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electrical_engineering_1:aufgabe_7.2.6_mit_rechnung [2021/10/16 14:11] slinn |
electrical_engineering_1:aufgabe_7.2.6_mit_rechnung [2024/02/08 15:40] mexleadmin |
<panel type="info" title="Excercise 7.2.6: temperature dependent resistor of a winding (exam task, ca. 11% of a 60 minute exam, WS2020)"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Exercise 5.2.3: Charging and Discharging of RC elements (exam task, ca. 11 % of a 60-minute exam, WS2020)"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
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<WRAP right> {{:elektrotechnik_1:schaltung_klws2020_3_2_1.jpg?400|schaltung_klws2020_3_2_1.jpg}}</WRAP> | <WRAP right> {{:elektrotechnik_1:schaltung_klws2020_3_2_1.jpg?400|schaltung_klws2020_3_2_1.jpg}}</WRAP> |
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The adjacent circuit with the following data is given: | The circuit shown right is given with the following data: |
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* $U = 10 V$ | * $U = 10 ~{\rm V}$ |
* $I = 4 mA$ | * $I = 4 ~{\rm mA}$ |
* $R_1 = 100 \Omega, R_2 = 80 \Omega, R_3 = 50 \Omega, R_4 = 10 \Omega$ | * $R_1 = 100 ~\Omega, R_2 = 80 ~\Omega, R_3 = 50 ~\Omega, R_4 = 10 ~\Omega$ |
* $C = 40 nF$ | * $C = 40 ~{\rm nF}$ |
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At first the capacitor is empty and all switches are open. The switsch S1 will be closed at t=0. | At first, the voltage drop on the capacitor $u_C = 0$, and all switches are open. The switch S1 will be closed at $t = 0$. |
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| <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_6_Simu">{{icon>eye}} Simulation</button><collapse id="Loesung_7_2_6_6_Simu" collapsed="true"> |
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| <WRAP>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjOB0AMt-CwFMC0B2E1IGYAsBOaPAJnwFY1cA2MADlzCpDIjJF22dTDACgA3EMWK4Q2MsSEjwaJtEzt5YeSsyQyvAM5TRYWUNq0Zc8CABmAQwA2mpLwBOBo3qbZ6xhcugOx7l79FiMhNabwBjAKFgyPFJeVxUIxVeAHcYiR0xDO9tN119XFCPJXNrWx9CpQKi2IUybzS8rMlK5sxU9hqMilds3gBLZn1iNEketpUYaFwfcZGx-TBiJPAGoaYlowIN5fbtDklN9nwdlYhLGzs0g-BdpqO1+7u-fW8Ae3ZTJWJsaDip6AQLBwIFCT6cACuAH0AMK8IA noborder}} </WRAP> |
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| </collapse> |
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1. Determine the time constant $\tau$ for this charging process. | 1. Determine the time constant $\tau$ for this charging process. |
<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Lösungsweg" collapsed="true"> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Lösungsweg" collapsed="true"> |
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The electrical components $R_1$, $R_2$ und $C$ are connected in series with a source $U$. The time constant $\tau$ is therefore: \begin{align*} \tau &= (R_1 + R_2) \cdot C \\ \tau &= 180 \Omega \cdot 40 nF \end{align*} | The electrical components $R_1$, $R_2$, and $C$ are connected in series with a source $U$. |
| The time constant $\tau$ is therefore: |
| \begin{align*} |
| \tau &= (R_1 + R_2) \cdot C \\ |
| \tau &= 180 ~\Omega \cdot 40 ~{\rm nF} |
| \end{align*} |
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</collapse> | </collapse> |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} \tau = 7,2 µs \end{align*} \\ </collapse> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_1_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_1_Endergebnis" collapsed="true"> |
| \begin{align*} \tau = 7.2 ~{\rm µs} |
| \end{align*} \\ |
| </collapse> |
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2. How high is the voltage at the capacitor $C$ when $t=10 µs$? | 2. What is the value of the voltage $u_C(t)$ drop over the capacitor $C$ at $t=10 ~{\rm µs}$? |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_2_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_2_Lösungsweg" collapsed="true"> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_2_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_2_Lösungsweg" collapsed="true"> |
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\begin{align*} U_C(t) = U \cdot (1 - e^{-t/\tau}) \\ U_C(t) = 10 V \cdot (1 - e^{-10 µs/7,2 µs}) \end{align*} | \begin{align*} |
| U_C(t) = U \cdot (1 - e^{-t/\tau}) \\ |
| U_C(t) = 10 ~{\rm V} \cdot (1 - e^{-10 ~{\rm µs}/7.2 ~{\rm µs}}) |
| \end{align*} |
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</collapse> | </collapse> |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_2_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_2_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} U_C(t) = 7,506 V -> 7,5 V \end{align*} \\ </collapse> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_2_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_2_Endergebnis" collapsed="true"> |
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3. How high is the energy when the capacitor is fully charged? | \begin{align*} U_C(t) = 7.506 ~{\rm V} \rightarrow 7.5 ~{\rm V} \end{align*} \\ </collapse> |
