgegebene Spannung $U_1$ zur eingehenden Spannung $U$ steht (y-Achse), in Bezug zum Verhältnis $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$. Prinzipiell gleicht dies der <imgref BildNr14>, hat aber hier noch eine weitere Dimension: Es sind mehrere Graphen eingezeichnet. Diese unterscheiden sich um das Verhältnis ${{R_s}\over{R_L}}$.

Was sagt dieses Diagramm nun aus? Dies soll an einem Beispiel gezeigt werden. Zunächst wird angenommen, dass ein __unbelasteter Spannungsteiler__ mit $R_2 = 4 k\Omega$ und $R_1 = 6 k\Omega$, sowie eine Eingangsspannung von $10V$ vorliegt. Damit ist $k = 0,6$, $R_s = 10k\Omega$ und $U_1 = 6V$. \\ Nun wird dieser Spannungsteiler mit einem Lastwiderstand belastet. Liegt dieser bei $R_L = R_1 = 10 k\Omega$, so reduziert sich $k$ auf etwa $0,48$ und $U_1$ auf $4,8V$ - die Ausgangsspannung bricht also ein. Bei $R_L = 4k\Omega$ wird $k$ noch kleiner zu $k=0,375$ und $U_1 = 3,75V$. Ist die Last $R_L$ nur noch ein Zehntel des Widerstandes $R_s=R_1 + R_2$, so wird $k=0,18$ und $U_1=1,8V$. Aus der Ausgangspannung des unbelasteten Spannungsteilers ($6V$) wurde damit weniger als ein Drittel. 

~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~

<panel type="info" title="Aufgabe 2.5.2 belasteter Spannungsteiler"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

Ermitteln Sie aus der Schaltung in <imgref BildNr15> die obige Gleichung $ U_1 = {{k \cdot U} \over { 1 + k \cdot (1-k) \cdot{{R_s}\over{R_L}}}}$ mit $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$ und $R_s = R_1 + R_2$. 

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.5.3 belasteter Spannungsteiler"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

<WRAP right>
<imgcaption BildNr82| belasteter Spannungsteiler>
</imgcaption> \\
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWcMBMcUHYMGZIA4UA2ATmIxAUgpABZsAoAN3BppExRbbA0Kn5pUkVEdAT0ebXN14hsadgj4Qw8KGJAAlAKYBnAJa6ALgEMAdgGNt9AO7t87DJ2mPOkW6-CyXPPu7suHHIInEH+cgooKFIh7NFQ9AAOcnhsUVKpnhAi9ABOwaHx2LFhyHAexaFOKWnV4ZVxGWnx4WCsnmh4nq3tvvZdfe7JnV58I0HZCXYjfemjCbqN8xOyVBAAZiYANrrWaOTYmXOCVMcgADq6l9e6AKoA+gD2AK5G9ADmcpC1zt9fbO4gA 500,400 noborder}}
</WRAP>


In der Simulation in <imgref BildNr82> ist ein belasteter Spannungsteiler in Form eines Potentiometers zu sehen. Die ideale Spannungsquelle stellt $5V$ bereit. Das Potentiometer hat einen Gesamtwiderstand von $1K\Omega$. In der dargestellten Konfiguration ist dieser auf $500 \Omega$ und $500 \Omega$ ausgeteilt. Der Lastwiderstand hat eine Größe von $R_L = 1 k\Omega$.

  - Welche Spannung ''U_OUT'' erwarten Sie, wenn der Schalter geschlossen würde? Hier müssen Sie etwas rechnen! __Nachdem__ Sie Ihr Ergebnis berechnet hatten, können Sie dieses durch Schließen das Schalters überprüfen. 
  - Bei welcher Aufteilung erhalten Sie $3,5V$. Ermitteln Sie das Ergebnis zunächst zur eine Rechnung.\\ Überprüfen sie es anschließend durch Verschieben des Slider unten rechts neben der Simulation.

