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elektronische_schaltungstechnik:5_filterschaltungen_i [2020/05/20 09:06]
tfischer 		elektronische_schaltungstechnik:5_filterschaltungen_i [2022/06/01 22:09] (aktuell)
tfischer [5 Filterschaltungen]
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 ====== 5 Filterschaltungen ====== ====== 5 Filterschaltungen ======
  
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   * Auch für die Grundschaltungen II ist sind die [[https://www.mikrocontroller.net/articles/Operationsverst%C3%A4rker-Grundschaltungen|Operationsverstärker-Grundschaltungen auf Microcontroller.net]] zu empfehlen   * Auch für die Grundschaltungen II ist sind die [[https://www.mikrocontroller.net/articles/Operationsverst%C3%A4rker-Grundschaltungen|Operationsverstärker-Grundschaltungen auf Microcontroller.net]] zu empfehlen
   * [[https://rd.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-2146-1|Lehr- und Arbeitsbuch Operationsverstärker (Joachim Federau)]] (über das Hochschulnetz einsehbar)   * [[https://rd.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-2146-1|Lehr- und Arbeitsbuch Operationsverstärker (Joachim Federau)]] (über das Hochschulnetz einsehbar)
 +
 +empfohlene Videos:
 +  * In diesem Kurs wird davon ausgegangen, dass Sie ET2 in diesem Semester gehört haben. \\ Falls dort nicht teilgenommen haben und damit komplexe Impedanzen nicht kennen, kann die Reihe zu [[https://www.youtube.com/watch?v=PoQxSPl0qZU&list=PLQERt4zteWhd5Au48b-pFHqaq47dGFEQQ&ab_channel=OnlinevorlesungElektrotechnik|Wechselstromnetzwerke von Herrn Dr.-Ing. Stefan Schenke]] (4:18 min, 6:07 min, 6:22 min und 4:44 min) für Sie sinnvoll sein.
 +  * Für die Definition des Bodediagramms empfehle ich die folgenden Videos in der angegebenen Reihenfolge:
 +    - das Einführungsvideo von [[https://www.youtube.com/watch?v=2L9nbr9hePU|Herrn Wolfgang Bengfort]] (9:20 min)
 +    - die ersten 4 Videos zum [[https://www.youtube.com/watch?v=bvPHEc6-XtY&list=PLQERt4zteWhetwcM4fVMPLTeXeA99orsT&ab_channel=OnlinevorlesungElektrotechnik|Bodediagramm von Herrn Dr.-Ing. Stefan Schenke]] (6:23 min, 5:34 min, 12:25 min und 9:41 min)
 </callout> </callout>
  
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 === Einführendes Beispiel=== === Einführendes Beispiel===
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?cct=$+1+0.00009999999999999999+2.008553692318767+41+5+43%0Aa+288+128+384+128+8+15+-15+1000000+-0.000058679015510918+0+100000%0Aw+384+112+384+64+0%0Ac+384+64+288+64+0+5.000000000000001e-7+5.867960230107311%0Aw+288+64+288+112+0%0Ar+208+112+288+112+0+1000%0Ar+384+32+288+32+0+1000%0Aw+288+32+288+64+0%0Aw+384+32+384+64+0%0Ag+288+144+288+176+0%0AR+96+128+64+128+0+2+40+5+0+0+0.5%0A207+384+128+384+176+4+U_A1%0A403+304+208+448+272+0+10_4_0_12294_7.438926379638319_0.0001_0_2_10_3_U%5CsA1%0A170+144+96+144+64+2+20+1000+5+0.1%0AS+176+112+144+112+0+0+false+0+2%0Aw+176+112+208+112+0%0A403+160+208+288+272+0+4_4_0_12294_9.983191019672175_0.0001_0_2_4_3_U%5CsE%5Csverrauscht%0A207+96+128+96+160+4+U_E%0Av+144+128+96+128+0+6+4000+5+0+0+0.5%0A207+560+128+560+176+4+U_A2%0Ag+464+144+464+176+0%0Aw+560+32+560+64+0%0Aw+464+32+464+64+0%0Ar+560+32+464+32+0+1000%0Ar+384+112+464+112+0+1000%0Aw+464+64+464+112+0%0Ac+560+64+464+64+0+0.0000015+-5.260573781691551%0Aw+560+128+560+64+0%0Aa+464+128+560+128+8+15+-15+1000000+0.00005260521176479787+0+100000%0Aw+384+112+384+128+0%0A403+480+208+640+272+0+18_4_0_4102_8.4590010899438_0.0001_0_2_18_3_U%5CsA2%0A403+0+208+144+272+0+16_4_0_12294_5.000000000000001_0.0001_0_2_16_3%0A 800,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.00009999999999999999+2.008553692318767+41+5+43%0Aa+288+128+384+128+8+15+-15+1000000+-0.000058679015510918+0+100000%0Aw+384+112+384+64+0%0Ac+384+64+288+64+0+5.000000000000001e-7+5.867960230107311%0Aw+288+64+288+112+0%0Ar+208+112+288+112+0+1000%0Ar+384+32+288+32+0+1000%0Aw+288+32+288+64+0%0Aw+384+32+384+64+0%0Ag+288+144+288+176+0%0AR+96+128+64+128+0+2+40+5+0+0+0.5%0A207+384+128+384+176+4+U_A1%0A403+304+208+448+272+0+10_4_0_12294_7.438926379638319_0.0001_0_2_10_3_U%5CsA1%0A170+144+96+144+64+2+20+1000+5+0.1%0AS+176+112+144+112+0+0+false+0+2%0Aw+176+112+208+112+0%0A403+160+208+288+272+0+4_4_0_12294_9.983191019672175_0.0001_0_2_4_3_U%5CsE%5Csverrauscht%0A207+96+128+96+160+4+U_E%0Av+144+128+96+128+0+6+4000+5+0+0+0.5%0A207+560+128+560+176+4+U_A2%0Ag+464+144+464+176+0%0Aw+560+32+560+64+0%0Aw+464+32+464+64+0%0Ar+560+32+464+32+0+1000%0Ar+384+112+464+112+0+1000%0Aw+464+64+464+112+0%0Ac+560+64+464+64+0+0.0000015+-5.260573781691551%0Aw+560+128+560+64+0%0Aa+464+128+560+128+8+15+-15+1000000+0.00005260521176479787+0+100000%0Aw+384+112+384+128+0%0A403+480+208+640+272+0+18_4_0_4102_8.4590010899438_0.0001_0_2_18_3_U%5CsA2%0A403+0+208+144+272+0+16_4_0_12294_5.000000000000001_0.0001_0_2_16_3%0A 900,400 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
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 === technische Pegel in dB ===  === technische Pegel in dB === 
 <WRAP right> <WRAP right>
-^ Name              ^ Symbol  ^ Formel                          ^ Referenzgröße für 0dB         ^ + 
-| Spannungspegel    | $dBV$   | $20 \cdot log_{10}(V/V_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 1V$        | +^ Name                            ^ Symbol  ^ Formel                            ^ Referenzgröße für 0dB         ^ 
-| Leistungspegel    | $dBm$   | $10 \cdot log_{10}(P/P_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 1mW$       | +| [[wpde>Spannungspegel]]         | $dBV$   | $20dB \cdot log_{10}(V/V_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 1V$        | 
-| Leistungspegel    | $dBW$   | $10 \cdot log_{10}(P/P_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 1W$        | +| [[wpde>Leistungspegel]]         | $dBm$   | $10dB \cdot log_{10}(P/P_{ref})$  | $0dBm  \widehat{=} 1mW$       | 
-| Schalldruckpegel  | $dBA$   | $20 \cdot log_{10}(p/p_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 20\mu Pa$  |+| [[wpde>Leistungspegel]]         | $dBW$   | $10dB \cdot log_{10}(P/P_{ref})$  | $0dBW  \widehat{=} 1W$        | 
 +| [[wpde>dBFS|Full-Scale-Pegel]]  | $dBFS$  | $20dB \cdot log_{10}(V/V_{max})$  | $0dBFS  \widehat{=} V_{max}$  | 
 +| [[wpde>Schalldruckpegel]]       | $dBA$   | $20dB \cdot log_{10}(p/p_{ref})$  | $0dBA  \widehat{=} 20\mu Pa$  |
 </WRAP> </WRAP>
  
