In Block 02 wurde das Bode-Diagramm als Werkzeug zur Beschreibung frequenzabhängiger Schaltungen eingeführt.
In Block 03 wurde deutlich, dass Kondensatoren frequenzabhängige Impedanzen besitzen und reale Kondensatoren zusätzliche Grenzen aufweisen.
Nun werden beide Ideen zusammengeführt.
In der Leit-Schaltung soll das Shunt-Signal ausgewertet werden. Gleichzeitig entstehen durch die PWM bei etwa $30~\mathrm{kHz}$ schnelle Signalanteile, die für die eigentliche Strommessung möglicherweise unerwünscht sind.
Ein möglicher Ansatz ist ein RC-Tiefpass.
Damit entsteht erstmals eine echte Entwurfsfrage:
Wie müssen $R$ und $C$ gewählt werden, damit gewünschte Frequenzen weitgehend erhalten bleiben und unerwünschte Frequenzen ausreichend gedämpft werden?
Nach diesem 90-minütigen Block können Sie
Wiederholen Sie aus Block 02:
Wiederholen Sie aus Block 03:
$Z_C={1\over{\rm j}\omega C}$
und qualitativ:
Ein reales Messsignal besteht häufig aus mehreren Frequenzanteilen.
Beispiel Leit-Schaltung:
Ein Filter soll nicht einfach „das Signal glätten“.
Stattdessen muss festgelegt werden:
Ein Filter wird nicht ausgehend von $R$ und $C$ dimensioniert.
Am Anfang steht eine Anforderung an den Frequenzgang.
[Schaltung: R in Reihe, C nach GND, Ausgang über C]
[Falstad-Simulation RC-Tiefpass mit veränderbarer Frequenz]
Für $f\rightarrow0$ wird $|Z_C|$ sehr groß.
Der Kondensator wirkt näherungsweise wie eine Unterbrechung.
Damit gilt näherungsweise:
$U_{\rm O}\approx U_{\rm I}$.
Für $f\rightarrow\infty$ wird $|Z_C|$ klein.
Der Kondensator leitet das Ausgangssignal zunehmend gegen Masse ab.
Damit gilt:
$U_{\rm O}\rightarrow0$.
Aus diesen beiden Grenzfällen lässt sich bereits das qualitative Bode-Diagramm vorhersagen:
Mit
$Z_C={1\over{\rm j}\omega C}$
und dem Spannungsteiler ergibt sich:
$\underline A(\omega) =z_c_over_r_z_c$
und daraus
$\boxed{\underline A(\omega)={1\over1+{\rm j}\omega RC}}$.
Der Betrag lautet:
$|A(\omega)|={1\over\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$.
Die Phase ist:
$\varphi(\omega)=-\arctan(\omega RC)$.
Die Grenzfrequenz liegt dort, wo
$|Z_C|=R$.
Daraus folgt:
$\boxed{f_c={1\over2\pi RC}}$.
An dieser Stelle gilt:
$|A(f_c)|={1\over\sqrt2}\approx0.707$
bzw.
$A_{\rm dB}(f_c)\approx-3~\mathrm{dB}$.
Die Phase beträgt
$\varphi(f_c)=-45^\circ$.
[draw.io: exaktes und asymptotisches Bode-Diagramm]
Der Amplitudengang kann näherungsweise durch zwei Geraden beschrieben werden:
Die beiden asymptotischen Geraden schneiden sich bei $f_c$.
Der tatsächliche Frequenzgang liegt dort jedoch bei $-3~\mathrm{dB}$.
Die asymptotische Bode-Darstellung ist eine Näherung.
Sie eignet sich sehr gut zum schnellen Abschätzen, ersetzt aber nicht den exakten Frequenzgang im Übergangsbereich.
Für einen RC-Tiefpass mit bekannten $R$ und $C$:
[Schaltung: C in Reihe, R nach GND, Ausgang über R]
Auch hier können zunächst die Grenzfälle betrachtet werden.
$|Z_C|$ ist groß.
Das Eingangssignal wird kaum zum Ausgang übertragen.
$U_{\rm O}\rightarrow0$.
$|Z_C|$ wird klein.
Der Kondensator wirkt näherungsweise wie eine Verbindung.
$U_{\rm O}\approx U_{\rm I}$.
Damit überträgt der Hochpass hohe Frequenzen und dämpft niedrige Frequenzen.
Die Grenzfrequenz lautet auch hier:
$f_c={1\over2\pi RC}$.