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| 3. What is the value of the stored energy in the capacitor, when it is fully charged? |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_3_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_3_Lösungsweg" collapsed="true"> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_3_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_3_Lösungsweg" collapsed="true"> |
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\begin{align*} W_C &= \frac{1}{2}CU^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 40nF \cdot (10V)^2 \end{align*} | \begin{align*} |
| W_C &= \frac{1}{2} C U^2 \\ |
| &= \frac{1}{2} \cdot 40~{\rm nF} \cdot (10~{\rm V})^2 |
| \end{align*} |
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</collapse> | </collapse> |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} W_C = 2 µJ \end{align*} \\ </collapse> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis" collapsed="true"> |
| \begin{align*} W_C = 2 ~{\rm µJ} \end{align*} \\ |
| </collapse> |
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4. Bestimmen Sie die neue Zeitkonstante, die wirksam ist, wenn nach dem vollständigen Laden der Schalter S1 geöffnet und gleichzeitig S2 geschlossen wird. | 4. Determine the new time constant when the switch $S_1$ will be opened and the switch $S_3$ will be closed simultaneously. |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg" collapsed="true"> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg" collapsed="true"> |
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Hierbei entlädt sich der Kondensator $C$ über die in Reihe geschalteten Widerstände $R_2$ und $R_3$. \begin{align*} \tau &= (R_2 + R_3) \cdot C \\ \tau &= 130 \Omega \cdot 40 nF \end{align*} | The capacitor $C$ discharges by the series connected resistors $R_2$ und $R_3$. |
| \begin{align*} |
| \tau &= (R_2 + R_3) \cdot C \\ |
| &= 130 ~\Omega \cdot 40 ~{\rm nF} |
| \end{align*} |
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</collapse> | </collapse> |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} \tau = 5,2 µs \end{align*} \\ </collapse> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis" collapsed="true"> |
| \begin{align*} \tau = 5.2 ~{\rm µs} |
| \end{align*} \\ </collapse> |
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5. Nachdem der Kondensator vollständig entladen wurde, werden alle Schalter wieder geöffnet. Der Schalter S4 wird für $t = 1μs$ geschlossen. \\ Welche Spannung stellt sich an C ein? | 5. When the capacitor is empty all switches will be opened. The switch $S_4$ will be closed at $t= 0$. \\ What is the voltage $u_C$ at the capacitor C after $t = 1 ~ {\rm µs}$? |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Tipps">{{icon>eye}} Tipps</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Tipps" collapsed="true"> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Tipps">{{icon>eye}} Tips</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Tipps" collapsed="true"> |
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* Durch die Stromquelle ergibt sich ein kontinuierlicher Fluss an Ladungen in den Kondensator. | * Through the current source there is a continuous flow of electric charge into the capacitor. |
* Die Widerstände auf dem Weg sind für den Strom in den Kondensator irrelevant. Sie erhöhen bei einer idealen Stromquelle nur die notwendige Spannung, um den Strom zu treiben. | * The resistors passed by the current on the way to the capacitor are irrelevant. They only increase the voltage of an ideal current source to guarantee the current. |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Lösungsweg" collapsed="true"> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Lösungsweg" collapsed="true"> |
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Die Spannung $U_C$ ergibt sich allgemein über: $U_C = \frac{Q}{C}$. In diesem Fall erzeugt der konstante Strom I die Ladung $Q = \int I dt = I \cdot t$ \begin{align*} U_C(t) &= \frac{Q}{C} \\ U_C(t) &= \frac{I \cdot t}{C} \\ U_C(1μs) &= \frac{4mA \cdot 1μs}{40nF} = \frac{4 \cdot 10^{-3}A \cdot 1\cdot 10^{-6}s}{40\cdot 10^{-9}F} \\ \end{align*} | The voltage $U_C$ is in general: $U_C = \frac{Q}{C}$. In this case, the constant current I results in $Q = \int I {\rm d}t = I \cdot t$ |
| \begin{align*} |
| U_C(t) &= \frac{Q}{C} \\ |
| U_C(t) &= \frac{I \cdot t}{C} \\ |
| U_C(1μs) &= \frac{4~{\rm mA} \cdot 1~{\rm µs}}{40~{\rm nF}} |
| = \frac{4 \cdot 10^{-3}~{\rm A} \cdot 1\cdot 10^{-6}~{\rm s}}{40\cdot 10^{-9}~{\rm F}} \\ |
| \end{align*} |
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</collapse> | </collapse> |
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<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Endergebnis" collapsed="true"> \begin{align*} U_C(1μs) &= 1V \\ \end{align*} \\ </collapse> | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Endergebnis">{{icon>eye}} Final value</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Endergebnis" collapsed="true"> |
| \begin{align*} |
| U_C(1~{\rm µs}) &= 1~{\rm V} \\ |
| \end{align*} \\ |
| </collapse> |
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</WRAP></WRAP></panel> | </WRAP></WRAP></panel> |
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