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 <WRAP right> <WRAP right>
 ^ linearer Faktor ^ Pegel [$dB$] ^ ^ linearer Faktor ^ Pegel [$dB$] ^
-| $0,01$ |  $-40dB$ | +| $\times 0,01$ |  $-40dB$ | 
-| $0,1$  |  $-20dB$ | +| $\times 0,1$  |  $-20dB$ | 
-| $1$    |  $0dB$ | +| $\times 1$    |  $0dB$ | 
-| $2$    |  $\approx 6dB$ | +| $\times 2$    |  $\approx +6dB$ | 
-| $10$   |  $20dB$ | +| $\times 10$   |  $+20dB$ | 
-| $100$  |  $40dB$ |+| $\times 100$  |  $+40dB$ |
 </WRAP> </WRAP>
  
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   * **handlichere Zahlenwerte**: Werden sehr große oder sehr kleine lineare Werte benötigt, so hat die Zahl des sich ergebenden Pegel weniger Stellen. Beispiel: $A_V = 10000000 \rightarrow A_V^{dB}= 140dB$. Dadurch ergibt sich auch weniger "Nullen-Zählen".   * **handlichere Zahlenwerte**: Werden sehr große oder sehr kleine lineare Werte benötigt, so hat die Zahl des sich ergebenden Pegel weniger Stellen. Beispiel: $A_V = 10000000 \rightarrow A_V^{dB}= 140dB$. Dadurch ergibt sich auch weniger "Nullen-Zählen".
   * **Bezug zu Sinnesempfindungen**: Sinnesempfindungen wie Helligkeit und Lautstärke wirken nahezu exponentiell. Das bedeutet jede Verzehnfachung der zugrunde liegenden physikalischen Größe (Photonenanzahl oder Schalldruck) wirkt nicht zehnmal so stark, sondern scheint einen additiven Effekt zu haben.   * **Bezug zu Sinnesempfindungen**: Sinnesempfindungen wie Helligkeit und Lautstärke wirken nahezu exponentiell. Das bedeutet jede Verzehnfachung der zugrunde liegenden physikalischen Größe (Photonenanzahl oder Schalldruck) wirkt nicht zehnmal so stark, sondern scheint einen additiven Effekt zu haben.
-  * **leichteres Rechnen**: Durch den Logarithmus in der Definitionsgleichung wird aus jeder Multiplikation von linearen Faktoren eine Addition von Pegeln: \\ $A_V^{dB}(A_1 \cdot A_2) = 20dB \cdot log_{10}(A_1 \cdot A_2) =  20dB \cdot log_{10}(x_1) + 20dB \cdot log_{10}(x_2) = A_V^{dB}(A_1) + A_V^{dB}(A_2) $+  * **leichteres Rechnen**: Durch den Logarithmus in der Definitionsgleichung wird aus jeder Multiplikation von linearen Faktoren eine Addition von Pegeln: \\ $A_V^{dB}(A_1 \cdot A_2) = 20dB \cdot log_{10}(A_1 \cdot A_2) =  20dB \cdot log_{10}(A_1) + 20dB \cdot log_{10}(A_2) = A_V^{dB}(A_1) + A_V^{dB}(A_2) $
  
