Unterschiede
Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.
Nächste Überarbeitung | Vorhergehende Überarbeitung | ||
electrical_engineering_1:network_analysis [2021/09/21 05:28] tfischer ↷ Seitename wurde von electrical_engineering_1:analyse_von_gleichstromnetzen auf electrical_engineering_1:network_analysis geändert |
electrical_engineering_1:network_analysis [2023/11/28 00:45] (aktuell) mexleadmin |
||
---|---|---|---|
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
- | ====== 4. Analyse von Gleichstromnetzen | + | ====== 4 Analysis of Networks |
- | < | + | < |
- | < | + | |
- | < | + | |
- | </ | + | |
- | {{drawio> | + | |
- | </ | + | |
- | Die Netzwerkanalyse nimmt in der Elektrotechnik eine zentrale Rolle ein. Sie ist deswegen | + | Network analysis plays a central role in electrical engineering. |
+ | It is so important because it can be used to simplify what at first sight appear to be complicated circuits and systems to such an extent that they can be understood and results derived from them. | ||
- | Daneben sind kommen Netzwerke auch in anderen Bereichen vor, zum Beispiel dem Kraftfluss durch ein Fachwerk oder dem Wärmefluss durch einzelne Hardware-Elemente | + | In addition, networks also occur in other areas, for example, the momentum flux through a truss or the heat flux through individual hardware elements |
- | Auf der {{wpde> | + | On the {{https:// |
- | </ | + | |
< | < | ||
- | === Ziele === | + | === Learning Objectives |
- | Nach dieser Lektion sollten Sie: | + | By the end of this section, you will be able to: |
+ | - < | ||
+ | - < | ||
+ | - < | ||
+ | - understand and be able to apply the superposition procedure. | ||
- | - < | ||
- | - < | ||
- | - < | ||
- | - das Überlagerungsverfahren nachvollziehen und anwenden können. | ||
</ | </ | ||
- | <callout type=" | + | ===== 4.1 Preliminary Work for Network Analysis ===== |
- | Aufgrund des verkürzten Semesters ist für das WiSe2020 nur das Unterkapitel [[analyse_von_gleichstromnetzen# | + | ==== Preparation of the Circuit ==== |
- | </callout> | + | < |
+ | Before the network analysis can be tackled, the circuit must be suitably prepared (cf. <imgref imageNo10 >): | ||
- | ===== 4.1 Vorarbeiten zur Netzwerkanalyse ===== | + | - Clarify what is given and what is sought |
+ | - Draw a circuit | ||
+ | - Add voltage and current arrows. If not already given, then: | ||
+ | - First, draw current and voltage arrows at all sources according to the generator arrow system. | ||
+ | - Afterwards, define the current arrows at the remaining branches as you like. | ||
+ | - Finally, draw the voltage arrows at the loads according to the load arrow system. | ||
+ | - Select suitable current and voltage designations. If not already given, then: | ||
+ | - Count indices continuously, | ||
+ | - Do not insert any signs in front of the designators in the circuit. | ||
- | ==== Vorbereitung der Schaltung ==== | + | In real applications, |
+ | This makes it clear how many equations are needed. This seems to become difficult for larger networks - but a trick for this is presented below. | ||
- | <WRAP right> | + | It often helps to draw the drawing several times (at least in your head) to have enough space for the identifiers (cf. <imgref imageNo10> below). |
- | < | + | |
- | </ | + | |
- | {{drawio> | + | |
- | </WRAP> | + | |
- | Bevor die Netzwerkanalyse angegangen werden kann, muss die Schaltung geeignet vorbereitet werden (vgl. <imgref BildNr10> | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
- | - Kläre was gegeben und was gesucht ist | + | |
- | - Zeichne eine Schaltung | + | |
- | - Füge Zählpfeile ein. Wenn nicht bereits gegeben, dann: | + | |
- | - Zeichne zunächst bei allen Quellen Strom- und Spannungspfeile nach dem Erzeugerpfeilsystem ein | + | |
- | - Lege danach die Strompfeile an den übrigen Zweigen beliebig fest | + | |
- | - Zeichne abschließend die Spannungspfeile an den Verbrauchern nach dem Verbraucherpfeilsystem ein | + | |
- | - Wähle geeignete Strom- und Spannungsbezeichnungen. Wenn nicht bereits gegeben, dann: | + | |
- | - Zähle günstigerweise Indizes stetig hoch, d.h. eine Zahl pro Element (Quelle oder Verbraucher) | + | |
- | - Füge keine Vorzeichen vor den Bezeichnern in der Schaltung ein | + | |
- | In realen Anwendungen bietet es sich an die Anzahl der Variablen ("was ist gesucht?" | + | ==== Graphs and Trees ==== |
- | Nicht selten hilft es die Zeichnung mehrmals (zumindest im Kopf) zu zeichnen, um hinreichend viel Platz für die Bezeichner zu haben (vgl. <imgref BildNr10> unten). | + | <WRAP> < |
- | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | + | In the chapter [[: |
- | ==== Graph und Bäume ==== | + | But the important thing is: In this graph, only the (real) nodes are drawn. Nodes are by definition the connection of __more than two__ branches. Accordingly, |
- | <WRAP right> | + | A concept that has not yet appeared is that of the complete tree. For this, some (mathematical) graph theory is needed. There, too, the terms nodes and loops are used as before. A **tree** |
- | < | + | Now a tree is characterized precisely by the fact that it contains __no__ |
- | </imgcaption> | + | |
- | {{drawio> | + | |
- | </WRAP> | + | |
- | Im Kapitel [[einfache_gleichstromkreise# | + | Tree 3 in < |
- | In < | + | |
- | Wichtig hierbei ist aber: In diesem Graph werden nur die (echten) Knoten eingezeichnet. Knoten sind ja nach Definition die Verbindung von __mehr als zwei__ Zweigen. Entsprechend ist die Verbindung zwischen $R_{10}$ und $R_7$ __kein Knoten__ ((gelegentliche werden solchen Verbindungen " | + | |
- | Ein Begriff der bisher noch nicht aufgetaucht ist, ist der des vollständigen Baums. Hierzu ist etwas (mathematische) Graphentheorie gefragt. Auch dort werden die Begriffe Knoten und Maschen so genutzt wie bisher. Ein **Baum** ist dabei eine spezielle Art eines Graphen. Der Graph in <imgref BildNr11> | + | The branches |
- | Ein Baum ist nun gerade dadurch gekennzeichnet, | + | |
- | Bei den verschiedenen Bäumen gibt es nun welche, bei denen jeder Knoten zwei oder weniger Maschen verbindet.((hier wird nun vom bisherigen elektrotechnischen Begriff des Knotens (= Verbindung von mehr als 2 Zweigen) abgewichen. Der mathematische Begriff des Knotens hat diese Einschränkung nicht)) Diese werden **vollständige Bäume** (gelegentlich auch {{wpde> | + | |
- | Baum 3 in < | + | * **tree branches** belong to the complete tree (solid lines in < |
+ | * **Connecting branches** | ||
+ | Why does the excursion to graph theory make sense now? The trick is that by defining the complete tree, all loops have just been removed. Conversely, a new (independent) loop can be created by each connecting branch. So if the number of independent loop equations $m$ is sought, this is just equal to the number of connecting branches. | ||
- | Die Zweige in vollständigen Bäume werden nun nach ihrer Zugehörigkeit unterschieden: | + | To do this, proceed as follows: |
- | * **Baumzweige** gehören zum vollständigen Baum (durchgezogene Linien in <imgref BildNr11> | + | |
- | * **Verbindungszweige** gehören nicht zum vollständigen Baum (gepunktete Linien in <imgref BildNr11> | + | |
- | Warum ist der Schwenk in die Graphentheorie nun sinnvoll? Der Trick ist, dass durch die Definition des vollständigen Baumes gerade alle Maschen entfernt wurden. Umgekehrt kann durch jeden Verbindungszweig eine neue (unabhängige) Masche erstellt werden. Wird also die Anzahl an unabhängigen Maschengleichungen | + | - Determine the number of (real) nodes $k$. |
+ | - Determine the number of branches | ||
+ | - The number of tree branches $b$ is now $k-1$. (each node is traversed only once; at the last node there is no further branch). | ||
+ | - The number of connecting branches $v$ is given by "All branches minus tree branches": | ||
- | Dazu muss wie folgt vorgegangen werden: | + | Thus, the number of independent loop equations |
- | - Ermittle die Anzahl der (echten) Knoten | + | |
- | - Ermittle die Anzahl der Zweige $z$ | + | |
- | - Die Anzahl der Baumzweige $b$ ist nun $k-1$. (jeder Knoten wird nur einmal durchlaufen; | + | |
- | - Die Anzahl der Verbindungszweige | + | |
- | Die Anzahl der unabhängigen Maschengleichungen $m$ ist also durch Abzählen der Knoten $k$ und Zweige $z$ über $m = v = z - k + 1$ auffindbar. | + | This explanation can also be heard again in [[https:// |
- | + | ||
- | Diese Erklärung kann auch in [[https:// | + | |
~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
- | ===== 4.2 Zweigstromverfahren ===== | ||
- | <WRAP right> | + | ===== 4.2 Branch Current Method===== |
- | < | + | |
- | </ | + | |
- | {{drawio> | + | |
- | </ | + | |
- | Im Zweigstromverfahren werden nun " | + | < |
- | * für alle Knoten k jeweils die Gleichung: $\sum_{k=0}^{N_k}{I_k}=0$ | + | |
- | * für alle unabhängige Maschen m jeweils die Gleichung: $\sum_{m=0}^{N_m}{U_m}=0$ \\ Hierbei kann die Anzahl $m$ (wie im vorherigen Unterkapitel erwähnt) über die Anzahl der Knoten und Zweige ermittelt werden. | + | |
