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elektronische_schaltungstechnik:5_filterschaltungen_i [2020/05/19 13:48] tfischer |
elektronische_schaltungstechnik:5_filterschaltungen_i [2022/06/01 22:09] (aktuell) tfischer [5 Filterschaltungen] |
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====== 5 Filterschaltungen ====== | ====== 5 Filterschaltungen ====== | ||
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* Auch für die Grundschaltungen II ist sind die [[https:// | * Auch für die Grundschaltungen II ist sind die [[https:// | ||
* [[https:// | * [[https:// | ||
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+ | empfohlene Videos: | ||
+ | * In diesem Kurs wird davon ausgegangen, | ||
+ | * Für die Definition des Bodediagramms empfehle ich die folgenden Videos in der angegebenen Reihenfolge: | ||
+ | - das Einführungsvideo von [[https:// | ||
+ | - die ersten 4 Videos zum [[https:// | ||
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=== Einführendes Beispiel=== | === Einführendes Beispiel=== | ||
- | <WRAP right> | + | <WRAP right> |
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=== technische Pegel in dB === | === technische Pegel in dB === | ||
<WRAP right> | <WRAP right> | ||
- | ^ Name ^ Symbol | + | |
- | | Spannungspegel | + | ^ Name ^ Symbol |
- | | Leistungspegel | + | | [[wpde>Spannungspegel]] | $dBV$ | $20dB \cdot log_{10}(V/ |
- | | Leistungspegel | + | | [[wpde>Leistungspegel]] | $dBm$ | $10dB \cdot log_{10}(P/ |
- | | Schalldruckpegel | + | | [[wpde>Leistungspegel]] | $dBW$ | $10dB \cdot log_{10}(P/ |
+ | | [[wpde> | ||
+ | | [[wpde> | ||
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<WRAP right> | <WRAP right> | ||
^ linearer Faktor ^ Pegel [$dB$] ^ | ^ linearer Faktor ^ Pegel [$dB$] ^ | ||
- | | $0,01$ | $-40dB$ | | + | | $\times |
- | | $0,1$ | $-20dB$ | | + | | $\times |
- | | $1$ | $0dB$ | | + | | $\times |
- | | $2$ | $\approx 6dB$ | | + | | $\times |
- | | $10$ | + | | $\times |
- | | $100$ | $40dB$ | | + | | $\times |
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* **handlichere Zahlenwerte**: | * **handlichere Zahlenwerte**: | ||
* **Bezug zu Sinnesempfindungen**: | * **Bezug zu Sinnesempfindungen**: | ||
- | * **leichteres Rechnen**: Durch den Logarithmus in der Definitionsgleichung wird aus jeder Multiplikation von linearen Faktoren eine Addition von Pegeln: \\ $A_V^{dB}(A_1 \cdot A_2) = 20dB \cdot log_{10}(A_1 \cdot A_2) = 20dB \cdot log_{10}(x_1) + 20dB \cdot log_{10}(x_2) = A_V^{dB}(A_1) + A_V^{dB}(A_2) $ | + | * **leichteres Rechnen**: Durch den Logarithmus in der Definitionsgleichung wird aus jeder Multiplikation von linearen Faktoren eine Addition von Pegeln: \\ $A_V^{dB}(A_1 \cdot A_2) = 20dB \cdot log_{10}(A_1 \cdot A_2) = 20dB \cdot log_{10}(A_1) + 20dB \cdot log_{10}(A_2) = A_V^{dB}(A_1) + A_V^{dB}(A_2) $ |
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Beispiele: | Beispiele: | ||
- $A_V^{dB}=58dB$ \\ mit Stützstellen: | - $A_V^{dB}=58dB$ \\ mit Stützstellen: | ||
- | - $A_V^{dB}=56dB$ \\ mit Stützstellen: | + | - $A_V^{dB}=56dB$ \\ mit Stützstellen: |
- $A_V^{dB}=55dB$ \\ mit Stützstellen: | - $A_V^{dB}=55dB$ \\ mit Stützstellen: | ||
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Eine komplexe Zahl kann stets auf zwei reelle Zahlenwerte reduziert werden. Für die genaue Definition dieser Zahlenwerte gibt es verschiedene Möglichkeiten (<imgref picA> | Eine komplexe Zahl kann stets auf zwei reelle Zahlenwerte reduziert werden. Für die genaue Definition dieser Zahlenwerte gibt es verschiedene Möglichkeiten (<imgref picA> | ||
- | - Definition über Realteil $\Re(\underline{A}_V)=A_V \cdot cos(\varphi)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_V)=A_V \cdot sin(\varphi)$ | + | - Definition über Realteil $\Re(\underline{A}_V)=A_V \cdot cos(\varphi)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_V)=A_V \cdot sin(\varphi)$ in $\underline{A}_V= \Re(\underline{A}_V) + j \cdot \Im(\underline{A}_V)$ |