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 Beispiele: Beispiele:
   - $A_V^{dB}=58dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=58dB = 40dB + 18dB = \color{blue}{2}\cdot 20dB + \color{magenta}{3}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \  A_V = 10^\color{blue}{2} \qquad  \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3} \qquad = 100 \cdot 8 = 800$ \\ \\   - $A_V^{dB}=58dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=58dB = 40dB + 18dB = \color{blue}{2}\cdot 20dB + \color{magenta}{3}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \  A_V = 10^\color{blue}{2} \qquad  \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3} \qquad = 100 \cdot 8 = 800$ \\ \\
-  - $A_V^{dB}=56dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=56dB = 60dB - 24dB = \color{blue}{4}\cdot 20dB + \color{magenta}{-4}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ A_V = 10^\color{blue}{4} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{-4} \qquad = 10000 \cdot \frac{1}{16} = 625$ \\  oder $A_V = 20dB + 36dB = 10^\color{blue}{1} \cdot 2^\color{magenta}{6} = 10 \cdot 64 = 640$ \\ \\+  - $A_V^{dB}=56dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=56dB = 80dB - 24dB = \color{blue}{4}\cdot 20dB + \color{magenta}{-4}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ A_V = 10^\color{blue}{4} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{-4} \qquad = 10000 \cdot \frac{1}{16} = 625$ \\  oder $A_V^{dB} = 20dB + 36dB \rightarrow A_V= 10^\color{blue}{1} \cdot 2^\color{magenta}{6} = 10 \cdot 64 = 640$ \\ \\
   - $A_V^{dB}=55dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=56dB = 40dB + 18dB - 3dB = \color{blue}{2}\cdot 20dB + \color{magenta}{3}\cdot 6dB  + \color{teal}{-\frac{1}{2}}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \ A_V = 10^\color{blue}{2} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3}  \qquad \cdot \qquad  2^\color{teal}{-\frac{1}{2}} \approx 100 \cdot 8 \cdot 0,707  = 560$    - $A_V^{dB}=55dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=56dB = 40dB + 18dB - 3dB = \color{blue}{2}\cdot 20dB + \color{magenta}{3}\cdot 6dB  + \color{teal}{-\frac{1}{2}}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \ A_V = 10^\color{blue}{2} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3}  \qquad \cdot \qquad  2^\color{teal}{-\frac{1}{2}} \approx 100 \cdot 8 \cdot 0,707  = 560$ 
  
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 Eine komplexe Zahl kann stets auf zwei reelle Zahlenwerte reduziert werden. Für die genaue Definition dieser Zahlenwerte gibt es verschiedene Möglichkeiten (<imgref picA>):  Eine komplexe Zahl kann stets auf zwei reelle Zahlenwerte reduziert werden. Für die genaue Definition dieser Zahlenwerte gibt es verschiedene Möglichkeiten (<imgref picA>): 
-  - Definition über Realteil $\Re(\underline{A}_V)=A_V \cdot cos(\varphi)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_V)=A_V \cdot sin(\varphi)$ +  - Definition über Realteil $\Re(\underline{A}_V)=A_V \cdot cos(\varphi)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_V)=A_V \cdot sin(\varphi)$ in $\underline{A}_V= \Re(\underline{A}_V) + j \cdot \Im(\underline{A}_V)$ 
-  - Definition über Betrag $A_V = |\underline{A}_V|$ und Phase  $\varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right)$+  - Definition über Betrag $A_V = |\underline{A}_V|$ und Phase  $\varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right)$ in $\underline{A}_V=A_V \cdot e^{j \varphi}$
  
 Die 2. Definition ist bei der Betrachtung der frequenzabhängigen Spannungsverstärkung geeigneter, da damit die "zeitliche Verschiebung" (Phase) von der Verstärkung getrennt werden kann. Die 2. Definition ist bei der Betrachtung der frequenzabhängigen Spannungsverstärkung geeigneter, da damit die "zeitliche Verschiebung" (Phase) von der Verstärkung getrennt werden kann.
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 === Weg zum Bodediagramm === === Weg zum Bodediagramm ===
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+44+0.5+50%0A%25+1+8761050.782000184%0Ac+240+160+240+48+0+1e-9+0%0Ar+112+48+240+48+0+16000%0AO+240+48+352+48+1%0Ag+240+160+240+192+0%0A170+112+48+80+48+3+20+1000+50+0.1%0Ax+326+77+343+80+0+24+U%0Ax+339+86+355+89+0+24+A%0Ax+114+88+130+91+0+24+E%0Ax+101+79+118+82+0+24+U%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A 600,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.000005+5+44+0.5+50%0A%25+1+8761050.782000184%0Ac+240+160+240+48+0+1e-9+0%0Ar+112+48+240+48+0+16000%0AO+240+48+352+48+1%0Ag+240+160+240+192+0%0A170+112+48+80+48+3+20+1000+50+0.1%0Ax+326+77+343+80+0+24+U%0Ax+339+86+355+89+0+24+A%0Ax+114+88+130+91+0+24+E%0Ax+101+79+118+82+0+24+U%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A 600,400 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
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 <WRAP column 100%> <panel type="danger" title="Merke: Bodediagramm"> <WRAP group><WRAP column 7%>{{fa>exclamation?32}}</WRAP><WRAP column 80%> <WRAP column 100%> <panel type="danger" title="Merke: Bodediagramm"> <WRAP group><WRAP column 7%>{{fa>exclamation?32}}</WRAP><WRAP column 80%>
  
