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Formelsammlung EEE1 / EEE2

Konstanten

EEE1

1. Grundgrößen

2. Leistung an Widerständen

\[ P=UI \]

\[ P=RI^2=\frac{U^2}{R} \]

\[ W=P\cdot t=UIt \]

3. Kirchhoff-Regeln und Widerstandsnetzwerke

Knotenregel

\[ \sum_k I_k=0 \]

Maschenregel

\[ \sum_k U_k=0 \]

Reihenschaltung von Widerständen

\[ R_\mathrm{eq}=\sum_k R_k \]

\[ U_k=I\cdot R_k \]

Parallelschaltung von Widerständen

\[ G_\mathrm{eq}=\sum_k G_k \]

\[ \frac{1}{R_\mathrm{eq}}=\sum_k\frac{1}{R_k} \]

Für zwei Widerstände:

\[ R_\mathrm{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2} \]

Spannungsteiler, unbelastet

\[ U_1=U\frac{R_1}{R_1+R_2} \]

\[ U_2=U\frac{R_2}{R_1+R_2} \]

Spannungsteiler, belastet

Mit Last $R_L$ parallel zu $R_1$:

\[ U_1=U\cdot\frac{R_1\parallel R_L}{R_2+(R_1\parallel R_L)} \]

\[ R_1\parallel R_L=\frac{R_1R_L}{R_1+R_L} \]

Alternative Form:

\[ U_1=\frac{U}{1+\frac{R_2}{R_L}+\frac{R_2}{R_1}} \]

Stromteiler

Für zwei parallele Widerstände:

\[ I_1=I\frac{R_2}{R_1+R_2} \]

\[ I_2=I\frac{R_1}{R_1+R_2} \]

Allgemein über Leitwerte:

\[ I_k=I\frac{G_k}{\sum_i G_i} \]

Brückenschaltung, Abgleichbedingung

\[ \frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4} \]

\[ R_1R_4=R_2R_3 \]

4. Quellen, Ersatzschaltungen und Leistungsanpassung

Lineare Quelle

\[ U=U_0-R_iI \]

\[ I=I_K-G_iU \]

Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom

\[ U_0=U_\mathrm{OC} \]

\[ I_K=I_\mathrm{SC} \]

\[ R_i=\frac{U_\mathrm{OC}}{I_\mathrm{SC}} \]

\[ G_i=\frac{I_\mathrm{SC}}{U_\mathrm{OC}} \]

Thevenin- und Norton-Äquivalent

Superpositionsprinzip

• Nur in linearen Netzwerken.
• Spannungsquellen deaktivieren: Kurzschluss.
• Stromquellen deaktivieren: Leerlauf.
• Spannungen und Ströme addieren.
• Leistungen nicht direkt addieren.

Wirkungsgrad

\[ \eta=\frac{P_\mathrm{out}}{P_\mathrm{in}} \]

Für Quelle mit Innenwiderstand $R_i$ und Last $R_L$:

\[ \eta=\frac{R_L}{R_i+R_L} \]

Leistungsanpassung

Maximale Lastleistung bei:

\[ R_L=R_i \]

Nutzungsgrad:

\[ \varepsilon=\frac{R_LR_i}{(R_L+R_i)^2} \]

Bei Leistungsanpassung:

\[ \varepsilon_\mathrm{max}=\frac{1}{4} \]

5. Elektrisches Feld

Coulomb-Kraft

\[ \vec{F}_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}\vec{e}_r \]

Elektrische Feldstärke einer Punktladung

\[ \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r^2}\vec{e}_r \]

\[ \vec{F}=q\vec{E} \]

\[ [E]=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} \]

Spannung im Feld

\[ U=\int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{s} \]

\[ \Delta W=q\int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{s} \]

Homogenes Plattenfeld

\[ E=\frac{U}{d} \]

Ladungsdichten

\[ \rho_l=\frac{Q}{l} \]

\[ \rho_A=\frac{Q}{A} \]

\[ \rho_V=\frac{Q}{V} \]

Differentiell:

\[ \rho_l=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}l},\quad \rho_A=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}A},\quad \rho_V=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}V} \]

