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| ====== 1. Grundlagen und Grundbegriffe ====== | {{drawio>diagram99.png}} |
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| ===== 1.1 Physikalische Größen ===== | #@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#~~#@ee1_taskctr#~~ Machine-Vision Strobe Unit: Charging and Safe Discharge of a Flash Capacitor #@TaskText_HTML@# |
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| <callout> | A machine-vision inspection system on a production line uses a short high-voltage flash pulse. For this purpose, an energy-storage capacitor is charged from a DC source and must be safely discharged before maintenance. |
| === Ziele === | |
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| Nach dieser Lektion sollten Sie: | Data: \begin{align*} C &= 1~{\rm \mu F} \\ W_e &= 0.1~{\rm J} \\ I_{\rm max} &= 100~{\rm mA} \\ R_i &= 10~{\rm M\Omega} \end{align*} |
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| - die physikalischen Basisgrößen und die dazugehörigen SI-Einheiten kennen. | 1. What voltage must the capacitor have so that it stores the required energy? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~101~@# <WRAP leftalign> \begin{align*} W_e &= \frac{1}{2} C U^2 \\ U &= \sqrt{\frac{2W_e}{C}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.1~{\rm J}}{1 \cdot 10^{-6}~{\rm F}}} \\ &= \sqrt{200000}~{\rm V} \approx 447.2~{\rm V} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~101~@# \begin{align*} U = 447.2~{\rm V} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| - die die wichtigsten Präfixe kennen. Sie können der jeweiligen Abkürzung eine Zehnerpotenz zuordnen (G, M, k, d, c, m, µ, n). | |
| - in eine vorhandene Größengleichung gegebene Zahlenwerte und Einheiten einsetzen können. Daraus sollten Sie mit einem Taschenrechner das richtige Ergebnis berechnen können. | |
| - die griechischen Buchstaben zuordnen können. | |
| - immer mit Zahlenwert und Einheit rechnen. | |
| - wissen, dass eine bezogene Größengleichung dimensionslos ist! | |
| </callout> | |
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| <callout> | 2. The charging current must not exceed $100~\rm mA$ at the start of charging. What charging resistor is required? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~102~@# <WRAP leftalign> At the beginning of charging, the capacitor behaves like a short circuit, so \begin{align*} i_{C{\rm max}} = i_C(t=0) = \frac{U}{R} \end{align*} Thus, \begin{align*} R &\ge \frac{U}{I_{\rm max}} = \frac{447.2~{\rm V}}{0.1~{\rm A}} \\ &\approx 4472~{\rm \Omega} = 4.47~{\rm k\Omega} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~102~@# \begin{align*} R \ge 4.47~{\rm k\Omega} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| Der KIT-Brückenkurs bietet eine ähnliche Einführung zu [[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.1.2/modstart.html|physikalischen Größen]] an | |
| </callout> | |
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| ==== Basisgrößen ==== | 3. How long does the charging process take until the capacitor is practically fully charged? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~103~@# <WRAP leftalign> The time constant is \begin{align*} T = RC = 4.47~{\rm k\Omega} \cdot 1~{\rm \mu F} = 4.47~{\rm ms} \end{align*} In engineering practice, a capacitor is considered practically fully charged after about $5T$: \begin{align*} t \approx 5T = 5 \cdot 4.47~{\rm ms} = 22.35~{\rm ms} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~103~@# \begin{align*} t \approx 22.35~{\rm ms} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| <WRAP 50%> | |