- | - Definition über Betrag $A_V = |\underline{A}_V|$ und Phase $\varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right)$ | + | - Definition über Betrag $A_V = |\underline{A}_V|$ und Phase $\varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right)$ in $\underline{A}_V=A_V \cdot e^{j \varphi}$ |
Die 2. Definition ist bei der Betrachtung der frequenzabhängigen Spannungsverstärkung geeigneter, da damit die " | Die 2. Definition ist bei der Betrachtung der frequenzabhängigen Spannungsverstärkung geeigneter, da damit die " | ||
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=== Weg zum Bodediagramm === | === Weg zum Bodediagramm === | ||
- | <WRAP right> | + | <WRAP right> |
</ | </ | ||
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<WRAP column 100%> <panel type=" | <WRAP column 100%> <panel type=" | ||
- | Für Strom und Spannungspegel gilt: | + | Das Bodediagramm (=Frequenzgang) besteht aus: |
- | - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 10}$ ergibt im Pegel $+ 20dB$ | + | - Amplitudengang: |
- | | + | - Phasengang: |
- | - Der linearer Wert $A_V = 1$ entspricht $0 dB$ | + | |
- | + | ||
- | Bei hintereinander geschalteten Systemen ist für die Ermittlung der Verstärkung | + | |
- | - das lineare | + | |
- | | + | |
+ | Damit ergibt sich im Amplitudengang für Funktionen der Form $A(\omega) \sim \omega^n$ eine Gerade. \\ | ||
+ | Insbesondere gilt das für $A(\omega) \sim \omega$, also einer Steigung von +20dB/ | ||
</ | </ | ||
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==== 5.1.1 Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen ==== | ==== 5.1.1 Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen ==== | ||
- | <WRAP right> | + | <WRAP right> |
</ | </ | ||
Zeile 256: | Zeile 262: | ||
=== Herleitung === | === Herleitung === | ||
- | |$U_A = f(U_E)$|mit III.| | | + | Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts " |
- | |$U_A=\color{blue}{-U_D}-U_C$|mit II. \\ und I.|$ \color{blue}{U_D} | + | {{url> |
- | |$U_A= \quad \quad 0 \quad -\color{blue}{U_C}$|mit V.|$\color{blue}{U_C}={ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C \ dt+ Q_0(t_0))$| | + | |
- | |$U_A = -{ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{I_C} \ dt+ Q_0(t_0)) $|mit IV.|$\color{blue}{I_C}=I_R$| | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
- | |$U_A = \color{blue}{-{ | + | \\ |
- | |$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} I_R \ dt - \color{blue}{ Q_0(t_0) \over C } $|Integrationskonstante \\ betrachten|$\color{blue}{ Q_0(t_0) \over C }= U_C(t_0) | + | |
- | |$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{I_R} \ dt + U_{A0}$|mit VI. und II.|$\color{blue}{I_R}={ U_R \over R}={ U_E \over R} $| | + | |
- | |$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{1 \over R} \cdot U_E \ dt + U_{A0}$|Konstante vorziehen| | | + | |
- | |$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt + U_{A0}$| Zeitkonstante $\tau = R \cdot C$ einfügen | | | + | |
- | |<WRAP hi>$U_A = -{ 1 \over {\tau} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt + U_{A0}$</ | + | |
==== 5.1.2 Signal-Zeit-Verlauf ==== | ==== 5.1.2 Signal-Zeit-Verlauf ==== | ||
Zeile 283: | Zeile 284: | ||
- Beim Umkehrintegrator wird der Eingangswert integriert und invertiert. Für den gegebenen Verlauf der Eingangsspannung ist also die Berechnung von Stützstellen ausreichend | - Beim Umkehrintegrator wird der Eingangswert integriert und invertiert. Für den gegebenen Verlauf der Eingangsspannung ist also die Berechnung von Stützstellen ausreichend | ||
- Mit der in 5.1.1 hergeleiteten Formel lässt sich $U_A$ abschnittsweise zusammensetzen: | - Mit der in 5.1.1 hergeleiteten Formel lässt sich $U_A$ abschnittsweise zusammensetzen: | ||
- | - Am Punkt $t_1$: \\ $U_{A}(t_1) \ \ = \ -{ 1 \over {\tau} } \ \cdot \ \int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt \ + \ U_{A}(t_0) | + | |
