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| electrical_engineering_1:das_elektrostatische_feld [2021/09/21 05:05] – Externe Bearbeitung 127.0.0.1 | electrical_engineering_1:das_elektrostatische_feld [2023/05/12 20:17] (current) – gelöscht mexleadmin | ||
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| - | ====== 5. Das elektrostatische Feld ====== | ||
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| - | Aus dem Alltag ist bekannt, dass es verschiedene Ladungen und Effekte der Ladung gibt. In <imgref BildNr01> | ||
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| - | Im ersten Kapitel hatten wir bereits die Ladung als zentrale Größe der Elektrizität betrachtet und als Vielfaches der Elementarladung verstanden. Die gegenseitige Kraftwirkung ([[Grundlagen_und_grundbegriffe# | ||
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| - | Zunächst aber eine Differenzierung verschiedener Begriffe: | ||
| - | - **{{wpde> | ||
| - | - **{{wpde> | ||
| - | - **{{wpde> | ||
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| - | In diesem Kapitel wird nur die Elektrostatik betrachtet. Die Magnetfelder sind also hier zunächst außen vor. | ||
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| - | ===== 5.1 Elektrische Feldstärke und Feldlinien ===== | ||
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| - | === Ziele === | ||
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| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
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| - | - wissen, dass sich um eine Ladung ein elektrisches Feld bildet. | ||
| - | - die Feldlinien des elektrischen Feldes skizzieren können. | ||
| - | - bei Vorgabe mehrerer Ladungen in der Lage sein, die Feldstärkevektoren in einer Skizze darzustellen. | ||
| - | - durch Überlagerung mehrerer Feldstärkevektoren mit Hilfe der Vektorrechnung den resultierenden Feldstärkevektor bestimmen können. | ||
| - | - durch Anwendung des Coulombschen Gesetzes die Kraft auf eine Ladung in einem elektrostatischen Feld bestimmen können. Im Speziellen: | ||
| - | - den Kraftvektor in Koordinatendarstellung | ||
| - | - den Betrag des Kraftvektors | ||
| - | - den Winkel des Kraftvektors | ||
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| - | Nehmen Sie eine Ladung ($+1nC$) und positionieren Sie diese. \\ Messen Sie das Feld über eine Probeladung (einen Sensor) aus. | ||
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| - | Die Simulation in <imgref BildNr02> | ||
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| - | Positionieren Sie bitte in der Simulation eine negative Ladung $Q$ in der Mitte und deaktivieren Sie elektrische Feld. Letzteres geschieht über den Haken rechts. Nun ist die Situation realitätsnahe, | ||
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| - | Zur Wirkungsanalyse wird eine Probeladung $q$ in die Umgebung der vorhandenen Ladung $Q$ gebracht (in der Simulation wird die Probeladung " | ||
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| - | Der Begriff des Feldes soll nun kurz etwas näher betrachtet werden. | ||
| - | - Die Einführung des Feldes trennt die Ursache von der Wirkung. | ||
| - | - Die Ladung $Q$ verursacht das Feld im Raum | ||
| - | - Die Ladung $q$ im Raum spürt eine Kraft als Wirkung des Feldes. | ||
| - | - Diese Unterscheidung wird in diesem Kapitel nochmals wichtig. \\ Auch bei der Elektrodynamik wird diese Unterscheidung deutlich: das Feld entspricht dort Photonen, also einer Wirkungsweitergabe mit der endlichen (Licht)geschwindigkeit $c$. | ||
| - | - Wie bei den physikalische Größen, gibt es verschieden-dimensionale Felder: | ||
| - | - Bei einem **Skalarfeld** wird jedem Punkt im Raum eine einzelne Zahl zugeordnet. \\ z.B. | ||
| - | - Temperaturfeld $T(\vec{x})$ auf der Wetterkarte oder in einem Objekt | ||
| - | - Druckfeld | ||
| - | - Bei einem **Vektorfeld** wird jedem Punkt im Raum mehrere Zahlen in Form eines Vektors zugeordnet. Dieser spiegelt die Wirkung entlang der Raumkoordinaten wider. \\ z.B. | ||
| - | - Gravitationsfeld $\vec{g}(\vec{x})$, | ||
| - | - elektrisches Feld $\vec{E}(\vec{x})$ | ||
| - | - magnetisches Feld $\vec{H}(\vec{x})$ | ||
| - | - Werden jedem Punkt im Raum eine zwei- oder mehrdimensionale physikalische Größe - also ein Tensor - zugeordnet, so wird dieses Feld ein Tensorfeld genannt. Tensorfelder sind in der Mechanik (z.B. Spannungstensor) relevant, aber für die Elektrotechnik nicht notwendig. | ||
| - | Vektorfelder können angegeben werden als: | ||
| - | - Wirkungen entlang der Raumachsen $x$,$y$ und $z$ (kartesisches Koordinatensystem) | ||
| - | - Wirkung in Betrag und Richtungsvektor (Polarkoordinatensystem) | ||
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| - | <callout icon=" | ||
| - | - Felder beschreiben einen physikalischen Zustand des Raumes. | ||
| - | - Dabei wird jedem Punkt im Raum eine physikalische Größe zugeordnet. | ||
| - | - Das elektrostatische Feld wird durch ein Vektorfeld beschrieben. | ||
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| - | ==== Das elektrische Feld ==== | ||
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| - | Um das elektrische Feld zu bestimmen, wird also nun ein Maß für die Stärke des Felds benötigt. Aus dem ersten Kapitel ist die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen $Q_1$ und $Q_2$ bekannt: | ||
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| - | \begin{align*} | ||
| - | F_C = {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot Q_2} \over {r^2}}} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Um daraus ein Maß für die Stärke des elektrischen Felds zu erhalten, wird nun die Kraft auf eine (fiktive) Probeladung $q$ betrachtet. | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot q} \over {r^2}}} \\ | ||
| - | &= \underbrace{{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}}}_\text{=unabh. von q} \cdot q \\ | ||
| - | \end{align*} | ||
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| - | Der linke Teil ist also ein Maß für die Stärke des Feldes, d.h. unabhängig von der Größe der Probeladung $q$. Die Stärke des elektrischen Feldes ist also gegeben über | ||
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| - | <WRAP centeralign> | ||
| - | $E = {{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}} \quad$ mit $[E]={{[F]}\over{[q]}}=1 {{N}\over{As}}=1 {{N\cdot m}\over{As \cdot m}} = 1 {{V \cdot A \cdot s}\over{As \cdot m}} = 1 {{V}\over{m}}$ | ||
| - | </ | ||
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| - | Es ergibt sich also | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{F_C = E \cdot q} | ||
| - | \end{align*} | ||
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| - | <callout icon=" | ||
| - | |||
| - | - Die **P**robeladung $q$ wird immer als **p**ositiv betrachtet. Sie wird nur als Gedankenexperiment verwendet und hat keine Rückwirkung auf die beprobte Ladung $Q$ | ||
| - | - Die Probeladung ist eine Punktladung. | ||
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| - | <callout icon=" | ||
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| - | Eine Ladung $Q$ erzeugt an einem Messpunkt $P$ eine elektrische Feldstärke $\vec{E(Q)}$, | ||
| - | - den Betrag $|E|=\Bigl| {{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}} \Bigl| $ und | ||
| - | - die Richtung der Kraft $\vec{F_C}$ auf eine ruhende Probeladung im Messpunkt $P$. \\ Diese ist durch den Einheitsvektor $\vec{e_r}={{\vec{F_C}}\over{|F_C|}}$ in diese Richtung gegeben. | ||
| - | </ | ||
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| - | Die Richtung des elektrischen Feldes ist in <imgref BildNr02> | ||
| - | Das elektrische Feld kann auch in [[https:// | ||
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| - | ==== Elektrische Feldlinien ==== | ||
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| - | Überlagerung von Feldern \\ ([[https:// | ||