- | Damit bildet sich ein lineares Gleichungssystem. Dieses kann dann als Matrixgleichung betrachtet werden und mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden. | + | The branch current method (also called branch current method) now " |
+ | Specifically, | ||
+ | * for all nodes $k$ respectively the equation: $\sum_{k=0}^{N_k}{I_k}=0$ | ||
+ | * for all independent loops $m$ respectively the equation: $\sum_{m=0}^{N_m}{U_m}=0$ \\ Here the number $m$ (as mentioned in the previous subsection) can be determined by the number of nodes and branches. | ||
+ | |||
+ | This forms a linear system of equations. This can then be considered as a matrix equation and solved with the rules of (mathematical) art. | ||
<WRAP onlyprint> | <WRAP onlyprint> | ||
- | Für das Beispiel | + | |
+ | For the example | ||
~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
- | Die Matrizen müssen noch bei den Spannungs- und Stromquellen korrigiert werden!! | + | The matrices still need to be corrected for the voltage and current sources!!! |
- | <WRAP group>< | + | === Example of nodal equations |
- | === Beispiel für Knotengleichungen | + | |
- | \begin{align*} | + | |
- | \sum\limits_{k=0}^{N_k}{I_k}=0 \\ \\ | + | |
- | | + | |
- | Aufstellen der einzelnen Gleichungen: | + | \begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{N_k}{I_k}=0 \end{align*} |
- | \begin{align*} | + | |
- | \scriptsize\text{Knoten ' | + | |
- | \scriptsize\text{Knoten ' | + | |
- | \scriptsize\text{Knoten ' | + | |
- | \scriptsize\text{Knoten ' | + | |
- | \scriptsize\text{Knoten ' | + | |
- | \scriptsize\text{Knoten ' | + | |
- | \end{align*} | + | |
- | Sortieren der Ströme in Spalten: | + | Setting up the individual equations: |
- | \begin{align*} | + | \begin{align*} |
- | \begin{smallmatrix} | + | \scriptsize\text{node ' |
- | \text{Knoten | + | \scriptsize\text{node ' |
- | \text{Knoten | + | \scriptsize\text{node ' |
- | \text{Knoten | + | \scriptsize\text{node ' |
- | \text{Knoten | + | \scriptsize\text{node ' |
- | \text{Knoten | + | \scriptsize\text{node ' |
- | \text{Knoten | + | |
- | \end{smallmatrix} | + | |
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Aufstellen der Matrix: | + | Sorting currents into columns: |
- | \begin{align*} | + | \begin{align*} \begin{smallmatrix} |
- | + | \text{node ' | |
- | \left( \begin{smallmatrix} | + | \text{node ' |
- | -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ | + | \text{node ' |
- | +1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ | + | \text{node ' |
- | 0 & +1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ | + | \text{node ' |
- | 0 & 0 & 0 & 0 & +1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 | + | \text{node ' |
- | 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & +1 & +1& -1 & 0 & 0 \\ | + | \end{smallmatrix} \end{align*} |
- | 0 & 0 & -1 & +1 & 0 & 0 & -1& 0 & +1 & +1 \\ | + | |
- | \end{smallmatrix} \right) | + | Setting up the matrix: |
+ | \begin{align*} | ||
+ | -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ | ||
+ | +1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & +1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 0 & +1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & +1 & +1& -1 & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & -1 & +1 & 0 & 0 & -1& 0 & +1 & +1 \\ | ||
+ | \end{smallmatrix} \right) | ||
+ | \cdot | ||
\left( \begin{smallmatrix} | \left( \begin{smallmatrix} | ||
I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{11} | I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{11} | ||
- | \end{smallmatrix} \right) = \vec{0} | + | \end{smallmatrix} \right) = \vec{0} \end{align*} |
- | \end{align*} | + | |
- | </ | ||
- | === Beispiel für Maschengleichungen === | ||
- | \begin{align*} | ||
- | \sum\limits_{m=0}^{N_m}{U_m}=0 \\ \\ | ||
- | | ||
- | Aufstellen der einzelnen Gleichungen: | + | === Example of loop equations === |
+ | |||
+ | \begin{align*} \sum\limits_{m=0}^{N_m}{U_m}=0 | ||
+ | |||
+ | Setting up the individual equations: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
\scriptsize\text{Masche ' | \scriptsize\text{Masche ' | ||
Zeile 177: | Zeile 151: | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Sortieren der Spannungen in Spalten: | + | |
+ | Sorting voltages into columns: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
\begin{smallmatrix} | \begin{smallmatrix} | ||
