In der Abbildung rechts ist eine Anordnung aus idealen metallischen Leitern (grau) mit angegebener Ladung gezeigt. In weiß ist ein Dielektrikum (z.B. Vakuum) dargestellt. Mehrere, bezeichnete Bereiche sind durch grün gestrichelte Rahmen eingezeichnet, welche sich teilweise im Innern der Objekte befinden.
Ordnen Sie die bezeichneten Bereiche eindeutig nach aufsteigender Feldstärke (Betrag)! Geben Sie auch an, wenn bezeichneten Bereiche betragsmäßig die gleiche Feldstärke haben.
Gegeben ist eine im Vakuum befindliche Anordnung elektrischer Ladungen (siehe Bild rechts).
Die Ladungen haben folgende Werte:
$Q_1=7 μC$ (Punktladung)
$Q_2=5 μC$ (Punktladung)
$Q_3=0 C$ (unendlich ausgedehnte Flächenladung)
$\varepsilon_0=8,854\cdot 10^{-12} F/m$ , $\varepsilon_r=1$
1. Berechnen Sie Betrag der Kraft von $Q_2$ auf $Q_1$, ohne die Kraftwirkung von $Q_3$.
2. Ist diese Kraft anziehend oder abstoßend?
3. Nun sei $Q_2=0$ und die Flächenladung $Q_3$ in der Art gestaltet, dass sich ein homogenes elektrisches Feld mit $E_3=100 kV/m$ ergibt.
Welche Kraft (Betrag) ergibt sich nun auf $Q_1$?
Gegeben ist die die Anordnung elektrischer Ladungen im Bild rechts.
Es ergeben sich folgende Kraftwirkungen:
$F_{01}=-5 N$
$F_{02}=-6 N$
$F_{03}=+3 N$
Ermitteln Sie rechnerisch die den Betrag der resultierenden Kraft.
Die vorhandenen Kräfte müssen in Koordinaten zerlegt werden. Hier empfehlen sich die orthogonalen Koordinaten ($x$ und $y$).
Das Koordinatensystem sei so ausgelegt, dass der Ursprung in $Q_0$ liegt mit der x-Achse in Richtung Q_3 und die y-Achse entsprechend rechtwinklig dazu.
Zur Koordinatenzerlegung sind die Winkel $alpha_{0n}$ der Kräfte zur x-Achse notwendig.
Diese ergeben sich im gewählten Koordinatensystem aus den Koordinaten der Ladungen: $\alpha_{0n} = atan(\frac{\Delta y}{\Delta x})$
$\alpha_{01} = atan(\frac{3}{1})= 1,249 = 71,6°$
$\alpha_{02} = atan(\frac{4}{3})= 0,927 = 53,1°$
$\alpha_{03} = atan(\frac{0}{3})= 0= 0°$
Dann ergeben sich die zerlegten Kräfte zu:
\begin{align*} F_{x,0} &= F_{x,01} + F_{x,02} + F_{x,03} && | \quad \text{mit } F_{x,0n} = F_{0n} \cdot sin(\alpha_{0n}) \\ F_{x,0} &= (-5N) \cdot sin(71,6°) + (-6N) \cdot sin(53,1°) + (+3N) \cdot sin(0°) \\ F_{x,0} &= -2,18 N \\ \\ F_{y,0} &= F_{x,01} + F_{x,02} + F_{x,03} && | \quad \text{mit } F_{y,0n} = F_{0n} \cdot cos(\alpha_{0n}) \\ F_{y,0} &= (-5N) \cdot cos(71,6°) + (-6N) \cdot cos(53,1°) + (+3N) \cdot cos(0°) \\ F_{y,0} &= -9,54 N \\ \\ \end{align*}
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit
$R_1=10 \Omega$
$R_2=20 \Omega$
$R_3=5 \Omega$
und dem Schalter $S$.
1. Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand $R_{ges}$ zwischen A und B durch Zusammenfassen der Widerstände bei offenem Schalter $S$.
Damit lassen sich $R_3$ und $R_3$ zu $R_{33} = 2 \cdot R_3 = R_1$ zusammenfassen und es ergibt sich so ein linker und ein rechter Spannungsteiler.