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.5.4 Anwendung des belasteten Spannungsteilers - Motor"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

<WRAP right>
<imgcaption BildNr16| Skizze des Aufbaus>
</imgcaption> \\
{{drawio>MotorAmSpannungsteiler}}
</WRAP>

Sie wollten einen Kleinstmotor für einen kleinen Roboter testen. Anhand des Maximalstroms und des Innenwiderstands ($R_M = 5\Omega$) errechnen Sie, dass dieser mit maximal $U_{M,max}=4V$ betrieben werden kann. Ein Kollege meinte, dass Sie $4V$ über den Aufbau in <imgref BildNr16> aus einer $9V$-Block Batterie erhalten können.

  - Berechnen Sie zunächst den Maximalstrom $I_{M,max}$ des Motors. 
  - Zeichnen Sie die entsprechende elektrische Schaltung mit angeschlossenem Motor als ohmschen Widerstand. 
  - Beim Maximalstrom soll der Motor ein Drehmoment von $M= 100mNm$ abgeben können. Welches Drehmoment würde der Motor abgeben, wenn Sie den Aufbau so umsetzen? (Annahme: Das Drehmoment des Motors steigt proportional zum Motorstrom).
  - Wie könnte ein Aufbau mit Potentiometer aussehen, mit dem man tatsächlich eine Spannung zwischen $0,5V$ bis $4V$ am Motor einstellen kann? Welchen Widerstandswert muss das Potentiometer haben?
  - Bauen Sie Ihre Schaltung in untenstehender Simulation auf und testen Sie diese. Eine Einführung zur Online-Simulation finden Sie unter: [[elektronische_schaltungstechnik:0 Hilfsmittel#Online Circuit Simulator]]. \\ Für diesen Aufbau benötigen Sie im wesentlichen folgende Tipps:
    - Das Verlegen von Verbindungen lässt sich über das Menü ''Zeichnen >> Verbindung einfügen (wire)'' aktivieren. Anschließend muss auf den Startpunkt geklickt und anschließend bis zum Endpunkt gezogen werden.
    - Beachten Sie, dass Verbindungen immer nur an Verbindungspunkten angeschlossen werden können. Der rot markierte Knoten am $5 \Omega$-Widerstand zeigt an, dass dieser nicht verbunden ist. Dieser könnte im ein Rasterschritt nach links verschoben werden, da dort ein Verbindungspunkt liegt.
    - Mit Druck auf die ''<ESC>'' Taste lässt sich das Einfügen von Komponenten deaktivieren.
    - Mit Rechtsklick auf eine Komponente lässt sich diese kopieren oder Werte wie der Widerstand über ''Bearbeiten...'' ändern.

<WRAP right>
<imgcaption BildNr83| Simulation für Motoraufbau>
</imgcaption> \\
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsDsKAc64YMyRWACyRIKQhKE4BQAbiIeiHoQ0wEzuvnnEgCcUITATUATuH7sQnVu0wyuQ0QHM2zSK0bMcANijUA7upYgsG7kfWyz5G+2pgUrJ-tOvmCaRDDxkSACUAUwBnAEsQgBcAQwA7AGMgq3ZIDhRpFI4lSCswKUUXFH0bHKA 800,400 noborder}}
</WRAP>

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.5.5 Beispiele der Berechnung von belasteten Spannungsteilern"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

<WRAP group><WRAP column half>
Spannungsteiler, Vorwiderstand (Längswiderstand) und Nebenwiderstand 
{{youtube>XRBiYdMhiF0}}

</WRAP><WRAP column half>
Übung zum Spannungsteiler
{{youtube>6NG4uOMDU7Y}}
</WRAP></WRAP>

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.5.6 Beispiel eines belasteten Spannungsteiler: Erklärung ohne Rechnung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

{{youtube>hRVOZIb8-6g}}

</WRAP></WRAP></panel>

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===== 2.6 Stern-Dreieck-Schaltung =====

<WRAP right>

<imgcaption BildNr98 | Beispiel für einen Stromkreis>
</imgcaption>
{{drawio>BeispielStromkreis}}