-Für Strom und Spannungspegel gilt: +Das Bodediagramm (=Frequenzgang) besteht aus: 
-  - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 10}$ ergibt im Pegel $+ 20dB$ +  - Amplitudengang: Amplitude in dB über logarithmisch-aufgetragener Frequenz (d.h. doppeltlogarithmische Darstellung) 
-  - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 2}$ ergibt im Pegel $+ 6dB$ +  - Phasengang: lineare Phase über logarithmisch-aufgetragener Frequenz (d.h. einfach logarithmischer Darstellung)
-  - Der linearer Wert $A_V = 1$ entspricht $0 dB$ +
- +
-Bei hintereinander geschalteten Systemen ist für die Ermittlung der Verstärkung  +
-  - das lineare Maß $A_V$ zu multiplizieren und +
-  - der Pegel $A_V^{dB}$ zu addieren.+
  
 +Damit ergibt sich im Amplitudengang für Funktionen der Form $A(\omega) \sim \omega^n$ eine Gerade. \\
 +Insbesondere gilt das für $A(\omega) \sim \omega$, also einer Steigung von +20dB/Dekade und für  $A(\omega) \sim \frac{1}{\omega}$, also einer Steigung von -20dB/Dekade
 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP> </WRAP></WRAP></panel> </WRAP>
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Zeile 221: Zeile 227:
 ==== 5.1.1 Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen ==== ==== 5.1.1 Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen ====
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?cct=$+1+0.00009999999999999999+0.32112705431535615+57+5+50%0Ag+96+224+96+240+0%0Aw+336+112+336+160+0%0Aw+192+112+192+144+0%0Aa+192+160+336+160+8+15+-15+1000000+-0.00007695554889407606+0+100000%0Ac+192+112+336+112+0+0.0000058+-7.695631844956501%0AO+336+160+400+160+0%0Av+96+224+96+160+0+2+40+2+0+3.141592653589793+0.5%0Av+96+160+96+112+0+2+80+1+0+0+0.5%0Aw+96+112+128+112+0%0Ar+128+112+192+112+0+1000%0Ag+192+176+192+192+0%0A403+304+16+432+80+0+5_4_0_12290_8.523156660430175_0.0001_1_1%0A403+16+16+144+80+0+8_4_0_12290_3_0.0001_0_2_8_3%0Ax+194+97+210+100+4+24+K%0Ax+209+105+222+108+4+24+1%0A 600,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.00009999999999999999+0.32112705431535615+57+5+50%0Ag+96+224+96+240+0%0Aw+336+112+336+160+0%0Aw+192+112+192+144+0%0Aa+192+160+336+160+8+15+-15+1000000+-0.00007695554889407606+0+100000%0Ac+192+112+336+112+0+0.0000058+-7.695631844956501%0AO+336+160+400+160+0%0Av+96+224+96+160+0+2+40+2+0+3.141592653589793+0.5%0Av+96+160+96+112+0+2+80+1+0+0+0.5%0Aw+96+112+128+112+0%0Ar+128+112+192+112+0+1000%0Ag+192+176+192+192+0%0A403+304+16+432+80+0+5_4_0_12290_8.523156660430175_0.0001_1_1%0A403+16+16+144+80+0+8_4_0_12290_3_0.0001_0_2_8_3%0Ax+194+97+210+100+4+24+K%0Ax+209+105+222+108+4+24+1%0A 600,400 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
Zeile 256: Zeile 262:
 === Herleitung === === Herleitung ===
  
-|$U_A = f(U_E)$|mit III.| | +Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts "►" führt zum nächsten Schritt, [[rechnung_umkehrintegrator|alternative Darstellung]]): 
-|$U_A=\color{blue}{-U_D}-U_C$|mit II. \\ und I.|$ \color{blue}{U_D} = { 1 \over A_D } \cdot U_A \overset{A_D -> \infty}\longrightarrow 0$| +{{url>https://wiki.mexle.org/_export/revealjs/elektronische_schaltungstechnik/rechnung_umkehrintegrator?theme=dokuwiki&fade=fade&controls=1&show_progress_bar=1&build_all_lists=1&show_image_borders=0&horizontal_slide_level=2&enlarge_vertical_slide_headers=0&size=2024x128#/ 1024,108 left noborder}} 
-|$U_A= \quad \quad 0 \quad -\color{blue}{U_C}$|mit V.|$\color{blue}{U_C}={ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C \ dt+ Q_0(t_0))$| + 
-|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{I_C} \ dt+ Q_0(t_0)) $|mit IV.|$\color{blue}{I_C}=I_R$| +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ 
-|$U_A = \color{blue}{-{ 1 \over C }\cdot(}\int_{t_0}^{t_1} I_R \ dt+ Q_0(t_0)\color{blue}{)} $|Ausklammern| | +\\
-|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} I_R \ dt - \color{blue}{ Q_0(t_0) \over C } $|Integrationskonstante \\ betrachten|$\color{blue}{ Q_0(t_0) \over C }= U_C(t_0) = -U_{A0}$| +
-|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{I_R} \ dt + U_{A0}$|mit VI. und II.|$\color{blue}{I_R}={ U_R \over R}={ U_E \over R} $| +
-|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{1 \over R} \cdot U_E \ dt + U_{A0}$|Konstante vorziehen| | +
-|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt + U_{A0}$| Zeitkonstante $\tau = R \cdot C$ einfügen | | +
-|<WRAP hi>$U_A = -{ 1 \over {\tau} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt + U_{A0}$</WRAP>| | |+
  
