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--- electrical_engineering_1:network_analysis [2021/09/21 05:28]
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+++ electrical_engineering_1:network_analysis [2023/11/28 00:45] (aktuell)
mexleadmin
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-====== 4. Analyse von Gleichstromnetzen ======
+====== 4 Analysis of Networks ======
-<callout>
+<callout> <WRAP> <imgcaption imageNo1 | examples for networks> </imgcaption> {{drawio>Beispiele Netzwerke.svg}} </WRAP>
-<WRAP right>
-<imgcaption BildNr1 | Beispiele für Netzwerke>
-</imgcaption>
-{{drawio>Beispiele Netzwerke}}
-</WRAP>
-Die Netzwerkanalyse nimmt in der Elektrotechnik eine zentrale Rolle ein. Sie ist deswegen so wichtig, weil damit die auf den ersten Blick komplizierte Schaltungen und Systeme soweit vereinfacht werden können, um diese zu verstehen und Ergebnisse daraus ableiten zu können.
+Network analysis plays a central role in electrical engineering.
+It is so important because it can be used to simplify what at first sight appear to be complicated circuits and systems to such an extent that they can be understood and results derived from them.
-Daneben sind kommen Netzwerke auch in anderen Bereichen vor, zum Beispiel dem Kraftfluss durch ein Fachwerk oder dem Wärmefluss durch einzelne Hardware-Elemente (<imgref BildNr1>). Auch bei diesen Netzwerken können die im Folgenden gezeigten Konzepte angewandt werden.
+In addition, networks also occur in other areas, for example, the momentum flux through a truss or the heat flux through individual hardware elements (<imgref imageNo1>, or [[https://www.onsemi.com/pub/Collateral/AND9596-D.PDF#page=5|an example for heat flow through electronics]]). The concepts shown below can also be applied to these networks.
-Auf der {{wpde>Netzwerkanalyse_(Elektrotechnik)|Wikiseite zu Netzwerkanalyse}} sind die verschiedenen Methoden sehr gut kompakt beschrieben
+On the {{https://en.wikipedia.org/wiki/Network_analysis_(electrical_circuits)|wiki page for network analysis}}  the different methods are described very well in a compact way </callout>
-</callout>
 <callout>
-=== Ziele ===
+=== Learning Objectives ===
-Nach dieser Lektion sollten Sie:
+By the end of this section, you will be able to:
+  - <del>determine the number of nodes, number of (tree and connecting) branches, and number of meshes.</del>
+  - <del>construct a complete tree from an electrical network.</del>
+  - <del>understand the mesh current method and node potential method.</del>
+  - understand and be able to apply the superposition procedure.
-  - <del>die Anzahl der Knoten, Anzahl der (Baum- und Verbindungs-)Zweige sowie die Anzahl der Maschen ermitteln können.</del>
-  - <del>aus einem elektrischen Netzwerk einen vollständigen Baum erstellen können.</del>
-  - <del>das Zweigstromverfahren, Maschenstromverfahren und Knotenpotentialverfahren nachvollziehen können.</del>
-  - das Überlagerungsverfahren nachvollziehen und anwenden können.
 </callout>
-<callout type="danger" icon="true">
+===== 4.1 Preliminary Work for Network Analysis =====
-Aufgrund des verkürzten Semesters ist für das WiSe2020 nur das Unterkapitel [[analyse_von_gleichstromnetzen#ueberlagerungsverfahrensuperpositionsprinzip|4.5]] relevant.
+==== Preparation of the Circuit ====
-</callout>
+<WRAP> <imgcaption imageNo10 | Preparing the circuit> </imgcaption> {{drawio>VorbereitungDerSchaltung.svg}} </WRAP>
+Before the network analysis can be tackled, the circuit must be suitably prepared (cf. <imgref imageNo10 >):
-===== 4.1 Vorarbeiten zur Netzwerkanalyse =====
+  - Clarify what is given and what is sought
+  - Draw a circuit
+  - Add voltage and current arrows. If not already given, then:
+      - First, draw current and voltage arrows at all sources according to the generator arrow system.
+      - Afterwards, define the current arrows at the remaining branches as you like.
+      - Finally, draw the voltage arrows at the loads according to the load arrow system.
+  - Select suitable current and voltage designations. If not already given, then:
+      - Count indices continuously, i.e. one number per element (source or load).
+      - Do not insert any signs in front of the designators in the circuit.
-==== Vorbereitung der Schaltung ====
+In real applications, it is useful to specify the number of variables ("what is wanted?"), parameters ("what can be adjusted?", e.g. potentiometer) and known quantities ("what is given?"). \\
+This makes it clear how many equations are needed. This seems to become difficult for larger networks - but a trick for this is presented below.
-<WRAP right>
+It often helps to draw the drawing several times (at least in your head) to have enough space for the identifiers (cf. <imgref imageNo10> below).
-<imgcaption BildNr10 | Vorbereitung der Schaltung>
-</imgcaption>
-{{drawio>VorbereitungDerSchaltung}}
-</WRAP>
-Bevor die Netzwerkanalyse angegangen werden kann, muss die Schaltung geeignet vorbereitet werden (vgl. <imgref BildNr10>):
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
-  - Kläre was gegeben und was gesucht ist
-  - Zeichne eine Schaltung
-  - Füge Zählpfeile ein. Wenn nicht bereits gegeben, dann:
-    - Zeichne zunächst bei allen Quellen Strom- und Spannungspfeile nach dem Erzeugerpfeilsystem ein
-    - Lege danach die Strompfeile an den übrigen Zweigen beliebig fest
-    - Zeichne abschließend die Spannungspfeile an den Verbrauchern nach dem Verbraucherpfeilsystem ein
-  - Wähle geeignete Strom- und Spannungsbezeichnungen. Wenn nicht bereits gegeben, dann:
-    - Zähle günstigerweise Indizes stetig hoch, d.h. eine Zahl pro Element (Quelle oder Verbraucher)
-    - Füge keine Vorzeichen vor den Bezeichnern in der Schaltung ein
-In realen Anwendungen bietet es sich an die Anzahl der Variablen ("was ist gesucht?"), der Parameter ("was kann eingestellt werden?", z.B. Poti) und der bekannten Größen ("was ist gegeben?") angegeben wird. \\ Damit wird klar, wie viele Gleichungen benötigt werden. Dies scheint bei größeren Netzwerken schwierig zu werden - aber dazu wird im Folgenden ein Trick vorgestellt.
+==== Graphs and Trees ====
-Nicht selten hilft es die Zeichnung mehrmals (zumindest im Kopf) zu zeichnen, um hinreichend viel Platz für die Bezeichner zu haben (vgl. <imgref BildNr10> unten).
+<WRAP> <imgcaption imageNo11 | Graph of a network> </imgcaption> {{drawio>GraphEinesNetzwerks.svg}} </WRAP>
-~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+In the chapter [[:electrical_engineering_1:simple_circuits#nodes_branches_and_loops|2. simple dc_circuits]] the terms nodes, branches, and loops have already been explained. These will now be expanded here to better explain the various network analysis methods in the following. In <imgref imageNo11 > the **graph**  of the example network is drawn. We had already seen this one too, but without knowing that this is called a graph! \\
-==== Graph und Bäume ====
+But the important thing is: In this graph, only the (real) nodes are drawn. Nodes are by definition the connection of __more than two__  branches. Accordingly, the connection between $R_{10}$ and $R_7$ is __not a node__  ((sometimes such connections are called "fake nodes")) ! For this reason, also the blue circle as a sign for nodes is omitted here.