| Kurzpräsentation der SI-Einheiten | |
| {{youtube>Fq0J-V4PUoc}} | |
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| <tabcaption tab01| SI-Einheiten> | 4. Give the time-dependent capacitor voltage and the voltage across the charging resistor. <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~104~@# <WRAP leftalign> For the charging process: \begin{align*} u_C(t) &= U\left(1-e^{-t/T}\right) \\ u_R(t) &= Ue^{-t/T} \end{align*} with \begin{align*} U &= 447.2~{\rm V} \\ T &= 4.47~{\rm ms} \end{align*} So the capacitor voltage rises exponentially from $0$ to $447.2~\rm V$, while the resistor voltage falls exponentially from $447.2~\rm V$ to $0$. </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~104~@# \begin{align*} u_C(t) &= 447.2\left(1-e^{-t/4.47{\rm ms}}\right)~{\rm V} \\ u_R(t) &= 447.2\,e^{-t/4.47{\rm ms}}~{\rm V} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
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| ^ Basisgröße ^ Name ^ Einheitenzeichen ^ Definition ^ | 5. After charging, the capacitor is disconnected from the source. Its leakage can be modeled by an internal resistance of $10~\rm M\Omega$. After what time has the stored energy dropped to one half, and what is the capacitor voltage then? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~105~@# <WRAP leftalign> Half the energy means \begin{align*} W_e' = 0.5W_e \end{align*} Since \begin{align*} W_e = \frac{1}{2}CU^2 \end{align*} the voltage at half energy is \begin{align*} U' = \frac{U}{\sqrt{2}} = \frac{447.2~{\rm V}}{\sqrt{2}} = 316.2~{\rm V} \end{align*} For the discharge through the internal resistance: \begin{align*} u_C(t) = Ue^{-t/T_2} \end{align*} with \begin{align*} T_2 = R_iC = 10~{\rm M\Omega} \cdot 1~{\rm \mu F} = 10~{\rm s} \end{align*} Set $u_C(t)=U'$: \begin{align*} Ue^{-t/T_2} &= U' \\ t &= T_2 \ln\left(\frac{U}{U'}\right) \\ &= 10~{\rm s}\cdot\ln\left(\frac{447.2}{316.2}\right) \\ &\approx 3.47~{\rm s} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~105~@# \begin{align*} U' = 316.2~{\rm V} \\ t = 3.47~{\rm s} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| | Zeit | Sekunde | s | Schwingung eines $Cä$-Atoms | | |
| | Länge | Meter | m | über s und Lichtgeschwindigkeit | | |
| | Stromstärke | Ampere | A | über s und Elementarladung | | |
| | Masse | Kilogramm | kg | noch über kg-Prototyp | | |
| | Temperatur | Kelvin | K | über Tripelpunkt des Wassers | | |
| | Stoffmenge | Mol | mol | über Anzahl des $^{12}C$-Nuklids | | |
| | Lichtstärke | Candela | cd | über vorgegebene Strahlstärke | | |
| </tabcaption> | |
| </WRAP> | |
| * Für die praktische Anwendung von physikalischen Naturgesetzen werden **physikalische Größen** in mathematische Beziehungen gesetzt. | |
| * Es gibt Basisgrößen auf Basis des SI-Einheitensystems (frz. für Système International d'Unités), siehe unten | |
| * Um die Basisgrößen quantitativ (quantum = lat. "wie groß") zu bestimmen, werden **physikalische Einheiten** definiert, z.B. $Meter$ für die Länge | |
| * In der Elektrotechnik sind die ersten drei Basisgrößen (vgl. <tabref tab01>) besonders wichtig. \\ die Masse ist für die Darstellung von Energie und Leistung wichtig. | |