 ==== 5.1.2 Signal-Zeit-Verlauf ==== ==== 5.1.2 Signal-Zeit-Verlauf ====
Zeile 283: Zeile 284:
   - Beim Umkehrintegrator wird der Eingangswert integriert und invertiert. Für den gegebenen Verlauf der Eingangsspannung ist also die Berechnung von Stützstellen ausreichend    - Beim Umkehrintegrator wird der Eingangswert integriert und invertiert. Für den gegebenen Verlauf der Eingangsspannung ist also die Berechnung von Stützstellen ausreichend 
   - Mit der in 5.1.1 hergeleiteten Formel lässt sich $U_A$ abschnittsweise zusammensetzen:   - Mit der in 5.1.1 hergeleiteten Formel lässt sich $U_A$ abschnittsweise zusammensetzen:
-    - Am Punkt $t_1$: \\ $U_{A}(t_1) \ \ = \  -{ 1 \over {\tau} } \ \cdot \ \int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt \  + \  U_{A}(t_0) =  -{ 1 \over {5 k\Omega \cdot 1 \mu F} }\cdot\int_{0}^{10ms} 1V \ dt + 0V$ \\ $\qquad \qquad =  -{ 1 \over {5 ms} } \quad \cdot 1V \ \cdot \int_{0}^{10ms} \ dt \qquad \ = \ -{ 1 \over {5 ms} }\ 1V \ [t]_{0}^{10ms} = -2V$ \\ \\ + 
-    - Am Punkt $t_2$: \\ $U_{A}(t_2) \ \ = \  -{ 1 \over {\tau} } \ \cdot \ \int_{t_1}^{t_2} U_E \ dt \  + \  U_{A}(t_1) =  -{ 1 \over {5 ms} }\cdot (-1V) \cdot [t]_{10ms}^{20ms} + 2V = 0V \quad$ \\ \\ + 
-    - Am Punkt $t_3$: \\ $U_{A}(t_3) \ \ = \ -{ 1 \over {\tau} }\ \cdot \  \int_{t_2}^{t_3} U_E \ dt \  + \  U_{A}(t_2) =  -{ 1 \over {5 ms} }\cdot (-2V) \cdot [t]_{20ms}^{25ms} + 0V = -2V \quad$+Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts "►" führt zum nächsten Schritt, [[rechnung_signalzeitverlauf_umkehrintegrator|alternative Darstellung]]): 
 +{{url>https://wiki.mexle.org/_export/revealjs/elektronische_schaltungstechnik/rechnung_signalzeitverlauf_umkehrintegrator?theme=dokuwiki&fade=fade&controls=1&show_progress_bar=1&build_all_lists=1&show_image_borders=0&horizontal_slide_level=2&enlarge_vertical_slide_headers=0&size=1624x128#/ 624,108 left noborder}}
  
 <WRAP column 100%> <panel type="danger" title="Merke: Signal-Zeit-Verlauf des Umkehrintegrators"> <WRAP group><WRAP column 7%>{{fa>exclamation?32}}</WRAP><WRAP column 80%> <WRAP column 100%> <panel type="danger" title="Merke: Signal-Zeit-Verlauf des Umkehrintegrators"> <WRAP group><WRAP column 7%>{{fa>exclamation?32}}</WRAP><WRAP column 80%>
Zeile 303: Zeile 305:
 Diese Definition der Eingangsspannung kann nun in die obige Gleichung für $U_A$ eingesetzt werden: Diese Definition der Eingangsspannung kann nun in die obige Gleichung für $U_A$ eingesetzt werden:
  
-|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{U_E(t)} \ dt + U_{A0}$|Sinusfunktion einsetzen|$ \color{blue}{U_E(t)}= \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$| +Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts "►" führt zum nächsten Schritt, [[rechnung_betragundphase_umkehrintegrator|alternative Darstellung]]): 
-|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\color{blue}{\int_{t_0}^{t_1} \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t) \ dt} + U_{A0}$|Stammfunktion mit Grenzen einsetzen|$\color{blue}{\int_{x_0}^{x_1} sin(a \cdot x) \ dx} = [- {1 \over a} \cdot cos(a \cdot x) ]_{x_0}^{x_1}$| +{{url>https://wiki.mexle.org/_export/revealjs/elektronische_schaltungstechnik/rechnung_betragundphase_umkehrintegrator?theme=dokuwiki&fade=fade&controls=1&show_progress_bar=1&build_all_lists=1&show_image_borders=0&horizontal_slide_level=2&enlarge_vertical_slide_headers=0&size=2524x128#/ 1024,108 left noborder}} 
-|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot [- \color{blue}{\hat{U}_E \over \omega} \cdot cos(\omega \cdot t) ]_{t_0}^{t_1} + U_{A0}$  |Konstante vor Integral setzen| | +
-|$U_A = { 1 \over {R\cdot C} }\cdot {\hat{U}_E \over \omega} \cdot \color{blue}{[ cos(\omega \cdot t) ]_{t_0}^{t_1}} + U_{A0}$  |Grenzwerte einsetzen|$t_0=0$, $t_1=t$| +
-|$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot ( cos(\omega \cdot t) - \color{blue}{cos(0)} ) + U_{A0}$  | |$\color{blue}{cos(0)}=1$| +
-|$U_A = \color{blue}{{{ \hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot (} cos(\omega \cdot t) - 1 \color{blue}{)} + U_{A0}$  |Ausmultiplizieren| | +
-|$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t) \color{blue}{-{ {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C}} + U_{A0}}$  |Betrachtung der nicht-Kosinus-Terme|Dieser Teil ist zeitlich unabhängig. Da wir von rein sinusförmigen Größen ausgehen, muss die für die anfängliche Spannung des Kondensators gelten: $U_{C0} = U_{A0}={{\hat{U}_E} \over {\omega \cdot R\cdot C}}$| +
-|<WRAP hi>$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t)$</WRAP>| | |+
  