Zeile 189: | Zeile 164: | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Aufstellen der Matrix, hierbei aber $U_m = R_x \cdot I_m$ beachten: | + | Set up the matrix, but note $U_m = R_x \cdot I_m$: |
- | \begin{align*} | + | \begin{align*} |
- | + | ||
\left( \begin{smallmatrix} | \left( \begin{smallmatrix} | ||
-R_0 & 0 & 0 & +R_3 & 0 & 0 & 0 & -R_9 & 0 & 0 \\ | -R_0 & 0 & 0 & +R_3 & 0 & 0 & 0 & -R_9 & 0 & 0 \\ | ||
Zeile 204: | Zeile 178: | ||
\quad \\ | \quad \\ | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | </ | ||
- | </ | ||
- | Diese Matrizen lassen sich z.B. über das {{wpde> | + | These matrices can be solved using, for example, the [[https:// |
~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
- | === weiteres Beispiel in Videos === | + | </ |
- | <WRAP group> <WRAP half column> | ||
- | Im Video 1 werden folgende Schritte beschrieben: | + | === Another example in videos === |
- | 1. Aufschreiben der gegebenen Schaltung und Größen\\ | + | |
- | 2. Einzeichnen und Bezeichnen der Knoten\\ | + | |
- | 3. Einzeichnen und Bezeichnen der Maschen\\ | + | |
- | </ | ||
- | Zweigstromanalyse 1/4 | ||
- | {{youtube> | ||
- | </ | ||
<WRAP group> <WRAP half column> | <WRAP group> <WRAP half column> | ||
- | Im Video 2 werden folgende Schritte beschrieben: \\ \\ | + | In video 1 you will learn: |
- | 4. Einzeichnen und Bezeichnen der Zweigströme \\ | + | |
- | 5. Einzeichnen und Bezeichnen der Zweigspannungen \\ | + | |
- | </ | + | \\ 1. writing down the given circuit and sizes |
- | Zweigstromanalyse 2/4 | + | |
- | {{youtube> | + | |
- | </ | + | |
- | <WRAP group> <WRAP half column> | + | |
- | Im Video 3 werden folgende Schritte beschrieben: | + | 2. drawing |
- | 6. Knotengleichungen und Maschengleichungen aufstellen \\ | + | |
- | 7. Umwandeln | + | |
- | </ | + | 3. draw in and label the loops |
- | Zweigstromanalyse | + | |
- | {{youtube> | + | |
- | </ | + | |
- | <WRAP group> <WRAP half column> | + | |
- | Im (hier nicht eingebetteten) [[https:// | + | 4. draw and label the mesh currents |
- | 8. Einfügen der Zahlenwerte \\ | + | |
- | 9. Berechnung der Matrix mittels Taschenrechner \\ | + | |
- | </ | + | 5. drawing in and designating the mesh voltages |
- | </ | + | |
- | <panel type=" | + | for a simple circuit |
- | <WRAP group>< | + | |
- | {{youtube>gkJfKFuuyr8}} | + | </WRAP> <WRAP half column> Mesh current analysis Example 1/3 |
- | </ | + | {{youtube>6sVeFqlSV4A}} |
+ | </ | ||
- | <panel type=" | + | In video 2 you will learn : |
- | <WRAP group>< | + | |
- | {{youtube> | + | \\ 1. writing down the given circuit and sizes |
- | </ | + | 2. drawing in and designating the nodes |
+ | 3. draw in and label the loops | ||
- | ===== 4.3 Maschenstromverfahren ===== | + | 4. draw and label the branch currents |
- | Im Maschenstromverfahren werden nur für alle Maschen m jeweils die Gleichung: $\sum\limits_{j=0}^{N_j}{U_j}=0$ betrachtet. Diese werden aber in der Form $R\cdot I = U $ dargestellt. | + | 5. drawing |
- | Vorteil hierbei: Die Anzahl der zu lösenden Gleichungen reduziert sich auf die Anzahl der unabhängigen Maschenströme. | + | for a more complex circuit |
- | Auch diese können als Matrixgleichung betrachtet werden und wider mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden. | + | </ |
+ | {{youtube> | ||
- | <WRAP group> <WRAP half column> | + | </ |
- | Im Video 1 wird anhand eines Beispiels das Maschenstromverfahren angewandt. | + | Video 3 describes the following steps: |
- | <WRAP important> | + | 1. write down the given circuit and sizes |
- | </ | + | 2. draw in and designate the nodes |
- | Maschenstromanalyse | + | |
- | {{youtube> | + | |
- | </ | + | |
- | <WRAP group> <WRAP half column> | + | |
- | Auch im Video 2 wird anhand eines Beispiels das Maschenstromverfahren angewandt. | + | 3. draw in and label the loops |
- | </ | + | 4. draw and label the branch currents |
- | Maschenstromanalyse | + | |
- | {{youtube> | + | |
- | </ | + | |
- | <WRAP group> <WRAP half column> | + | |
- | Im (hier nicht eingebetteten) [[https:// | + | 5. draw in and designate the branch voltages |
- | </ | + | 6. set up node equations and loop equations |
- | </ | + | |
- | ===== 4.4 Knotenpotentialverfahren ===== | + | 7. convert to matrix notation |
- | Im Knotenpotentialverfahren werden nur für alle Knoten k jeweils die Gleichung: $\sum\limits_{i=0}^{N_i}{I_i}=0$ betrachtet. Diese werden aber in der Form ${1\over R} \cdot U = I $ bzw. $G \cdot U = I $ dargestellt. | + | 8. solve the matrix |
- | Vorteil hierbei: Die Anzahl der zu lösenden Gleichungen reduziert sich auf die Anzahl der vorhandenen Knoten (minus 1). | + | </ |