6. Elektrische Flussdichte und Gaußsches Gesetz

Elektrische Flussdichte

\[ \vec{D}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} \]

\[ \vec{E}=\frac{\vec{D}}{\varepsilon_0\varepsilon_r} \]

Gaußsches Gesetz

\[ Q=\oint_A \vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{A} \]

Plattenanordnung

\[ D=\frac{Q}{A} \]

\[ E=\frac{D}{\varepsilon} \]

Koaxiale Anordnung

\[ D(r)=\frac{Q}{2\pi lr} \]

\[ E(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon lr} \]

7. Kapazität und Kondensatoren

Definition

\[ C=\frac{Q}{U} \]

\[ Q=CU \]

Plattenkondensator

\[ C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d} \]

Zylinderkondensator / Koaxialkabel

\[ C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{2\pi l}{\ln\left(\frac{R_o}{R_i}\right)} \]

Kugelkondensator

\[ C=4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{R_iR_o}{R_o-R_i} \]

Kondensatoren parallel

\[ C_\mathrm{eq}=\sum_k C_k \]

\[ U_1=U_2=\dots=U \]

\[ Q_\mathrm{ges}=\sum_k Q_k \]

Kondensatoren in Reihe

\[ \frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\sum_k\frac{1}{C_k} \]

\[ Q_1=Q_2=\dots=Q \]

\[ U_\mathrm{ges}=\sum_k U_k \]

Energie im Kondensator

\[ W_C=\frac{1}{2}CU^2 \]

\[ W_C=\frac{1}{2}QU \]

\[ W_C=\frac{Q^2}{2C} \]

8. Stromdichte und Leitung im Feld

Stromdichte

\[ \vec{J}=\sigma\vec{E} \]

\[ \sigma=\frac{1}{\rho} \]

Strom durch Fläche

\[ I=\iint_A \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{A} \]

Spannung entlang Weg

\[ U=\int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{s} \]

Leitwert aus Feldgrößen

\[ G=\frac{I}{U} = \frac{\iint_A \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{A}} {\int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{s}} \]

Platte

\[ G=\sigma\frac{A}{l} \]

\[ R=\frac{l}{\sigma A} \]

Koaxialanordnung

\[ G=\frac{2\pi\sigma l}{\ln\left(\frac{r_a}{r_i}\right)} \]

9. Magnetisches Feld

Magnetische Feldstärke um langen geraden Leiter

\[ H_\varphi(r)=\frac{I}{2\pi r} \]

\[ [H]=\mathrm{\frac{A}{m}} \]

Im Leiterinneren bei homogener Stromdichte

Für Leiter radius $r_L$:

\[ H(r)=\frac{I_0r}{2\pi r_L^2} \quad (r<r_L) \]

Magnetische Spannung / Durchflutung

\[ V_m=\int \vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{s} \]

\[ \Theta=\oint \vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{s} \]

Für eine Spule:

\[ \Theta=NI \]

Allgemein:

\[ \Theta=\sum_k N_kI_k \]

Lange Spule

\[ H=\frac{NI}{l} \]

Ringspule / Toroid

\[ H=\frac{NI}{2\pi R} \]

Magnetische Flussdichte

\[ \vec{B}=\mu\vec{H} \]

\[ \mu=\mu_0\mu_r \]

Lorentzkraft auf stromdurchflossenen Leiter

\[ \vec{F}=I\vec{l}\times\vec{B} \]

\[ F=IlB\sin\alpha \]

10. Magnetischer Fluss, Induktion und magnetischer Kreis

Magnetischer Fluss

\[ \Phi=\iint_A \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A} \]

\[ [\Phi]=\mathrm{Wb}=\mathrm{Vs} \]

Für geschlossene Oberfläche:

\[ \oint_A \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}=0 \]

Faradaysches Induktionsgesetz

\[ u_\mathrm{ind}=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \]

Für $N$ Windungen:

\[ u_\mathrm{ind}=-N\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \]

Magnetischer Widerstand / Reluktanz

\[ R_m=\frac{\Theta}{\Phi} \]

Für homogenen Abschnitt:

\[ R_m=\frac{l}{\mu A} \]

Magnetischer Kreis

\[ \sum_k \Phi_k=0 \]

\[ \sum_k \Theta_k=0 \]

\[ \Theta=R_m\Phi \]