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| - | Elektrische Feldlinien ergeben sich als der (fiktive) Weg einer Probeladung. Damit sind auch elektrische Feldlinien von mehreren Ladungen ermittelbar. Diese ergeben sich aber auch durch eine Superposition der einzelnen Wirkungen - also Feldstärken - an einem Messpunkt $P$. | ||
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| - | Die Überlagerung ist in <imgref BildNr03> | ||
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| - | <callout icon=" | ||
| - | - Das elektrostatische Feld ist ein Quellenfeld. Das bedeutet es gibt Quellen und Senken. \\ Dies ist gleich zu setzen mit: Die elektrischen Feldlinien haben einen Anfang (an einer positiven Ladung) und ein Ende (an einer negativen Ladung). | ||
| - | - Aus den Feldlinienbildern kann folgendes entnommen werden: | ||
| - | - Richtung des Feldes ($\hat{=}$ Tangente an die Feldlinie) | ||
| - | - Betrag des Feldes ($\hat{=}$ Anzahl der Feldlinien pro Flächeneinheit) | ||
| - | - Der Betrag der Feldstärke entlang einer Feldlinie ist in der Regel __nicht__ konstant. | ||
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| - | ==== Aufgaben ==== | ||
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| - | Skizzieren Sie den Feldlinienverlauf für die in <imgref BildNr04> | ||
| - | Beachten Sie: | ||
| - | * Es ist das __überlagerte__ Bild gesucht | ||
| - | * Achten Sie darauf, dass es sich um ein Quellenfeld handelt | ||
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| - | ===== 5.2 Elektrische Ladung und Coulombkraft (reloaded) ===== | ||
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| - | === Ziele === | ||
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| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| - | |||
| - | - die Richtung der Kräfte anhand gegebener Ladungen bestimmen können. | ||
| - | - die wirkenden Kraftvektoren in einer Skizze darstellen können. | ||
| - | - in der Lage sein, einen Kraftvektor durch Überlagerung mehrerer Kraftvektoren mit Hilfe der Vektorrechnung zu bestimmen | ||
| - | - in der Lage sein, für einen Kraftvektor folgende Größen anzugeben: | ||
| - | - Kraftvektor in Koordinatendarstellung | ||
| - | - Betrag des Kraftvektors | ||
| - | - Winkel des Kraftvektors | ||
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| - | </ | ||
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| - | Die [[Grundlagen_und_grundbegriffe# | ||
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| - | ==== Richtung der Coulombkraft und Überlagerung ==== | ||
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| - | {{drawio> | ||
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| - | Beim der Kraft wurde bisher zwar die Richtung betrachtet, z.B. Richtung auf die Probeladung, | ||
| - | |||
| - | Weiterhin können auch mehrere Kräfte an einer Ladung zu einer resultierenden Kraft überlagert werden. Streng genommen muss dazu gelten, dass $\varepsilon$ im Aufbau konstant ist. So wird z.B. die resultierende Kraft in <imgref BildNr06> | ||
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| - | ==== Geometrische Verteilung von Ladungen ==== | ||
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| - | In vorherigen Kapiteln wurden nur einzelne Ladungen (z.B. $Q_1$, $Q_2$) betrachtet. | ||
| - | * Die Ladung $Q$ wurde bisher auf eine **Punktladung** reduziert. | ||
| - | * Sind die Ladungen entlang einer Linie aufgereiht, so spricht man von einer **Linienladung**. \\ Beispiele hierzu sind eine gerade Leiterbahn auf einer Platine oder ein Drahtstück. Außerdem gilt dies auch für ein ausgedehntes, | ||
| - | * Über eine **Flächenladung** wird gesprochen, wenn die Ladung über eine Fläche verteilt anzusehen ist. \\ Beispiele hierzu sind der Fußboden oder eine Platte eines Kondensators. Auch hier kann ein ausgedehntes, | ||
| - | * Eine **Raumladung** ist schließlich der Begriff für Ladungen die sich über ein Volumen erstrecken. \\ Hier sind Beispiele Plasmen oder Ladungen in ausgedehnten Objekten (z.B. im Halbleiter). wie bei den anderen Ladungsverteilungen kann hier eine (Raum-)Ladungsdichte $\rho_V$ berechnet werden: <WRAP centeralign> | ||
| - | |||
| - | ==== Arten von Felder in Abhängigkeit der Ladungsverteilung ==== | ||
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| - | Man unterscheidet zwei verschiedene Arten von Feldern: | ||
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| - | <WRAP group>< | ||
| - | Bei **homogenen Feldern** sind Betrag und Richtung im gesamten Feldbereich konstant. Diese Feldform ist idealisiert innerhalb von Plattenkondensatoren vorhanden. z.B. beim Plattenkondensator (<imgref BildNr07> | ||
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| - | ==== Aufgaben ==== | ||
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| - | =====5.3 Arbeit und Potential ===== | ||
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| - | === Ziele === | ||
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| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| - | |||
| - | - wissen, wie die Arbeit im elektrostatischen Feld definiert ist. | ||
| - | - bei Bewegung einer Ladung beschreiben können, wann Arbeit anfällt und wann nicht. | ||
| - | - die Definition der elektrischen Spannung kennen und können diese in einem elektrischen Feld berechnen. | ||
| - | - verstanden haben, warum die Spannungsberechnung wegunabhängig ist | ||
| - | - wissen, was eine Potentialdifferenz ist und Äquipotentialflächen (-linien) erkennen bzw. diese angeben können | ||
| - | - für eine gegebene Anordnung sie einen Potentialverlauf bestimmen können. | ||
| - | |||
| - | </ | ||
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| - | <callout type=" | ||
| - | |||
| - | Im Folgenden werden nur einige kurze Darstellung der Konzepte gegeben. \\ | ||
| - | Eine ausführliche Erklärung findet sich im KIT-Brückenkurs. Es wird empfohlen diese selbstständig durchzuarbeiten. \\ \\ | ||
| - | Insbesondere gilt dies für: | ||
| - | * Kapitel " | ||
| - | * Kapitel " | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | ==== Energieaufwand zur Verschiebung einer Ladung im Feld ==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
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| - | {{drawio> | ||
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| - | Zunächst soll die Situation einer Ladung in einem homogenen elektrischen Feld betrachtet werden. Wie wir bisher gesehen haben ist dann der Betrag von E konstant und die Feldlinien verlaufen parallel. In dieses Feld soll nun eine positive Ladung $q$ gebracht werden. | ||
| - | |||
| - | Wäre diese Ladung frei beweglich (z.B. Elektron im Vakuum oder im ausgedehnten Leiter) so würde sie entlang der Feldlinien beschleunigt. Damit erhöht sich ihre kinetische Energie. Da das gesamte System aus Platten (zur Felderzeugung) und Ladung ändert aber seinen energetischen Zustand nicht - thermodynamisch ist das System abgeschlossen. Daraus ergibt sich: wenn die kinetische Energie sich erhöh, muss die potentielle Energie abnehmen. | ||
| - | |||
| - | Aus der Mechanik ist bekannt, dass hierbei verrichtete Arbeit (also die durch Kräfte verrichtete Energie) über die Kraft entlang eines Weges definiert ist. \\ | ||
| - | Im homogenen Feld gilt für eine Kraftwirkung, | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | W_{AB} = F_C \cdot s | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | |||
| - | Für eine Bewegung parallel zu einer Feldlinie (also von $A$ nach $C$) ergibt sich $W_{AB}=0$. Diese Situation gleicht der Bewegung eines Gewichts im Schwerefeld auf gleicher Höhe. Auch dort wird damit keine Energie abgegeben oder aufgenommen. | ||