Nun ist sichtbar, dass sich im linken und rechten Spannungsteiler das gleiche Potential am jeweiligen Abzweig, bzw. am Knoten K1 (grün) und K2 (pink).
Der Gesamtwiderstand lässt sich also berechnen als $R_{ges} = (2 \cdot R_1)||(2 \cdot R_1)$.
Durch die Symmetrie können aber auch die Knoten K1 und K2 kurzgeschlossen werden. Es gilt also auch $R_{ges} = 2 \cdot \left( R_1||R_1 \right)$.
2. Welcher Gesamtwiderstand ergibt sich, wenn Schalter $S$ geschlossen wird?
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit
$R_1=5 \Omega$
$R_2=10 \Omega$
$R_3=20 \Omega$
1. Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand $R_{ges}$ zwischen A und B durch Zusammenfassen der Widerstände.
Hier hilft es das Potential der Knoten K1, K2 und K3 zu betrachten. Bei K2 müssen dazu die Widerstände $R_2 || R_3 || R_2$ oben und unten jeweils zusammengefasst werden. Es ergeben sich also die gleichen Widerstandswerte oben und unten. Auch bei den Knoten K1 und K2 ergeben sich jeweils die gleichen Widerstandwerte oben wie unten. Mit den jeweils gleichen Verhältnissen der Widerstände bei K1, K2 und K3 lässt sich folgern, dass über die Widerstände $R_3$ zwischen K1 und K2 bzw. K2 und K3 kein Strom fließt. Diese tragen also nicht zum Gesamtwiderstand bei. In einem solchen Fall kann zwischen den relevanten Knoten für die Rechnung ein Kurzschluss oder eine offene Leitung frei gewählt werden. Im folgenden wird eine offene Leitung gewählt. Zusätzlich können die parallelen Stränge noch umsortiert werden.
Damit ergibt sich:
\begin{align*} R_{ges} &= \left( \left( 2 \cdot R_2 \right) || \left( 2 \cdot R_2 \right) \right) \quad && || \quad \left( \left( 2 \cdot R_3 \right) || \left( 2 \cdot R_3 \right) || \left( 2 \cdot R_3 \right) \right) \\ R_{ges} &= R_2 \quad && || \quad \left( R_3 || \left( 2 \cdot R_3 \right) \right) \\ R_{ges} &= R_2 \quad && || \quad \frac{R_3 \cdot 2 R_3}{R_3 + 2 R_3} \\ R_{ges} &= R_2 \quad && || \quad \frac{2}{3}\cdot R_3 \\ R_{ges} &= \frac{R_2 \cdot \frac{2}{3}\cdot R_3}{R_2 + \frac{2}{3}\cdot R_3} = \frac{R_2 \cdot R_3}{\frac{3}{2}\cdot R_2 + R_3} \\ \\ \end{align*}
2. Nun sei die Spannung von A nach B: $U_{AB}=U_0= 20 V$. Wie groß ist der Strom $I$?
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit
$R_1=5 \Omega$
$U_1=2 V$
$I_2=1 A$
$R_3=20 \Omega$
$U_3=8 V$
$R_4=10 \Omega$
Bestimmen Sie die Leerlaufspannung zwischen A und B mittels des Superpositionsprinzips.
Werden die Komponenten verschoben, so ist die Schaltung besser zu verstehen:
Es zeigt sich, dass sich im Leerlauffall durch keinen Widerstand Strom fließt. Für die Wirkung gilt also: $U_{AB,1} = U_1$
(Strom)Quelle $I_2$
Auch hier können Komponenten verschoben werden, um die Schaltung besser zu verstehen:
Hier erzeugt die Stromquelle $I_2$ am Widerstand $R_2$ die Spannung $U_{AB_2}$: $U_{AB,2} = - R_1 \cdot I_2$
(Spannungs)Quelle $U_3$
Ebenso wird auch hier die Schaltung verständlicher durch ein Verschieben der Komponenten:
In dieser Schaltung ergibt sich im Leerlauffall ein unbelasteter Spannungsteiler über $R_3$ und $R_4$. Über den Widerstand $R_1$ fließt im Leerlauf kein Strom.