-<WRAP right>
+A concept that has not yet appeared is that of the complete tree. For this, some (mathematical) graph theory is needed. There, too, the terms nodes and loops are used as before. A **tree**  here is a special kind of graph. The graph in <imgref imageNo11> shows several loops. \\
-<imgcaption BildNr11 | Graph eines Netzwerks>
+Now a tree is characterized precisely by the fact that it contains __no__  loops. Three different trees are drawn in the picture. From a given network, many different trees can be created (depending on the number of nodes). \\ Among the different trees, there are now some in which each node connects two or fewer loops. ((Here we now depart from the previous electrotechnical notion of node (= connecting more than 2 branches). The mathematical notion of a node does not have this restriction))  These are called **complete trees**  (occasionally also [[https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_path|Hamiltonian path]] ). Complete trees can also be understood as this shows a path through the network where all nodes are visited only exactly once.
-</imgcaption>
-{{drawio>GraphEinesNetzwerks}}
-</WRAP>
-Im Kapitel [[einfache_gleichstromkreise#knoten_zweige_und_maschen|2. einfache Gleichstromkreise]] wurden bereits schon die Begriffe Knoten, Zweige und Masche erklärt. Diese sollen hier nun erweitert werden um im Folgenden besser die verschiedenen Netzwerkanalysemethoden erklären zu können.
+Tree 3 in <imgref imageNo11> is now just one of the possible complete trees of this network.
-In <imgref BildNr11> ist der **Graph** des Beispiel-Netzwerks gezeichnet. Auch dieses hatten wir schon gesehen, aber ohne zu wissen, dass es dies Graph genannt wird! \\
-Wichtig hierbei ist aber: In diesem Graph werden nur die (echten) Knoten eingezeichnet. Knoten sind ja nach Definition die Verbindung von __mehr als zwei__ Zweigen. Entsprechend ist die Verbindung zwischen $R_{10}$ und $R_7$ __kein Knoten__ ((gelegentliche werden solchen Verbindungen "unechte Knoten" genannt))! Aus diesem Grund ist auch der blaue Kreis als Zeichen für Knoten hier entfallen.
-Ein Begriff der bisher noch nicht aufgetaucht ist, ist der des vollständigen Baums. Hierzu ist etwas (mathematische) Graphentheorie gefragt. Auch dort werden die Begriffe Knoten und Maschen so genutzt wie bisher. Ein **Baum** ist dabei eine spezielle Art eines Graphen. Der Graph in <imgref BildNr11> zeigt mehrere Maschen. \\
+The branches in complete trees are now distinguished according to their membership:
-Ein Baum ist nun gerade dadurch gekennzeichnet, dass er __keine__ Maschen enthält. Im Bild sind drei verschiedene Bäume gezeichnet. Aus einem vorgegebenen Netzwerk lassen sich (abhängig von der Anzahl der Knoten) viele verschiedene Bäume erstellen. \\
-Bei den verschiedenen Bäumen gibt es nun welche, bei denen jeder Knoten zwei oder weniger Maschen verbindet.((hier wird nun vom bisherigen elektrotechnischen Begriff des Knotens (= Verbindung von mehr als 2 Zweigen) abgewichen. Der mathematische Begriff des Knotens hat diese Einschränkung nicht)) Diese werden **vollständige Bäume** (gelegentlich auch {{wpde>Hamiltonkreisproblem|Hamiltonweg}}) genannt. Vollständige Bäume lassen sich auch so begreifen, dass dieser einen Weg durch das Netzwerk aufzeigt, bei dem alle Knoten nur genau einmal besucht wird.
-Baum 3 in <imgref BildNr11> ist nun gerade einer der möglichen, vollständigen Bäume dieses Netzwerks.
+  * **tree branches** belong to the complete tree (solid lines in <imgref imageNo11>).
+  * **Connecting branches**  do not belong to the complete tree (dotted lines in <imgref imageNo11>).
+Why does the excursion to graph theory make sense now? The trick is that by defining the complete tree, all loops have just been removed. Conversely, a new (independent) loop can be created by each connecting branch. So if the number of independent loop equations $m$ is sought, this is just equal to the number of connecting branches.
-Die Zweige in vollständigen Bäume werden nun nach ihrer Zugehörigkeit unterschieden:
+To do this, proceed as follows:
-  * **Baumzweige** gehören zum vollständigen Baum (durchgezogene Linien in <imgref BildNr11>)
-  * **Verbindungszweige** gehören nicht zum vollständigen Baum (gepunktete Linien in <imgref BildNr11>).
-Warum ist der Schwenk in die Graphentheorie nun sinnvoll? Der Trick ist, dass durch die Definition des vollständigen Baumes gerade alle Maschen entfernt wurden. Umgekehrt kann durch jeden Verbindungszweig eine neue (unabhängige) Masche erstellt werden. Wird also die Anzahl an unabhängigen Maschengleichungen $m$ gesucht, so ist dies gerade gleich der Anzahl der Verbindungszweige.
+  - Determine the number of (real) nodes $k$.
+  - Determine the number of branches $z$
+  - The number of tree branches $b$ is now $k-1$. (each node is traversed only once; at the last node there is no further branch).
+  - The number of connecting branches $v$ is given by "All branches minus tree branches": $v = z - b = z - k + 1$
-Dazu muss wie folgt vorgegangen werden:
+Thus, the number of independent loop equations $m$ is findable by counting the nodes $k$ and branches $z$ over $m = v = z - k + 1$.
-  - Ermittle die Anzahl der (echten) Knoten $k$
-  - Ermittle die Anzahl der Zweige $z$
-  - Die Anzahl der Baumzweige $b$ ist nun $k-1$. (jeder Knoten wird nur einmal durchlaufen; beim letzten Knoten gibt es keinen weiteren Zweig)
-  - Die Anzahl der Verbindungszweige $v$ ist gegeben durch "Alle Zweige minus Baumzweige": $v = z - b = z - k + 1$
-Die Anzahl der unabhängigen Maschengleichungen $m$ ist also durch Abzählen der Knoten $k$ und Zweige $z$ über $m = v = z - k + 1$ auffindbar.
+This explanation can also be heard again in [[https://www.youtube.com/watch?v=BpoDAfHnOkk|this video]] and is explained again clearly via [[https://www.youtube.com/watch?v=AwsMTEl79wI|this video]].
-Diese Erklärung kann auch in [[https://www.youtube.com/watch?v=c7z1pRCzEuw|diesem Video]] nochmals nachgehört werden und wird über [[https://studyflix.de/informatik/euler-und-hamiltonkreis-1287|StudyFlix]] nochmals anschaulich erklärt.
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
-===== 4.2 Zweigstromverfahren =====
-<WRAP right>
+===== 4.2 Branch Current Method=====
-<imgcaption BildNr12 | Beispielschaltung>
-</imgcaption>
-{{drawio>Beispielschaltung}}
-</WRAP>
-Im Zweigstromverfahren werden nun "einfach mal" (fast) alle Gleichungen der Schaltung aufgestellt. Konkret werden für jeden Knoten und jede __unabhängige__ Masche die Knoten- und Maschengleichungen aufgeschrieben:
+<WRAP> <imgcaption imageNo12 | example circuit> </imgcaption> {{drawio>Beispielschaltung.svg}} </WRAP>
-  * für alle Knoten k jeweils die Gleichung: $\sum_{k=0}^{N_k}{I_k}=0$
-  * für alle unabhängige Maschen m jeweils die Gleichung: $\sum_{m=0}^{N_m}{U_m}=0$ \\ Hierbei kann die Anzahl $m$ (wie im vorherigen Unterkapitel erwähnt) über die Anzahl der Knoten und Zweige ermittelt werden.