- | Auch diese können als Matrixgleichung betrachtet werden und wider mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden. | + | {{youtube> |
- | <WRAP group> <WRAP half column> | + | </ |
- | Im Video 1 wird die Idee hinter der Knotenpotentialanalyse einfach erklärt. | + | In the [[https:// |
+ | \\ | ||
+ | 9. inserting the numerical values into a calculator | ||
+ | |||
+ | 10. calculating the matrix with a calculator | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | <panel type=" | ||
+ | |||
+ | {{youtube> | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ===== 4.3 Mesh Current Method ===== | ||
+ | |||
+ | In the [[https:// | ||
+ | |||
+ | The advantage here is that the number of equations to be solved is reduced to the number of independent loop currents. | ||
+ | |||
+ | These can also be considered matrix equations and can be solved with the rules of (mathematical) art. | ||
- | </ | ||
- | einfaches Beispiel für eine Knotenpotentialanalyse | ||
- | {{youtube> | ||
- | </ | ||
<WRAP group> <WRAP half column> | <WRAP group> <WRAP half column> | ||
- | Auch im Video 2 wird anhand eines Beispiels das Knotenpotentialverfahren angewandt. | + | In video 1, the mesh current method is applied using an example. |
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | {{youtube> | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Also in video 2, the mesh current method is applied using an example. | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | {{youtube> | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | In the [[https:// | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ===== 4.4 Nodal Potential Method ===== | ||
+ | |||
+ | In the [[https:// | ||
+ | |||
+ | The advantage here is that the number of equations to be solved is reduced to the number of existing nodes (minus 1). | ||
+ | |||
+ | These can also be considered matrix equations and can be solved with the rules of (mathematical) art. | ||
- | </ | ||
- | komplexeres Beispiel für eine Knotenpotentialanalyse | ||
- | {{youtube> | ||
- | </ | ||
<WRAP group> <WRAP half column> | <WRAP group> <WRAP half column> | ||
- | Im (hier nicht eingebetteten) | + | In Video 1, the idea behind node potential analysis is simply explained. |
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | {{youtube> | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Video 2 also uses the nodal potential method with an example. | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | {{youtube> | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | In the [[https:// | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ===== 4.5 Superposition Method / Superposition Principle ===== | ||
+ | |||
+ | The superposition principle shall first be illustrated by some examples: | ||
+ | |||
+ | <callout title=" | ||
+ | |||
+ | **Task**: Three students are to fill a pool. If Alice has to fill it alone, she would need 2 days. Bob would need 3 days and Carol would need 4 days. How long would it take all three to fill a pool if they helped together? | ||
+ | |||
+ | The question sounds far off-topic at first but is directly related. The point is that to solve it, filling the pool is assumed to be linear. So Alice will fill $1 \over 2$, Bob $1 \over 3$, and Carol $1 \over 4$ of the pool per day. So on the first day, ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4} = {{6 + 4 + 3} \over 12} = {13 \over 12}$ of the pool filled. \\ So the three of them need ${12 \over 13}$ of a day. \\ \\ However, this solution path is only possible because in linear systems the partial results can be added. </ | ||
+ | |||
+ | <callout title=" | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | |||
+ | **Task**:A mechanical, linear spring is displaced due to masses $m_1$ and $m_2$ in the Earth' | ||
+ | |||
+ | Again, a linear law is used here: \begin{align*} \vec{s}= f(\vec{F}) = - D \cdot \vec{F} \end{align*} | ||
+ | |||
+ | The (seemingly trivial) approach applies here: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \vec{s}_{1+2} = f(\vec{F_1} + \vec{F_2}) &= - D \cdot (\vec{F_1} + \vec{F_2}) \\ | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{align*} </ | ||
+ | |||
+ | <callout icon=" | ||
+ | The total effect is then the sum of the individual effects. </ | ||
+ | |||
+ | For electrical engineering this principle was described by [[https:// | ||
+ | |||
+ | > The currents in the branches of a linear network are equal to the sum of the partial currents in the branches concerned caused by the individual sources. | ||