Es ergibt sich:
\begin{align*} U_{AB,3} = \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot U_3 \end{align*}
Resultierende Spannung
\begin{align*} U_{AB} &= U_1 - R_1 \cdot I_2 + \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot U_3 \\ \end{align*}
Gegeben ist eine lineare Stromquelle, welche eine ohmsche Last $R_L=10\Omega$ versorgt. Es ergibt sich ein Strom an der Last von $I_L=2A$. Der Kurzschlussstrom ist $5 A$.
1. Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild des Aufbaus.
2. Wie groß die der Innenleitwert der Quelle?
\begin{align*} U_{LL} &= U_i + U_L \\ R_i \cdot I_{KS} &= R_i \cdot I_L + R_L \cdot I_L \\ R_i \cdot I_{KS} - R_i \cdot I_L &= R_L \cdot I_L \\ R_i \cdot (I_{KS} - I_L) &= R_L \cdot I_L \\ R_i &= R_L \cdot \frac{I_L}{I_{KS} - I_L} \\ G_i &= \frac{I_{KS} - I_L}{R_L \cdot I_L} \\ \end{align*}
3. Welche Leistung nimmt die Last auf?
Auf dem Rotor eines Asynchronmotors sind die Wicklungen in Kupfer ausgelegt. Die Länge des Wickeldrahts ist 40 m. Der Durchmesser ist 0,4 mm.
Beim Start des Motors ist dieser gleichmäßig auf die Umgebungstemperatur von 20°C abgekühlt.
Im Betrieb haben die Wicklungen auf dem Rotor eine Temperatur von 90°C.
$\alpha_{Cu,20°C}=0,0039 \frac{1}{K}$
$\beta_{Cu,20°C}=0,6 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K^2}$
$\rho_{Cu,20°C}=0,0178 \frac{\Omega mm^2}{m}$
Verwenden Sie sowohl den linearen als auch quadratischen Temperaturkoeffizienten! 1. Bestimmen Sie den Widerstand der Leitung für $T = 20°C$.
2. Welche Widerstandserhöhung $\Delta R$ ist zwischen $20°C$ und $90°C$ bei einer Wicklung festzustellen?
Bestimmen Sie die Kapazität $C$ für den rechts gezeichneten Plattenkondensator mit den folgenden Daten:
$\varepsilon_{0} = 8,854 \cdot 10^{-12} F/m$
Die Teilkapazität $C_A$ lässt sich berechnen durch \begin{align*} C_A &= \varepsilon_{0} \varepsilon_{r,A} \cdot \frac{A}{d_A} && | \text{mit } A = 3 cm \cdot 5cm = 6 \cdot 10^{-2} \cdot 8 \cdot 10^{-2} m^2 = 48 \cdot 10^{-4} m^2\\ C_A &= 8,854 \cdot 10^{-12} F/m \cdot \frac{48 \cdot 10^{-4} m^2}{1,5 \cdot 10^{-3} m} \\ C_A &= 28,33 \cdot 10^{-12} F \\ \end{align*}
Die Teilkapazität $C_B$ lässt sich berechnen durch \begin{align*} C_B &= \varepsilon_{0} \varepsilon_{r,B} \cdot \frac{B}{d_B} \\ C_B &= 100 \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} F/m \cdot \frac{48 \cdot 10^{-4} m^2}{0,5 \cdot 10^{-3} m} \\ C_B &= 8,500 \cdot 10^{-9} F \\ \end{align*}
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit
Zu Beginn ist der Kondensator entladen, alle Schalter sind geöffnet. Der Schalter S1 wird zum Zeitpunkt t = 0 s geschlossen.
1. Bestimmen Sie die Zeitkonstante $\tau$ für diesen Ladevorgang.
2. Welche Spannung stellt sich am Kondensator $C$ zum Zeitpunkt $t=10 µs$ ein?
3. Wie hoch ist die Energie im Kondensator, wenn dieser vollständig geladen ist?
4. Bestimmen Sie die neue Zeitkonstante, die wirksam ist, wenn nach dem vollständigen Laden der Schalter S1 geöffnet und gleichzeitig S2 geschlossen wird.
5. Nachdem der Kondensator vollständig entladen wurde, werden alle Schalter wieder geöffnet.
Der Schalter S4 wird für $t = 1μs$ geschlossen.
Welche Spannung stellt sich an C ein?