-Damit bildet sich ein lineares Gleichungssystem. Dieses kann dann als Matrixgleichung betrachtet werden und mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden.
+The branch current method (also called branch current method) now "simply times" (almost) all equations of the circuit.
+Specifically, for each node and each __independent__ loop, the node and loop equations are written down:
+  * for all nodes $k$ respectively the equation: $\sum_{k=0}^{N_k}{I_k}=0$
+  * for all independent loops $m$ respectively the equation: $\sum_{m=0}^{N_m}{U_m}=0$ \\ Here the number $m$ (as mentioned in the previous subsection) can be determined by the number of nodes and branches.
+This forms a linear system of equations. This can then be considered as a matrix equation and solved with the rules of (mathematical) art.
 <WRAP onlyprint>
-Für das Beispiel (<imgref BildNr12>) wären dies die Gleichungen:
+For the example (<imgref imageNo12>), these would be the equations:
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
-Die Matrizen müssen noch bei den Spannungs- und Stromquellen korrigiert werden!!
+The matrices still need to be corrected for the voltage and current sources!!!
-<WRAP group><WRAP column half>
+=== Example of nodal equations ===
-=== Beispiel für Knotengleichungen ===
-\begin{align*}
-\sum\limits_{k=0}^{N_k}{I_k}=0 \\ \\
- \end{align*}
-Aufstellen der einzelnen Gleichungen:
+\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{N_k}{I_k}=0 \end{align*}
-\begin{align*}
-\scriptsize\text{Knoten 'a'} & \scriptsize : -I_0          - I_9  - I_7    = 0 \\
-\scriptsize\text{Knoten 'b'} & \scriptsize : +I_0  - I_1   - I_3          = 0 \\
-\scriptsize\text{Knoten 'c'} & \scriptsize : + I_1 - I_2   - I_4         = 0 \\
-\scriptsize\text{Knoten 'd'} & \scriptsize :  - I_5  + I_4        - I_{11}  = 0 \\
-\scriptsize\text{Knoten 'e'} & \scriptsize :   + I_5    + I_6  - I_7      = 0 \\
-\scriptsize\text{Knoten 'f'} & \scriptsize :  - I_2  + I_3    - I_6    + I_9   +  I_{11}  = 0
-\end{align*}
-Sortieren der Ströme in Spalten:
+Setting up the individual equations:
 \begin{align*}
-\begin{smallmatrix}
+\scriptsize\text{node 'a'} & \scriptsize : -I_0 - I_9 - I_7 = 0 \\
-\text{Knoten 'a'}: & -I_0 & & & & & & & - I_7 & - I_9 & &  = 0 \\
+\scriptsize\text{node 'b'} & \scriptsize : +I_0 - I_1 - I_3 = 0 \\
-\text{Knoten 'b'}: & +I_0 & - I_1 & & - I_3  & & & & & & & = 0 \\
+\scriptsize\text{node 'c'} & \scriptsize : + I_1 - I_2 - I_4 = 0  \\
-\text{Knoten 'c'}: &  & + I_1 &- I_2 & & - I_4  & & & & & & = 0 \\
+\scriptsize\text{node 'd'} & \scriptsize : - I_5 + I_4 - I_{11} = 0  \\
-\text{Knoten 'd'}: &  & & & & + I_4  & - I_5 & & & & - I_{11} & = 0 \\
+\scriptsize\text{node 'e'} & \scriptsize : + I_5 + I_6 - I_7 = 0  \\
-\text{Knoten 'e'}: &  & & & & & + I_5 & + I_6 & - I_7  & & & = 0 \\
+\scriptsize\text{node 'f'} & \scriptsize : - I_2 + I_3 - I_6 + I_9 + I_{11} = 0  \\
-\text{Knoten 'f'}: &  & & - I_2 & + I_3 & & & - I_6 & &  + I_9 & +  I_{11} & = 0 \\
-\end{smallmatrix}
 \end{align*}
-Aufstellen der Matrix:
+Sorting currents into columns:
-\begin{align*}
+\begin{align*} \begin{smallmatrix}
+\text{node 'a'}: & -I_0 & & & & & & & - I_7 & - I_9 & & = 0  \\
-\left( \begin{smallmatrix}
+\text{node 'b'}: & +I_0 & - I_1 & & - I_3 & & & & & & = 0  \\
--1 & 0  &  0 & 0  & 0  &  0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\
+\text{node 'c'}: & & + I_1 &- I_2 & & - I_4 & & & & & = 0  \\
-+1 & -1 &  0 & -1 & 0  &  0 & 0 & 0  & 0  & 0  \\
+\text{node 'd'}: & & & & + I_4 & - I_5 & & & - I_{11} & = 0 \\
-  & +1 & -1 & 0  & -1 &  0 & 0 & 0  & 0  & 0  \\
+\text{node 'e'}: & & & & & + I_5 & + I_6 & - I_7 & & = 0  \\
-  & 0  &  0 & 0  & +1 & -1 & 0 & 0  & 0  & -1   \\
+\text{node 'f'}: & & & - I_2 & + I_3 & & - I_6 & & + I_9 & + I_{11} & = 0 \\
-  & 0  &  0 & 0  & 0  & +1 & +1& -1 & 0  & 0  \\
+\end{smallmatrix} \end{align*}
-  & 0  & -1 & +1 & 0  &  0 & -1& 0  & +1 & +1  \\
-\end{smallmatrix} \right)  \cdot
+Setting up the matrix:
+\begin{align*} \left( \begin{smallmatrix}
+-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\
++1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+& +1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+& 0 & 0 & 0 & +1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
+& 0 & 0 & 0 & 0 & +1 & +1& -1 & 0 & 0 \\
+& 0 & -1 & +1 & 0 & 0 & -1& 0 & +1 & +1 \\
+\end{smallmatrix} \right)
+\cdot
 \left( \begin{smallmatrix}
 I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{11}
-\end{smallmatrix} \right) = \vec{0}
+\end{smallmatrix} \right) = \vec{0} \end{align*}
-\end{align*}
-</WRAP><WRAP column half>
-=== Beispiel für Maschengleichungen ===
-\begin{align*}
-\sum\limits_{m=0}^{N_m}{U_m}=0 \\ \\
- \end{align*}
-Aufstellen der einzelnen Gleichungen:
+=== Example of loop equations ===
+\begin{align*} \sum\limits_{m=0}^{N_m}{U_m}=0  \end{align*}
+Setting up the individual equations:
 \begin{align*}
 \scriptsize\text{Masche 'abf'} & \scriptsize : -U_0 + U_3  - U_9    = 0 \\
@@ Zeile 177: / Zeile 151: @@
 \end{align*}
-Sortieren der Spannungen in Spalten:
+Sorting voltages into columns:
 \begin{align*}
 \begin{smallmatrix}
@@ Zeile 189: / Zeile 164: @@
 \end{align*}
-Aufstellen der Matrix, hierbei aber $U_m = R_x \cdot I_m$ beachten:
+Set up the matrix, but note $U_m = R_x \cdot I_m$:
 \begin{align*}
 \left( \begin{smallmatrix}
 -R_0 & 0    &  0   & +R_3 & 0    &  0   & 0   & -R_9 & 0    & 0 \\
@@ Zeile 204: / Zeile 178: @@
 \quad \\
 \end{align*}
-</WRAP></WRAP>
-</WRAP>
-Diese Matrizen lassen sich z.B. über das {{wpde>Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren#Beispiel|Gaußsche Eliminationsverfahren}} lösen.