+ | |||
+ | <WRAP group> <WRAP half column> Thus, in the superposition method, the current (or voltage) sought in a circuit with multiple sources can be viewed as a superposition of the resulting currents (or voltages) of the individual sources. | ||
+ | |||
+ | The " | ||
+ | |||
+ | - Choose the next source '' | ||
+ | - Replace all ideal sources with their respective equivalent resistors: | ||
+ | - ideal voltage sources by short circuits | ||
+ | - ideal current sources by an open line | ||
+ | - Calculate the partial currents sought in the branches considered. | ||
+ | - Go to the next source '' | ||
+ | - Add up the partial currents in the branches under consideration, | ||
+ | |||
+ | This procedure is explained again in more detail using examples in the two videos on the right. | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | {{youtube> | ||
+ | |||
+ | A more complex example of the superposition method | ||
+ | |||
+ | {{youtube> | ||
- | </ | ||
</ | </ | ||
- | ===== 4.5 Überlagerungsverfahren / Superpositionsprinzip ===== | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
- | Das Superpositionsprinzip soll zunächst durch einige Beispiele dargestellt werden | + | === Example === |
- | <callout title=" | + | <WRAP> < |
- | **Aufgabe**: | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
+ | === Introduction to Nodal, Mesh and Superposition Method === | ||
+ | {{youtube> | ||
- | Die Frage klingt zunächst weit weg vom Thema, hat aber unmittelbaren Bezug dazu. Der Punkt ist, dass zur Lösung das Füllen des Pools als linear angenommen wird. Alice wird also $1 \over 2$, Bob $1 \over 3$ und Carol $1 \over 4$ des Pools pro Tag füllen. Am ersten Tag ist also ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4} = {{6 + 4 + 3} \over 12} = {13 \over 12}$ des Pools gefüllt. | + | |
- | Dieser Lösungsweg ist aber nur möglich, da bei linearen Systemen die Teilergebnisse addiert werden können. | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
+ | |||
+ | ===== Exercises ===== | ||
+ | |||
+ | # | ||
+ | |||
+ | Imagine you want to develop a circuit that conditions a sensor signal so that it can be processed by a microcontroller. The sensor signal is in the range $U_{\rm sens} \in [-15...15~\rm V]$, and the microcontroller input can read values in the range $U_{\rm uC} \in [0...3.3~\rm V]$. The sensor can supply a maximum current of $I_{\rm sens, max}=1~\rm mA$. For the internal resistance of the microcontroller, input applies: | ||
+ | |||
+ | For conditioning, | ||
+ | |||
+ | The following simulation shows roughly the situation (the resistor values are not correct). | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | |||
+ | Questions: | ||
+ | |||
+ | 1. Find the relationship between $R_1$, $R_2$, and $R_3$ using superposition. | ||
+ | * Determine suitable values for $R_1$, $R_2$, and $R_3$. | ||
+ | * What values for $R^0_1$, $R^0_2$, and $R^0_3$ from the [[https:// | ||
+ | |||
+ | # | ||
+ | Using superposition, | ||
+ | For these two circuits, we calculate $U_\rm A^{(1)}$ and $U_\rm A^{(2)}$. \\ | ||
+ | To make the calculation simpler, the resistors $R_3$ and $R_{\rm s}$ will be joined to $R_4 =R_3 +R_{\rm s}$. | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | === Circuit | ||
+ | {{drawio> | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U_{\rm O}^{(1)} &= U_{\rm S} \cdot {{R_2||R_4}\over{R_1 + R_2||R_4}} | ||
+ | | ||
+ | &= U_{\rm S} \cdot {{ R_2 R_4 }\over{R_1 (R_2 + R_4)+ R_2 R_4 }} \\ | ||
+ | & | ||
+ | \end{align*} | ||
</ | </ | ||
- | < | + | <callout> |
+ | === Circuit | ||
+ | {{drawio>electrical_engineering_1: | ||
- | <WRAP right> | + | \begin{align*} |
- | < | + | U_{\rm O}^{(2)} |
- | </ | + | = U_{\rm I} \cdot {{ {{R_1 R_2}\over{R_1 + R_2}} }\over{R_4 + {{R_1 R_2}\over{R_1 + R_2}} }} \\ |
- | {{drawio> | + | &= U_{\rm I} \cdot {{ R_1 R_2 }\over{R_4 (R_1 + R_2)+ R_1 R_2 }} \\ |
- | </WRAP> | + | & |
+ | \end{align*} | ||
+ | </callout> | ||
- | **Aufgabe**:Eine mechanische, | + | < |
+ | === Superposition: Let's sum it up! === | ||
+ | \\ | ||
+ | These two intermediate voltages for the single sources have to be summed up as $U_{\rm O}= U_{\rm O}^{(1)} + U_{\rm O}^{(2)}$. \\ | ||
+ | When deeper investigated, | ||
+ | We can also simplify further when looking at often-used sub-terms (here: $R_2$) | ||