| * Jede physikalische Größe wird durch ein Produkt aus **Zahlenwert** und **Einheit** angegeben: \\ z.B. $I = 2 A$ | |
| * Dies ist die Kurzform von $I = 2\cdot 1A$ | |
| * $I$ ist die physikalische Größe, hier: elektrische Stromstärke | |
| * $\{I\} = 2 $ ist der Zahlenwert | |
| * $ [I] = 1 A$ ist die (Maß-)Einheit, hier: Ampere | |
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| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | 6. The fully charged capacitor is discharged through the charging resistor before maintenance. How long does the discharge take, and how much energy is converted into heat in the resistor? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~106~@# <WRAP leftalign> The discharge time constant through the same resistor is again \begin{align*} T = RC = 4.47~{\rm ms} \end{align*} Thus the practical discharge time is \begin{align*} t \approx 5T = 22.35~{\rm ms} \end{align*} The complete stored capacitor energy is converted into heat in the resistor: \begin{align*} W_R = W_e = 0.1~{\rm Ws} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~106~@# \begin{align*} t \approx 22.35~{\rm ms} \\ W_R = 0.1~{\rm Ws} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| ==== abgeleitete Größen, SI-Einheiten und Präfixe ==== | |
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| <WRAP 50%> | #@TaskEnd_HTML@# |
| <WRAP ><WRAP half > | |
| <tabcaption tab02| Präfixe I> | |
| ^ Präfix ^ Präfixzeichen ^ Bedeutung ^ | |
| | Yotta | Y | $10^{24}$ | | |
| | Zetta | Z | $10^{21}$ | | |
| | Exa | E | $10^{18}$ | | |
| | Peta | P | $10^{15}$ | | |
| | Tera | T | $10^{12}$ | | |
| | Giga | G | $10^{9}$ | | |
| | Mega | M | $10^{6}$ | | |
| | Kilo | k | $10^{3}$ | | |
| | Hekto | h | $10^{2}$ | | |
| | Deka | de | $10^{1}$ | | |
| </tabcaption> | |
| </WRAP><WRAP half > | |
| <tabcaption tab02| Präfixe II> | |
| ^ Präfix ^ Präfixzeichen ^ Bedeutung ^ | |
| | Dezi | d | $10^{-1}$ | | |
| | Zenti | c | $10^{-2}$ | | |
| | Milli | m | $10^{-3}$ | | |
| | Mikro | u, $\mu$ | $10^{-6}$ | | |
| | Nano | n | $10^{-9}$ | | |
| | Piko | p | $10^{-12}$ | | |
| | Femto | f | $10^{-15}$ | | |
| | Atto | a | $10^{-18}$ | | |
| | Zeppto | z | $10^{-21}$ | | |
| | Yokto | y | $10^{-24}$ | | |
| </tabcaption> | |
| </WRAP></WRAP> | |
| </WRAP> | |
| * Neben den Basisgrößen gibt es auch davon abgeleitete Größen, z.B. $1{{m}\over{s}}$ | |
| * Bei Berechnungen sollten SI-Einheiten bevorzugt werden. Diese sind **ohne Zahlenfaktor** aus den Basisgrößen ableitbar. | |
| * Die Druckeinheit Bar ($bar$) ist eine SI-Einheit | |
| * ABER: Die veraltete Druckeinheit atmosphäre ($=1,013 bar$) ist **__keine__** SI-Einheit | |
| * Um den Zahlenwert nicht zu groß oder zu klein werden zu lassen, ist es möglich einen dezimalen Faktor durch einen Präfix (Vorsatz) zu ersetzen. Diese sind in der <tabref tab02> aufgelistet. | |
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| | {{tag>rc_circuit thevenin_equivalent transient_response sensor_interface industrial_electronics chapter1_1}}{{include_n>300}} |
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| Beispiel zur Potenzrechnung | #@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#~~#@ee1_taskctr#~~ Sensor Input Buffer: Source, T-Network and Capacitor #@TaskText_HTML@# |