+These matrices can be solved using, for example, the [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination|Gaussian elimination]].
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
-=== weiteres Beispiel in Videos ===
+</WRAP>
-<WRAP group> <WRAP half column>
-Im Video 1 werden folgende Schritte beschrieben:\\ \\
+=== Another example in videos ===
-. Aufschreiben der gegebenen Schaltung und Größen\\
-. Einzeichnen und Bezeichnen der Knoten\\
-. Einzeichnen und Bezeichnen der Maschen\\
-</WRAP> <WRAP half column>
-Zweigstromanalyse 1/4
-{{youtube>CE1tEhpPJd0}}
-</WRAP> </WRAP>
 <WRAP group> <WRAP half column>
-Im Video 2 werden folgende Schritte beschrieben: \\ \\
+In video 1 you will learn:
-. Einzeichnen und Bezeichnen der Zweigströme \\
-. Einzeichnen und Bezeichnen der Zweigspannungen \\
-</WRAP> <WRAP half column>
+ \\ 1. writing down the given circuit and sizes
-Zweigstromanalyse 2/4
-{{youtube>wZENsTIte_Q}}
-</WRAP> </WRAP>
-<WRAP group> <WRAP half column>
-Im Video 3 werden folgende Schritte beschrieben: \\ \\
+. drawing in and designating the nodes
-. Knotengleichungen und Maschengleichungen aufstellen \\
-. Umwandeln in Matrix-Schreibweise \\
-</WRAP> <WRAP half column>
+. draw in and label the loops
-Zweigstromanalyse 3/4
-{{youtube>dLqJ0vfKLLQ}}
-</WRAP> </WRAP>
-<WRAP group> <WRAP half column>
-Im (hier nicht eingebetteten) [[https://www.youtube.com/watch?v=YlSlyby_4PY|Video 4]] werden folgende Schritte beschrieben: \\ \\
+. draw and label the mesh currents
-. Einfügen der Zahlenwerte \\
-. Berechnung der Matrix mittels Taschenrechner \\
-</WRAP> <WRAP half column>
+. drawing in and designating the mesh voltages
-</WRAP> </WRAP>
-<panel type="info" title="Aufgabe 4.2.1 Übungsaufgabe">
+for a simple circuit
-<WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-{{youtube>gkJfKFuuyr8}}
+</WRAP> <WRAP half column> Mesh current analysis Example 1/3
-</WRAP></WRAP></panel>
+{{youtube>6sVeFqlSV4A}}
+</WRAP> </WRAP> <WRAP group> <WRAP half column>
-<panel type="info" title="Aufgabe 4.2.2 Übungsaufgabe">
+In video 2 you will learn :
-<WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-{{youtube>ueKmNw2dtlI}}
+ \\ 1. writing down the given circuit and sizes
-</WRAP></WRAP></panel>
+. drawing in and designating the nodes
+. draw in and label the loops
-===== 4.3 Maschenstromverfahren =====
+. draw and label the branch currents
-Im Maschenstromverfahren werden nur für alle Maschen m jeweils die Gleichung: $\sum\limits_{j=0}^{N_j}{U_j}=0$ betrachtet. Diese werden aber in der Form $R\cdot I = U $ dargestellt.
+. drawing in and designating the branch voltages
-Vorteil hierbei: Die Anzahl der zu lösenden Gleichungen reduziert sich auf die Anzahl der unabhängigen Maschenströme.
+for a more complex circuit
-Auch diese können als Matrixgleichung betrachtet werden und wider mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden.
+</WRAP> <WRAP half column> Branch current analysis 2/3
+{{youtube>8gGEmrbURsA}}
-<WRAP group> <WRAP half column>
+</WRAP> </WRAP> <WRAP group> <WRAP half column>
-Im Video 1 wird anhand eines Beispiels das Maschenstromverfahren angewandt.
+Video 3 describes the following steps:
-<WRAP important>Wichtig: Zwar erklärt das Video die Anwendung super, enthält aber bei Minute 6:50 einen kleinen Fehler. Das Vorzeichen der Spannungen auf der rechten Seite muss jeweils invertiert werden. Dies wurde einige Sekunden davor auch richtig erklärt.</WRAP>
+. write down the given circuit and sizes
-</WRAP> <WRAP half column>
+. draw in and designate the nodes
-Maschenstromanalyse
-{{youtube>CebyoWnsarI}}
-</WRAP> </WRAP>
-<WRAP group> <WRAP half column>
-Auch im Video 2 wird anhand eines Beispiels das Maschenstromverfahren angewandt.
+. draw in and label the loops
-</WRAP> <WRAP half column>
+. draw and label the branch currents
-Maschenstromanalyse
-{{youtube>rRls0ySxbMA}}
-</WRAP> </WRAP>
-<WRAP group> <WRAP half column>
-Im (hier nicht eingebetteten) [[https://www.youtube.com/watch?v=__gUrBuJBes|Video 3]] zeigt ausführlich, wie das Maschenstromverfahren hergeleitet werden kann.
+. draw in and designate the branch voltages
-</WRAP> <WRAP half column>
+. set up node equations and loop equations
-</WRAP> </WRAP>
-===== 4.4 Knotenpotentialverfahren =====
+. convert to matrix notation
-Im Knotenpotentialverfahren werden nur für alle Knoten k jeweils die Gleichung: $\sum\limits_{i=0}^{N_i}{I_i}=0$ betrachtet. Diese werden aber in der Form ${1\over R} \cdot U = I $ bzw. $G \cdot U = I $ dargestellt.
+. solve the matrix
-Vorteil hierbei: Die Anzahl der zu lösenden Gleichungen reduziert sich auf die Anzahl der vorhandenen Knoten (minus 1).
+</WRAP> <WRAP half column> Mesh current analysis 3/3
-Auch diese können als Matrixgleichung betrachtet werden und wider mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden.
+{{youtube>_xomX-d8XU4}}
-<WRAP group> <WRAP half column>
+</WRAP> </WRAP> <WRAP group> <WRAP half column>
-Im Video 1 wird die Idee hinter der Knotenpotentialanalyse einfach erklärt.
+In the [[https://www.youtube.com/watch?v=75NnTVDKHNA|Video 4]] (not embedded here), will teach you how to solve a matrix by using a calculator: \\
+ \\
+. inserting the numerical values into a calculator
+. calculating the matrix with a calculator
+</WRAP> <WRAP half column> </WRAP> </WRAP>
+<panel type="info" title="Exercise 4.2.1"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+{{youtube>14Rcbm5m3dQ}}
+</WRAP></WRAP></panel>
+===== 4.3 Mesh Current Method =====
+In the [[https://en.wikipedia.org/wiki/Mesh_analysis|mesh current method]], only for all loops $m$ each equation: $\sum\limits_{j=0}^{N_j}{U_j}=0$ are considered. However, these are represented in the form $R\cdot I = U $.
+The advantage here is that the number of equations to be solved is reduced to the number of independent loop currents.
+These can also be considered matrix equations and can be solved with the rules of (mathematical) art.
-</WRAP> <WRAP half column>
-einfaches Beispiel für eine Knotenpotentialanalyse
-{{youtube>fSg7OVRiN4c}}
-</WRAP> </WRAP>
 <WRAP group> <WRAP half column>
-Auch im Video 2 wird anhand eines Beispiels das Knotenpotentialverfahren angewandt.
+In video 1, the mesh current method is applied using an example.