Luftspalt

\[ R_{m,\delta}=\frac{\delta}{\mu_0A} \]

11. Induktivität

Definition

\[ L=\frac{\Psi}{i} \]

\[ \Psi=N\Phi \]

\[ u_L=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \]

Mit Lenzschem Vorzeichen für induzierte Gegenspannung:

\[ u_\mathrm{ind}=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \]

Lange Spule

\[ L=\mu_0\mu_r\frac{N^2A}{l} \]

Ringspule

\[ L=\mu_0\mu_r\frac{N^2h(r_o-r_i)}{\pi(r_o+r_i)} \]

Induktivitäten in Reihe

\[ L_\mathrm{eq}=\sum_k L_k \]

Induktivitäten parallel

\[ \frac{1}{L_\mathrm{eq}}=\sum_k\frac{1}{L_k} \]

Energie in der Spule

\[ W_L=\frac{1}{2}LI^2 \]

12. Operationsverstärker, ideal

Idealer OPV

\[ A_0\rightarrow\infty \]

\[ R_\mathrm{in}\rightarrow\infty \]

\[ R_\mathrm{out}\rightarrow0 \]

Bei Gegenkopplung:

\[ u_+=u_- \]

\[ i_+=i_-=0 \]

Invertierender Verstärker

\[ U_a=-\frac{R_2}{R_1}U_e \]

\[ A_v=-\frac{R_2}{R_1} \]

Nichtinvertierender Verstärker

\[ U_a=\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)U_e \]

\[ A_v=1+\frac{R_2}{R_1} \]

Spannungsfolger

\[ U_a=U_e \]

\[ A_v=1 \]

Addierer, invertierend

\[ U_a=-R_f\left(\frac{U_1}{R_1}+\frac{U_2}{R_2}+\dots+\frac{U_n}{R_n}\right) \]

Bei gleichen Eingangswiderständen $R$:

\[ U_a=-\frac{R_f}{R}\sum_k U_k \]

Subtrahierer, symmetrisch

Bei $R_1=R_3$ und $R_2=R_4$:

\[ U_a=\frac{R_2}{R_1}(U_2-U_1) \]

EEE2

13. RC-Schaltvorgänge

Zeitkonstante

\[ \tau=RC \]

Nach ungefähr $5\tau$ gilt der Endzustand praktisch als erreicht.

Allgemeine Lösung 1. Ordnung

\[ x(t)=x(\infty)+\left[x(0^+)-x(\infty)\right]e^{-t/\tau} \]

Kondensator lädt von 0 auf $U_s$

\[ u_C(t)=U_s\left(1-e^{-t/(RC)}\right) \]

\[ i_C(t)=\frac{U_s}{R}e^{-t/(RC)} \]

\[ q_C(t)=C u_C(t) \]

Bei $t=\tau$:

\[ u_C(\tau)\approx0.632U_s \]

Kondensator entlädt von $U_s$ auf 0

\[ u_C(t)=U_s e^{-t/(RC)} \]

\[ i_C(t)=-\frac{U_s}{R}e^{-t/(RC)} \]

Bei $t=\tau$:

\[ u_C(\tau)\approx0.368U_s \]

Energieänderung Kondensator

\[ \Delta W_C=\frac{1}{2}C(U_1^2-U_0^2) \]

14. Wechselstrom-Grundlagen

Sinusförmige Größen

\[ u(t)=\hat{U}\sin(\omega t+\varphi_u) \]

\[ i(t)=\hat{I}\sin(\omega t+\varphi_i) \]

\[ \omega=2\pi f \]

\[ T=\frac{1}{f} \]

Effektivwert

\[ X_\mathrm{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T x^2(t)\,\mathrm{d}t} \]

Für Sinus:

\[ U=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}} \]

\[ I=\frac{\hat{I}}{\sqrt{2}} \]

Phasenwinkel

\[ \varphi=\varphi_u-\varphi_i \]

15. Komplexe Rechnung und Impedanzen

Komplexe Darstellung

\[ \underline{X}=X e^{j\varphi}=X(\cos\varphi+j\sin\varphi) \]

\[ j^2=-1 \]