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| {{youtube>fwUyMBtdrvw}} | A 12 V industrial sensor electronics unit feeds a buffered measurement node through a resistor T-network. A capacitor smooths the node voltage. At first, the load is disconnected. After the capacitor is fully charged, a measurement load is connected by a switch. |
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| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | Data: \begin{align*} U &= 12~{\rm V} \\ R_1 &= 2~{\rm k\Omega} \\ R_2 &= 10~{\rm k\Omega} \\ R_3 &= 3.33~{\rm k\Omega} \\ C &= 2~{\rm \mu F} \\ R_L &= 5~{\rm k\Omega} \end{align*} |
| ==== physikalische Gleichungen ==== | |
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| * Physikalische Gleichungen ermöglichen eine Verknüpfung von physikalischen Größen | Initially, the capacitor is uncharged and the switch is open. |
| * Es sind dabei zwei Arten von physikalische Gleichungen zu unterscheiden: | |
| * Größengleichungen | |
| * normierte Größengleichungen (auch bezogene Größengleichungen genannt) | |
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| <WRAP ><WRAP half > | 1. What is the capacitor voltage after it is fully charged? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~201~@# <WRAP leftalign> Using the equivalent voltage source of the network on the left-hand side, the open-circuit voltage is \begin{align*} U_{0e} &= \frac{R_2}{R_1+R_2}\,U \\ &= \frac{10~{\rm k\Omega}}{2~{\rm k\Omega}+10~{\rm k\Omega}}\cdot 12~{\rm V} \\ &= 10~{\rm V} \end{align*} After full charging, the capacitor voltage equals this voltage. </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~201~@# \begin{align*} U_C = U_{0e} = 10~{\rm V} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| <callout color="gray"> | |
| |
| === Größengleichungen === | 2. How long does the charging process take? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~202~@# <WRAP leftalign> The internal resistance seen by the capacitor is \begin{align*} R_{ie} &= R_3 + (R_1 \parallel R_2) \\ &= 3.33~{\rm k\Omega} + \frac{2~{\rm k\Omega}\cdot 10~{\rm k\Omega}}{2~{\rm k\Omega}+10~{\rm k\Omega}} \\ &= 3.33~{\rm k\Omega} + 1.67~{\rm k\Omega} \\ &= 5.00~{\rm k\Omega} \end{align*} So the time constant is \begin{align*} T &= R_{ie}C = 5.00~{\rm k\Omega}\cdot 2~{\rm \mu F} = 10~{\rm ms} \end{align*} Practical charging time: \begin{align*} t \approx 5T = 50~{\rm ms} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~202~@# \begin{align*} R_{ie} = 5.00~{\rm k\Omega} \\ t \approx 50~{\rm ms} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| Bei der überwiegenden Mehrheit der physikalische Gleichungen ergibt sich eine physikalische Einheit, welche ungleich $1$ ist. | |
| \\ \\ | |
| |
| Beispiel: Kraft $F = m \cdot a$ mit $[F] = kg \cdot {{m}\over{s^2}}$ | 3. Give the time-dependent capacitor voltage. <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~203~@# <WRAP leftalign> The charging law is \begin{align*} u_C(t) &= U_{0e}\left(1-e^{-t/T}\right) \\ &= 10\left(1-e^{-t/10{\rm ms}}\right)~{\rm V} \end{align*} So the capacitor voltage rises exponentially from $0~\rm V$ to $10~\rm V$. </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~203~@# \begin{align*} u_C(t) = 10\left(1-e^{-t/10{\rm ms}}\right)~{\rm V} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| \\ \\ | |
| |