- | - Am Punkt $t_2$: \\ $U_{A}(t_2) \ \ = \ -{ 1 \over {\tau} } \ \cdot \ \int_{t_1}^{t_2} U_E \ dt \ + \ U_{A}(t_1) | + | |
- | - Am Punkt $t_3$: \\ $U_{A}(t_3) \ \ = \ -{ 1 \over {\tau} }\ \cdot \ \int_{t_2}^{t_3} U_E \ dt \ + \ U_{A}(t_2) | + | Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt |
+ | {{url> | ||
<WRAP column 100%> <panel type=" | <WRAP column 100%> <panel type=" | ||
Zeile 303: | Zeile 305: | ||
Diese Definition der Eingangsspannung kann nun in die obige Gleichung für $U_A$ eingesetzt werden: | Diese Definition der Eingangsspannung kann nun in die obige Gleichung für $U_A$ eingesetzt werden: | ||
- | |$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{U_E(t)} \ dt + U_{A0}$|Sinusfunktion einsetzen|$ \color{blue}{U_E(t)}= \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$| | + | Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt |
- | |$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\color{blue}{\int_{t_0}^{t_1} \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t) \ dt} + U_{A0}$|Stammfunktion mit Grenzen einsetzen|$\color{blue}{\int_{x_0}^{x_1} sin(a \cdot x) \ dx} = [- {1 \over a} \cdot cos(a \cdot x) ]_{x_0}^{x_1}$| | + | {{url> |
- | |$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot [- \color{blue}{\hat{U}_E \over \omega} \cdot cos(\omega \cdot t) ]_{t_0}^{t_1} + U_{A0}$ | + | |
- | |$U_A = { 1 \over {R\cdot C} }\cdot {\hat{U}_E \over \omega} \cdot \color{blue}{[ cos(\omega \cdot t) ]_{t_0}^{t_1}} + U_{A0}$ | + | |
- | |$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot ( cos(\omega \cdot t) - \color{blue}{cos(0)} ) + U_{A0}$ | + | |
- | |$U_A = \color{blue}{{{ \hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot (} cos(\omega \cdot t) - 1 \color{blue}{)} + U_{A0}$ | + | |
- | |$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t) \color{blue}{-{ {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C}} + U_{A0}}$ | + | |
- | |<WRAP hi>$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t)$</ | + | |
<WRAP right>< | <WRAP right>< | ||
Zeile 317: | Zeile 314: | ||
\\ {{drawio> | \\ {{drawio> | ||
</ | </ | ||
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- | Der **Betrag** | + | Der **Betrag** |
Die **Phase** | Die **Phase** | ||
Zeile 329: | Zeile 327: | ||
=== Extremalwertbetrachtung === | === Extremalwertbetrachtung === | ||
- | Um den den Verlauf im Bodediagramm skizzieren zu können, soll das **Verhalten der Übertragungsfunktion $U_A=f(U_E)$ in den Extremfällen für niedrige (${\omega}\rightarrow 0$) und hohe Frequenzen (${\omega}\rightarrow \infty$)** betrachtet werden. Für Betrag $|A_v|$ und Phase $\varphi$ ergibt sich: | + | Um den den Verlauf im Bodediagramm skizzieren zu können, soll das **Verhalten der Übertragungsfunktion $U_A=f(U_E)$ in den Extremfällen für niedrige (${\omega}\rightarrow 0$) und hohe Frequenzen (${\omega}\rightarrow \infty$)** betrachtet werden. Für Betrag $|A_V|$ und Phase $\varphi$ ergibt sich: |
- | $ |A_v({\omega}\rightarrow 0 \ \; )| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow 0}\quad \infty$ \\ | + | $ |A_V({\omega}\rightarrow 0 \ \; )| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow 0}\quad \infty$ \\ |
- | $ |A_v({\omega}\rightarrow\infty)| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow\infty}\quad 0$ \\ | + | $ |A_V({\omega}\rightarrow\infty)| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow\infty}\quad 0$ \\ |
$\varphi = +90° \qquad \forall \ \omega$ | $\varphi = +90° \qquad \forall \ \omega$ | ||
Zeile 344: | Zeile 342: | ||
