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electrical_engineering_1:aufgabe_1.7.6_mit_rechnung [2021/09/21 05:05]
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-<panel type="info" title="Aufgabe 1.7.6: temperaturabhängiger Widerstand einer Wicklung (Klausuraufgabe, ca 6% einer 60minütigen Klausur, WS2020)"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>+<panel type="info" title="Exercise 1.6.6: Temperature-dependent resistance of a winding (written test, approx. 6 % of a 60-minute written test, WS2020)"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
  
-Auf dem Rotor eines Asynchronmotors sind die Wicklungen in Kupfer ausgelegt.  +On the rotor of an asynchronous motor, the windings are designed in copper. 
-Die Länge des Wickeldrahts ist 40 m. +The length of the winding wire is $40~\rm{m}$. 
-Der Durchmesser ist 0,4 mm.+The diameter is $0.4~\rm{mm}$. 
 +When the motor is started, it is uniformly cooled down to the ambient temperature of $20~°\rm{C}$. 
 +During operation the windings on the rotor have a temperature of $90~°\rm{C}$. \\ 
 +$\alpha_{Cu,20~°\rm{C}}=0.0039 ~\frac{1}{\rm{K}}$ \\ 
 +$ \beta_{Cu,20~°\rm{C}}=0.6 \cdot 10^{-6}  ~\frac{1}{\rm{K}^2}$ \\ 
 +$  \rho_{Cu,20~°\rm{C}}=0.0178 ~\frac{\Omega \rm{mm}^2}{\rm{m}}$
  
-Beim Start des Motors ist dieser gleichmäßig auf die Umgebungstemperatur von 20°C abgekühlt.  +Use both the linear and quadratic temperature coefficients! 
-Im Betrieb haben die Wicklungen auf dem Rotor eine Temperatur von 90°C. \\ +1. determine the resistance of the wire for $T = 20~°\rm{C}$.
-$\alpha_{Cu,20°C}=0,0039 \frac{1}{K}$ \\ +
-$\beta_{Cu,20°C}=0,6 \cdot 10^{-6}  \frac{1}{K^2}$ \\ +
-$\rho_{Cu,20°C}=0,0178 \frac{\Omega mm^2}{m}$+
  
-Verwenden Sie sowohl den linearen als auch quadratischen Temperaturkoeffizienten!  +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_1_7_6_1_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_1_7_6_1_Lösungsweg" collapsed="true">
-1. Bestimmen Sie den Widerstand der Leitung für $T = 20°C$.  +
- +
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_1_7_6_1_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_1_7_6_1_Lösungsweg" collapsed="true">+
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-R_{20°C} &= \rho_{Cu,20°C} \cdot \frac{l}{A} && | \text{mit } A = r^2 \cdot \pi = \frac{1}{4} d^2 \cdot \pi \\ +R_{20~°\rm{C}} &= \rho_{Cu,20~°\rm{C}} \cdot \frac{l}{A} && | \text{with } A = r^2 \cdot \pi = \frac{1}{4} d^2 \cdot \pi \\ 
-R_{20°C} &= \rho_{Cu,20°C} \cdot \frac{4 \cdot l}{d^2 \cdot \pi} && \\ +R_{20~°\rm{C}} &= \rho_{Cu,20~°\rm{C}} \cdot \frac{4 \cdot l}{d^2 \cdot \pi} && \\ 
-R_{20°C} &= 0,0178 \frac{\Omega mm^2}{m} \cdot \frac{4 \cdot 40m}{(0,4mm)^2 \cdot \pi} && \\+R_{20~°\rm{C}} &= 0.0178 ~\rm{\frac{\Omega mm^2}{m}} \cdot \frac{4 \cdot 40~\rm{m}}{(0.4~\rm{mm})^2 \cdot \pi} && \\
 \end{align*} \end{align*}
  
 </collapse> </collapse>
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_1_7_6_1_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_1_7_6_1_Endergebnis" collapsed="true">+<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_1_7_6_1_Endergebnis">{{icon>eye}} Final result</button><collapse id="Loesung_1_7_6_1_Endergebnis" collapsed="true">
 \begin{align*} \begin{align*}
-R_{20°C} &= 5,666 \Omega -> 5,7 \Omega \\+R_{20~°\rm{C}} &= 5.666 ~\Omega \rightarrow 5.7 ~\Omega \\
 \end{align*} \end{align*}
  \\  \\
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-2. Welche Widerstandserhöhung $\Delta R$ ist zwischen $20°C$ und $90°C$ bei einer Wicklung festzustellen? +2. what is the increase in resistance $\Delta R$ between $20~\rm °C$ and $90~\rm °C$ for one winding? 
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_1_7_6_2_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_1_7_6_2_Lösungsweg" collapsed="true">+<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_1_7_6_2_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_1_7_6_2_Lösungsweg" collapsed="true">
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-R_{90°C} &= R_{20°C} \cdot ( 1 + \alpha_{Cu,20°C} \cdot \Delta T + \beta_{Cu,20°C} \cdot \Delta T^2 ) && | \text{mit } \Delta T = T_2 - T_1 = 90°C - 20°C = 70 °C = 70 K\\ +R_{90\rm{°C}} &= R_{20\rm{°C}} \cdot ( 1 + \alpha_{Cu,20°\rm{C}} \cdot \Delta T + \beta_{Cu,20°\rm{C}} \cdot \Delta T^2 ) && | \text{with } \Delta T = T_2 - T_1 = 90~°\rm{C} - 20~°\rm{C} = 70~°\rm{C} = 70~\rm{K}\\ 
-\Delta R &= R_{20°C} \cdot ( \alpha_{Cu,20°C} \cdot \Delta T + \beta_{Cu,20°C} \cdot \Delta T^2 ) \\ +\Delta R &= R_{20°\rm{C}} \cdot ( \alpha_{Cu,20°\rm{C}} \cdot \Delta T + \beta_{Cu,20°\rm{C}} \cdot \Delta T^2 ) \\ 
-\Delta R &= 5,666 \Omega \cdot ( 0,0039 \frac{1}{K} \cdot 70K + 0,6 \cdot 10^{-6}  \frac{1}{K^2} \cdot (70K)^2 ) \\+\Delta R &= 5.666 \Omega \cdot ( 0.0039 ~\frac{1}{\rm{K}} \cdot 70~\rm{K} + 0.6 \cdot 10^{-6}  \frac{1}{\rm{K}^2} \cdot (70~\rm{K})^2 ) \\
 \end{align*} \end{align*}
  
 </collapse> </collapse>
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_1_7_6_2_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_1_7_6_2_Endergebnis" collapsed="true">+<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_1_7_6_2_Endergebnis">{{icon>eye}} Final result</button><collapse id="Loesung_1_7_6_2_Endergebnis" collapsed="true">
 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta R &= 1,56 \Omega -> 1,6 \Omega \\+\Delta R &= 1.56 ~\Omega \rightarrow 1.6 ~\Omega \\
 \end{align*} \end{align*}
  \\  \\