<imgcaption BildNr17| Umwandlung Parallelschaltung in Reihenschaltung>
</imgcaption> \\
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsDsKAc64YMyRWACyRIIRKE4BQATiALQ4BM4T6Dz4KAbFON92gDhVAOYcWTJoQkhpkKFQBKssGBaMWATl4KFxEEj3IEVAO6r1qtuHMMwWlmo0OnhGWGX3H4K-VcgOnz6CkbB0KYW-j5EMv7cCrGKUVIe7t5uMpBiGXKQ7NGSBtlRAUz5DKl57CX2CdW55TW0dYnp8QpNfGDwLYXg7WUVib109FVJ49INI3B2jAhOfjiLAx5eC0saK9q6fAZhehE5mw2n8opjO2scq10KOI-Qj9RXTjyyVYkCQsLcVEA 600,300 noborder}}

</WRAP>

<callout>

=== Ziele ===

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  - dreieckige Maschen in eine Sternform (und umgekehrt) umwandeln können
</callout>

Zu Beginn des Kapitels wurde ein Beispiel eines Netzwerks gezeigt (<imgref BildNr91>). Dabei kommt man aber mit dem Knoten- und Maschensatz nicht unmittelbar zur Lösung. Jedoch ist nach sichtbar, dass dort viele dreieckförmige Maschen bzw. sternförmige Knoten vorhanden sind (<imgref BildNr98>). Auf diese soll nun tiefer eingegangen werden.

Dazu zunächst ein Resume aus den bisherigen Erkenntnissen. Über den Knoten- und Maschensatz wurde klar, dass sowohl aus einer Reihen-, als auch aus einer Parallelschaltung ein Ersatzwiderstand ermittelt werden kann. Betrachtet man den Ersatzwiderstand als eine Blackbox - d.h. der innere Ausbau ist unbekannt - so könnte dieser also durch beide Schaltungsarten interpretiert werden (<imgref BildNr17>). 

Wie hilft uns das nun im Falle einer dreieckförmigen Masche?

Auch in diesen Fall kann man eine Blackbox bereitstellen. Diese müsste sich aber immer gleich verhalten, wie die dreieckförmige Masche, also beliebige, angelegte Spannungen sollten gleiche Ströme erzeugen. \\ 
Anders gesagt: Die zwischen zwei Klemmen messbaren Widerständen müssen für beide Schaltungen identisch sein. 

Dazu sollen nun die verschiedenen Widerstände zwischen den einzelnen Knoten $a$, $b$ und $c$ betrachtet werden, siehe <imgref BildNr18>. Es soll herausgefunden werden wie aus einer Stern-Schaltung eine Dreieck-Schaltung entwickelt werden kann (und umgekehrt). 



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<WRAP right>
<imgcaption BildNr18| Stern-Dreieck-Transformation>
</imgcaption> \\
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjA7CAMB00IQVhvCEAcGGYMzQjABZoUkA2EFI3AKACUQBaYo8CSlsAJncuhggSQwQLhJaAd2as+M8gMiUwtAE7NuEXko3c2eseERqZHOU03azi4+pZmdFvSAOCwx6U3xtH3LHJVGL2gfMy9cZWtBYRRDcSldfS1ElwpwBhTLTP9DYV442Akg2VwMNi5eUrZcgWrRQoSWIjYq+QFWlTtuZyIwTm62InI63FHYUYnRkydBvo1k1vaxyYnpnVaZoTml3HGVuk9vEA2-DGOy9KCjjdHKReiBWPqJTwGhbBShnwzNog-fgCc-AeLlEqBebXO5XWF2gjVOUPmlVh8P8SABvAsyXR+UafUeGNMlBxMB+bwgIRSWjiQgE+We8OcFPKb3I-kCzCOJPCxMJNSoYPih0p3IRJM6RKohM25GcOz2K2mrOcWN4JPl+zoXWcspZOuSGv2eOaUsx+NNlxkJu5YB4Fv5dTEDQAHvNcFQ7SxyFAkGBqOAkAJAAGktFdFgB7u6AI0bJcuF4+jY9AAnaH5j5ZTGM-6wGcAIaos6+ZI6OGec2OHSltMWDDu3PRiwKcCEwYCQAzpDWG+AMI2+spW7SQJ2w9wIqkwBowJGkIMhyOZBgUH13fZl+RKD4zgAjGvcdypTHcaCT7hIHNnADGjP0aU2rjho+SY-6SEjuGjW5Al4LYfNL6tU8PxEXMQG3a8-wwU9uD7NIxwTFwk1TUcaHAP4pyLX0RGcFM926AMUAsaBtCQM4vzzXdR1wH0MCPO1SP9HDkKnYlexkIELS-bdHw0AE2FlfpyGjWVP0QkBcKfd1yFGDQ3xAaTNx7EA8x4oioA3aFaPk71sKQrsMEob1Jy9dSIDnUDL1Uvx1MpJt+IIERhAXLEziQdAY1cj5yP0903L7CBfK0rj9Jswi+nssj5z3dC2X6YC2VEiy93HISWWneSASgNthxveTkhlHIaygqghOOaM3IQ0CAGUABcAFNVAAOwAZ0vAALPMABsaoAV0agBzGtMHAchJ2bcKQLOAARVQ6oASzqy8AGtWo67q+sGsMzGowj3WoyLQIAIU6vNlu3AB7Z1aCAA 600,800 noborder}}
\\ \\
Berechung der Umformungsformeln: Sternschaltung in Dreiecksschaltung
{{youtube>AFSWn5xR8tE}}