| - | Für einen beliebige Richtung durch das Feld muss der Anteil des Weges betrachtet, welcher parallel zu den Feldlinien durchlaufen wurde. Dieser ergibt sich aus dem Winkel $\alpha$ zwischen $\vec{F}$ und $\vec{s}$: | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | W_{AB} = F_C \cdot s \cdot cos(\alpha) = \vec{F_C}\cdot \vec{s} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Die Arbeit $W_{AB}$ beschreibt hier die Energiedifferenz, | ||
| - | Ähnlich zum elektrischen Feld sucht man nun eine von der (Probe)Ladung $q$ unabhängige Größe, um den Energieanteil zu beschreiben. Dies geschieht über das **Potential** $\varphi$ (auch Potenzial). Das Potential in einem homogenen Feld ist definiert als: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \varphi_{AB} = {{W_{AB}}\over{q}} = {{F_C \cdot s}\over{q}} = {{E \cdot q \cdot s}\over{q}} = E \cdot s_{AB} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | <callout icon=" | ||
| - | Das Potential $\varphi$ in einem $E$-Feld ist die Fähigkeit Arbeit $W$ zu verrichten. | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Um einen allgemeinen Ansatz für __in__homogene Felder und beliebige Wege $s_{AB}$ zu erhalten, hilft es (wie so häufig) das Problem in kleine Teile zu zerlegen. Im konkreten Fall sind dies kleine Wegabschnitte, | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | W_{AB} = \vec{F_C}\cdot \vec{s} \quad \rightarrow \quad \Delta W = \vec{F_C}\cdot \Delta \vec{s}\quad | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Die Gesamtenergie ergibt sich nun über die Summe bzw. Integration dieser Wegabschnitte: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | W_{AB} &= \int_{W_A}^{W_B} dW \\ | ||
| - | &= \int_{A}^{B} \vec{F_C}\cdot d \vec{s} \\ | ||
| - | & | ||
| - | & | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Das Potential ist damit: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \varphi_{AB} & | ||
| - | &= \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Die Potentialdifferenz $\varphi_{AB}$ wird auch als Spannung $U_{AB}$ bezeichnet. Die Spannung wird in Volt gemessen. | ||
| - | |||
| - | Interessant ist, dass egal ist auf Weg die Integration erfolgt. Es ist also egal, wie die Ladung von $A$ nach $B$ kommt, der Energie bzw. Potentialunterschied ist stets gleich. Dies ergibt sich daraus, dass eine Ladung $q$ an einem Punkt $A$ im Feld eine eindeutige potentielle Energie hat. Egal wie diese Ladung zu einem Punkt $B$ hin und wieder zurückbewegt wird: sobald diese wieder zurück zum Punkt $A$ gelangt, hat diese wieder die gleiche Energie. Die Potentialdifferenz von Hin- und Rückweg muss also betragsmäßig gleich sein. | ||
| - | |||
| - | Dieses Konzept wurde bereits als Maschensatz in Schaltungen angewandt (siehe [[einfache_gleichstromkreise# | ||
| - | |||
| - | < | ||
| - | |||
| - | Die Gleichung $\varphi_{AB} = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s}$ lässt sich je nach vorhandener Geometrie nutzen und anwenden. | ||
| - | Als Beispiel wird hier die Situation einer Ladung, die sich im Inneren eines Kondensators von einer Elektrode zur anderen bewegt, betrachtet: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \varphi_{AB} & | ||
| - | \varphi_{AB} & | ||
| - | \varphi & | ||
| - | \varphi & | ||
| - | U & | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | |||
| - | <callout icon=" | ||
| - | Kehrt man von einem beliebigen Punkt $A$ nach einem geschlossenen Umlauf wieder zum Ausgangspunkt zurück, so ist die __Umlaufspannung__ längs des geschlossenen Wegs gleich 0. | ||
| - | Ein geschlossener Weg wird mathematisch als Ringintegral ausgedrückt: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \varphi = \oint \vec{E} \cdot d \vec{s} = 0 | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Oder anders gesprochen: Im elektrostatischen Feld existieren keine in sich geschlossenen Feldlinien. | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Ein Feld $\vec{X}$, welches der Bedingung $\oint \vec{X} \cdot d \vec{s}=0$ genügt, heißt __wirbelfrei__ oder __Potentialfeld__. | ||
| - | |||
| - | Aus der Potentialdifferenz, | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{W_{AB}= | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | ==== Äquipotentiallinien ==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | < | ||
| - | {{elektrotechnik_1: | ||
| - | </ | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Wird eine Ladung $q$ senkrecht zu den Feldlinien, so erfährt sie weder Energiegewinn noch -verlust. Die Spannung entlang dieses Weges ist $0V$. Alle Punkte, zwischen denen die Spannung von $0V$ anliegt, liegen auf dem selben Potentialniveau. Die Verbindung dieser Punkte nennt man: | ||
| - | * Äquipotentiallinien für eine 2-dimensionale Darstellung des Feldes | ||
| - | * Äquipotentialflächen für ein 3-dimensionales Feld | ||
| - | |||
| - | Dies entspricht im Schwerefeld einer Bewegung auf der gleichen Höhenlinie. Die Höhenlinien sind häufig in (Wander)Karten eingezeichnet, | ||
| - | |||
| - | Die Äquipotentialflächen werden in der Regel mit einer festen Schrittweite gezeichnet, z.B. $1V$, $2V$, $3V$, ... . Da das elektrische Feld in der Nähe von Ladungen höher ist, sind dort auch Äquipotentialflächen enger zusammen. | ||
| - | In <imgref BildNr98> | ||
| - | <WRAP right> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | ==== Bezugspotential ==== | ||
| - | |||
| - | =====5.4 Leiter im elektrostatischen Feld ===== | ||
| - | |||
| - | < | ||
| - | |||
| - | === Ziele === | ||
| - | |||
| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| - | |||
| - | - wissen, dass im elektrostatischen Feld in einem Leiter kein Strom fließt. | ||
| - | - wissen, wie sich Ladungen in einem Leiter im elektrostatischen Feld verteilen | ||
| - | - in der Lage sein, die Feldlinien an der Leiteroberfläche zu skizzieren. | ||
| - | - den Effekt der Influenz durch ein äußeres elektrisches Feld verstanden haben | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Bisher wurden Ladungen betrachtet, die entweder starr waren oder frei beweglich. Im Folgenden sollen Ladungen auf einem elektrischen Leiter betrachtet werden. Diese sind nur im Leiter frei beweglich. Zunächst wird ein idealer Leiter ohne Widerstand betrachtet. | ||
| - | |||
| - | ==== Stationärer Zustand von Ladungen ohne äußeres Feld ==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Im ersten Gedankenexperiment wird ein Leiter (z.B. eine Metallplatte) aufgeladen, siehe <imgref BildNr10> | ||
| - | Die Bewegung der Ladung findet solange statt, bis ein Kräftegleichgewicht herrscht. In diesem stationären Zustand wirkt auf die Einzelladung keine resultierende Kraft mehr. In <imgref BildNr10> | ||
| - | Ergebnisse: | ||
| - | * Die Ladungsträger sind an der Oberfläche verteilt. | ||
| - | * Durch das Auseinanderstreben der Ladungen ist das Innere des Leiters feldfrei | ||
| - | * Alle Feldlinien stehen senkrecht zur Oberfläche. Denn: wären sie das nicht, gäbe es eine tangentiale Komponente des Feldes, also entlang der Oberfläche. Damit würde eine Kraft auf Ladungsträger wirken und diese würden sich entsprechend bewegen. | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ==== Influenz ==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Im zweiten Gedankenexperiment wird ein ungeladener Leiter (z.B. eine Metallplatte) in ein elektrostatisches Feld gebracht (<imgref BildNr11> | ||
| - | Ergebnisse: | ||
| - | * Die Ladungsträger sind weiterhin an der Oberfläche verteilt. | ||
| - | * Es stellt sich nun ein Gleichgewicht ein, wenn sich gerade so viele Ladungen bewegt haben, dass im Leiterinneren (wieder) die Feldstärke verschwindet. | ||
| - | * Die Feldlinien verlassen die Oberfläche wieder im rechten Winkel. Auch hier würde eine Tangentialkomponente eine Ladungsverschiebung im Metall bewirken. | ||
| - | |||
| - | Diesen Effekt der Ladungsverschiebung in leitfähigen Objekten durch ein elektrostatisches Feld nennt man **Influenz**. Influenzladungen können getrennt werden (<imgref BildNr11> | ||
| - | |||
| - | <callout icon=" | ||