 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
Zeile 317: Zeile 314:
 \\ {{drawio>Skizze_des_Bodediagramms_vom_Umkehrintegrator}} \\ {{drawio>Skizze_des_Bodediagramms_vom_Umkehrintegrator}}
 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
-Der **Betrag**  $|A_v|$ ist über das Amplitudenverhältnis von $\hat{U}_A \over \hat{U}_E$ gegeben: $$|A_v|={\hat{U}_A \over \hat{U}_E} = {1 \over {\omega \cdot R\cdot C}} $$+Der **Betrag**  $|A_V|$ ist über das Amplitudenverhältnis von $\hat{U}_A \over \hat{U}_E$ gegeben: $$|A_V|={\hat{U}_A \over \hat{U}_E} = {1 \over {\omega \cdot R\cdot C}} $$
  
 Die **Phase**  lässt sich aus dem "zeitlichen Versatz" des Spitzenwerts von Eingangsspannung $U_E = \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$ und Ausgangsspannung $U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t)$ ermitteln. Die Phase ist durch die Betrachtung der trigonometrischen Funktionen und dem Vorzeichen gegeben:  Die **Phase**  lässt sich aus dem "zeitlichen Versatz" des Spitzenwerts von Eingangsspannung $U_E = \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$ und Ausgangsspannung $U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t)$ ermitteln. Die Phase ist durch die Betrachtung der trigonometrischen Funktionen und dem Vorzeichen gegeben: 
Zeile 329: Zeile 327:
 === Extremalwertbetrachtung === === Extremalwertbetrachtung ===
  
-Um den den Verlauf im Bodediagramm skizzieren zu können, soll das **Verhalten der Übertragungsfunktion $U_A=f(U_E)$ in den Extremfällen für niedrige (${\omega}\rightarrow 0$) und hohe Frequenzen (${\omega}\rightarrow \infty$)** betrachtet werden. Für Betrag $|A_v|$ und Phase $\varphi$ ergibt sich:+Um den den Verlauf im Bodediagramm skizzieren zu können, soll das **Verhalten der Übertragungsfunktion $U_A=f(U_E)$ in den Extremfällen für niedrige (${\omega}\rightarrow 0$) und hohe Frequenzen (${\omega}\rightarrow \infty$)** betrachtet werden. Für Betrag $|A_V|$ und Phase $\varphi$ ergibt sich:
  
-$ |A_v({\omega}\rightarrow 0 \ \; )| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow 0}\quad \infty$ \\ +$ |A_V({\omega}\rightarrow 0 \ \; )| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow 0}\quad \infty$ \\ 
-$ |A_v({\omega}\rightarrow\infty)| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow\infty}\quad 0$ \\+$ |A_V({\omega}\rightarrow\infty)| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow\infty}\quad 0$ \\
  
 $\varphi = +90° \qquad \forall \ \omega$ $\varphi = +90° \qquad \forall \ \omega$
Zeile 344: Zeile 342:
 In den vorherigen Kapiteln war zu sehen, dass die Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen bereits bei einer einfachen Schaltung wie dem Umkehrintegrator sehr zäh und rechenintensiv ist. Es soll nun die komplexe Rechnung als eine Methode betrachtet werden, welche die Analyse solcher Schaltungen vereinfacht. Für die komplexe Rechnung werden die Widerstände und Kapazitäten durch komplexe Impedanzen ersetzt: In den vorherigen Kapiteln war zu sehen, dass die Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen bereits bei einer einfachen Schaltung wie dem Umkehrintegrator sehr zäh und rechenintensiv ist. Es soll nun die komplexe Rechnung als eine Methode betrachtet werden, welche die Analyse solcher Schaltungen vereinfacht. Für die komplexe Rechnung werden die Widerstände und Kapazitäten durch komplexe Impedanzen ersetzt:
  
-$U_R=R\cdot I \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rightarrow \underline{U}_} = R \cdot \underline{I}$ \\+$U_R=R\cdot I \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rightarrow \underline{U}_R = R \cdot \underline{I}$ \\
 $U_C={ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C \ dt+ Q_0(t_0)) \qquad  \rightarrow \underline{U}_C = \underline{Z}_C \cdot \underline{I} \quad$ mit $\quad \underline{Z}_C= \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C}$ \\ $U_C={ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C \ dt+ Q_0(t_0)) \qquad  \rightarrow \underline{U}_C = \underline{Z}_C \cdot \underline{I} \quad$ mit $\quad \underline{Z}_C= \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C}$ \\
  
Zeile 380: Zeile 378:
 === Betrag und Phase === === Betrag und Phase ===
  
-<WRAP right>+<WRAP right><panel type="default"> 
 <imgcaption pic6| Verlauf des Arcustangens> <imgcaption pic6| Verlauf des Arcustangens>
-{{elektronische_schaltungstechnik:arctangent.svg?400}} 
 </imgcaption> </imgcaption>
-</WRAP>+\\ {{drawio>Verlauf_Arcustangens}} 
 +</panel></WRAP>
  
 Als Betrag $A_V$ ergibt sich:  Als Betrag $A_V$ ergibt sich: 
Zeile 430: Zeile 428:
 \\ {{drawio>Schaltung_des_aktiven_Tiefpasses}} \\ {{drawio>Schaltung_des_aktiven_Tiefpasses}}
 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
 +
 +Eine weitere Schaltung lässt sich aus dem Umkehrintegrator ableiten. Dazu soll der bisherig rein kapazitive Wert der Impedanz zwischen Ausgangsseite und virtueller Masse durch einen ohmschen Anteil ergänzt werden. Diese Schaltung ist in <imgref pic7_1> zu sehen.
 +Im Folgenden soll diese Schaltung
 +  * mit einer Simulation zunächst praktisch betrachtet werden,
 +  * dann ohne ausführliche Rechnung ein Bild der Systemwirkung erstellt werden und abschließend
 +  * durch eine Schaltungsanalyse mit komplexer Rechnung überprüft werden.
  