</WRAP>

==== Dreieckschaltung ====

Bei der Dreieckschaltung sind die 3 Widerstände $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ in einer Masche verschalten.

Für die Widerstände zwischen den zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird die dritte ($c$) als nicht angeschlossen betrachtet. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung des direkten Dreieckswiderstands $R_{ab}^1$ mit der Reihenschaltung der anderen beiden Dreieckswiderstände $R_{ca}^1 + R_{bc}^1$:

$R_{ab} = R_{ab}^1 || (R_{ca}^1 + R_{bc}^1) $ \\
$R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}} =  {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} $ \\

Gleiches gilt für die anderen Anschlüssen. Damit ergibt sich:

\begin{align*}
R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}}  \\
R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}}  \\
R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \tag{2.6.1}  \end{align*}

==== Sternschaltung ====

Die Widerstände zwischen den Anschlüssen müssen nun denen bei der Sternschaltung gleichen. Auch bei der Sternschaltung sind 3 Widerstände verschalten, diese aber in Sternform. Die Sternwiderstände sind also alle mit einem weiteren Knoten $0$ in der Mitte verbunden: $R_{a0}^1$, $R_{b0}^1$ und $R_{c0}^1$

Auch hier wird vorgegangen wie bei der Dreieckschaltung: der Widerstand zwischen zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird ermittelt, der weitere Anschluss ($c$) wird als offen betrachtet. Der Widerstand des weiteren Anschlusses ($R_{c0}^1$) ist nur an einer Seite angeschlossen. Dadurch fließt durch diesen kein Strom - er ist damit nicht zu berücksichtigen. Es ergibt sich:

\begin{align*}
R_{ab} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1  \\
R_{bc} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1  \\
R_{ca} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1  \tag{2.6.2}  
\end{align*}

Aus den Gleichungen $(2.6.1)$ und $(2.6.2)$ erhält man:

\begin{align} R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1 \tag{2.6.3} \end{align}
\begin{align} R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1 \tag{2.6.4} \end{align}  
\begin{align} R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1 \tag{2.6.5} \end{align}


Die Gleichungen $(2.6.3)$ bis $(2.6.5)$ lassen sich nun so geschickt zusammenfassen, dass auf einer Seite nur noch ein Widerstand steht. \\
Eine Variante ist die Formeln als ${{1}\over{2}} \cdot \left( (2.6.3) + (2.6.4) - (2.6.5) \right)$ bzw. ${{1}\over{2}} \cdot \left(R_{ab} + R_{bc} - R_{ca}\right)$ zu kombinieren. Damit ergibt sich $R_{b0}^1$ \\

\begin{align*} 
{{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} + {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} - {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( R_{a0}^1 + R_{b0}^1 + R_{b0}^1 + R_{c0}^1 - R_{c0}^1 - R_{a0}^1 \right) \\

{{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)} + {R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)} - {R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( 2 \cdot  R_{b0}^1  \right) \\

{{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 R_{ca}^1 + R_{ab}^1 R_{bc}^1 + R_{bc}^1 R_{ab}^1 + R_{bc}^1 R_{ca}^1 - R_{ca}^1 R_{bc}^1 - R_{ca}^1 R_{ab}^1}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &=  R_{b0}^1  \\

{{1}\over{2}} \cdot \left( {{ 2 \cdot R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &=  R_{b0}^1  \\

{{ R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} &=  R_{b0}^1  \\

\end{align*}

Auf ähnlichem Weg kann man nach $R_{a0}^1$ und $R_{c0}^1$, sowie mit etwas abgewandeltem Ansatz auch auf $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ auflösen. 