| - | - Sitz einer influenzierten Ladung ist immer die Leiteroberfläche. Es ergibt sich damit eine Flächenladungsdichte $\varrho_A = {{\Delta Q}\over{\Delta A}}$ | ||
| - | - Die Leiteroberfläche im elektrostatischen Feld ist stets eine Äquipotentialfläche. Damit entspringen und enden die Feldlinien immer senkrecht auf Leiteroberflächen. | ||
| - | - Das Leiterinnere ist immer feldfrei (Faraday-Effekt: | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Wie kann die Leiteroberfläche trotz unterschiedlicher Ladung auf beiden Seiten eine Äquipotentialfläche sein? Äquipotentialflächen sind nur dadurch definiert, dass die Bewegung einer Ladung entlang einer solchen Fläche keine Änderung der Energie erfordert/ | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | ==== Aufgaben ==== | ||
| - | |||
| - | Anwendung von Influenz: Schutzbeutel gegen elektrostatische Aufladung / Entladung (vgl. [[https:// | ||
| - | |||
| - | <panel type=" | ||
| - | |||
| - | Im Simulationsprogramm von [[https:// | ||
| - | |||
| - | - Öffnen Sie das Simulationsprogramm über den Link | ||
| - | - Wählen Sie: " | ||
| - | - Es wird nun das Feld eines unendlich langen Zylinders in einem homogenen elektrischen Feld im Schnitt angezeigt. Die durchgezogenen Linien zeigen die Äquipotenialflächen. Die kleinen Pfeile zeigen die elektrische Feldstärke an. | ||
| - | - Was lässt sich über die Potentialverteilung am Zylinder sagen? | ||
| - | - Auf der linken Hälfte treten die Feldlinien in den Körper ein, auf der rechte aus den Körper aus. Was lässt sich über die Ladungsträgerverteilung an der Oberfläche sagen? Prüfen Sie dazu auch die Darstellung " | ||
| - | - Ist im Inneren des Körpers ein elektrisches Feld vorhanden? Prüfen Sie dazu auch die Darstellung " | ||
| - | - Ist dieser Zylinder metallisch, halbleitend oder isolierend? | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | {{page> | ||
| - | {{page> | ||
| - | {{page> | ||
| - | |||
| - | |||
| - | =====5.5 Der elektrische Verschiebungsfluss und Gaußscher Satz der Elektrostatik ===== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | Die elektrische Verschiebungs(fluss)dichte | ||
| - | {{youtube> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | < | ||
| - | |||
| - | === Ziele === | ||
| - | |||
| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| - | |||
| - | - wissen, wie man von einzelnen Ladungen auf den elektrischen Verschiebungsfluss kommt | ||
| - | - in der Lage sein für eine gegebene Fläche die Verschiebungsflussdichte einer Anordnung anzugeben | ||
| - | - kennen Sie die allgemeine Bedeutung des Gaußschen Satzes der Elektrostatik. | ||
| - | - sind in der Lage sein, eine geschlossene Hüllfläche geeignet zu wählen und den Gaußschen Satz anzuwenden | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Nun wollen wir die Situation an den beiden leitfähigen Platten mit der Fläche $\Delta A$ im elektrostatischen Feld $\vec{E}$ im Vakuum noch etwas genauer betrachten. Dazu sollen die Platten zunächst getrennt in das Feld gebracht werden. Wie in <imgref BildNr12> | ||
| - | |||
| - | In der bisherigen Anordnung (homogenes Feld, alle Flächen parallel zueinander) ist die so influenzierte Flächenladungsdichte $\varrho_A = {{\Delta Q}\over{\Delta A}}$ proportional zum äußeren Feld $E$. Es gilt: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \varrho_A = {{\Delta Q}\over{\Delta A}} \sim E \\ | ||
| - | \varrho_A = {{\Delta Q}\over{\Delta A}} = \varepsilon \cdot E | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Die **Verschiebungs(fluss)dichte** ist nun definiert als | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{\vec{D} = \varepsilon \cdot \vec{E}} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Die Verschiebungs(fluss)dichte hat die Einheit " | ||
| - | |||
| - | Warum wird nun ein zweites Feld eingeführt? | ||
| - | Beide stehen durch obige Gleichung im Zusammenhang. | ||
| - | Es wird in späteren Unterkapiteln gezeigt, dass das verschiedene Einflüsse aus der gleichen Ursache des Feldes verschiedene Wirkung auf andere Ladungen erzeugen können. | ||
| - | |||
| - | Die **Permittivität** (oder dielektrische Leitfähigkeit) $\varepsilon$ ergibt sich also als Proportionalitätskonstante zwischen $D$- und $E$-Feld. Der Umkehrwert ${{1}\over{\varepsilon}}$ ist ein Maß dafür wieviel Wirkung ($E$-Feld) aus der Ursache ($D$-Feld) an einem Punkt verfügbar ist. Im Vakuum ist $\varepsilon= \varepsilon_0$, | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | ==== Allgemeiner Zusammenhang zwischen Ladung Q und Verschiebungsdichte D ==== | ||
| - | |||
| - | Bisher wurde nur ein homogenes Feld und eine Beobachtungsfläche rechtwinklig zu den Feldlinien betrachtet. Damit wurden nur Äquipotentialflächen (z.B. eine Metallfolie) betrachtet. | ||
| - | In dem Fall ergab sich, dass die Ladung gleich der Verschiebungsdichte auf der Fläche ist: $\Delta Q = D\cdot \Delta A$. | ||
| - | |||
| - | Diese Formel soll nun auf beliebige Flächen und inhomogene Felder erweitert werden. | ||
| - | Wie auch bei dem Potential und anderen physikalischen Problemen soll hier wieder das Problem in kleinere Teilprobleme zerlegt, gelöst und dann aufsummiert werden. Dazu wird ein kleines Flächenelement $\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y$ benötigt. Zusätzlich soll noch die Lage der Fläche im Raum berücksichtigt werden. Dies ist möglich wenn das Kreuzprodukt gewählt wird: $\Delta \vec{A} = \Delta \vec{x} \cdot \Delta \vec{y}$, da so die Flächennormale. Im Folgenden wird das Kreuzprodukt zur Rechnung relevant sein, wohl aber die Konsequenzen des Kreuzprodukts: | ||
| - | * Der Betrag von $\Delta \vec{A}$ entspricht der Fläche $\Delta A$ | ||
| - | * Die Richtung von $\Delta \vec{A}$ steht senkrecht zur Fläche. | ||
| - | Zusätzlich soll $\Delta A$ nun infinitesimal klein werden, also zu $dA = dx \cdot dy$. | ||
| - | |||
| - | === 1. Problem: Inhomogenität → Lösung: Fläche schrumpfen === | ||
| - | Zunächst soll noch von einer Beobachtungsfläche rechtwinklig zu den Feldlinien, aber von einem inhomogenen Feld ausgegangen werden. Im inhomogenen Feld ist der Betrag von $D$ nicht mehr konstant. Um dies zu beheben wird nun $dA$ so klein gewählt, dass gerade "nur noch eine Feldlinie" | ||
| - | |||
| - | $Q = D\cdot A$ | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | Q = D\cdot A \quad \rightarrow \quad dQ = D\cdot dA | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | === 2. Problem: beliebige Fläche → Lösung: Vektoren === | ||
| - | Nun soll von einer beliebig gearteten Fläche ausgegangen werden. Damit dringt das $\vec{D}$-Feld nicht mehr rechtwinklig durch die Fläche. Für die Influenz war aber nur der rechtwinklige Anteil relevant. Es muss also nur dieser berücksichtigt werden. Dieser ergibt sich durch Berücksichtigung des Kosinus vom Winkel zwischen (rechtwinklig stehender) Flächennormale und $\vec{D}$-Feld: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | dQ = D\cdot dA \quad \rightarrow \quad dQ = D\cdot dA \cdot cos(\alpha) = \vec{D} \cdot d \vec{A} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | === 3. Aufsummieren === | ||
| - | Da bisher nur infinitesimal kleine Flächenstücke betrachtet wurden muss nun wieder zu einer Gesamtfläche integriert werden. Wird eine geschlossene Hüllfläche um einen Körper gewählt, so ergibt sich: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{\int dQ = \iint_{\text{Hülle}} \vec{D} \cdot d \vec{A} = Q} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Die " | ||
| - | * Die Quellen im Sumpfgebiet entsprechen den positiven Ladungen, die Senken den negative Ladungen. Das gebildete Wasser entspricht dem $D$-Feld. | ||
| - | * Die Summe aller Quellen und Senken gleich in diesem Fall gerade dem über den Rand tretenden Wasser. | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ==== Anwendungen ==== | ||
| - | |||
| - | Werden im Kurs durchgerechnet. | ||
| - | |||
| - | === Kugelkondensator === | ||
| - | |||
