DW EditSeite anzeigenÄltere VersionenLinks hierherAlles aus-/einklappenNach oben Diese Seite ist nicht editierbar. Sie können den Quelltext sehen, jedoch nicht verändern. Kontaktieren Sie den Administrator, wenn Sie glauben, dass hier ein Fehler vorliegt. CKG Editor ====== 6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ====== ====== 6.1 Bandpassfilter ====== <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic0| Beispiel: WLAN-Kanäle> </imgcaption> \\ {{drawio>WLAN_Kanäle}} </panel></WRAP> Bei der Analyse unterschiedlicher Signale ist nur ein Teil des gesamten Frequenzspektrums gewünscht. In <imgref pic0> sind als Beispiel die Kanäle des WLAN Standards 802.11 dargestellt; Diese werden abwechselnd zur Datenübertragung genutzt. Ein weiteres Beispiel ergibt sich bei Schwingungsspektren eines Motors in einer Maschine, welche nicht nur die (zur Diagnose verwendbaren) Schwingungen enthält, sondern auch Störungen durch andere Maschinenteile. Andere Beispiele ist die kabelgebundene Datenübertragung oder die [[wpde>Elektroenzephalografie#EEG-Frequenzb%C3%A4nder_und_Graphoelemente|Bänder der Gehirnwellen]]. Zur Separierung der gewünschten Frequenzen kann ein Filter genutzt werden, welcher nur ein vorgegebenes Band zwischen zwei Frequenzen (//Frequenzband//) durchlässt. Dies ist mit einem **Bandpassfilter** möglich. ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic1| Blockschaltbild Bandpass> </imgcaption> \\ {{drawio>Blockschaltbild_Bandpass}} </panel></WRAP> === Zusammensetzen des Bandpass Filter === Dieses Filter lässt sich über durch grundlegenden Tief- und Hochpassfilter zusammensetzen. Wird zunächst der Signal durch einen Tiefpass und anschließend durch einen Hochpass gefiltert, so entsteht das gewünschte Filter. Die Reihenfolge der Filter kann vertauscht werden. <imgref pic1> zeigt dies im Blockschaltbild - dabei ist in (1) ein häufig genutzte und in (2) mit den nach EN 60617 zu verwendenden Schaltzeichen. Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion $\underline{A}_{BP}$ des Bandpasses einfach aus der Übertragungsfunktion der Tief- und Hochpassfilter $\underline{A}_{TP}$ und $\underline{A}_{HP}$, da das Signal nacheinander durch die Filterstufen läuft: $$\underline{A}_{BP}= {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_E}} = {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_1}} \cdot {{\underline{U}_1}\over{\underline{U}_E}} = \underline{A}_{TP} \cdot \underline{A}_{HP}$$ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic2| Amplitudengang Bandpass> </imgcaption> \\ {{drawio>Amplitudengang_Bandpass}} </panel></WRAP> === Amplitudengang des Bandpass Filter === In <imgref pic2> ist der Amplitudengang des Bandpassfilter zu sehen. Da im Amplitudengang die Übertragungsfunktion in $dB$ ($\underline{A}^{dB}$) dargestellt wird, ergibt sich aus der Multiplikation der Übertragungsfunktion der Tief- und Hochpassfilter $\underline{A}_{TP}$ und $\underline{A}_{HP}$ eine Addition von $\underline{A}_{TP}^{dB}$ und $\underline{A}_{HP}^{dB}$. Im Amplitudengang ist zu sehen, dass es zweimal eine Änderung um $20 dB/Dek$ ergibt: einmal bei $f_{Gr,HP}$ und einmal bei $f_{Gr,TP}$. Das Filter hat also eine Ordnung von 2. Wichtig dabei: Die Grenzfrequenz des Tiefpassfiter $f_{Gr,TP}$ muss größer sein, als die Grenzfrequenz des Hochpassfilter $f_{Gr,HP}$ (siehe <imgref pic2>). Wie sieht aber nun der Frequenzgang aus? Dies soll im Folgenden hergeleitet werden. ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic3| Schaltung des Bandpassfilter auf Basis des invertierenden Verstärkers > </imgcaption> \\ {{drawio>Schaltung_Bandpassfilter_invertierender_Verstärker}} </panel></WRAP> === Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers === == Realisation == Aus [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Kapitel 5]] sind die Schaltungen von Hochpass- und Tiefpass-Filter bekannt. Daraus lässt sich die in <imgref pic3> dargestellte Schaltung ableiten. Diese soll etwas näher betrachtet werden. Die Extremalwertbetrachtung ergibt: * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.** * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.** == komplexwertige Betrachtung == Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, invertierenden Verstärker hergeleitet werden: $\underline{A}_V = {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_E}} = - {{\underline{Z}_2}\over{\underline{Z}_1}} = - {\underline{Z}_2}\cdot {1\over{\underline{Z}_1}} = - \Large{{{R_2\cdot {1\over{j\omega C_2}}}\over{{R_2 + {1\over{j\omega C_2}}}}}}\cdot{1 \over{{R_1 + {1\over{j\omega C_1}}}}}= - \Large{{{R_2}\over{{j\omega C_2 R_2 + 1}}}}\cdot{j\omega C_1 \over{{j\omega C_1 R_1 + 1}}} \Bigg| {{\cdot R_1}\over{\cdot R_1}}$ $\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$ Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen: - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht dem [[3_grundschaltungen_i#invertierender_verstaerker|invertierenden Verstärker]] - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht dem [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Tiefpass 1. Ordnung]] - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: : Dies entspricht dem [[5_filterschaltungen_i#hochpass|Hochpass 1. Ordnung]] Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion: * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\ * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $. Damit ergibt sich $|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 C_2^2 R_2^2}} \cdot \large{{\omega \cdot C_1 R_1} \over \sqrt{1+ \omega^2 C_1^2 R_1^2}}$ Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden. Die erzeugt zwar zunächst eine unhandliche Gleichung - aus dieser kann aber eine realwertige Konstante abgetrennt werden. $\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over \color{SpringGreen}\boxed{\color{black}{1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{teal}{{1- j\omega \cdot C_2 R_2} \over \color{SpringGreen}\boxed{\color{black}{1- j\omega \cdot C_2 R_2}}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{Apricot}\boxed{\color{black}{1+ j\omega \cdot C_1 R_1}} \cdot \large\color{brown}{{1- j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1- j\omega \cdot C_1 R_1}}$ $\color{Apricot}{\boxed{\color{green}{1+1}}}$ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic6| Bodediagramm Bandpass> </imgcaption> \\ {{drawio>Bodediagramm_Bandpass}} </panel></WRAP> ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ====== 6.2 Bandsperre ====== Elektrotechnik 2 und Elektrotechnik Labor haben bereits Einblicke in Schwingkreise gegeben. In diesen Schaltungen ergeben sich bei bestimmte Frequenzen Schwingungen, die Energien aus dem System aufnehmen können ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ === beliebige periodische Signale === <WRAP right><imgcaption pic5|Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen> {{elektronische_schaltungstechnik:fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif}} </imgcaption> </WRAP> Im vorherigen Kapitel wurde bereits eine sinusförmige Eingangsspannung zur Analyse herangezogen. Wie wirken die Filter Hier soll nun nochmals kurz ein Fokus darauf gelegt werden. In <imgref pic5> ist zu sehen, dass ein Rechtecksignal durch mehrere sinusförmige Signale angenähert werden kann. Werden von diesen Signalen die Amplituden über die Frequenz aufgetragen, so erhält man ein Abbild des Signals im Frequenzbereich. Diese Umwandlung geschieht rechnerisch über die [[https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation|Fouriertransformation]] und wird in weiterführenden Fächern, wie Regelungstechnik, Signale und Systeme und Digitale Signalverarbeitung ausführlich behandelt. Für sehr schnelle Änderungen werden hochfrequente Anteile benötigt. Bereits beim [[4_grundschaltungen_ii#umkehraddierer|Umkehraddierer]] wurde ersichtlich, dass aus mehreren sinusförmigen Spannungen ein periodisches Sägezahnsignal zusammengesetzt werden kann. ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right><imgcaption pic6|Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen> {{elektronische_schaltungstechnik:fourier_series_square_wave_circles_animation.gif}} </imgcaption> </WRAP> <WRAP right><imgcaption pic7|Annäherung an ein beliebiges Signal> {{elektronische_schaltungstechnik:example_of_fourier_convergence.gif}} </imgcaption> </WRAP> Aus den Sinus Das englische Video [[https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k|But what is a Fourier series?]] erklärt anschaulich, wie selbst Vektorbilder über die Überlagerung von Sinusfunktionen generiert werden können. {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zhvkeaa8/width/1000/height/700/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 1000,700 noborder}} Von der Seite [[https://www.geogebra.org/m/zhvkeaa8|www.geogebra.org/m/zhvkeaa8]], Autor: Tim Fischer. ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ==== Hausarbeiten ==== Beispiel: Auswertung eines Infrarot-Sensors: * Vom Hersteller fehlen die Knoten in der Schaltung --> korrekte Schaltung ist zu zeichnen * welchen Grundschaltungen entspricht OPV 1 und 2? Welchen Filtenn entsprechen beide? {{elektronische_schaltungstechnik:murata_beispiel_opv_schaltung.jpg?600}} ====== Referenzen ====== --> Referenzen zu den genutzten Medien # ^ Element ^ Lizenz ^ Link ^ | <imgref pic5>: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen | Public Domain | https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif | | <imgref pic6>: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en|CC-BY SA 3.0]] | https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif | | <imgref pic7>: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en|CC-BY SA 4.0]] | https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Example_of_Fourier_Convergence.gif | <--