==== Stern-Dreieck-Transformation ====
<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">

<WRAP group><WRAP column half>
Soll von einer **Dreieckschaltung in eine Sternschaltung** umgewandelt werden, so sind die Sternwiderstände ermittelbar über:

\begin{align*} 
    \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{an Anschluss x} \end{array} }}} &=
 {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Produkt der} \\ \text{am Anschluss x liegenden} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}} } \over 
  { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}}}} \\
\\
\text{also:}\quad\quad\quad\quad\quad\quad  

R_{a0}^1 &= {{ R_{ca}^1 \cdot R_{ab}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\
R_{b0}^1 &= {{ R_{ab}^1 \cdot R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\
R_{c0}^1 &= {{ R_{bc}^1 \cdot R_{ca}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}}  
\end{align*}

</WRAP><WRAP column half>
Soll von einer **Sternschaltung in eine Dreieckschaltung** umgewandelt werden, so sind die Dreieckwiderstände ermittelbar über:

\begin{align*} 
    \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Dreieckwiderstand} \\ \text{zwischen den} \\ \text{Anschlüssen x und y } \end{array} }}} &=
 {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller Produkte} \\ \text{zwischen zwei} \\ \text{unterschiedlichen Sternwiderständen} \end{array} }}} } \over 
  { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{gegenüber von x und y} \end{array} }}}}} \\
\\
\text{also:}\quad\quad\quad\quad\quad\quad  

R_{ab}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{c0}^1}} \\
R_{bc}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{a0}^1}} \\
R_{ca}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{b0}^1}}
\end{align*}

</WRAP></WRAP>
</callout>

~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~

<panel type="info" title="Aufgabe 2.6.1 Anwendung der Dreieck-Stern-Umwandlung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

{{youtube>YDpNFEWkN9U}}{{youtube>s7NqWI_ZSt4}}

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.6.2 schwierigere Aufgabe mit Stern-Dreieck-Umwandlung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

{{youtube>poP4a0y0oLU}}

</WRAP></WRAP></panel>

===== 2.7 Gruppenschaltung von Widerständen =====

<callout>

=== Ziele ===

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  - Schaltungen, welche nur aus Widerständen bestehen, vereinfachen können.
  - die Spannungen und Ströme in Schaltungen mit einer Spannungsquelle und mehreren Widerständen berechnen können.
  - symmetrische Schaltungen vereinfachen können.

</callout>

In diesem Unterkapitel wird auf eine Methodik eingegangen, welche beim Umformen von Schaltungen helfen soll. In Unterkapitel [[#2.6 Stern-Dreieck-Schaltung]] wurde gegen Ende bereits ein Netzwerk so umgeformt, dass es keine dreieckigen Maschen mehr enthält. Nun soll dieses Vorgehen systematisiert werden. 
Ausgangspunkt sind Aufgaben, bei denen für ein Widerstandsnetzwerk der Gesamtwiderstand, Gesamtstrom oder die Gesamtspannung berechnet werden muss. 

==== einfaches Beispiel ====

<WRAP right>
<imgcaption BildNr89 | Beispiel für einen Stromkreis>
</imgcaption>
{{drawio>BeispielStromkreis2}}
</WRAP>


Ein Beispiel für eine solche Schaltung ist in <imgref BildNr89> gegeben. Hier ist $I_0$ gesucht. Dieser Strom kann über die (gegebene) Spannung $U_0$ und den Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen $a$ und $b$ ermittelt werden. Gesucht ist also $R_{ab}$.