| - | Kugelkondensator sind in der praktischen Anwendung nur noch selten anzutreffen. Im {{wpde> | ||
| - | |||
| - | === Plattenkondensator === | ||
| - | |||
| - | Der Zusammenhang zwischen dem $E$-Feld und der Spannung $U$ am idealen Plattenkondensator soll aus dem Integral der Verschiebungsdichte $\vec{D}$ hergeleitet werden: | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | Q = \iint_{\text{Hülle}} \vec{D} \cdot d \vec{A} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | <callout icon=" | ||
| - | |||
| - | Die Betrachtung der Verschiebungsflussdichte löste auch ein Problem, welches sich bei Stromkreisen recht für ergab: Aus Überlegungen zu Magnetfeldern kann folgende recht offensichtlich klingende Tatsache geleitet werden: In einem in Reihe geschalteten, | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | =====5.6 Nichtleiter im elektrostatischen Feld ===== | ||
| - | |||
| - | < | ||
| - | |||
| - | === Ziele === | ||
| - | |||
| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| - | |||
| - | - die beiden feldbeschreibenden Größen des elektrostatischen Feldes kennen | ||
| - | - in der Lage sein, den Zusammenhang dieser beiden Größen über das Materialgesetz zu beschreiben und anzuwenden | ||
| - | - die Wirkung eines elektrostatischen Feldes auf einen Isolator verstanden haben | ||
| - | - wissen, was der Effekt der dielektrischen Polarisation bewirkt | ||
| - | - den Begriff Durchschlagsfestigkeit auf eine Eigenschaft von Isolatoren zuordnen können und wissen was er bedeutet | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | ==== Materialgesetz der Elektrostatik ==== | ||
| - | |||
| - | Zunächst soll wieder ein Gedankenexperiment durchgeführt werden (siehe <imgref BildNr13> | ||
| - | - Es wird zunächst von einem geladenen Plattenkondensator im Vakuum ausgegangen, | ||
| - | - Als nächstes soll der Zwischenbereich mit einem Material gefüllt werden. | ||
| - | |||
| - | Überlegen Sie sich, wie sich $E$ und $D$ ändern würde, bevor Sie das Unterkapitel aufklappen.\\ | ||
| - | Warum könnte sich welche der beiden Größen ändern? | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | --> Das Materialgesetz der Elektrostatik # | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Vielleicht haben Sie sich überlegt, was mit der Ladung $Q$ auf den Platten passiert. Diese kann die Platten nicht verlassen. Also kann sich $Q = \iint_{\text{Hülle}} \vec{D} \cdot d \vec{A}$ nicht ändern. \\ | ||
| - | Da sich die Hülle als fiktive Fläche um eine Elektrode auch nicht ändert, kann sich $\vec{D}$ ebenfalls nicht ändern. | ||
| - | |||
| - | Andererseits können sich polarisierbare Materialien im Kondensator ausrichten. Dadurch wird das wirkende Feld gedämpft. Vielleicht erinnern Sie sich noch was das " | ||
| - | |||
| - | Bisher galt: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | D = \varepsilon_0 \cdot E | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Die ermittelte Änderung wird in die Materialkonstante $\varepsilon_r$ gepackt. Damit ergibt sich das **Materialgesetz der Elektrostatik**: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{D = \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 \cdot E} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Da die Ladung $Q$ in dieser Versuchsanordnung nicht vom Kondensator verschwinden kann und damit $D$ konstant bleibt, muss bei $\varepsilon_r> | ||
| - | |||
| - | <imgref BildNr14> | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | <callout icon=" | ||
| - | - Die Materialkonstante $\varepsilon_r$ wird relative Permittivität, | ||
| - | - Die relative Permittivität ist einheitenlos und gibt an, um wieviel die elektrische Feldstärke bei gleicher Ladung durch die Anwesenheit von Material abnimmt. | ||
| - | - Die relative Permittivität $\varepsilon_r$ ist für Dielektrika (also Nichtleiter) immer größergleich 1. | ||
| - | - Die relative Permittivität hängt von der Polarisierbarkeit des Materials ab, also der Möglichkeit die Moleküle im Feld auszurichten. Entsprechend ist die relative Permittivität von der Frequenz und häufig auch von der Richtung und Temperatur abhängig. | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | <callout icon=" | ||
| - | |||
| - | Wenn nun die relative Permittivität $\varepsilon_r$ von der Möglichkeit die Moleküle im Feld auszurichten abhängt, ergibt sich folgender interessanter Zusammenhang: | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | <WRAP right 30em> | ||
| - | |||
| - | < | ||
| - | ^ Material^ relativen Permittivität \\ $\varepsilon_r$ für niedrige Frequenzen ^ | ||
| - | | Luft | 1,0006 | | ||
| - | | Papier | 2| | ||
| - | | Hartpapier | ||
| - | | Glas | 6...8 | | ||
| - | | PE, PP | 2,3 | | ||
| - | | PS | 2,5 | | ||
| - | | Wasser (20°C) | 80 | | ||
| - | </ | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Einige Werte der relativen Permittivität $\varepsilon_r$ für Dielektrika sind in <tabref tab01> angegeben. | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | <-- | ||
| - | |||
| - | ====Durchschlagfestigkeit von Dielektrika ==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right 30em> | ||
| - | |||
| - | < | ||
| - | ^ Material^ Durchschlagfestigkeit $E_0$ in kV/mm ^ | ||
| - | | Luft | 0,1...0,3 | | ||
| - | | SF6 Gas| 8 | | ||
| - | | Vakuum| 20...30| | ||
| - | | Isolieröle| 5...30| | ||
| - | | Quarz| 30...40 | | ||
| - | | PP,PE | 50 | | ||
| - | | PS | 100 | | ||
| - | | destilliertes Wasser | 70 | | ||
| - | </ | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | * Die Dielektrika wirken als Isolatoren. Der Stromfluss wird also unterbunden | ||
| - | * Die Fähigkeit zu isolieren ist stoffabhängig | ||
| - | * Wird eine maximale Feldstärke $E_0$ überschritten, | ||
| - | * Man sagt: Der Isolator schlägt durch. Dies bedeutet, dass ab dieser Feldstärke ein Strom durch den Isolator fließen kann | ||
| - | * Beispiele dafür sind: Blitz beim Gewitter, Zündfunke, Glimmlampe beim {{wpde> | ||
| - | * Die maximale Feldstärke $E_0$ wird **Durchschlagfestigkeit** genannt | ||
| - | * $E_0$ ist vom Material (siehe <tabref tab02>), aber auch von anderen Faktoren abhängig (Temperatur, | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | ==== Aufgaben==== | ||
| - | |||
| - | <panel type=" | ||
| - | |||
| - | Überlegen Sie sich, was passiert wäre, wenn im genannten Gedankenexperiment (<imgref BildNr13> | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | =====5.7 Kondensatoren ===== | ||
| - | |||
| - | < | ||
| - | |||
| - | === Ziele === | ||
| - | |||
| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| - | |||
| - | - wissen was ein Kondensator ist und wie die Kapazität definiert ist | ||
| - | - die grundlegenden Gleichungen zur Berechnung eines Kondensators kennen und diese anwenden können | ||
| - | - sich einen Plattenkondensator vorstellen können und Anwendungsbeispiele kennen Ebenso haben Sie eine Vorstellung davon, wie ein Zylinder- bzw. Kugelkondensator aussieht und welche Anwendungsbeispiele es dafür gibt | ||
| - | - wissen, wie in den drei vorgestellten Kondensatorformen die Verläufe von E-Feld, D-Feld und elektrischem Potential sind | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ==== Kapazität ==== | ||
| - | |||
| - | * Ein Kondensator ist dadurch definiert, dass es zwei Elektroden (= leitfähige Bereiche) gibt, welche durch ein Dielektrikum (= Nichtleiter) getrennt wird. | ||
| - | * Damit wird es möglich ein elektrisches Feld im Kondensator aufzubauen, ohne dass sich Ladungsträger durch das Dielektrikum bewegen. | ||
| - | * Die Kenngröße des Kondensators ist die Kapazität $C$. | ||
| - | * Neben der Kenngröße besitzt jeder Kondensator auch einen Widerstand und eine Induktivität. Beide sind jedoch in der Regel sehr klein. | ||
| - | * Beispiele sind | ||
| - | * die elektrische Komponente " | ||
| - | * ein offener Schalter, | ||
| - | * eine Leitung gegenüber Masse, | ||
| - | * ein Mensch | ||