- | Auch hier wird ein lineares Gesetz genutzt: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \vec{s}= f(\vec{F}) = - D \cdot \vec{F} | + | U_{\rm O} &= {{ 1 }\over{R_4 R_1 + R_4 R_2+ R_1 R_2 }} \cdot (U_{\rm S} \cdot R_2 R_4 + U_{\rm I} \cdot R_1 R_2 ) \\ |
+ | U_{\rm O} \cdot (R_4 R_1 + R_4 R_2+ R_1 R_2 ) &= U_{\rm S} \cdot R_2 R_4 + U_{\rm I} \cdot R_1 R_2 \\ \\ | ||
+ | U_{\rm O} \cdot ({{R_1 R_4}\over{R_2}} + R_4 + R_1 ) & | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Es gilt hier der (scheinbar triviale) Ansatz: | + | The formula $(1)$ is the general formula to calculate the output voltage $U_{\rm O}$ for a changing input voltage $U_{\rm I}$, where the supply voltage $U_{\rm S}" is constant. \\ |
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Now, we can use the requested boundaries: | ||
+ | - For the minimum input voltage $U_{\rm I}= -15 ~\rm V$, the output voltage shall be $U_{\rm O} = 0 ~\rm V$ | ||
+ | - For the maximum input voltage $U_{\rm I}= +15 ~\rm V$, the output voltage shall be $U_{\rm O} = 3.3 ~\rm V$ | ||
+ | |||
+ | This leads to two situations: | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | === Situation I : $U_{\rm I,min}= -15 ~\rm V$ shall create $U_{\rm O,min} = 0 ~\rm V$ === | ||
+ | \\ | ||
+ | We put $U_{\rm A} = 0 ~\rm V$ in the formula $(1)$ : | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \vec{s}_{1+2} = f(\vec{F_1} + \vec{F_2}) &= - D \cdot (\vec{F_1} + \vec{F_2}) \\ | + | 0 & |
- | & | + | - U_{\rm I,min} \cdot R_1 & |
- | & | + | {{R_1}\over{R_4}} &=-{{U_{\rm S}}\over {U_{\rm I,min}}} = k_{14} \tag 2 \\ |
- | &= \vec{s_1} + \vec{s_2} | + | |
\end{align*} | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | So, with formula $(2)$, we already have a relation between $R_1$ and $R_4$. Yeah 😀 \\ | ||
+ | The next step is situation 2 | ||
</ | </ | ||
- | < | + | <callout> |
- | In einem physikalischen System, in dem Wirkung und Ursache linear zusammenhängen, lässt sich zunächst die Wirkung jeder einzelnen Ursache getrennt ermitteln. Die Gesamtwirkung ergibt sich dann als Summe der Einzelwirkungen. | + | === Situation II : $U_{\rm I,max}= +15 ~\rm V$ shall create $U_{\rm O,max} = 3.3 ~\rm V$ === |
+ | \\ | ||
+ | We use formula $(2)$ to substitute $R_1 = k_{14} \cdot R_4 $ in formula $(1)$, and: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U_{\rm O,max} \cdot (k_{14}{{ R_4^2}\over{R_2}} + R_4 + k_{14} R_4 ) & | ||
+ | U_{\rm O,max} \cdot (k_{14}{{ R_4 }\over{R_2}} + 1 + k_{14} | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | {{ R_4 }\over{R_2}} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | So, another relation for $R_4$ and $R_2$. 😀 \\ | ||
</ | </ | ||
- | Für die Elektrotechnik wurde dieses Prinzip durch {{wpde> | + | So, to get values for the relations, we have to put in the values for the input and output voltage conditions. For $k_{14}$ we get by formula $(2)$: |
+ | \begin{align*} | ||
+ | k_{14} = {{R_1}\over{R_4}} | ||
+ | \end{align*} | ||
- | > Die Ströme in den Zweigen in einem linearen Netzwerk sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellen hervorgerufen werden. | + | This value $k_{14}$ we can use for formula $(3)$: |
+ | \begin{align*} | ||
+ | {{ R_4 }\over{R_2}} &= {{5 ~\rm V + 15 ~\rm V \cdot {{1}\over{3}} }\over{ 3.3 ~\rm V \cdot {{1}\over{3}} }} - {{1 + {{1}\over{3}} }\over{ {{1}\over{3}} }} \\ | ||
+ | & | ||
+ | k_{42} | ||
+ | \end{align*} | ||
- | <WRAP group> <WRAP half column> | + | We could now - theoretically - arbitrarily choose one of the resistors, e.g., $R_2$, and then calculate the other two. \\ |
- | Im Überlagerungsverfahren kann also der gesuchte Strom (bzw. die gesuchte Spannung) in einer Schaltung mit mehreren Quellen als Überlagerung der entstehenden Ströme (bzw. Spannungen) der einzelnen Quellen betrachtet werden. | + | |
- | Das " | + | But we must consider another boundary, a boundary for $R_{\rm S}$. The maximum voltage and the maximum current are given for the sensor. By this, we can calculate $R_{\rm S}$: |
- | - Wähle nächste Quelle '' | + | \begin{align*} |
- | - Ersetze alle ideale Quellen durch ihre jeweiligen Ersatzwiderstände: | + | R_{\rm S} &= {{ U_{\rm OC} }\over{ I_{\rm SC} }} = {{ U_{\rm S,max} }\over{ I_{\rm S,max} }} = {{ 15 ~\rm V }\over{ 1 ~\rm mA }} \\ |
- | - ideale Spannungsquellen durch Kurzschlüsse | + | &= 15 ~\rm k\Omega |
- | - ideale Stromquellen durch eine offene Leitung | + | \end{align*} |
- | - Berechne die gesuchten Teilströme in den betrachteten Zweigen. | + | |
- | - Gehe zur nächsten Quelle '' | + | |