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +=== Tiefpass in der Simulation ===
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+55+5+50%0A%25+4+984968.4014609919%0Ag+288+192+288+240+0%0Aw+432+96+432+176+0%0Aw+288+96+288+160+0%0Aa+288+176+432+176+4+15+-15+10000000%0Ac+368+96+416+96+0+5.000000000000001e-7+0.16559840149986407%0Ar+192+96+288+96+0+500%0AO+432+176+496+176+0%0A170+192+96+144+96+2+20+4000+5+0.1%0Ar+368+48+416+48+0+100%0Aw+432+48+432+96+0%0Aw+288+48+288+96+0%0AB+304+16+416+128+0+Box%0As+368+48+304+48+0+0+false%0As+368+96+304+96+0+0+false%0Aw+288+48+304+48+0%0Aw+288+96+304+96+0%0Aw+416+96+432+96+0%0Aw+416+48+432+48+0%0Ax+324+41+346+44+0+18+S1%0Ax+322+91+344+94+0+18+S2%0Ao+0+32+0+34+10+0.0125+0+-1%0A 800,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.000005+5+63+5+50%0A%25+4+984968.4014609919%0Ag+208+208+208+256+0%0Aw+352+112+352+192+0%0Aw+208+112+208+176+0%0Aa+208+192+352+192+4+15+-15+100000000%0Ac+288+112+336+112+0+1.5915000000000002e-7+0.16559840149986407%0Ar+112+112+208+112+0+10000%0AO+352+192+416+192+0%0A170+112+112+64+112+2+20+4000+5+0.1%0Ar+288+64+336+64+0+1000%0Aw+352+64+352+112+0%0Aw+208+64+208+112+0%0AB+224+32+336+144+0+Box%0As+288+64+224+64+0+0+false%0As+288+112+224+112+0+0+false%0Aw+208+64+224+64+0%0Aw+208+112+224+112+0%0Aw+336+112+352+112+0%0Aw+336+64+352+64+0%0Ax+229+53+251+56+0+18+S1%0Ax+229+98+251+101+0+18+S2%0Ao+0+32+0+34+10+0.0125+0+-1%0A 600,500 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
-In der Simulation können durch die Schalter verschiedene Rückkoppelpfade deaktiviert werden. Damit wird die Schaltung zum Umkehrintegrator oder zum invertierenden Verstärker. Unten in der Simulation ist das Bode-Diagramm skizziert. Mit Klick auf das Bode-Diagramm wird die zur Frequenz passende Aufteilung des Stroms in der Schaltung dargestellt.+In der Simulation rechts ist die Schaltung aus <imref pic7_1> nochmals dargestellt. Zusätzlich sind in der Schaltung zwei Schalter $S1$ und $S2$ verbaut, durch welche die verschiedenen Rückkoppelpfade deaktiviert werden können: 
 +  - Ist nur der Schalter $S1$ geschlossen, so ist die Schaltung ein invertierender Verstärker.  
 +  - Ist nur der Schalter $S2$ geschlossen, so ist die Schaltung ein Umkehrintegrator.  
 +In der Simulation ist unten das Bode-Diagramm skizziert. Mit Klick auf das Bode-Diagramm wird die zur Frequenz passende Aufteilung des Stroms in der Schaltung dargestellt und - neben dem Bode-Diagramm - auch die Verstärkung in $dB$, bzw. die Phase in Grad.
  
-Die Schaltung soll im Folgenden aus zwei Richtungen betrachtet werden: Einerseits kann bereits ohne ausführliche Rechnung ein gutes Bild des Systemwirkung erstellt werden. Diese soll im Anschluss durch eine Schaltungsanalyse mit komplexer Rechnung überprüft werden.+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
 +<panel type="info" title="Aufgabe 5.2.1. Schaltungsanalyse in der Simulation"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 +
 +  - Stellen Sie zunächst einen invertierender Verstärker ein und lesen Sie die Verstärkung und Phase ab (Klick auf das Bode-Diagramm).
 +  - Ändern Sie die Schaltung nun zum Umkehrintegrator und lesen Sie dort ebenso die Verstärkung und Phase ab.
 +  - Nun sollen beide Schalter geschlossen sein. 
 +    - In welchen Frequenzbereichen wirkt nun annäherungsweise der invertierender Verstärker bzw. der Umkehrintegrator? 
 +    - Betrachten Sie bei verschiedenen Frequenzen die Aufteilung der Ströme in der Schaltung. Bei welcher Frequenz teilt sich der Strom etwa gleich auf den $1k\Omega$-Widerstand und dem Kondensator etwa gleichmäßig auf? Welchen Wert hat hier die Verstärkung und Phase?
 +    - Nach dem Durchlesen der folgenden Analysen ist die Verstärkung und Phase an dem "Knickpunkt" ermittelbar. Weichen diese von Ihrer Messung ab?
 +
 +</WRAP></WRAP></panel>
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
Zeile 526: Zeile 544:
 Für die Berechnung des Betrags $A_V$ kann ein "Trick" angewandt werden. Prinzipiell kann der Betrag immer durch die Multiplikation mit dem konjungiert komplexen Wert ermittelt werden. Hier ist es aber einfacher den Betrag des Bruchs über den Betrag von Zähler und Betrag von Nenner zu berechnen: Für die Berechnung des Betrags $A_V$ kann ein "Trick" angewandt werden. Prinzipiell kann der Betrag immer durch die Multiplikation mit dem konjungiert komplexen Wert ermittelt werden. Hier ist es aber einfacher den Betrag des Bruchs über den Betrag von Zähler und Betrag von Nenner zu berechnen:
  