| * Bei Größengleichungen sollte **immer** eine Einheitenkontrolle durchgeführt werden | 4. After the capacitor is fully charged, the switch is closed and the load resistor is connected. What is the stationary load voltage? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~204~@# <WRAP leftalign> Now use a second equivalent voltage-source step. The Thevenin source seen by the load has \begin{align*} U_{0e} &= 10~{\rm V} \\ R_{ie} &= 5.00~{\rm k\Omega} \end{align*} Thus, the stationary load voltage is \begin{align*} U_C' = U_{0e}' &= \frac{R_L}{R_{ie}+R_L}\,U_{0e} \\ &= \frac{5~{\rm k\Omega}}{5~{\rm k\Omega}+5~{\rm k\Omega}}\cdot 10~{\rm V} \\ &= 5~{\rm V} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~204~@# \begin{align*} U_L = 5~{\rm V} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| * Größengleichungen sollten allgemein bevorzugt werden | |
| |
| </callout> | 5. How long does it take until this new stationary state is practically reached? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~205~@# <WRAP leftalign> The new internal resistance is \begin{align*} R_{ie}' &= R_{ie}\parallel R_L \\ &= 5.00~{\rm k\Omega}\parallel 5.00~{\rm k\Omega} \\ &= 2.50~{\rm k\Omega} \end{align*} Hence the new time constant is \begin{align*} T' &= R_{ie}'C = 2.50~{\rm k\Omega}\cdot 2~{\rm \mu F} = 5~{\rm ms} \end{align*} Practical settling time: \begin{align*} t \approx 5T' = 25~{\rm ms} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~205~@# \begin{align*} R_{ie}' = 2.50~{\rm k\Omega} \\ t \approx 25~{\rm ms} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| </WRAP><WRAP half > | |
| <callout color="gray"> | |
| === normierte Größengleichungen === | |
| |
| Bei normierten Größengleichungen wird der Messwert oder Rechenwert einer Größengleichung durch einen Bezugswert dividiert. | 6. Give the time-dependent load voltage after the switch is closed. <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~206~@# <WRAP leftalign> At the switching instant, the capacitor voltage cannot jump. Therefore: \begin{align*} u_L(0^+) &= 10~{\rm V} \\ u_L(\infty) &= 5~{\rm V} \end{align*} The voltage therefore decays exponentially toward the new final value: \begin{align*} u_L(t) &= u_L(\infty) + \left(u_L(0^+)-u_L(\infty)\right)e^{-t/T'} \\ &= 5 + 5e^{-t/5{\rm ms}}~{\rm V} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~206~@# \begin{align*} u_L(t) = 5 + 5e^{-t/5{\rm ms}}~{\rm V} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| Es entsteht so eine dimensionslose Größe relativ zum Bezugswert. | |
| |
| Beispiel: Wirkungsgrad $\eta = {{P_{ab}}\over{P_{zu}}}$ | #@TaskEnd_HTML@# |
| |
| Als Bezugswert werden häufig: | {{tag>inductors air_core_coil magnetic_field hall_sensor transient_response current_density chapter1_1}}{{include_n>300}} |
| * Nennwerte (maximal zulässiger Wert im Dauerbetrieb) oder | |
| * Maximalwerte (kurzfristig erreichbarer Maximalwert) | |
| genutzt. | |
| |
| * Bei normierten Größengleichungen sollten sich die Einheiten **immer** auslöschen | #@TaskTitle_HTML@##@Lvl_HTML@#~~#@ee1_taskctr#~~ Hall-Sensor Calibration Coil: Short Air-Core Coil #@TaskText_HTML@# |
| |
| </callout> | A Hall-sensor calibration bench uses a short air-core coil to create a defined magnetic field. An air-core coil is chosen because it avoids hysteresis and remanence effects. The coil is wound as a short cylindrical coil. |
| </WRAP></WRAP> | |
| |
| <callout title="Beispielrechnung für eine Größengleichungen"> | Data: \begin{align*} l &= 22~{\rm mm} \\ d &= 20~{\rm mm} \\ d_{\rm Cu} &= 0.8~{\rm mm} \\ N &= 25 \\ \rho_{\rm Cu,20^\circ C} &= 0.0178~{\rm \Omega\,mm^2/m} \end{align*} |