+</WRAP> <WRAP half column> mesh current method
+{{youtube>j8LHrm3_brk}}
+</WRAP> </WRAP> <WRAP group> <WRAP half column>
+Also in video 2, the mesh current method is applied using an example.
+</WRAP> <WRAP half column> mesh current method
+{{youtube>7I3-HAW8rmM}}
+</WRAP> </WRAP> <WRAP group> <WRAP half column>
+In the [[https://www.youtube.com/watch?v=__gUrBuJBes|Video 3]] (not embedded here) shows in detail how the loop current method can be derived.
+</WRAP> <WRAP half column> </WRAP> </WRAP>
+===== 4.4 Nodal Potential Method =====
+In the [[https://en.wikipedia.org/wiki/Nodal_analysis|nodal potential method]], only the equation: $\sum\limits_{i=0}^{N_i}{I_i}=0$ are considered for all nodes k respectively. However, these are expressed in the form ${1\over R} \cdot U = I $ and $G \cdot U = I $ respectively.
+The advantage here is that the number of equations to be solved is reduced to the number of existing nodes (minus 1).
+These can also be considered matrix equations and can be solved with the rules of (mathematical) art.
-</WRAP> <WRAP half column>
-komplexeres Beispiel für eine Knotenpotentialanalyse
-{{youtube>hnlPFAvIhkY}}
-</WRAP> </WRAP>
 <WRAP group> <WRAP half column>
-Im (hier nicht eingebetteten) [[https://www.youtube.com/watch?v=tpeu84Zq63g|Video 3]] zeigt ausführlich, wie das Knotenpotentialverfahren hergeleitet werden kann.
+In Video 1, the idea behind node potential analysis is simply explained.
+</WRAP> <WRAP half column> Simple example of node potential analysis
+{{youtube>2lY757QaaKs}}
+</WRAP> </WRAP> <WRAP group> <WRAP half column>
+Video 2 also uses the nodal potential method with an example.
+</WRAP> <WRAP half column> more complex example of a node potential analysis
+{{youtube>LMC3jcNomNc}}
+</WRAP> </WRAP> <WRAP group> <WRAP half column>
+In the [[https://www.youtube.com/watch?v=tpeu84Zq63g|Video 3]] (not embedded here) shows in detail how the nodal potential method can be derived.
+</WRAP> <WRAP half column> </WRAP> </WRAP>
+===== 4.5 Superposition Method / Superposition Principle =====
+The superposition principle shall first be illustrated by some examples:
+<callout title="Example 1 - from an interview of a consulting company">
+**Task**: Three students are to fill a pool. If Alice has to fill it alone, she would need 2 days. Bob would need 3 days and Carol would need 4 days. How long would it take all three to fill a pool if they helped together?
+The question sounds far off-topic at first but is directly related. The point is that to solve it, filling the pool is assumed to be linear. So Alice will fill $1 \over 2$, Bob $1 \over 3$, and Carol $1 \over 4$ of the pool per day. So on the first day, ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4} = {{6 + 4 + 3} \over 12} = {13 \over 12}$ of the pool filled. \\ So the three of them need ${12 \over 13}$ of a day. \\  \\ However, this solution path is only possible because in linear systems the partial results can be added. </callout>
+<callout title="Example 2 - Spring Force and Displacement">
+<WRAP> <imgcaption imageNo02 | mechanical spring> </imgcaption> {{drawio>mechanischeFeder.svg}} </WRAP>
+**Task**:A mechanical, linear spring is displaced due to masses $m_1$ and $m_2$ in the Earth's gravitational field (see <imgref imageNo02 >). What is the magnitude of the deflection if both masses are attached simultaneously?
+Again, a linear law is used here: \begin{align*} \vec{s}= f(\vec{F}) = - D \cdot \vec{F} \end{align*}
+The (seemingly trivial) approach applies here:
+\begin{align*}
+\vec{s}_{1+2} = f(\vec{F_1} + \vec{F_2}) &= - D \cdot (\vec{F_1} + \vec{F_2}) \\
+             &= - D \cdot \vec{F_1} - D \cdot \vec{F_2} \\
+             &= f(\vec{F_1}) + f(\vec{F_2}) \\
+             &= \vec{s_1} + \vec{s_2}
+\end{align*} </callout>
+<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Notice:"> In a physical system in which effect and cause are linearly related, the effect of each cause can first be determined separately.
+The total effect is then the sum of the individual effects. </callout>
+For electrical engineering this principle was described by [[https://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_von_Helmholtz|Hermann_von_Helmholtz]]:
+> The currents in the branches of a linear network are equal to the sum of the partial currents in the branches concerned caused by the individual sources.
+<WRAP group> <WRAP half column> Thus, in the superposition method, the current (or voltage) sought in a circuit with multiple sources can be viewed as a superposition of the resulting currents (or voltages) of the individual sources.
+The "recipe" for the overlay is as follows:
+  - Choose the next source ''x''
+  - Replace all ideal sources with their respective equivalent resistors:
+      - ideal voltage sources by short circuits
+      - ideal current sources by an open line
+  - Calculate the partial currents sought in the branches considered.
+  - Go to the next source ''x=x+1'' ((x=x+1 is not meant mathematically, but procedurally as in the programming language C)), and to point 2, as long as the partial currents of all sources have not been calculated.
+  - Add up the partial currents in the branches under consideration, observing the correct sign.
+This procedure is explained again in more detail using examples in the two videos on the right.
+</WRAP> <WRAP half column> Simple view of the superposition principle
+{{youtube>w4N9CBc_nkA}}
+A more complex example of the superposition method
+{{youtube>-48-4qWnhjA}}
-</WRAP> <WRAP half column>
 </WRAP> </WRAP>
-===== 4.5 Überlagerungsverfahren / Superpositionsprinzip =====
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
-Das Superpositionsprinzip soll zunächst durch einige Beispiele dargestellt werden
+=== Example ===
-<callout title="Beispiel 1 - aus den Vorstellungsgesprächen der Consulting-Branche">
+<WRAP> <imgcaption imageNo03 | example circuit with superposition> </imgcaption> {{drawio>BeispielschaltungSuperposition.svg}} <WRAP>
-**Aufgabe**: Drei Studierende sollen einen Pool füllen. Wenn Alice diesen alleine füllen würde, so bräuchte sie 2 Tage. Bob bräuchte 3 Tage und Carol bräuchte 4 Tage. Wie lange benötigen alle drei um einen Pool zu füllen, wenn sie zusammenhelfen? \\ \\
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+=== Introduction to Nodal, Mesh and Superposition Method ===
+{{youtube>8f-2yXiYmRI}}
-Die Frage klingt zunächst weit weg vom Thema, hat aber unmittelbaren Bezug dazu. Der Punkt ist, dass zur Lösung das Füllen des Pools als linear angenommen wird. Alice wird also $1 \over 2$, Bob $1 \over 3$ und Carol $1 \over 4$ des Pools pro Tag füllen. Am ersten Tag ist also ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4} = {{6 + 4 + 3} \over 12} = {13 \over 12}$ des Pools gefüllt. \\ Die drei benötigen also ${12 \over 13}$ eines Tages. \\ \\
-Dieser Lösungsweg ist aber nur möglich, da bei linearen Systemen die Teilergebnisse addiert werden können.