In den vorherigen Kapiteln war zu sehen, dass die Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen bereits bei einer einfachen Schaltung wie dem Umkehrintegrator sehr zäh und rechenintensiv ist. Es soll nun die komplexe Rechnung als eine Methode betrachtet werden, welche die Analyse solcher Schaltungen vereinfacht. Für die komplexe Rechnung werden die Widerstände und Kapazitäten durch komplexe Impedanzen ersetzt: | In den vorherigen Kapiteln war zu sehen, dass die Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen bereits bei einer einfachen Schaltung wie dem Umkehrintegrator sehr zäh und rechenintensiv ist. Es soll nun die komplexe Rechnung als eine Methode betrachtet werden, welche die Analyse solcher Schaltungen vereinfacht. Für die komplexe Rechnung werden die Widerstände und Kapazitäten durch komplexe Impedanzen ersetzt: | ||
- | $U_R=R\cdot I \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rightarrow \underline{U}_} = R \cdot \underline{I}$ \\ | + | $U_R=R\cdot I \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rightarrow \underline{U}_R = R \cdot \underline{I}$ \\ |
$U_C={ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C \ dt+ Q_0(t_0)) \qquad | $U_C={ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C \ dt+ Q_0(t_0)) \qquad | ||
Zeile 380: | Zeile 378: | ||
=== Betrag und Phase === | === Betrag und Phase === | ||
- | <WRAP right> | + | <WRAP right>< |
< | < | ||
- | {{elektronische_schaltungstechnik: | ||
</ | </ | ||
- | </ | + | \\ {{drawio> |
+ | </ | ||
Als Betrag $A_V$ ergibt sich: | Als Betrag $A_V$ ergibt sich: | ||
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\\ {{drawio> | \\ {{drawio> | ||
</ | </ | ||
+ | |||
+ | Eine weitere Schaltung lässt sich aus dem Umkehrintegrator ableiten. Dazu soll der bisherig rein kapazitive Wert der Impedanz zwischen Ausgangsseite und virtueller Masse durch einen ohmschen Anteil ergänzt werden. Diese Schaltung ist in <imgref pic7_1> zu sehen. | ||
+ | Im Folgenden soll diese Schaltung | ||
+ | * mit einer Simulation zunächst praktisch betrachtet werden, | ||
+ | * dann ohne ausführliche Rechnung ein Bild der Systemwirkung erstellt werden und abschließend | ||
+ | * durch eine Schaltungsanalyse mit komplexer Rechnung überprüft werden. | ||
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+ | === Tiefpass in der Simulation === | ||
- | <WRAP right> | + | <WRAP right> |
</ | </ | ||
- | In der Simulation | + | In der Simulation |
+ | - Ist nur der Schalter $S1$ geschlossen, | ||
+ | - Ist nur der Schalter $S2$ geschlossen, | ||
+ | In der Simulation ist unten das Bode-Diagramm skizziert. Mit Klick auf das Bode-Diagramm wird die zur Frequenz passende Aufteilung des Stroms in der Schaltung dargestellt | ||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | |||
+ | <panel type=" | ||
+ | |||
+ | - Stellen Sie zunächst einen invertierender Verstärker ein und lesen Sie die Verstärkung und Phase ab (Klick auf das Bode-Diagramm). | ||
+ | - Ändern Sie die Schaltung nun zum Umkehrintegrator und lesen Sie dort ebenso die Verstärkung und Phase ab. | ||
+ | - Nun sollen beide Schalter geschlossen sein. | ||
+ | - In welchen Frequenzbereichen wirkt nun annäherungsweise der invertierender Verstärker bzw. der Umkehrintegrator? | ||
+ | - Betrachten Sie bei verschiedenen Frequenzen die Aufteilung der Ströme in der Schaltung. Bei welcher Frequenz teilt sich der Strom etwa gleich auf den $1k\Omega$-Widerstand und dem Kondensator etwa gleichmäßig auf? Welchen Wert hat hier die Verstärkung und Phase? | ||
+ | - Nach dem Durchlesen der folgenden Analysen ist die Verstärkung und Phase an dem " | ||
+ | |||
+ | </ | ||
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Zeile 524: | Zeile 544: | ||
Für die Berechnung des Betrags $A_V$ kann ein " | Für die Berechnung des Betrags $A_V$ kann ein " | ||
- | $|\underline{A}_V| = |... \cdot \frac{...}{...}| = |...| \cdot \frac{|...|}{|...|}$ | + | $|\underline{A}_V| = |\mathcal{a} |
Damit ergibt sich für den Betrag: | Damit ergibt sich für den Betrag: | ||
Zeile 538: | Zeile 558: | ||