| |
| Gegeben sei ein Körper mit der Masse $m = 100kg$. Der Körper wird um den Weg $s=2m$ angehoben. \\ | A DC current of $1~\rm A$ shall flow through the coil. |
| Welche Arbeit wird dabei verrichtet? | |
| \\ \\ | |
| physikalische Gleichung: | |
| <WRAP indent><WRAP indent> | |
| Arbeit = Kraft $\cdot$ Weg | |
| \\ $W = F \cdot s \quad\quad\quad\;$ mit $F=m \cdot g$ | |
| \\ $W = m \cdot g \cdot s \quad\quad$ mit $m=100kg$, $s=2m$ und $g=9,81{{m}\over{s^2}}$ | |
| \\ $W = 100kg \cdot 9,81{{m}\over{s^2}} \cdot 2m $ | |
| \\ $W = 100\cdot 9,81 \cdot 2 \;\; \cdot \;\; kg \cdot {{m}\over{s^2}} \cdot m$ | |
| \\ $W = 1962 \quad\quad \cdot \quad\quad\; \left( kg \cdot {{m}\over{s^2}} \) \cdot m $ | |
| \\ $W = 1962 Nm = 1962 J $ | |
| </WRAP></WRAP> | |
| |
| </callout> | 1. Calculate the coil resistance $R$ at room temperature. <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~301~@# <WRAP leftalign> The wire cross section is \begin{align*} A_{\rm Cu} &= \pi\left(\frac{d_{\rm Cu}}{2}\right)^2 = \pi(0.4~{\rm mm})^2 \\ &= 0.503~{\rm mm^2} \end{align*} The total wire length is approximated by the number of turns times the circumference: \begin{align*} l_{\rm Cu} &= N\pi d \\ &= 25\pi \cdot 20~{\rm mm} \\ &= 1570.8~{\rm mm} = 1.571~{\rm m} \end{align*} Thus, \begin{align*} R &= \rho_{\rm Cu}\frac{l_{\rm Cu}}{A_{\rm Cu}} \\ &= 0.0178~{\rm \Omega\,mm^2/m}\cdot\frac{1.571~{\rm m}}{0.503~{\rm mm^2}} \\ &\approx 0.0556~{\rm \Omega} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~301~@# \begin{align*} R = 55.6~{\rm m\Omega} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| |
| ==== Buchstaben für physikalische Größen ==== | 2. Calculate the coil inductance $L$. <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~302~@# <WRAP leftalign> For this short air-core coil, use \begin{align*} L = N^2 \cdot \frac{\mu_0 A}{l}\cdot\frac{1}{1+\frac{d}{2l}} \end{align*} with \begin{align*} A &= \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi(10~{\rm mm})^2 = 314.16~{\rm mm^2} = 3.1416\cdot 10^{-4}~{\rm m^2} \\ \mu_0 &= 4\pi\cdot 10^{-7}~{\rm Vs/(Am)} \end{align*} Therefore, \begin{align*} L &= 25^2 \cdot \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\,{\rm Vs/(Am)} \cdot 3.1416\cdot 10^{-4}~{\rm m^2}}{22\cdot 10^{-3}~{\rm m}} \cdot \frac{1}{1+\frac{20}{2\cdot 22}} \\ &\approx 7.71\cdot 10^{-6}~{\rm H} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~302~@# \begin{align*} L = 7.71~{\rm \mu H} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| | |
| <WRAP 50%> | |
| <WRAP ><WRAP half > | |
| <tabcaption tab03| griechische Buchstaben> | |
| ^ Groß-\\ buchstaben ^ Klein-\\ buchstaben^ Name ^ | |
| | $A$ | $\alpha$ | Alpha | | |
| | $B$ | $\beta$ | Beta | | |
| | $\Gamma$ | $\gamma$ | Gamma | | |
| | $\Delta$ | $\delta$ | Delta | | |
| | $E$ | $\epsilon$, $\varepsilon$ | Epsilon | | |
| | $Z$ | $\zeta$ | Zeta | | |
| | $H$ | $\eta$ | Eta | | |
| | $\Theta$ | $\theta$, $\vartheta$ | Theta | | |
| | $I$ | $\iota$ | Iota | | |
| | $K$ | $\kappa$ | Kappa | | |
| | $\Lambda$ | $\lambda$ | Lambda | | |
| | $M$ | $\mu$ | My | | |
| </tabcaption> | |
| </WRAP><WRAP half > | |
| <tabcaption tab03| griechische Buchstaben> | |
| ^ Groß-\\ buchstaben ^ Klein-\\ buchstaben^ Name ^ | |
| | $N$ | $\nu$ | Ny | | |
| | $\Xi$ | $\xi$ | Xi | | |
| | $O$ | $\omicron$ | Omikron | | |
| | $\Pi$ | $\pi$ | Pi | | |