| - | $\rightarrow$ Es kann also bei jeder beliebigen Anordnung von zwei Leitern, die durch einen Isolierstoff getrennt sind eine Kapazität angegeben werden. | ||
| - | |||
| - | Die Kapazität $C$ kann wie folgt hergeleitet werden: | ||
| - | - Bekannt ist: $U = \int \vec{E} d \vec{s} = E \cdot l$ und damit $E= {{U}\over{l}}$ bzw. $D= \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{U}\over{l}}$ | ||
| - | - Weiterhin ergibt sich aus $\iint_{\text{Hülle}} \vec{D} \cdot d \vec{A} = Q$ durch die idealisierte Form des Plattenkondensators: | ||
| - | - Damit gilt für die Ladung $Q$: \begin{align*} Q = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{U}\over{l}} \cdot A \end{align*} | ||
| - | - Das bedeutet, dass $Q \sim U$, wenn die Geometrie (also $A$ und $d$) und das Dielektrikum ($\varepsilon_r $) festgelegt ist | ||
| - | - Es ist also sinnvoll einen Proporionalitätsfaktor ${{Q}\over{U}}$ zu ermitteln. | ||
| - | |||
| - | Die Kapazität $C$ eines idealisierten Plattenkondensators ist definiert als | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{A}\over{l}} = {{Q}\over{U}}} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Dieser Zusammenhang kann in folgender Simulation näher betrachtet werden: | ||
| - | |||
| - | --> | ||
| - | |||
| - | Falls die Simulation nicht optimal dargestellt wird, kann [[https:// | ||
| - | |||
| - | {{url> | ||
| - | |||
| - | <-- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ==== Bauformen und Typen von Kondensatoren ==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Zur Berechnung der Kapazitäten von verschiedenen Bauformen werden die Definitionsgleichungen von $\vec{D}$ und $\vec{E}$ herangezogen. Diese kann ausführlich z.B. in [[https:// | ||
| - | |||
| - | ^^Form des Kondensators^Parameter^Gleichung für die Kapazität^ | ||
| - | |Plattenkondensator| Fläche $A$ der Platte \\ Abstand $l$ zwischen den Platten | \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{A}\over{l}} \end{align*}| | ||
| - | |Zylinderkondensator |Radius des Außenleiters $R_a$ \\ Radius des Innenleiters $R_i$ \\ Länge $l$| \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot 2\pi {{l}\over{ln \left({{R_a}\over{R_i}}\right)}} \end{align*}| | ||
| - | |Kugelkondensator |Radius des Außenkugelleiters $R_a$ \\ Radius des Innenkugelleiters $R_i$| \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot 4 \pi {{R_i \cdot R_a}\over{R_a - R_i}} \end{align*}| | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | In <imgref BildNr16> | ||
| - | - **{{wpde> | ||
| - | - Ein Drehkondensator besteht aus zwei Plattensätzen: | ||
| - | - Der bewegliche Satz kann radial in den festen Satz gedreht werden. Dabei überdeckt dieser eine gewisse Fläche $A$. | ||
| - | - Durch die Anzahl der Platten wird die Größe der Fläche erhöht. Dennoch sind aufgrund des notwendigen Abstands nur geringe Kapazitäten möglich. | ||
| - | - Als Dielektrikum wird meist Luft genutzt, gelegentlich wird die Dielektrizitätszahl wird gelegentlich durch kleine Kunststoff- oder Keramik-Plättchen erhöht. | ||
| - | - **{{wpde> | ||
| - | - Beim Vielschichtkondensator gibt wieder zwei Elektroden. Auch hier wird durch das fingerförmige Ineinandergreifen die Fläche $A$ (und damit die Kapazität $C$) vervielfacht. | ||
| - | - Als Dielektrikum wird hier Keramik genutzt. | ||
| - | - Der Keramik-Vielschicht-Kondensator wird auch KerKo oder MLCC (engl. für multi layer ceramic capacitor) genannt. | ||
| - | - Die in (2) dargestellte Variante zeigt eine SMD-Variante (engl. für surface mound device, also unbedrahtet). | ||
| - | - **Scheiben-Kondensator** | ||
| - | - Auch beim Scheibenkondensator wird eine Keramik als Dielektrikum genutzt. Diese ist hierbei als runde Scheibe zwischen zwei Elektroden positioniert | ||
| - | - Scheibenkondensatoren sind für höhere Spannungen ausgelegt, zeigen aber eine geringe Kapazität (im Microfarad-Bereich) | ||
| - | - **{{wpde> | ||
| - | - Bei Elektrolytkondensatoren ist das Dielektrikum eine Oxidschicht, | ||
| - | - Als oxidierte Elektrode können unterschiedliche Metalle genutzt werden, z.B. Aluminium, Tantal oder Niob | ||
| - | - Dadurch dass die Oxidschicht sehr dünn ist, ergibt sich eine sehr hohe Kapazität (abhängig von der Größe: bis einige Millifarad) | ||
| - | - wichtig für die Anwendung ist aber, dass es sich um einen gepolten Kondensator handelt. D.h. er darf nur in eine Richtung mit Gleichspannung betrieben werden. Ansonsten kann ein Strom über den Kondensator fließen, der diesen zerstört und meist mit einer explosionsartigen Expansion des Elektrolyten einhergeht. Um eine Verpolung zu vermeiden ist der Minuspol mit einem Strich gekennzeichnet. | ||
| - | - Der Elko wird gewickelt aufgebaut und hat häufig an der Oberseite eine kreuzförmige Sollbruchstelle für den Gasaustritt. | ||
| - | - **{{wpde> | ||
| - | - Als Isolator wird ein Material, ähnlich einer " | ||
| - | - Der Aufbau zeigt eine hohe Impulsbelastbarkeit und geringe interne ohmsche Verluste | ||
| - | - Bei elektrischen Durchschlägen ermöglicht die Folie eine " | ||
| - | - Bei einigen Herstellern wird dieser Typ MKS (__M__etallisierter Folien__k__ondensator, | ||
| - | - **{{wpde> | ||
| - | - Als Dielektrikum ist - ähnlich dem Elko - sehr dünn. Im eigentlichen Sinne gibt es gar kein Dielektrikum. | ||
| - | - Die Ladungen werden nicht nur in der Elektrode gespeichert, | ||
| - | - Superkondensatoren können sehr große Kapazitätswerte erreichen (bis in den Kilofarad-Bereich), | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | <WRAP right 30em> | ||
| - | < | ||
| - | {{elektrotechnik_1: | ||
| - | </ | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | In <imgref BildNr17> | ||
| - | - oben zwei SMD Kondensatoren | ||
| - | - Links ein $100\mu F$ Elko | ||
| - | - Rechts ein $100nF$ MLCC in der häufig genutzten {{wpde> | ||
| - | - unten verschiedene THT Kondensatoren (__T__hrough __H__ole __T__echnology) | ||
| - | - ein großer Elko mit $10mF$ in Blau, der Positive Anschluss ist mit einem $+$ gekennzeichnet | ||
| - | - in der zweiten Reihe ist ein Kerko mit $33pF$ und zwei Folkos mit jeweils $1,5\mu F$ | ||
| - | - in der untersten Reihe ist ein Trimmkondensator mit etwa $30pF$ und ein Tantal-Elko und ein weiterer Elko zu sehen | ||
| - | Für die Bezeichnung des Kapazitätswerts eines Kondensatoren haben sich [[https:// | ||
| - | |||
| - | \\ \\ | ||
| - | <WRAP centeralign> | ||
| - | Elektrolytkondensatoren können explodieren! | ||
| - | |||
| - | {{youtube> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | <callout icon=" | ||
| - | - Es gibt polarisierte Kondensatoren. Bei diesen muss die Einbaurichtung und Bestromung beachtet werden, da es sonst zu einer Explosion kommen kann. | ||
| - | - Je nach Anwendung - und der damit geforderten Baugröße, Spannungsfestigkeit und Kapazität - werden unterschiedliche Typen an Kondensatoren eingesetzt | ||
| - | - Die Berechnung der Kapazität ist i.A. __nicht__ über $C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{A}\over{l}} $ . Der Kapazitätswert wird angegeben. | ||
| - | - Der Kapazitätswert schwankt häufig um mehr als $\pm 10\%$. D.h. eine auf mehrere Nachkommastellen genaue Berechnung ist selten nötig/ | ||
| - | |||
| - | - Der Ladestrom scheint durch den Kondensator fließen zu können, da die auf der einen Seite hinzugefügten Ladungen auf der anderen Seite entsprechend entgegengesetzte Ladungen induzieren. | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | |||
| - | =====5.8 Verschaltung von Kapazitäten ===== | ||
| - | |||
| - | < | ||
| - | |||
| - | === Ziele === | ||
| - | |||
| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| - | |||
| - | - eine Reihenschaltung von Kondensatoren erkennen und sie von einer Parallelschaltung unterscheiden können | ||
| - | - in der Lage sein, die resultierende Gesamtkapazität einer Reihen- oder Parallelschaltung zu berechnen | ||