$\underline{A}_V= \color{blue}{- \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{1 + j \omega \cdot R_2 \cdot C}} \cdot \frac{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}{\color{blue}{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}}$ | $\underline{A}_V= \color{blue}{- \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{1 + j \omega \cdot R_2 \cdot C}} \cdot \frac{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}{\color{blue}{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}}$ | ||
- | Es wird ja gerade der konjungiert komplexe Wert multipliziert, | + | Es wird ja gerade der konjungiert komplexe Wert multipliziert, |
$\underline{A}_V= \color{blue}{\mathcal{C}} \cdot (1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C)$ | $\underline{A}_V= \color{blue}{\mathcal{C}} \cdot (1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C)$ | ||
Zeile 544: | Zeile 564: | ||
Damit ergibt sich die Phase $\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{\Im(\underline{A}_V)}}{\color{brown}{\Re(\underline{A}_V)}}\right)$ als | Damit ergibt sich die Phase $\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{\Im(\underline{A}_V)}}{\color{brown}{\Re(\underline{A}_V)}}\right)$ als | ||
- | $\underline{A}_V= \mathcal{C} \cdot (\color{brown}{1} + j \cdot \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C})$ | + | $\underline{A}_V= \mathcal{C} \cdot (\color{brown}{1} + j \cdot (\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}))$ |
$\boxed{\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}}{\color{brown}{1}}\right)}$ | $\boxed{\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}}{\color{brown}{1}}\right)}$ | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | === Extremalwertbetrachtung === | ||
+ | |||
+ | Für den __Betrag__ ergibt sich | ||
+ | - bei $\omega \rightarrow 0$: \\ $|\underline{A}_V| = \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow | ||
+ | - bei $\omega \rightarrow \infty$: \\ $|\underline{A}_V| = \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow | ||
<WRAP right> | <WRAP right> | ||
- | < | + | <panel type=" |
- | {{elektronische_schaltungstechnik: | + | < |
- | </ | + | </ |
- | === Extermalwertbetrachtung === | + | < |
+ | {{url> | ||
+ | </ | ||
- | Für den Betrag ergibt sich | + | < |
- | - bei $\omega \rightarrow 0$: $|\underline{A}_V| | + | <button type=" |
- | - bei $\omega \rightarrow \infty$: | + | </ |
+ | |||
+ | </ | ||
+ | </ | ||
+ | Für die Ermittlung der Phase $\color{red}{\varphi} = arctan\left(\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}\right)$ hilft es den Arkustangens im Diagramm zu betrachten. Dazu wird das Argument $Arg = \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}$ gegen die Phase $\color{red}{\varphi}$ aufgetragen (<imgref pic20>). Für die Extremalwerte $\omega$ von ergibt sich: | ||
+ | - bei $\omega \rightarrow 0$: \\ Das Argument $Arg = \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}$ geht gegen $-0$. | ||
+ | - bei $\omega \rightarrow \infty$: | ||
+ | |||
+ | Im Diagramm ist durch den Regler oben links das Argument $Arg$ veränderbar. Der Verlauf im Diagramm muss kontinuierlich sein, da auch das Argument $Arg = \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}$ zwischen $-0$ und $-\infty$ kontinuierlich verläuft. Das ist nur auf dem __oberen Ast__ möglich: Der Punkt $Arg \rightarrow -0$ entspricht dann gerade dem Annähern an die y-Achse (hier $\color{red}{\varphi}$-Achse) von links in <imgref pic20>. Der Punkt $Arg \rightarrow -\infty$ entspricht dem Weg nach links im Diagramm. | ||
+ | |||
+ | Daraus ergibt sich ein Verlauf der Phase $\color{red}{\varphi}$ von $\color{red}{\varphi}(\omega \rightarrow -0)=\pi = 180°$ zu $\color{red}{\varphi}(\omega \rightarrow -\infty)=\frac{\pi}{2} = 90°$. | ||
~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
=== Berechnung der Grenzfrequenz === | === Berechnung der Grenzfrequenz === | ||
+ | |||
+ | Bei der Grenzfrequenz lässt sich auch so verstehen, dass dort gerade der Übergang vom invertierenden Verstärker zum Umkehrintegrator stattfindet. Im Bode-Diagramm (<imgref pic10>) ist die Grenzfrequenz gerade beim Schnittpunkt der Geraden für invertierenden Verstärker und Umkehrintegrator zu finden. | ||