Wie bereits in den vorherigen Unterkapitel beschrieben, können hier auch Teilschaltung schrittweise in Ersatzwiderstände umgewandelt werden. Wichtig dabei ist, dass diese Teilschaltungen zur Umwandlung in Ersatzwiderstände immer nur zwei Anschlüsse (= zwei Knoten zur "Außenwelt") haben dürfen.


<WRAP right>
<imgcaption BildNr88 | Schrittweise Lösung des Beispiels >
</imgcaption>
{{drawio>BeispielStromkreis2Loesung}}
</WRAP>
~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~

<imgref BildNr88> zeigt die schrittweise Umwandlung der Ersatzwiderstände an diesem Beispiel. \\ Als Ergebnis des Ersatzwiderstands erhält man:

\begin{align*}
R_g = R_{12345} &= R_{12}||R_{345} = R_{12}||(R_3+R_{45}) =  (R_1||R_2)||(R_3+R_4||R_5) \\
&= {{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) }\over{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} +R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}} }} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bigg\rvert \cdot{{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}\over{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}} \\

&= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) \cdot (R_4 + R_5) } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\
&= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 \cdot (R_4 + R_5) + R_4 \cdot R_5)  } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\
  \end{align*}

==== Beispiel mit Dreieck-Stern-Transformation ====

Mit der Dreieck-Stern-Transformation lässt sich nun auch das anfängliche Beispiel umwandeln. Bei komplizierteren Schaltungen ist die wiederholte Dreieck-Stern-Transformation mit anschließendem Zusammenfassen der Widerstände sinnvoll, solange bis die entstandene Schaltung leicht mit Knoten- und Maschensatz berechenbar wird (<imgref BildNr92>). Hier wird auf eine Rechnung verzichtet - es empfiehlt sich hier mit Zwischenergebnissen für die transformierten Widerständen zu rechnen.

<WRAP right>
<imgcaption BildNr92 | Umwandlung des Beispiel-Stromkreises>
</imgcaption>
{{drawio>BeispielStromkreisUmgewandelt}}
</WRAP>

==== Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung ====

Ein gewisser Sonderfall betrifft mögliche Symmetrien in Schaltungen. Falls dies vorhanden sind, kann eine weitere Vereinfachung vorgenommen werden.

<WRAP right>
<imgcaption BildNr40| Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung>
</imgcaption> \\
{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjA7CAMB00IQVhvCEAcGGYMzQjABZoUkA2EFI3AKACcQBaSS15gJgg-AkunCIGzduxZ8QXHgLBCA7s3xFelJhywrwtAEqLoysblxsJAgSSowrcJLQVqNYqZujC13Te57OZQxuMpnL0kPXwQ3dmMMTg8oq1lw-2cg5ziw1392IMjyaPTaAHNmbBA4phKiMH5aAGdOCw4LNWhojhb4kAAzAEMAGxqAUztOdrbogJdhtQam5NC3EqCStMFE4oEynLzVjPWQngmfHYWZCQn2fP8SsUXQ4-tGjeMYnjSpsdL9EQkfWvqn1QfJQdHr9Ib2YjKR7fQLzCFgbztcqnap1FhEKFNMAIyTtGRdPqDKaQ0rPCZveGvL7I-YwP7o5RGVTYqnKfGgokAD2Y5BQHFwyiYSFwklwUAM0W0tG5TF5pQ4KCFItw6hAEpAUpl+A2HAO6miKuo4El0r0An5YE4Gn5ynVms4HAAnKVHXrIC6jWATTKwAKXSKWLqXZQ7aaWNjJOQA47nRxyCHjRqw76UFVFQiRVVoqGZfyZORBRwveByOLE-bxJa2oKwEhYwQ1eXk-HPumkIz2jmRlCoyJXZGE8WpZsJGJRDizLQytczirwKrJ9PzXcjq4ZeQvnGA3XvC2u0KW-hFUh259s02ZUhCLjBSf62Wh2Go-nBeRi1UH97mMLU3KhfyS3PR9LwjLdmCIGMB0bYDvz9XBHW3IN4MHL9ZSdF0DjfKB4M9VCIAQUVLVla0-X3fCdUwjRDWg1CiDlaimCIYV5SA2i5RtcDmP5T8k38IgZ1Ufjl2kY4+IE79R1MUTwNuA4r1hESEl2RjllyCTKBWJS3CE2kVI2NT8iKPTSjU4zKmqfx5N0qzNL8HkPCCUtXgM6ShQkMonJM7YtMsn4PFlBy7h8+yeDETyji0+xcmiMKPAuHRmHwgwzggZ4LisCwUDMVBbHsJLPGizQwDcKyxCsiK7LckxVE89KtLiJlSRDKpJAoawpzUuYeHM+dtlcOIPiBL4WXa7k00kR0oEgbCCK7fBlXdXBa3lcwLyg3UoUwSQuBopMxowVMkBkSbwGYrsuGdSBWkdS0vUtOaWq4ZVVS4FC9tKOi1WgZ1cCQbMcXOjFSggPk2rFVj3t9ULIJJNpurWtoRXUc1lvUEU5sg37xQjYxVpg4xYzrUoMCrch4cfRhfu8RpSiQbwNEuFbwH7BU2H7Rmqcka1ue8uzcAwRkBaZ-m2WkkXhaF8X8gUMB+1l0KN22tlCmJwW1bVOddn1LnWioun4js+XWrZ142gNtZtc5jbacUuzWeN5nvDaxmqnzN2lfN1wZaB12S3d1xdARGLFcdNhFeyzLrBy4Yg798AfcV4rGHto37ftxnrd9rPw-uD2s7l9mY4LxFWjxYZrczlnnfLmmK7ao2vZ1pvrc5xu07arq6QUduTaZxuVWOp3AmrhQrdrnmu5tqfxYHyfOfns2peGK2qMXs3+7X809ekcvRlGWuabbwL6d1vJl83prL-755Gvn-XXCAA 1000,400 noborder}}
</WRAP>