| - | - wissen, wie sich in einer Parallelschaltung die Gesamtladung auf die Einzelkondensatoren verteilt | ||
| - | - bei einer Reihenschaltung die Spannung an einem Einzelkondensator bestimmen können | ||
| - | |||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | ====Reihenschaltung von Kondensatoren==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Sind Kondensatoren in Reihe geschalten, so ist der Ladestrom $I$ in die einzelnen Kondensatoren $C_1 ... C_n$ gleich. | ||
| - | Damit sind auch die aufgenommenen Ladungen $\Delta Q$ gleich: | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \Delta Q = \Delta Q_1 = \Delta Q_2 = ... = \Delta Q_n | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Weiterhin bildet sich nach dem Laden eine Spannung über der Reihenschaltung, | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | U_q = U_1 + U_2 + ... + U_n = \sum_{k=1}^n U_k | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Es gilt für die Spannung $U_k = \Large{{Q_k}\over{C_k}}$. \\ | ||
| - | Sind alle Kondensatoren zu Beginn entladen, dann gilt: $U_k = \Large{{\Delta Q}\over{C_k}}$ \\ | ||
| - | Damit wird | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | U_q &= &U_1 &+ &U_2 &+ &... &+ &U_n &= \sum_{k=1}^n U_k \\ | ||
| - | U_q &= & | ||
| - | {{1}\over{C_{ges}}}\cdot \Delta Q &= &&&&&&&& | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Es ergibt sich also für die Reihenschaltung von Kondensatoren $C_1 ... C_n$ : | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{ {{1}\over{C_{ges}}} = \sum_{k=1}^n {{1}\over{C_k}} } | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{ \Delta Q_k = const.} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Für anfangs ungeladene Kondensatoren gilt (Spannungsteiler für Kondensatoren): | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{Q = Q_k} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{U_{ges} \cdot C_{ges} = U_{k} \cdot C_{k} } | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | In der Simulation rechts ist neben den parallelgeschalteten Kondensatoren $C_1$, $C_2$,$C_3$ auch eine ideale Spannungsquelle $U_q$, ein Widerstand $R$, ein Schalter $S$ und eine Lampe verbaut. | ||
| - | * Der Schalter $S$ ermöglicht es über die Spannungsquelle die Kondensatoren aufzuladen. | ||
| - | * Der Widerstand $R$ ist notwendig, da die Simulation kein instantanes Laden darstellen kann. Der Widerstand begrenzt den Ladestrom auf einen Maximalwert. \\ Weitere Details zu dem Widerstand werden im Kapitel [[Schaltvorgänge an RC-Kombinationen]] beschrieben. | ||
| - | * Über die Lampe können die Kondensatoren wieder entladen werden. | ||
| - | |||
| - | Diese Herleitung ist z.B. auch in [[https:// | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | ====Parallelschaltung von Kondensatoren==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Sind Kondensatoren parallel geschalten, so ist die Spannung $U$ über die einzelnen Kondensatoren $C_1 ... C_n$ gleich. | ||
| - | Es gilt also: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | U_q = U_1 = U_2 = ... = U_n | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Weiterhin wird beim Laden die Gesamtladung $\Delta Q$ aus der Quelle auf die einzelnen Kondensatoren aufgeteilt. | ||
| - | Damit ergibt sich für die einzelnen aufgenommenen Ladungen: | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \Delta Q = \Delta Q_1 + \Delta Q_2 + ... + \Delta Q_n = \sum_{k=1}^n \Delta Q_k | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Sind alle Kondensatoren zu Beginn entladen, dann gilt: $Q_k = \Delta Q_k = C_k \cdot U$ \\ | ||
| - | Damit wird | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \Delta Q &= & Q_1 &+ & Q_2 &+ &... &+ & Q_n & | ||
| - | \Delta Q &= &C_1 \cdot U &+ &C_2 \cdot U &+ &... &+ &C_n \cdot U & | ||
| - | C_{ges} \cdot U &= &&&&&&&& | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Es ergibt sich also für die Parallelschaltung von Kondensatoren $C_1 ... C_n$ : | ||
| - | < | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{ C_{ges} = \sum_{k=1}^n C_k } | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{ U_k = const.} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Für anfangs ungeladene Kondensatoren gilt (Ladungsteiler für Kondensatoren): | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{\Delta Q = \sum_{k=1}^n Q_k} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{ {{Q_k}\over{C_k}} = {{\Delta Q}\over{C_{ges}}} } | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | In der Simulation rechts ist wieder neben den parallelgeschalteten Kondensatoren $C_1$, $C_2$,$C_3$ auch eine ideale Spannungsquelle $U_q$, ein Widerstand $R$, ein Schalter $S$ und eine Lampe verbaut. | ||
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| - | Diese Herleitung ist z.B. auch in [[https:// | ||
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| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
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| - | ====Aufgaben==== | ||
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| - | <panel type=" | ||
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| - | siehe https:// | ||
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| - | =====5.9 Grenzflächen von Dielektrika ===== | ||
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| - | < | ||
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| - | === Ziele === | ||
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| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| - | |||
| - | - eine Schichtung von Dielektrika erkennen und eine Querschichtung und eine Längsschichtung unterscheiden können | ||
| - | - wissen welche Größe bei einer Querschichtung konstant bleibt | ||
| - | - auch für eine Längsschichtung die konstante Größe kennen | ||
| - | - bekannt sein mit den Ersatzschaltungen für Quer- und Längsschichtung | ||
| - | - in der Lage sein, die Gesamtkapazität eines Kondensators mit Schichtung zu berechnen | ||
| - | - das Brechungsgesetz an Grenzflächen für die Feldlinien im elektrostatischen Feld kennen. | ||
| - | |||
| - | </ | ||
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| - | <WRAP right> | ||
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| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Bisher wurde nur davon ausgegangen, | ||
| - | - **Querschichtung**: | ||
| - | - **Längsschichtung**: | ||
| - | - **beliebige Schichtung**: | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | ==== Querschichtung ==== | ||
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| - | <WRAP right 40em> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Zunächst wird die Situation betrachtet, dass die Grenzschichten parallel zu den Elektrodenflächen liegen. Von außen wird eine Spannung $U$ an den Aufbau angelegt. \\ | ||
| - | Die Schichtung ist nun parallel zu Äquipotentialflächen. Insbesondere sind dann auch die Grenzschichten Äquipotentialflächen. \\ | ||
| - | Gedanklich lassen sich die Grenzschichten also durch eine infinitesimal dünne Leiterschicht (Metallfolie) ersetzen. Die Spannung $U$ kann dann aufgeteilt werden in mehrere Teilbereiche: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | U = \int \limits_{gesamter \\ Innen- \\ bereich} \! \! \vec{E} \cdot d \vec{s} = E_1 \cdot d_1 + E_2 \cdot d_2 + E_3 \cdot d_3 | ||
| - | \tag{5.9.1} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Da es in den Dielektrika nur polarisierte Ladungen gibt und keine freien Ladungen ist zwischen den Elektroden das $\vec{D}$-Feld konstant. | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | Q = \iint_{A} \vec{D} \cdot d \vec{A} = const. | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Nun ist in dem Aufbau auch die Fläche $A$ der Grenzschichten konstant. Damit gilt: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \vec{D_1} \cdot \vec{A} & = & \vec{D_2} \cdot \vec{A} & = & \vec{D_3} \cdot \vec{A} & \quad \quad \quad & | \vec{D_k} & \parallel \vec{A} \\ | ||