| | $R$ | $\rho$, $\varrho$ | Rho | | |
| | $\Sigma$ | $\sigma$ | Sigma | | |
| | $T$ | $\tau$ | Tau | | |
| | $\Upsilon$ | $\upsilon$ | Ypsilon | | |
| | $\Phi$ | $\phi$, $\varphi$ | Phi | | |
| | $X$ | $\chi$ | Chi | | |
| | $\Psi$ | $\psi$ | Psi | | |
| | $\Omega$ | $\omega$ | Omega | | |
| </tabcaption> | |
| </WRAP></WRAP> | |
| {{youtube>UwNCixgrVzY}} | |
| |
| </WRAP> | 3. Which DC voltage must be applied so that the stationary current becomes $I=1~\rm A$? How large is the current density $j$ in the copper wire? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~303~@# <WRAP leftalign> In the stationary DC state, the coil behaves like its ohmic resistance: \begin{align*} U &= RI \\ &= 55.6~{\rm m\Omega}\cdot 1~{\rm A} \\ &= 55.6~{\rm mV} \end{align*} The current density is \begin{align*} j &= \frac{I}{A_{\rm Cu}} \\ &= \frac{1~{\rm A}}{0.503~{\rm mm^2}} \\ &\approx 1.99~{\rm A/mm^2} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~303~@# \begin{align*} U = 55.6~{\rm mV} \\ j = 1.99~{\rm A/mm^2} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
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| In der Physik und Elektrotechnik wurde häufig versucht für physikalische Größen dem (englischen) Begriff naheliegende Buchstaben zu finden. \\ | 4. How much magnetic energy is stored in the coil in the stationary state? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~304~@# <WRAP leftalign> \begin{align*} W_m &= \frac{1}{2}LI^2 \\ &= \frac{1}{2}\cdot 7.71\cdot 10^{-6}~{\rm H}\cdot (1~{\rm A})^2 \\ &= 3.86\cdot 10^{-6}~{\rm Ws} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~304~@# \begin{align*} W_m = 3.86\cdot 10^{-6}~{\rm Ws} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| So sind $C$ für //**__C__**apacity//, $Q$ für //**__Q__**uantity// und $\varepsilon_0$ für die //**__E__**lectical Field Constant// und weitere zu erklären. | |
| Hierbei ist aber bereits schon zu sehen, dass das $C$ sowohl für die thermische Kapazität, als auch die elektrische Kapazität genutzt. | |
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| Das lateinische Alphabet hat für den Umfang der Physik nicht genug Buchstaben, um Konflikte zu vermeiden. | 5. Give the time-dependent coil current $i(t)$ when the coil is switched on. <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~305~@# <WRAP leftalign> A coil current cannot jump instantly. It starts at $0$ and approaches the final value $I=1~\rm A$ exponentially: \begin{align*} i(t) = I\left(1-e^{-t/T}\right) \end{align*} So the sketch starts at $0~\rm A$, rises quickly, and then slowly approaches $1~\rm A$. </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~305~@# \begin{align*} i(t) = 1\left(1-e^{-t/T}\right)~{\rm A} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| Bei verschiedenen physikalischen Größen wird deswegen auf griechischen Buchstaben zurückgegriffen (siehe <tabref tab03>). | |
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| Besonders in Elektrotechnik wird durch Groß-/Kleinschreibung unterschieden, ob es sich um | 6. How long does it take until the current has practically reached its stationary value? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~306~@# <WRAP leftalign> The time constant is \begin{align*} T &= \frac{L}{R} = \frac{7.71~{\rm \mu H}}{55.6~{\rm m\Omega}} \\ &\approx 138.9~{\rm \mu s} \end{align*} A practical final value is reached after about $5T$: \begin{align*} t \approx 5T = 5\cdot 138.9~{\rm \mu s} \approx 695~{\rm \mu s} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~306~@# \begin{align*} t \approx 695~{\rm \mu s} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