[Kurze Vergleichstabelle Tiefpass/Hochpass]
| Eigenschaft | Tiefpass | Hochpass |
|---|---|---|
| niedrige Frequenzen | werden übertragen | werden gedämpft |
| hohe Frequenzen | werden gedämpft | werden übertragen |
| Steigung im Sperrbereich | $-20~\mathrm{dB/dec}$ | $+20~\mathrm{dB/dec}$ |
| Betrag bei $f_c$ | $-3~\mathrm{dB}$ | $-3~\mathrm{dB}$ |
Nun wird die Blickrichtung umgedreht.
Bisher wurde gefragt:
Welchen Frequenzgang erzeugen gegebene Werte $R$ und $C$?
Beim Entwurf lautet die Frage:
Welche Werte $R$ und $C$ benötigen wir für einen gewünschten Frequenzgang?
Aus
$f_c={1\over2\pi RC}$
folgt beispielsweise:
$C={1\over2\pi Rf_c}$.
Es existieren unendlich viele Kombinationen von $R$ und $C$, die dieselbe Grenzfrequenz erzeugen.
Die Wahl ist daher zusätzlich von praktischen Randbedingungen abhängig:
Gesucht ist ein Tiefpass mit
$f_c=10~\mathrm{kHz}$.
Es wird zunächst $R=1~\mathrm{k\Omega}$ gewählt.
Damit ergibt sich:
$C={1\over2\pi\cdot1~\mathrm{k\Omega}\cdot10~\mathrm{kHz}} \approx15.9~\mathrm{nF}$.
Ein verfügbarer Standardwert könnte beispielsweise $C=15~\mathrm{nF}$ oder $16~\mathrm{nF}$ sein.
Anschließend muss die tatsächlich resultierende Grenzfrequenz erneut bestimmt werden.
In der Leit-Schaltung liegt ein PWM-Anteil bei ungefähr
$f_{\rm PWM}=30~\mathrm{kHz}$
vor.
Nehmen wir als ersten Entwurf:
$R=1~\mathrm{k\Omega}$
und
$C=10~\mathrm{nF}$.
Dann liegt die Grenzfrequenz bei ungefähr
$f_c={1\over2\pi\cdot1~\mathrm{k\Omega}\cdot10~\mathrm{nF}} \approx15.9~\mathrm{kHz}$.
Die PWM-Frequenz liegt damit nur knapp eine Oktave oberhalb der Grenzfrequenz.
Frage:
Wie stark wird ein Signal bei $30~\mathrm{kHz}$ tatsächlich gedämpft?
Bestimmen Sie den Wert zunächst aus dem Bode-Diagramm bzw. der Falstad-Simulation.
Diese Betrachtung zeigt einen wichtigen Punkt:
Eine Grenzfrequenz unterhalb der Störfrequenz bedeutet nicht automatisch, dass die Störung stark unterdrückt wird.
Ein Filter erster Ordnung besitzt nur eine Flankensteilheit von $-20~\mathrm{dB/dec}$.
Bisher wurde angenommen, dass der Ausgang des Filters nicht belastet wird.
Reale Schaltungen besitzen jedoch eine endliche Eingangsimpedanz.
Wird am Ausgang des Tiefpasses ein Lastwiderstand $R_L$ angeschlossen, liegt dieser parallel zum Kondensator.
Damit verändert sich
[Falstad: unbelasteter und belasteter Tiefpass]
Praktische Untersuchung:
Ein passiver Filter kann nicht unabhängig von Quelle und Last betrachtet werden.
Die nachfolgende Schaltung ist Teil des Filters.
Der passive RC-Tiefpass ist
Er besitzt aber auch Grenzen:
Wenn stärkere Filterung oder eine definierte Verstärkung erforderlich ist, können aktive Filter verwendet werden.
Damit ist die Brücke zum nächsten Block vorbereitet.
Aufgabenideen:
1. Tiefpass verstehen:
2. Grenzfrequenz:
3. Dimensionierung:
4. Dämpfung bei der PWM-Frequenz:
5. Filtervarianten vergleichen:
6. Belasteter Tiefpass:
7. Entwurfsaufgabe Leit-Schaltung:
Für die Strommessung reicht ein passiver Filter nicht immer aus.
Das Shunt-Signal ist klein und muss zusätzlich verstärkt werden. Gleichzeitig soll die nachfolgende Schaltung den passiven Filter möglichst wenig belasten.
Im nächsten Block wird deshalb der Operationsverstärker als reales Bauteil wieder aufgegriffen.
Dabei werden insbesondere
betrachtet.