- | - Addiere die Teilströme in den betrachteten Zweigen unter Beachtung des richtigen Vorzeichens | + | |
- | Dieses Vorgehen wird in den beiden Videos rechts nochmals detaillierter an Beispielen erklärt. | + | Therefore, $R_4 = R_{\rm S} + R_3$ must be larger than this. \\ |
- | </ | + | # |
- | einfache Betrachtung des Superpositionsprinzips | + | |
- | {{youtube> | + | |
- | komplexeres Beispiel für das Überlagerungsverfahren | + | # |
- | {{youtube> | + | |
- | </ | + | |
- | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | + | The sensor resistance is |
- | === Beispiel === | + | \begin{align*} |
+ | R_S &= 15 {~\rm k\Omega}\\ | ||
+ | \end{align*} | ||
- | <WRAP right> | + | We can choose $R_3$ arbitrarily. Here I choose a nice value to get integer values for $R_3$ and $R_1$: |
- | < | + | \begin{align*} |
- | </ | + | R_3 &= 45 {~\rm k\Omega}\\ |
- | {{drawio> | + | R_1 & |
- | </ | + | R_2 &= {{1}\over{5.09}}(R_3 + 15 {~\rm k\Omega}) = 11.8 {~\rm k\Omega} |
+ | \end{align*} | ||
+ | Based on the E24 series, the following values are next to the calculated ones: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | R_3^0 &= 43 {~\rm k\Omega}\\ | ||
+ | R_1^0 &= {{1}\over{3}} | ||
+ | R_2^0 &= {{1}\over{5.09}}(R_3 + 15 {~\rm k\Omega}) = 12 {~\rm k\Omega} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | # | ||
- | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | + | 2. Find the relationship between $R_1$, $R_2$, and $R_3$ by investigating Kirchhoff' |
- | <panel type=" | + | # |
- | <WRAP group>< | + | |
- | <WRAP right> | + | The potential of the node is $U_\rm O$. Therefore the currents are: |
- | </ | + | |
+ | | ||
+ | | ||
- | Stellen Sie sich vor, Sie wollen entwickeln eine Schaltung entwickeln, welche ein Sensorsignal so konditionieren soll, dass dieses von einem Mikrocontroller verarbeitet werden kann. Das Sensorsignal ist im Bereich $U_{sens} \in [-15...15V]$, | + | This led to the formula based on the Kirchhoff' |
- | Zur Konditionierung soll das Eingangssignal über den Längswiderstand $R_3$ auf das Mittenpotential eines Spannungsteiler $R_1 - R_2$ mit $R_1$ gegen $U_{uC,max}$ geführt werden (ähnliche Schaltung siehe in Simulation rechts). | + | \begin{align*} |
+ | \Sigma I = 0 &= I_1 + I_2 + I_3 \\ | ||
+ | 0 &= {{U_{\rm S} - U_{\rm O}}\over{R_1}} + {{U_{\rm I} - U_{\rm O}}\over{R_4}} - {{U_\rm O}\over{R_2}} | ||
+ | \end{align*} | ||
- | - Ermitteln Sie den Zusammenhang zwischen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ mittels Superposition. | + | The formula can be rearranged, with all terms containing |
- | | + | \begin{align*} |
- | | + | {{U_{\rm O}}\over{R_1}} + {{U_{\rm O}}\over{R_2}} + {{U_{\rm O}}\over{R_4}} |
- | - Wie groß darf der Eingangswiderstand $R_{in}(R_1, R_2,R_3)$ maximal sein, damit der Sensor noch Strom liefern kann? | + | U_{\rm O}\cdot \left( {{1}\over{R_1}} + {{1}\over{R_2}} + {{1}\over{R_4}} \right) & |
- | - Ermitteln Sie geeignete Werte für $R_1$, $R_2$ und $R_3$ | + | \end{align*} |
- | - Welche Werte für $R^0_1$, $R^0_2$ und $R^0_3$ aus der [[https:// | + | |
+ | Both sides can be multiplied by $\cdot R_1$, $\cdot R_2$, $\cdot R_4$ - in order to get rid of the fractions : | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U_{\rm O}\cdot \left( {{R_1 R_2 R_4 }\over{R_1}} + {{R_1 R_2 R_4 }\over{R_2}} + {{R_1 R_2 R_4 }\over{R_4}} \right) & | ||
+ | U_{\rm O}\cdot \left( R_2 R_4 + R_1 R_4 + R_1 R_2 \right) & | ||
+ | U_{\rm O} &= {{R_2}\over{R_2 R_4 + R_1 R_4 + R_1 R_2 }} \left( R_4 \cdot U_{\rm S} + R_1 \cdot U_{\rm I} \right)\\ | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | The last formula was just the result we also got by the superposition but by more thinking. \\ | ||
+ | So, sometimes there is an easier way... | ||
+ | | ||
+ | * Luckily, all ways lead to the correct result. | ||
+ | |||
+ | # | ||
+ | |||
+ | 3. What is the input resistance | ||
+ | |||
+ | # | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | R_{\rm in}(R_1, R_2, R_3) &= R_3 + R_1 || R_2 \\ | ||
+ | &= R_3 + {{R_1 R_2}\over{R_1 + R_2}} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | # | ||
+ | |||
+ | 4. What is the minimum allowed input resistance ($R_{\rm in, min}(R_1, R_2, R_3)$) for the sensor to still deliver current? | ||
+ | |||
+ | # | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | R_{\rm in, min} &= {{U_{\rm sense}}\over{I_{\rm sense, max}}} \\ | ||
+ | &= \rm {{15 V}\over{1 mA}} \\ | ||
+ | &= 15 k\Omega \\ | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | # | ||
+ | |||
+ | # | ||
- | </ | ||