+ | |||
+ | Es ergibt sich also für die Grenzfrequenz $f_{Gr}$ | ||
+ | |||
+ | $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{\omega_{Gr} R_1 \cdot C}$ \\ | ||
+ | $\omega_{Gr} = \frac{1}{ R_2 \cdot C} = 2 \pi \cdot f_{Gr}$ | ||
+ | |||
+ | Bei der Grenzfrequenz ergibt sich ein Betrag von: | ||
+ | |||
+ | $|\underline{A}_{V, | ||
+ | |||
+ | $\boxed{|\underline{A}_{V, | ||
+ | |||
+ | Die Phase bei der Grenzfrequenz ist: | ||
+ | |||
+ | $\varphi_{Gr} = arctan\left(-\omega_{Gr} \cdot R_2 \cdot C\right) = arctan\left(-\frac{1}{ R_2 \cdot C} \cdot R_2 \cdot C\right) = arctan\left(-1 \right)$ | ||
+ | |||
+ | $\boxed{\varphi_{Gr} = \frac{3}{4} \pi =135°}$ | ||
+ | |||
+ | Aufgrund der Abschwächung der niederfrequenten Verstärkung um $-3dB$ bei der Grenzfrequenz wird diese auch **$-3dB$-Grenzfrequenz** genannt. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | ===== 5.3 Umkehrdifferentiator ===== | ||
+ | |||
+ | <WRAP right>< | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | \\ {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | |||
+ | <WRAP right>< | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | \\ {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | In <imgref pic11_1> ist ein Umkehrdifferentiator dargestellt. Im Vergleich zum Integrator ist hier gerade der Widerstand und der Kondensator vertauscht. | ||
+ | |||
+ | In der Simulation daneben ist die Wirkung der Schaltung zu sehen: die Ableitung des invertierten Eingangssignal wird am Ausgang ausgegeben. Die Ableitung an den Umkehrpunkten (" | ||
+ | |||
+ | Im Folgenden soll ohne Herleitung nur auf die Ergebnisse eingegangen werden. | ||
+ | |||
+ | Die Schaltungsanalyse über Differentialgleichung ergibt: | ||
+ | |||
+ | $\boxed{U_A = - R \cdot C \frac{d}{dt}U_E}$ | ||
+ | |||
+ | Mit komplexer Rechnung wird die Übertragungsfunktion zu: | ||
+ | |||
+ | $\boxed{\underline{A}_V=-j \cdot \omega \cdot R \cdot C}$ | ||
+ | |||
+ | Daraus lässt sich das in <imgref pic11> abgebildete Bode-Diagramm ermitteln. | ||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | <panel type=" | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | {{drawio> | ||
+ | |||
+ | Leiten Sie für den in <imgref pic11_1> dargestellten Umkehrdifferentiator die komplexe Spannungsverstärkung, | ||
+ | |||
+ | - Schaltungsanalyse mittels Differentialgleichung | ||
+ | - Ermittlung von Betrag und Phase aus Differentialgleichung (incl. Betrachtung der Extremfälle) | ||
+ | - Beispiel eines Signal-Zeit-Verlaufs mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 2µF$ und $U_E$ wie rechts dargestellt | ||
+ | - Schaltungsanalyse mittels komplexer Rechnung | ||
+ | - Betrachtung von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$ | ||
+ | - Frequenzgang (Bode-Diagramm) für Schaltung mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 16nF$ | ||
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+ | ===== 5.4 Hochpass ===== | ||
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+ | Aus dem Umkehrdifferentiator lässt sich ein Hochpass erstellen, wenn die rein kapazitive Impedanz für $Z_1$ geeignet über einen ohmschen Anteil erweitert wird (<imgref pic12_1> | ||
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+ | Mit komplexer Rechnung ergibt sich hierfür: $\boxed{\underline{A}_V = - \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{j \cdot \omega \cdot R_1 \cdot C}{1 + j \cdot \omega \cdot R_1 \cdot C}} $ | ||
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+ | Daraus lässt sich das in <imgref pic12> abgebildete Bode-Diagramm ermitteln. | ||
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+ | Im [[# | ||
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+ | - Verhalten von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$ | ||
+ | - Erwartetes Bode-Diagramm | ||
+ | - RC-Glied und Grenzfrequenz | ||