Komplexer Widerstand / Impedanz

\[ \underline{Z}=\frac{\underline{U}}{\underline{I}} \]

\[ \underline{Z}=R+jX \]

\[ Z=|\underline{Z}|=\sqrt{R^2+X^2} \]

\[ \varphi=\arctan\left(\frac{X}{R}\right) \]

Bauteilimpedanzen

Admittanz

\[ \underline{Y}=\frac{1}{\underline{Z}} \]

\[ \underline{Y}=G+jB \]

Komplexes Ohmsches Gesetz

\[ \underline{U}=\underline{Z}\,\underline{I} \]

\[ \underline{I}=\underline{Y}\,\underline{U} \]

Reihenschaltung bei AC

\[ \underline{Z}_\mathrm{eq}=\sum_k \underline{Z}_k \]

Parallelschaltung bei AC

\[ \underline{Y}_\mathrm{eq}=\sum_k \underline{Y}_k \]

\[ \frac{1}{\underline{Z}_\mathrm{eq}}=\sum_k\frac{1}{\underline{Z}_k} \]

Spannungsteiler mit Impedanzen

\[ \underline{U}_1=\underline{U}\frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_1+\underline{Z}_2} \]

Stromteiler mit Impedanzen

\[ \underline{I}_1=\underline{I}\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1+\underline{Z}_2} \]

16. Komplexe Leistung

Augenblicksleistung

\[ p(t)=u(t)i(t) \]

Scheinleistung

\[ S=UI \]

Wirkleistung

\[ P=UI\cos\varphi \]

Blindleistung

\[ Q=UI\sin\varphi \]

Komplexe Leistung

\[ \underline{S}=\underline{U}\,\underline{I}^* \]

\[ \underline{S}=P+jQ \]

\[ \underline{S}=UIe^{j\varphi} \]

Leistungsdreieck

\[ S^2=P^2+Q^2 \]

\[ \cos\varphi=\frac{P}{S} \]

\[ \sin\varphi=\frac{Q}{S} \]

Leistungen an idealen Bauteilen

17. Filter und Grenzfrequenzen

Allgemeine Übertragungsfunktion

\[ \underline{A}=\frac{\underline{U}_\mathrm{out}}{\underline{U}_\mathrm{in}} \]

\[ A=|\underline{A}| \]

Bei Grenzfrequenz einfacher passiver Filter:

\[ A=\frac{1}{\sqrt{2}} \]

RC-Tiefpass

Ausgang am Kondensator:

\[ \underline{A}=\frac{1}{1+j\omega RC} \]

\[ A=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \]

\[ f_c=\frac{1}{2\pi RC} \]

RC-Hochpass

Ausgang am Widerstand:

\[ \underline{A}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC} \]

\[ A=\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \]

\[ f_c=\frac{1}{2\pi RC} \]

RL-Tiefpass

Ausgang am Widerstand:

\[ \underline{A}=\frac{R}{R+j\omega L} \]

\[ A=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega L}{R}\right)^2}} \]

\[ f_c=\frac{R}{2\pi L} \]

RL-Hochpass

Ausgang an der Spule:

\[ \underline{A}=\frac{j\omega L}{R+j\omega L} \]

\[ A=\frac{\omega L/R}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega L}{R}\right)^2}} \]

\[ f_c=\frac{R}{2\pi L} \]

18. RLC-Schwingkreise

Serien-RLC

\[ \underline{Z}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right) \]

Resonanzbedingung:

\[ \omega_0L=\frac{1}{\omega_0C} \]

\[ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \]

\[ f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Bei Resonanz:

\[ \underline{Z}=R \]

Güte, Serienkreis

\[ Q=\frac{\omega_0L}{R} \]

\[ Q=\frac{1}{\omega_0CR} \]

Bandbreite, Serienkreis

\[ \Delta\omega=\frac{R}{L} \]

\[ Q=\frac{\omega_0}{\Delta\omega} \]

Parallel-RLC, idealisiert

\[ \underline{Y}=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right) \]

Resonanz:

\[ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \]

19. Magnetisch gekoppelte Spulen / Transformator

Gegenseitige Induktivität

\[ M=k\sqrt{L_1L_2} \]

\[ 0\le k\le1 \]