| - | | ||
| - | | ||
| - | | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{ | ||
| - | \tag{5.9.2} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Mit $(5.9.1)$ und $(5.9.2)$ lässt sich auch folgender Zusammenhang herleiten: | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | E_2 = & {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}}\cdot E_1 , \quad E_3 = {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot E_1 \\ | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | U = & E_1 \cdot d_1 + & E_2 & \cdot d_2 + & E_3 & \cdot d_3 \\ | ||
| - | U = & E_1 \cdot d_1 + & {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}}\cdot E_1 & \cdot d_2 + & {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot E_1 & \cdot d_3 \\ | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | U = & E_1 \cdot (d_1 + {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}} \cdot d_2 + {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot d_3 ) \\ | ||
| - | E_1 = & {{U}\over{ d_1 + \large{{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}} \cdot d_2 + \large{{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot d_3 }} | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{ E_1 = {{U}\over{ \sum_{k=1}^n \large{{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{rk}}} \cdot d_k}} } \quad \text{und} \; E_k = {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{rk}}}\cdot E_1 | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | |||
| - | Die Situation lässt sich auch auf einen koaxialen Aufbau eines Zylinderkondensators oder konzentrischen Aufbau von Kugelkondensatoren übertragen. | ||
| - | |||
| - | <callout icon=" | ||
| - | Bei der Querschichtung ergibt sich: | ||
| - | - Eine Querschichtung kann als Reihenschaltung von Teilkondensatoren mit den jeweiligen Dicken $d_k$ und Dielektrizitätszahlen $\varepsilon_{rk}$ betrachtet werden. | ||
| - | - Die Flussdichte ist im Kondensator konstant | ||
| - | - Betrachtet man die Felder __entlang der Feldlinie__ - also rechtwinklig zur Grenzfläche, | ||
| - | - Die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke $E_n$ ändert sich an der Grenzfläche sprunghaft. | ||
| - | - Die Normalkomponente der Flussdichte $D_n$ ist an der Grenzfläche stetig: $D_{n1} = D_{n2}$ | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | ==== Längsschichtung ==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right 40em> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Nun sollen die Grenzschichten rechtwinklig zu den Elektrodenflächen liegen. Von außen wird wieder eine Spannung $U$ an den Aufbau angelegt. \\ | ||
| - | Die Schichtung ist nun rechtwinklig zu Äquipotentialflächen. Es liegt jedoch an jedem Dielektrikum die gleiche Spannung an. Es gilt somit: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | U = \int \limits_{gesamter \\ Innen- \\ bereich} \! \! \vec{E} \cdot d \vec{s} = E_1 \cdot d = E_2 \cdot d = E_3 \cdot d | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Da $d$ für alle Dielektrika gleich ist, muss auch gelten: $\large{ E_1 = E_2 = E_3 = {{U}\over{d}} }$ | ||
| - | |||
| - | mit der Verschiebungsflussdichte $D_k = \varepsilon_{rk} \varepsilon_{0} \cdot E_k$ ergibt sich: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | { { D_1 } \over { \varepsilon_{r1} } } = { { D_2 } \over { \varepsilon_{r2} } } = { { D_3 } \over { \varepsilon_{r3} } } = { { D_k } \over { \varepsilon_{rk} } } | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Da die Verschiebungsflussdichte gerade der lokalen Flächenladungsdichte entspricht, wird die Ladung nicht mehr gleichmäßig über die Elektroden verteilt sein. \\ | ||
| - | Dort wo eine stärkere Polarisierung möglich ist, wird dadurch im Dielektrikum das $E$-Feld gedämpft. für ein konstantes $E$-Feld müssen sich dort mehr Ladungen anreichern. \\ | ||
| - | Konkrekt reichern sich gerade um die Dielektrizitätszahl $\varepsilon_{rk}$ mehr Ladungen an. | ||
| - | |||
| - | Auch diese Situation lässt sich auch auf einen koaxialen Aufbau eines Zylinderkondensators oder konzentrischen Aufbau von Kugelkondensatoren übertragen. | ||
| - | |||
| - | <callout icon=" | ||
| - | Bei der Längsschichtung ergibt sich: | ||
| - | - Eine Längsschichtung kann als Parallelschaltung von Teilkondensatoren mit den jeweiligen Flächen $A_k$ und Dielektrizitätszahlen $\varepsilon_{rk}$ betrachtet werden. | ||
| - | - Die elektrischen Feldstärke im Kondensator ist konstant. | ||
| - | - Betrachtet man die Felder __quer zu den Feldlinien__ - also rechtwinklig zur Grenzfläche, | ||
| - | - Die Tangentialkomponenten der Flussdichte $D_t$ ändert sich an der Grenzfläche sprunghaft. | ||
| - | - Die Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärke $E_t$ ist an der Grenzfläche stetig: $E_{t1} = E_{t2}$ | ||
| - | </ | ||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | |||
| - | ==== beliebige Schichtung==== | ||
| - | |||
| - | <WRAP right 30em> | ||
| - | < | ||
| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
| - | |||
| - | Bei beliebiger Schichtung ist keine einfache Betrachtung mehr möglich. \\ | ||
| - | Es lassen sich aber aus den vorherigen Schichtungsarten einige Hinweise ableiten: | ||
| - | * Elektrische Feldstärke $\vec{E}$: | ||
| - | * Die Normalkomponente $E_{n}$ ist unstetig an der Grenzfläche: | ||
| - | * Die Tangentialkomponente $E_{t}$ ist stetig an der Grenzfläche: | ||
| - | * Elektrische Verschiebungsflussdichte $\vec{D}$: | ||
| - | * Die Normalkomponente $D_{n}$ ist stetig an der Grenzfläche: | ||
| - | * Die Tangentialkomponente $D_{t}$ ist unstetig an der Grenzfläche: | ||
| - | |||
| - | Da gilt, dass $\vec{D} = \varepsilon_{0} \varepsilon_{r} \cdot \vec{E}$ muss die Richtung der Felder gleich sein. \\ | ||
| - | Über die Felder lässt sich nun die Änderung des Winkels herleiten: | ||
| - | |||
| - | \begin{align*} | ||
| - | \boxed { { { tan \alpha_1 } \over { tan \alpha_2 | ||
| - | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Die ermittelte Formel stellt das Brechungsgesetz der Feldlinie an Grenzflächen dar. Es gibt auch einen Hinweis darauf, dass bei elektromagnetischen Wellen (wie sichtbarem Licht) der Brechungsindex von der Dielektrizitätszahl abhängig sein könnte. Tatsächlich ist dies der Fall. In der hier dargestellten Rechnung wurde jedoch von elektrostatischen Feldern ausgegangen. Bei elektromagnetischen Wellen muss die Aufteilung der Energie auf beide Felder beachtet werden. Dies wird in diesem Kurs nicht näher betrachtet. | ||
| - | |||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
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| - | Unterschiedliche Dielektrika im Kondensator | ||
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| - | {{youtube> | ||
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| - | ====Aufgaben==== | ||
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| - | </ | ||
| - | {{drawio> | ||
| - | </ | ||
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| - | Zwei parallelen Kondensatorplatten stehen sich mit einem Abstand $d_K = 10mm$ gegenüber. An dem Kondensator liegt einer Spannung von $U = 3' | ||
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| - | - Berechnen Sie die Teilspannungen $U_G$ im Glas und $U_L$ im Luftspalt. | ||
| - | - Wie dick darf die Glasscheibe höchstens sein, wenn die Feldstärke $E_{0,G} =12 kV/cm$ nicht überschreiten darf. | ||
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| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
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| - | {{page> | ||
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| - | =====5.10 Zusammenfassung ===== | ||
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| - | ====== Weiterführende Links ====== | ||
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| - | * [[https:// | ||
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