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+===== Exercises =====
+#@TaskTitle_HTML@#4.5.1 Converting a bipolar signal to a unipolar signal <fs medium>(not from written test)</fs>#@TaskText_HTML@#
+Imagine you want to develop a circuit that conditions a sensor signal so that it can be processed by a microcontroller. The sensor signal is in the range $U_{\rm sens} \in [-15...15~\rm V]$, and the microcontroller input can read values in the range $U_{\rm uC} \in [0...3.3~\rm V]$. The sensor can supply a maximum current of $I_{\rm sens, max}=1~\rm mA$. For the internal resistance of the microcontroller, input applies: $R_{\rm uC} \rightarrow \infty$
+For conditioning, the input signal is to be fed via the series resistor $R_3$ to the center potential of a voltage divider $R_1 - R_2$ with $R_1$ to a supply voltage $U_{\rm s}$.
+The following simulation shows roughly the situation (the resistor values are not correct).
+<WRAP>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCDMCmC0DsIBskB08CcGkA4AsYGADEQKxFIYjnUh6TVxhgBQATiLHjiAEy95kg-oKLgSJdkL4DpkIqOoSiUpMNlrwSMWN4SWAczkK5ekDpYAlaWG03ePHXTGlzboqlIsAbp0K8oE1h-PjwnCDC+Jx1PQz8MAPlBYISoMwsAd3iAgTEUnNkVDnyZZOxStzB9SFxpEQr6iwAjTl5SJHA8ZOZEgnMWAA9W0kSkRFgMCEgMRGFBJoBLAAcAewAbAEM2AB0AZwBlFYBXNgBjaD3t7YA7AApoVANUPY293ehr3ZW2AEpBkFShAYVSohA6cxAln+zF0REQYF4DF4VTooXA0IRfHgwLaWPBaN4-wwwlIoOYfCQAQhUKGwR4enGrmRYghkH+sBq4AwDBSXPxshp4Bwoymtigk1RsiO12W6y2bwW1wA1lc7g8nnsjgBhH5-SDwPLlepcemyCAWWlgHA8K3deAQK2zNGC4KULk8sCkYHlCH7FgrAHiQrODD0sRIVCKAKuFRAA noborder}} </WRAP>
+Questions:
+. Find the relationship between $R_1$, $R_2$, and $R_3$ using superposition. \\
+  * Determine suitable values for $R_1$, $R_2$, and $R_3$.
+  * What values for $R^0_1$, $R^0_2$, and $R^0_3$ from the [[https://de.wikipedia.org/wiki/E-Reihe|E24 series]] can be used to do this?
+#@HiddenBegin_HTML~1,Solution~@#
+Using superposition, we create two separate circuits where one source is considered.
+For these two circuits, we calculate $U_\rm A^{(1)}$ and $U_\rm A^{(2)}$. \\
+To make the calculation simpler, the resistors $R_3$ and $R_{\rm s}$ will be joined to $R_4 =R_3 +R_{\rm s}$.
+<callout>
+=== Circuit 1 : only consider $U_{\rm S}$, ignore $U_{\rm I}$ ===
+{{drawio>electrical_engineering_1:exc541circ1.svg}}
+\begin{align*}
+U_{\rm O}^{(1)}  &= U_{\rm S} \cdot {{R_2||R_4}\over{R_1 + R_2||R_4}}
+                  = U_{\rm S} \cdot {{ {{R_2  R_4}\over{R_2 + R_4}} }\over{R_1 + {{R_2  R_4}\over{R_2 + R_4}} }} \\
+                 &= U_{\rm S} \cdot {{ R_2 R_4 }\over{R_1  (R_2 + R_4)+ R_2 R_4 }} \\
+                 &= U_{\rm S} \cdot {{ R_2 R_4 }\over{R_1  R_2 + R_1 R_4 + R_2 R_4 }} \\
+\end{align*}
 </callout>
-<callout title="Beispiel 2 - Federkraft und -weg">
+<callout>
+=== Circuit 2 : only consider $U_{\rm I}$, ignore $U_{\rm S}$ ===
+{{drawio>electrical_engineering_1:exc541circ2.svg}}
-<WRAP right>
+\begin{align*}
-<imgcaption BildNr02 | mechanische Feder>
+U_{\rm O}^{(2)}  &= U_{\rm I} \cdot {{R_1||R_2}\over{R_4 + R_1||R_2}}
-</imgcaption>
+                  = U_{\rm I} \cdot {{ {{R_1 R_2}\over{R_1 + R_2}} }\over{R_4 + {{R_1 R_2}\over{R_1 + R_2}} }} \\
-{{drawio>mechanischeFeder}}
+                 &= U_{\rm I} \cdot {{ R_1 R_2 }\over{R_4 (R_1 + R_2)+ R_1 R_2 }} \\
-</WRAP>
+                 &= U_{\rm I} \cdot {{ R_1 R_2 }\over{R_4 R_1 + R_4 R_2+ R_1 R_2 }} \\
+\end{align*}
+</callout>
-**Aufgabe**:Eine mechanische, lineare Feder wird mit den Massen $m_1$ und $m_2$ im Gravitationsfeld der Erde ausgelenkt (siehe <imgref BildNr02>). Wie groß ist die Auslenkung, wenn beide Massen gleichzeitig angehängt werden? \\ \\
+<callout>
+=== Superposition: Let's sum it up! ===
+\\
+These two intermediate voltages for the single sources have to be summed up as $U_{\rm O}= U_{\rm O}^{(1)} + U_{\rm O}^{(2)}$. \\
+When deeper investigated, one can see that the denominator for both $U_{\rm O}^{(1)}$ and $U_{\rm O}^{(2)}$ is the same. \\
+We can also simplify further when looking at often-used sub-terms (here: $R_2$)
-Auch hier wird ein lineares Gesetz genutzt:
 \begin{align*}
-\vec{s}= f(\vec{F}) = - D \cdot \vec{F}
+U_{\rm O}                                            &=  {{ 1 }\over{R_4 R_1 + R_4 R_2+ R_1 R_2 }} \cdot (U_{\rm S} \cdot R_2 R_4  + U_{\rm I} \cdot R_1 R_2 ) \\
+U_{\rm O} \cdot (R_4 R_1 + R_4 R_2+ R_1 R_2 )        &=   U_{\rm S} \cdot R_2 R_4  + U_{\rm I} \cdot R_1 R_2  \\ \\
+U_{\rm O} \cdot ({{R_1 R_4}\over{R_2}} + R_4 + R_1 ) &=   U_{\rm S} \cdot     R_4  + U_{\rm I} \cdot R_1      \tag 1 \\
 \end{align*}
-Es gilt hier der (scheinbar triviale) Ansatz:
+The formula $(1)$ is the general formula to calculate the output voltage $U_{\rm O}$ for a changing input voltage $U_{\rm I}$, where the supply voltage $U_{\rm S}" is constant. \\
+</callout>
+Now, we can use the requested boundaries:
+  - For the minimum input voltage $U_{\rm I}= -15 ~\rm V$, the output voltage shall be $U_{\rm O} =   0 ~\rm V$
+  - For the maximum input voltage $U_{\rm I}= +15 ~\rm V$, the output voltage shall be $U_{\rm O} = 3.3 ~\rm V$
+This leads to two situations:
+<callout>
+=== Situation I : $U_{\rm I,min}= -15 ~\rm V$ shall create $U_{\rm O,min} = 0 ~\rm V$ ===
+\\
+We put $U_{\rm A} = 0 ~\rm V$ in the formula $(1)$ :
 \begin{align*}
-\vec{s}_{1+2} = f(\vec{F_1} + \vec{F_2}) &= - D \cdot (\vec{F_1} + \vec{F_2})  \\
+                          &=   U_{\rm S} \cdot     R_4  + U_{\rm I,min} \cdot R_1     \\
-&= - D \cdot \vec{F_1} - D \cdot \vec{F_2} \\
+- U_{\rm I,min} \cdot R_1  &=   U_{\rm S} \cdot     R_4       \\
-&= f(\vec{F_1}) + f(\vec{F_2}) \\
+ {{R_1}\over{R_4}}         &=-{{U_{\rm S}}\over {U_{\rm I,min}}} = k_{14} \tag 2 \\
-&= \vec{s_1} + \vec{s_2}
 \end{align*}
+So, with formula $(2)$, we already have a relation between $R_1$ and $R_4$. Yeah 😀 \\
+The next step is situation 2
 </callout>
-<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">
+<callout>
-In einem physikalischen System, in dem Wirkung und Ursache linear zusammenhängen, lässt sich zunächst die Wirkung jeder einzelnen Ursache getrennt ermitteln. Die Gesamtwirkung ergibt sich dann als Summe der Einzelwirkungen.