+ | - Schaltungsanalyse mit komplexer Rechnung | ||
+ | - Berechnung von Betrag und Phase | ||
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+ | ===== 5.5 Übersicht Hochpass / Tiefpass ===== | ||
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- | <panel type=" | + | <panel type=" |
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Gegeben sei nebenstehende Schaltung mit $R= 10 k\Omega$, $C = 1,6 uF$ und einer sinusförmigen Eingangsspannung $U_E = 1 V $ mit $f = 1 kHz$. Wie im Kurs beschrieben, | Gegeben sei nebenstehende Schaltung mit $R= 10 k\Omega$, $C = 1,6 uF$ und einer sinusförmigen Eingangsspannung $U_E = 1 V $ mit $f = 1 kHz$. Wie im Kurs beschrieben, | ||
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- Welche Grenzfrequenz ergibt sich? | - Welche Grenzfrequenz ergibt sich? | ||
- Mit wieviel dB pro Dekade fällt der Amplitudengang bei hohen Frequenzen ab? | - Mit wieviel dB pro Dekade fällt der Amplitudengang bei hohen Frequenzen ab? | ||
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- | <WRAP right> {{ elektronische_schaltungstechnik: | ||
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- | Leiten Sie für den rechts dargestellten Umkehrdifferentiator die komplexe Spannungsverstärkung, | ||
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- | - Schaltungsanalyse mittels Differentialgleichung | ||
- | - Ermittlung von Betrag und Phase aus Differentialgleichung (incl. Betrachtung der Extremfälle) | ||
- | - Beispiel eines Signal-Zeit-Verlaufs mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 2µF$ und $U_E$ wie rechts dargestellt | ||
- | - Schaltungsanalyse mittels komplexer Rechnung | ||
- | - Betrachtung von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$ | ||
- | - Frequenzgang (Bode-Diagramm) für Schaltung mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 16nF$ | ||
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- | <panel type=" | ||
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- | Bevor der Tiefpass in der Vorlesung durchgesprochen wird, sollen hier bereits die Grundlagen dazu gelegt werden. | ||
- | versuchen Sie folgende Fragen zu beantworten: | ||
- | - Welchen Amplitudengang erwarten Sie für einen Tiefpass? | ||
- | - Untersuchen Sie folgende [[http:// | ||
- | - Wie heißen die Schaltungen, | ||
- | - Zunächst sollen beide Schalter geschlossen sein. Wie ändert sich die Amplitude der ausgegebenen Spannung (grüne Linie im Oszilloskop), | ||
- | - Nun soll die Situation mit beiden Schaltern geschlossen mit der Situation jeweils nur ein Schalter geschlossen verglichen werden. Stellen Sie dazu zunächst eine höhere Frequenz ein (z.B. 20...30 kHz) und vergleichen Sie S1=S2=geschlossen mit nur einem Schalter geschlossen. | ||
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- | <panel type=" | ||
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- | <WRAP right> {{ elektronische_schaltungstechnik: | ||
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- | In der Vorlesung haben wir die Verstärkung $A_V$ des Tiefpasses 1. Ordnung auf Basis seiner Schaltung hergeleitet. In gleicher Weise soll nun die Verstärkung für einen Hochpass hergeleitet werden. | ||
- | |||
- | - Verhalten von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$ | ||
- | - Erwartetes Bode-Diagramm | ||
- | - RC-Glied und Grenzfrequenz | ||
- | - Schaltungsanalyse mit komplexer Rechnung | ||
- | - Berechnung von Betrag und Phase | ||
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--> Referenzen zu den genutzten Medien # | --> Referenzen zu den genutzten Medien # | ||
- | ^ Element | + | ^ Element |
- | | <imgref pic5>: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen | + | | <imgref pic6>: Verlauf des Arcustangens |
- | | <imgref pic6>: Verlauf des Arcustangens | + | |
- | | <imgref pic11>: Verlauf der Funktion Arcustangens2 | + | |
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