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electrical_engineering_1:aufgabe_7.2.6_mit_rechnung [2021/09/21 05:05]
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mexleadmin
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-<panel type="info" title="Aufgabe 7.2.6: temperaturabhängiger Widerstand einer Wicklung (Klausuraufgabe, ca 11% einer 60minütigen Klausur, WS2020)"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>+<panel type="info" title="Exercise 5.2.6: Charging and Discharging of RC elements (exam task, ca. 11% of a 60 minute exam, WS2020)"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
  
-<WRAP right> +<WRAP right> {{:elektrotechnik_1:schaltung_klws2020_3_2_1.jpg?400|schaltung_klws2020_3_2_1.jpg}}</WRAP> 
-{{elektrotechnik_1:schaltung_klws2020_3_2_1.jpg?400}} + 
-</WRAP>+The circuit shown right is given with the following data:
  
-Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit  \\ 
   * $U = 10 V$   * $U = 10 V$
   * $I = 4 mA$   * $I = 4 mA$
   * $R_1 = 100 \Omega, R_2 = 80 \Omega, R_3 = 50 \Omega, R_4 = 10 \Omega$   * $R_1 = 100 \Omega, R_2 = 80 \Omega, R_3 = 50 \Omega, R_4 = 10 \Omega$
   * $C = 40 nF$   * $C = 40 nF$
-Zu Beginn ist der Kondensator entladen, alle Schalter sind geöffnet.  
-Der Schalter S1 wird zum Zeitpunkt t = 0 s geschlossen.  
  
-1. Bestimmen Sie die Zeitkonstante $\tau$ für diesen Ladevorgang. +At first the voltage drop on the capacitor $u_C=0$ and all switches are open. The switch S1 will be closed at $t=0$. 
 + 
 +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_6_Simu">{{icon>eye}} Simulation</button><collapse id="Loesung_7_2_6_6_Simu" collapsed="true">  
 + 
 +<WRAP>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjOB0AMt-CwFMC0B2E1IGYAsBOaPAJnwFY1cA2MADlzCpDIjJF22dTDACgA3EMWK4Q2MsSEjwaJtEzt5YeSsyQyvAM5TRYWUNq0Zc8CABmAQwA2mpLwBOBo3qbZ6xhcugOx7l79FiMhNabwBjAKFgyPFJeVxUIxVeAHcYiR0xDO9tN119XFCPJXNrWx9CpQKi2IUybzS8rMlK5sxU9hqMilds3gBLZn1iNEketpUYaFwfcZGx-TBiJPAGoaYlowIN5fbtDklN9nwdlYhLGzs0g-BdpqO1+7u-fW8Ae3ZTJWJsaDip6AQLBwIFCT6cACuAH0AMK8IA noborder}} </WRAP>
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Tipps">{{icon>eye}} Tipps</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Tipps" collapsed="true"> 
-  * Welche Ersatzschaltung ergibt sich durch die Schalterstellung? 
-  * Durch welche Größen lässt sich $\tau$ bestimmen? 
-  * Wodurch fließt der Ladestrom? 
 </collapse> </collapse>
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Lösungsweg" collapsed="true">+1. Determine the time constant $\tau$ for this charging process.
  
-Es ergibt sich eine Reihenschaltung von $R_1$, $R_2$ und $C$, welche durch $U$ gespeist wird. +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Tipps">{{icon>eye}} Tips</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Tipps" collapsed="true">
-Damit wird die Zeitkonstante $\tau$ zu: +
-\begin{align*} +
-\tau &= (R_1 + R_2) \cdot C \\ +
-\tau &= 180 \Omega \cdot 40 nF +
-\end{align*}+
  
-</collapse>+  * What equivalent circuit can be found for the mentioned states of the switches? 
 +  * What parameter do you need to determine $\tau$? 
 +  * The charging current is flown through which component?
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Endergebnis" collapsed="true"> 
-\begin{align*} 
-\tau = 7,2 µs 
-\end{align*} 
- \\ 
 </collapse> </collapse>
  
-2. Welche Spannung stellt sich am Kondensator $C$ zum Zeitpunkt $t=10 µs$ ein? +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Lösungsweg" collapsed="true">
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_2_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_7_2_6_2_Lösungsweg" collapsed="true"> +The electrical components $R_1$, $R_2$ und $C$ are connected in series with a source $U$. The time constant $\tau$ is therefore: \begin{align*} \tau &= (R_1 + R_2) \cdot C \\ \tau &= 180 \Omega \cdot 40 nF \end{align*}
- +
-Es gilt: +
-\begin{align*} +
-U_C(t) = U \cdot (1 - e^{-t/\tau}) \\ +
-U_C(t) = 10 V \cdot (1 - e^{-10 µs/7,2 µs})  +
-\end{align*}+
  
 </collapse> </collapse>
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_2_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_2_Endergebnis" collapsed="true"> +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} \tau = 7,2 µs \end{align*} \\ </collapse>
-\begin{align*} +
-U_C(t) = 7,506 V -> 7,5 V +
-\end{align*} +
- \\ +
-</collapse>+
  