+=== Situation II : $U_{\rm I,max}= +15 ~\rm V$ shall create $U_{\rm O,max} = 3.3 ~\rm V$ ===
+\\
+We use formula $(2)$ to substitute $R_1 = k_{14} \cdot R_4 $ in formula $(1)$, and:
+\begin{align*}
+U_{\rm O,max} \cdot (k_{14}{{ R_4^2}\over{R_2}} + R_4 + k_{14} R_4 ) &=   U_{\rm S} \cdot     R_4  + U_{\rm I,max} \cdot k_{14} R_4 \\
+U_{\rm O,max} \cdot (k_{14}{{ R_4  }\over{R_2}} + 1   + k_{14}     ) &=   U_{\rm S}                + U_{\rm I,max} \cdot k_{14}  \\
+                     k_{14}{{ R_4  }\over{R_2}}  + 1   + k_{14}      &= {{U_{\rm S}                + U_{\rm I,max} \cdot k_{14} }\over{        U_{\rm O,max} }} \\
+                     k_{14}{{ R_4  }\over{R_2}}                      &= {{U_{\rm S}                + U_{\rm I,max} \cdot k_{14} }\over{        U_{\rm O,max} }}        - (1   + k_{14})\\
+                           {{ R_4  }\over{R_2}}                      &= {{U_{\rm S}                + U_{\rm I,max} \cdot k_{14} }\over{ k_{14} U_{\rm O,max} }} - {{1   + k_{14} }\over{k_{14}}} \tag 3 \\
+\end{align*}
+So, another relation for $R_4$ and $R_2$.  😀 \\
 </callout>
-Für die Elektrotechnik wurde dieses Prinzip durch {{wpde>Hermann_von_Helmholtz}} beschrieben:
+So, to get values for the relations, we have to put in the values for the input and output voltage conditions. For $k_{14}$ we get by formula $(2)$:
+\begin{align*}
+k_{14} = {{R_1}\over{R_4}}  =-{{5 ~\rm V}\over {-15 ~\rm V }} = {{1}\over{3}} \\
+\end{align*}
-> Die Ströme in den Zweigen in einem linearen Netzwerk sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellen hervorgerufen werden.
+This value $k_{14}$ we can use for formula $(3)$:
+\begin{align*}
+{{ R_4  }\over{R_2}} &= {{5 ~\rm V + 15 ~\rm V \cdot {{1}\over{3}} }\over{ 3.3 ~\rm V \cdot {{1}\over{3}} }} - {{1   + {{1}\over{3}} }\over{ {{1}\over{3}} }} \\
+                     &= {{10}\over{1.1}} - 4 \\
+k_{42}               &\approx 5.09
+\end{align*}
-<WRAP group> <WRAP half column>
+We could now - theoretically - arbitrarily choose one of the resistors, e.g., $R_2$, and then calculate the other two. \\
-Im Überlagerungsverfahren kann also der gesuchte Strom (bzw. die gesuchte Spannung) in einer Schaltung mit mehreren Quellen als Überlagerung der entstehenden Ströme (bzw. Spannungen) der einzelnen Quellen betrachtet werden.
-Das "Rezept" für die Überlagerung ist Folgendes:
+But we must consider another boundary, a boundary for $R_{\rm S}$. The maximum voltage and the maximum current are given for the sensor. By this, we can calculate $R_{\rm S}$:
-  - Wähle nächste Quelle ''x''
+\begin{align*}
-  - Ersetze alle ideale Quellen durch ihre jeweiligen Ersatzwiderstände:
+R_{\rm S}   &= {{ U_{\rm OC} }\over{ I_{\rm SC} }} = {{ U_{\rm S,max} }\over{ I_{\rm S,max} }} = {{ 15 ~\rm V }\over{ 1 ~\rm mA }} \\
-    - ideale Spannungsquellen durch Kurzschlüsse
+            &= 15 ~\rm k\Omega
-    - ideale Stromquellen durch eine offene Leitung
+\end{align*}
-  - Berechne die gesuchten Teilströme in den betrachteten Zweigen.
-  - Gehe zur nächsten Quelle ''x=x+1''(( ''x=x+1'' ist hierbei nicht mathematisch, sondern prozedural wie in der Programmiersprache C gemeint)) und zu Punkt 2, solange nicht die Teilströme aller Quellen berechnet wurden
-  - Addiere die Teilströme in den betrachteten Zweigen unter Beachtung des richtigen Vorzeichens
-Dieses Vorgehen wird in den beiden Videos rechts nochmals detaillierter an Beispielen erklärt.
+Therefore, $R_4 = R_{\rm S} + R_3$ must be larger than this. \\
-</WRAP> <WRAP half column>
+#@HiddenEnd_HTML~1,Solution ~@#
-einfache Betrachtung des Superpositionsprinzips
-{{youtube>tP6kinOsxp4?start=25}}
-komplexeres Beispiel für das Überlagerungsverfahren
+#@HiddenBegin_HTML~Result1,Result~@#
-{{youtube>vMuy1xr-ECM}}
-</WRAP> </WRAP>
-~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+The sensor resistance is
-=== Beispiel ===
+\begin{align*}
+R_S &= 15 {~\rm k\Omega}\\
+\end{align*}
-<WRAP right>
+We can choose $R_3$ arbitrarily. Here I choose a nice value to get integer values for $R_3$ and $R_1$:
-<imgcaption BildNr03 | Beispielschaltung mit Superposition>
+\begin{align*}
-</imgcaption>
+R_3 &= 45 {~\rm k\Omega}\\
-{{drawio>BeispielschaltungSuperposition}}
+R_1 &= {{1}\over{3}}   (R_3 + 15 {~\rm k\Omega}) = 20   {~\rm k\Omega} \\
-</WRAP>
+R_2 &= {{1}\over{5.09}}(R_3 + 15 {~\rm k\Omega}) = 11.8 {~\rm k\Omega}
+\end{align*}
+Based on the E24 series, the following values are next to the calculated ones:
+\begin{align*}
+R_3^0 &= 43 {~\rm k\Omega}\\
+R_1^0 &= {{1}\over{3}}   (R_3 + 15 {~\rm k\Omega}) = 20 {~\rm k\Omega} \\
+R_2^0 &= {{1}\over{5.09}}(R_3 + 15 {~\rm k\Omega}) = 12 {~\rm k\Omega}
+\end{align*}
+#@HiddenEnd_HTML~Result1,Result~@#
-~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+. Find the relationship between $R_1$, $R_2$, and $R_3$ by investigating Kirchhoff's nodal rule for the node where $R_1$, $R_2$, and $R_3$ are interconnected.