Gekoppelte Spulen

Je nach Punktkonvention mit Vorzeichen $\pm$:

\[ u_1=L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}\pm M\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} \]

\[ u_2=L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}\pm M\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} \]

Idealer Transformator

\[ \frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2} \]

\[ \frac{I_1}{I_2}=-\frac{N_2}{N_1} \]

\[ P_1=P_2 \]

Transformierte Lastimpedanz

\[ \underline{Z}'=\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2\underline{Z}_L \]

20. Halbleiter und Diode

Thermische Spannung

\[ U_T=\frac{kT}{q} \]

Bei $T\approx300\,\mathrm{K}$:

\[ U_T\approx25.85\,\mathrm{mV} \]

Shockley-Gleichung

\[ I_D=I_S\left(e^{\frac{U_D}{nU_T}}-1\right) \]

$n$: Emissionskoeffizient, typischerweise $1\dots2$.

Vereinfachtes Diodenmodell

Kleinsignalwiderstand Diode

\[ r_d\approx\frac{nU_T}{I_D} \]

21. Diodenanwendungen

Einweggleichrichter, ideal

Mittelwert bei Sinus-Eingang:

\[ U_\mathrm{DC}\approx\frac{\hat{U}}{\pi} \]

Brückengleichrichter / Zweiweggleichrichter, ideal

\[ U_\mathrm{DC}\approx\frac{2\hat{U}}{\pi} \]

Glättungskondensator, grobe Näherung

\[ \Delta U\approx\frac{I_L}{f_r C} \]

Begrenzerschaltung mit Diode

Positive Begrenzung, idealisiert:

\[ u_\mathrm{out}\lessapprox U_\mathrm{ref}+U_D \]

Negative Begrenzung, idealisiert:

\[ u_\mathrm{out}\gtrapprox U_\mathrm{ref}-U_D \]

22. Bipolartransistor, Basisformeln

Ströme

\[ I_E=I_C+I_B \]

\[ I_C=\beta I_B \]

\[ I_E=(\beta+1)I_B \]

\[ \alpha=\frac{I_C}{I_E} \]

\[ \beta=\frac{I_C}{I_B} \]

\[ \alpha=\frac{\beta}{\beta+1} \]

Basis-Emitter-Spannung, Silizium

\[ U_{BE}\approx0.7\,\mathrm{V} \]

Betriebsbereiche, NPN

Kleinsignalgrößen

\[ g_m=\frac{I_C}{U_T} \]

\[ r_e\approx\frac{U_T}{I_E} \]

\[ r_\pi=\frac{\beta}{g_m} \]

Emitterschaltung, grobe Spannungsverstärkung

Ohne Emittergegenkopplung:

\[ A_v\approx-g_mR_C \]

Mit Emitterwiderstand, grob:

\[ A_v\approx-\frac{R_C}{r_e+R_E} \]

23. MOSFET, Basisformeln

N-Kanal Enhancement MOSFET

Linearbereich

\[ I_D\approx k\left[(U_{GS}-U_{th})U_{DS}-\frac{U_{DS}^2}{2}\right] \]

Sättigungsbereich

\[ I_D\approx\frac{k}{2}(U_{GS}-U_{th})^2 \]

Mit Kanallängenmodulation:

\[ I_D\approx\frac{k}{2}(U_{GS}-U_{th})^2(1+\lambda U_{DS}) \]

Transkonduktanz

\[ g_m\approx\frac{2I_D}{U_{GS}-U_{th}} \]

24. Nützliche Umformungen

Logarithmen und Exponentialfunktionen bei RC-Vorgängen

Aus

\[ u_C(t)=U_s(1-e^{-t/\tau}) \]

folgt für Laden auf Anteil $a=\frac{u_C}{U_s}$:

\[ t=-\tau\ln(1-a) \]

Aus

\[ u_C(t)=U_0e^{-t/\tau} \]

folgt für Entladen auf Anteil $a=\frac{u_C}{U_0}$:

\[ t=-\tau\ln(a) \]

dB-Umrechnung

Für Spannungs- oder Stromverhältnisse:

\[ A_\mathrm{dB}=20\log_{10}\left(\frac{X_2}{X_1}\right) \]

Für Leistungsverhältnisse:

\[ P_\mathrm{dB}=10\log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right) \]

Häufige Näherungen