~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~

<imgref BildNr40> zeigt links ein symmetrischen Aufbau eines Netzwerks aus jeweils gleichen Widerständen $R$. Zum Verständnisgewinn ist in der Mitte in der gleichen Schaltung zusätzlich Schalter und Testpunkte (TP) verbaut, welche die Spannung gegen Masse anzeigen. 

Über die Schalter kann nachgeprüft werden, ob ein Strom fließt, falls die jeweiligen Knoten verbunden werden. In der Simulation ist zu sehen, dass dies nicht der Fall ist. Im symmetrischen Aufbau sind diese Knoten jeweils auf dem gleichen Potential. 

Damit lässt sich die Schaltung auch in die Form bringen, wie sie in <imgref BildNr40> rechts zu sehen ist. Diese Schaltung ist wiederum leicht berechenbar: 

\begin{align*}
R_g = R || R + R || R || R || R + R || R || R || R + R || R = {{1}\over{2}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{2}}\cdot R = 1,5\cdot R
  \end{align*}


~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~

<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.1 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung I "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

{{youtube>8nhzwwRYaUI}}

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.2 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung II + III "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

{{youtube>QqUQF3ky7gk}}
{{youtube>UmvFJbS21co}}

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.3 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung IV "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

{{youtube>SzXWWrPRsDU}}

</WRAP></WRAP></panel>

<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.4 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung IV "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

{{youtube>MhaO6kiB4dk}}

</WRAP></WRAP></panel>


<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.5 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung V "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

{{youtube>9eIRRUNba4A}}

</WRAP></WRAP></panel>


<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.6 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung VI "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

{{youtube>glzTvhIW-nk}}

</WRAP></WRAP></panel>

{{page>aufgabe_2.7.7_mit_Rechnung&nofooter}}
{{page>aufgabe_2.7.8_mit_Rechnung&nofooter}}
{{page>aufgabe_2.7.9&nofooter}}
{{page>aufgabe_2.7.10&nofooter}}


<panel type="info" title="weitere Aufgaben "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

Weitere Aufgaben sind Online auf den Seiten von [[https://www.eit.hs-karlsruhe.de/hertz/teil-b-gleichstromtechnik/zusammenschaltung-von-widerstaenden-und-idealen-quellen/uebungsaufgaben-zusammenschaltung-von-widerstaenden/berechnung-von-ersatzwiderstaenden.html|HErTZ]] zu finden (Auswahl links im Menu).
</WRAP></WRAP></panel>