-<panel type="info" title="Aufgabe 4.5.1 Umwandlung eines bipolaren Signals in ein unipolares">
+#@HiddenBegin_HTML~Solution2,Solution~@#
-<WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+3e-7+63.8+50+5+43%0Ar+-48+224+64+224+0+10000%0Ar+64+224+64+304+0+50000%0Ar+64+224+64+160+0+2000%0Ag+64+304+64+320+0%0AR+64+160+64+128+0+0+40+5+0+0+0.5%0Av+-192+304+-192+240+0+1+40+20+0+0+0.5%0Ag+-192+304+-192+320+0%0Aw+-192+240+-192+224+0%0Ar+-192+224+-96+224+0+1000%0A368+64+224+224+224+0+0%0Ab+-256+144+-112+341+0%0Ax+-252+367+-84+397+4+24+bipolare%5CsQuelle%5Cs%5C%5Cn(z.B.%5CsSensor)%0Ax+92+193+109+196+4+24+R%0Ax+110+207+123+210+4+24+1%0Ax+112+273+125+276+4+24+2%0Ax+94+259+111+262+4+24+R%0Ax+-18+207+-5+210+4+24+3%0Ax+-36+193+-19+196+4+24+R%0Ax+182+361+355+391+4+24+unipolare%5CsSenke%5C%5Cn(z.B.%5CsuC))%0A370+-96+224+-48+224+1+0%0Ax+-188+184+-171+187+4+24+R%0Ax+-169+193+-156+196+4+24+q%0Ao+9+1024+0+4098+20+6.4+0+2+5+0%0A 730,400 noborder}}
+The potential of the node is $U_\rm O$. Therefore the currents are:
-</WRAP>
+  - the current $I_2$ over $R_2$ is flowing to ground: $I_2 = - {{U_\rm O}\over{R_2}} $
+  - the current $I_1$ over $R_1$ is coming from the supply voltage $U_{\rm S}$ to the nodal voltage $U_{\rm O}$:  $I_1 = {{U_{\rm S} - U_{\rm O}}\over{R_1}}$
+  - the current $I_4$ over $R_4$ is coming from the input voltage  $U_{\rm I}$ to the nodal voltage $U_{\rm O}$:  $I_4 = {{U_{\rm I} - U_{\rm O}}\over{R_4}}$
-Stellen Sie sich vor, Sie wollen entwickeln eine Schaltung entwickeln, welche ein Sensorsignal so konditionieren soll, dass dieses von einem Mikrocontroller verarbeitet werden kann. Das Sensorsignal ist im Bereich $U_{sens} \in [-15...15V]$, der Microcontrollereingang kann Werte einlesen im Bereich $U_{uC} \in [0...3,3V]$. Der Sensor kann einem Strom von maximal $I_{sens,max}=1mA$ liefern. Für den Innenwiderstand des Microcontrollereingangs gilt: $R_{uC}  ‎\rightarrow \infty$
+This led to the formula based on the Kirchhoff's nodal rule:
-Zur Konditionierung soll das Eingangssignal über den Längswiderstand $R_3$ auf das Mittenpotential eines Spannungsteiler $R_1 - R_2$ mit $R_1$ gegen $U_{uC,max}$ geführt werden (ähnliche Schaltung siehe in Simulation rechts).
+\begin{align*}
+\Sigma I = 0 &= I_1 + I_2 + I_3 \\
+&= {{U_{\rm S} - U_{\rm O}}\over{R_1}} + {{U_{\rm I} - U_{\rm O}}\over{R_4}} - {{U_\rm O}\over{R_2}}
+\end{align*}
-  - Ermitteln Sie den Zusammenhang zwischen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ mittels Superposition.
+The formula can be rearranged, with all terms containing $ U_{\rm O}$ on the left side:
-  - Ermitteln Sie den Zusammenhang zwischen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ mittels Stern-Dreieck Umwandlung.
+\begin{align*}
-  - Wie groß ist der Eingangswiderstand $R_{in}(R_1, R_2,R_3)$ der Schaltung (betrachtet vom Sensor aus)?
+    {{U_{\rm O}}\over{R_1}} + {{U_{\rm O}}\over{R_2}} + {{U_{\rm O}}\over{R_4}}         &=  {{U_{\rm S}}\over{R_1}}  + {{U_{\rm I}}\over{R_4}}  \\
-  - Wie groß darf der Eingangswiderstand $R_{in}(R_1, R_2,R_3)$  maximal sein, damit der Sensor noch Strom liefern kann?
+      U_{\rm O}\cdot \left( {{1}\over{R_1}} + {{1}\over{R_2}} + {{1}\over{R_4}} \right) &=  {{U_{\rm S}}\over{R_1}}  + {{U_{\rm I}}\over{R_4}}  \\
-  - Ermitteln Sie geeignete Werte für $R_1$, $R_2$ und $R_3$
+\end{align*}
-  - Welche Werte für $R^0_1$, $R^0_2$ und $R^0_3$ aus der [[https://de.wikipedia.org/wiki/E-Reihe|E24-Reihe]] können dazu verwendet werden?
+Both sides can be multiplied by $\cdot R_1$, $\cdot R_2$, $\cdot R_4$  - in order to get rid of the fractions :
+\begin{align*}
+      U_{\rm O}\cdot \left( {{R_1 R_2 R_4 }\over{R_1}} + {{R_1 R_2 R_4 }\over{R_2}} + {{R_1 R_2 R_4 }\over{R_4}} \right) &=  R_1 R_2 R_4 \cdot {{U_{\rm S}}\over{R_1}}  + R_1 R_2 R_4 \cdot {{U_{\rm I}}\over{R_4}}  \\
+      U_{\rm O}\cdot \left( R_2 R_4 + R_1 R_4 + R_1 R_2 \right) &=  R_2 R_4 \cdot U_{\rm S}  + R_1 R_2 \cdot U_{\rm I} \\
+      U_{\rm O} &= {{R_2}\over{R_2 R_4 + R_1 R_4 + R_1 R_2 }}  \left( R_4 \cdot U_{\rm S}  + R_1 \cdot U_{\rm I} \right)\\
+\end{align*}
+The last formula was just the result we also got by the superposition but by more thinking. \\
+So, sometimes there is an easier way...
+  * Unluckily, there is no simple way to know before, what way is the easiest.
+  * Luckily, all ways lead to the correct result.
+#@HiddenEnd_HTML~Solution2,Solution ~@#
+. What is the input resistance $R_{\rm in}(R_1, R_2, R_3)$ of the circuit (viewed from the sensor)?
+#@HiddenBegin_HTML~Solution3,Solution~@#
+\begin{align*}
+R_{\rm in}(R_1, R_2, R_3) &= R_3 + R_1 || R_2 \\
+                          &= R_3 + {{R_1  R_2}\over{R_1 + R_2}}
+\end{align*}
+#@HiddenEnd_HTML~Solution3,Solution~@#
+. What is the minimum allowed input resistance ($R_{\rm in, min}(R_1, R_2, R_3)$) for the sensor to still deliver current?
+#@HiddenBegin_HTML~Solution4,Solution~@#
+\begin{align*}
+R_{\rm in, min} &= {{U_{\rm sense}}\over{I_{\rm sense, max}}} \\
+                &= \rm {{15 V}\over{1 mA}} \\
+                &= 15 k\Omega \\
+\end{align*}
+#@HiddenEnd_HTML~Solution4,Solution~@#
+#@TaskEnd_HTML@#
-</WRAP></WRAP></panel>