-3. Wie hoch ist die Energie im Kondensator, wenn dieser vollständig geladen ist? +2. What is the value of the voltage $u_C(t)$ drop over the capacitor $C$ at $t=10 µs$?
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_3_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_7_2_6_3_Lösungsweg" collapsed="true">+<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_2_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_2_Lösungsweg" collapsed="true">
  
-\begin{align*} +\begin{align*} U_C(t) = U \cdot (1 - e^{-t/\tau}) \\ U_C(t) = 10 V \cdot (1 - e^{-10 µs/7,2 µs}) \end{align*}
-W_C &= \frac{1}{2}CU^2 \\ +
-   &=  \frac{1}{2} \cdot 40nF \cdot (10V)^2  +
-\end{align*}+
  
 </collapse> </collapse>
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis" collapsed="true"> +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_2_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_2_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} U_C(t) = 7,506 V -> 7,5 V \end{align*} \\ </collapse>
-\begin{align*} +
-W_C = 2 µJ +
-\end{align*} +
- \\ +
-</collapse>+
  
-4. Bestimmen Sie die neue Zeitkonstante, die wirksam ist, wenn nach dem vollständigen Laden der Schalter S1 geöffnet und gleichzeitig S2 geschlossen wird.+3. What is the value of the energy, when the capacitor is fully charged?
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg" collapsed="true">+<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_3_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_3_Lösungsweg" collapsed="true">
  
-Hierbei entlädt sich der Kondensator $C$ über die in Reihe geschalteten Widerstände $R_2$ und $R_3$. +\begin{align*} W_C &= \frac{1}{2}CU^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 40nF \cdot (10V)^2 \end{align*}
-\begin{align*} +
-\tau &= (R_2 + R_3) \cdot C \\ +
-\tau &= 130 \Omega \cdot 40 nF +
-\end{align*}+
  
 </collapse> </collapse>
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis" collapsed="true"> +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} W_C = 2 µJ \end{align*} \\ </collapse>
-\begin{align*} +
-\tau = 5,2 µs +
-\end{align*} +
- \\ +
-</collapse>+
  
-5. Nachdem der Kondensator vollständig entladen wurde, werden alle Schalter wieder geöffnet. +4. Determine the new time constant when the switch $S_1$ will be opened and the switch $S_3$ will be closed simultaneously.  
-Der Schalter S4 wird für $t = 1μs$ geschlossen. \\ + 
-Welche Spannung stellt sich an C ein?+<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg" collapsed="true"> 
 + 
 +The capacitor $C$ discharges by the series connected resistors $R_2$ und $R_3$. \begin{align*} \tau &= (R_2 + R_3) \cdot C \\ \tau &= 130 \Omega \cdot 40 nF \end{align*}
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Tipps">{{icon>eye}} Tipps</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Tipps" collapsed="true"> 
-  * Durch die Stromquelle ergibt sich ein kontinuierlicher Fluss an Ladungen in den Kondensator. 
-  * Die Widerstände auf dem Weg sind für den Strom in den Kondensator irrelevant. Sie erhöhen bei einer idealen Stromquelle nur die notwendige Spannung, um den Strom zu treiben.  
 </collapse> </collapse>
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Lösungsweg" collapsed="true">+<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} \tau = 5,2 µs \end{align*} \\ </collapse> 
 + 
 +5. When the capacitor is empty all switches will be opened. The switch $S_4$ will be closed at $t= 0$. \\ What is the voltage $u_C$ at the capacitor C after $t = 1μs$?
  
-Die Spannung $U_C$ ergibt sich allgemein über: $U_C = \frac{Q}{C}$. In diesem Fall erzeugt der konstante Strom I die Ladung $Q = \int I dt = I \cdot t$ +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Tipps">{{icon>eye}} Tips</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Tipps" collapsed="true">
-\begin{align*} +
-U_C(t) &= \frac{Q}{C} \\ +
-U_C(t) &= \frac{I \cdot t}{C} \\ +
-U_C(1μs) &= \frac{4mA \cdot 1μs}{40nF} = \frac{4 \cdot 10^{-3}A \cdot 1\cdot 10^{-6}s}{40\cdot 10^{-9}F} \\+
  
-\end{align*}+  * Through the current source there is a continuous flow of elctric charge into the capacitor. 
 +  * The resistors passed by the current on the way to the capacitor are irrelevant. They only increase the voltage of an ideal current source to guarantee the current.
  
 </collapse> </collapse>
  
-<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Endergebnis" collapsed="true"> +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Lösungsweg" collapsed="true"> 
-\begin{align*} + 
-U_C(1μs) &= 1V \\ +The voltage $U_C$ is in general: $U_C = \frac{Q}{C}$. In this case the constant current I results in $Q = \int I dt = I \cdot t$ \begin{align*} U_C(t) &= \frac{Q}{C} \\ U_C(t) &= \frac{I \cdot t}{C} \\ U_C(1μs) &= \frac{4mA \cdot 1μs}{40nF} = \frac{4 \cdot 10^{-3}A \cdot 1\cdot 10^{-6}s}{40\cdot 10^{-9}F} \\ \end{align*} 
-\end{align*} +
- \\+
 </collapse> </collapse>
  
 +<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} U_C(1μs) &= 1V \\ \end{align*} \\ </collapse>
  
 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
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