| * eine zeitlich konstante (zeitunabhängige) Größe handelt, \\ z.B. die Periode $T$ | |
| * oder um eine zeitabhängige Größe handelt, \\ z.B. die Momentanspannung $u(t)$ | |
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| Die relevanten griechischen Buchstaben für die Elektrotechnik werden in folgendem Video beschrieben. | 7. How much energy is dissipated as heat in the coil resistance during the current build-up? <WRAP group> <WRAP half column rightalign> #@PathBegin_HTML~307~@# <WRAP leftalign> Using the current from task 5, \begin{align*} i(t) = I\left(1-e^{-t/T}\right) \end{align*} the heat dissipated in the winding resistance up to the practical final time $5T$ is \begin{align*} W_R &= \int_0^{5T} R\,i^2(t)\,dt \\ &= R I^2 \int_0^{5T} \left(1-e^{-t/T}\right)^2 dt \end{align*} For this interval, the integral is approximately \begin{align*} \int_0^{5T} \left(1-e^{-t/T}\right)^2 dt \approx \frac{7}{2}T \end{align*} Thus, \begin{align*} W_R &\approx RI^2\cdot \frac{7}{2}T \\ &= 0.0556~{\rm \Omega}\cdot (1~{\rm A})^2 \cdot \frac{7}{2}\cdot 138.9~{\rm \mu s} \\ &\approx 27.05\cdot 10^{-6}~{\rm Ws} \end{align*} </WRAP> #@PathEnd_HTML@# </WRAP> <WRAP half column> #@ResultBegin_HTML~307~@# \begin{align*} W_R \approx 27.05\cdot 10^{-6}~{\rm Ws} \end{align*} #@ResultEnd_HTML@# </WRAP> </WRAP> |
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| | #@TaskEnd_HTML@# |
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| ==== Übungen ==== | |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 1.1.1 Umrechnungen I - vorgerechnetes Beispiel zur Umrechnung von Einheiten"> <WRAP ><WRAP 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP 92%> | |
| {{youtube>xGyAw8MvxSA}} | |
| </WRAP></WRAP></panel> | |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 1.1.2 Umrechnungen II"> <WRAP ><WRAP 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP 92%> | |
| Rechnen Sie Schritt für Schritt folgende Werte um: | |
| - Eine Fahrzeuggeschwindigkeit von 80 km/h in m/s | |
| - Eine Energie von 60 Joule in kWh (1 Joule = 1 Watt*Sekunde) | |
| - Die Anzahl elektrolytisch abgeschiedener, einfach positiv geladener Kupferionen von 1,2 Coulomb (ein Kupferion hat die Ladung von ca. $1,6 \cdot 10^{-19} C$) | |
| - Aufgenommene Energie eines Kleinstverbrauchers, wenn dieser gleichmäßig in 10 Tagen 1 µW verbraucht | |
| </WRAP></WRAP></panel> | |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 1.1.3 Umrechnungen III"> <WRAP ><WRAP 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP 92%> | |
| Rechnen Sie Schritt für Schritt folgende Werte um: | |
| Wie viele Minuten könnte eine ideale Batterie mit 10 kWh einen Verbraucher mit 3W betreiben? | |
| </WRAP></WRAP></panel> | |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 1.1.4 Umrechnungen IV"> <WRAP ><WRAP 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP 92%> | |
| Rechnen Sie Schritt für Schritt folgende Werte um: | |
| Wie viel Energie verbraucht ein durchschnittlicher Haushalt am Tag, wenn er eine mittlere Leistung von 500 W aufnimmt? Wie viele Schokoriegel (je 2000 kJ) entspricht das? | |
| </WRAP></WRAP></panel> | |
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