-$|\underline{A}_V| = |... \cdot \frac{...}{...}| = |...| \cdot  \frac{|...|}{|...|}$+$|\underline{A}_V| = |\mathcal{a} \cdot \frac{\mathcal{b}}{\mathcal{c}}| = |\mathcal{a}| \cdot  \frac{|\mathcal{b}|}{|\mathcal{c}|}$
  
 Damit ergibt sich für den Betrag: Damit ergibt sich für den Betrag:
Zeile 540: Zeile 558:
 $\underline{A}_V= \color{blue}{- \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{1 + j \omega \cdot R_2 \cdot C}} \cdot \frac{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}{\color{blue}{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}}$ $\underline{A}_V= \color{blue}{- \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{1 + j \omega \cdot R_2 \cdot C}} \cdot \frac{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}{\color{blue}{1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C}}$
  
-Es wird ja gerade der konjungiert komplexe Wert multipliziert, um einen reellen Nenner zu erhalten. Damit ist der blau markierte Teil eine reale Konstante $\mathcal{C}$:+Es wird ja gerade der konjungiert komplexe Wert multipliziert, um einen reellen Nenner zu erhalten. Damit ist der blau markierte Teil eine reale Konstante $\mathcal{C}$, da alle Faktoren der Konstante real sind:
  
 $\underline{A}_V= \color{blue}{\mathcal{C}} \cdot (1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C)$ $\underline{A}_V= \color{blue}{\mathcal{C}} \cdot (1 - j \omega \cdot R_2 \cdot C)$
Zeile 546: Zeile 564:
 Damit ergibt sich die Phase $\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{\Im(\underline{A}_V)}}{\color{brown}{\Re(\underline{A}_V)}}\right)$ als Damit ergibt sich die Phase $\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{\Im(\underline{A}_V)}}{\color{brown}{\Re(\underline{A}_V)}}\right)$ als
  
-$\underline{A}_V= \mathcal{C} \cdot (\color{brown}{1} + j \cdot \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C})$+$\underline{A}_V= \mathcal{C} \cdot (\color{brown}{1} + j \cdot (\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}))$
  
 $\boxed{\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}}{\color{brown}{1}}\right)}$ $\boxed{\varphi = arctan\left(\frac{\color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}}{\color{brown}{1}}\right)}$
  
 \\ \\
-=== Extermalwertbetrachtung ===+=== Extremalwertbetrachtung ===
  
 Für den __Betrag__ ergibt sich  Für den __Betrag__ ergibt sich 
-  - bei $\omega \rightarrow 0$:  \\ $|\underline{A}_V| =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 }}$, da $\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2} \gg 1$ \\ Der Betrag der Verstärkung geht also gegen $|\underline{A}_V| = \frac{R_2}{R_1}$. \\ Die Wirkung gleicht dem invertierenden Verstärker \\ \\ +  - bei $\omega \rightarrow 0$:  \\ $|\underline{A}_V| =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 }}$, (nbsp) (nbsp) da $\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2} \gg 1$ \\ Der Betrag der Verstärkung geht also gegen $|\underline{A}_V| = \frac{R_2}{R_1}$. \\ Die Wirkung gleicht dem invertierenden Verstärker \\ \\ 
-  - bei $\omega \rightarrow \infty$: \\ $|\underline{A}_V| =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} $, da $\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2} \ll 1$  \\ Der Betrag der Verstärkung geht also gegen $|\underline{A}_V| = \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{(\omega \cdot} R_1 \color{blue}{\cdot C)^2}}}$. \\ Die Wirkung gleicht dem Umkehrintegrator+  - bei $\omega \rightarrow \infty$: \\ $|\underline{A}_V| =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} $, (nbsp) (nbsp) da $\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2} \ll 1$  \\ Der Betrag der Verstärkung geht also gegen $|\underline{A}_V| = \frac{1}{\color{blue}{\omega \cdot} R_1 \color{blue}{\cdot C}}$. \\ Die Wirkung gleicht dem Umkehrintegrator
  
-<WRAP right><panel type="default"> +<WRAP right> 
 +<panel type="default"> 
 <imgcaption pic20|Arcustangens> <imgcaption pic20|Arcustangens>
 </imgcaption> \\  </imgcaption> \\ 
 +
 +<collapse id="openAni1" collapsed="true"><well>
 {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/t2abuwjr/width/730/height/400/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 450,250 noborder}} {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/t2abuwjr/width/730/height/400/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 450,250 noborder}}
-</panel></WRAP>+</well></collapse> 
 + 
 +<collapse id="openAni1" collapsed="false"> 
 +<button type="warning" collapse="openAni1">Zur Betrachtung der Animation: hier klicken!</button> 
 +</collapse> 
 +  
 +</panel> 
 +</WRAP>
  
  
Zeile 568: Zeile 596:
   - bei $\omega \rightarrow \infty$:  \\ Das Argument $Arg = \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}$ geht gegen $-\infty$.    - bei $\omega \rightarrow \infty$:  \\ Das Argument $Arg = \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}$ geht gegen $-\infty$. 
  
-Im Diagramm ist durch den Regler oben links das Argument $Arg$ veränderbar. Der Verlauf von $Arg \rightarrow -0$ bis $Arg \rightarrow -\infty$ im Diagramm muss kontinuierlich sein, da auch das Argument $Arg = \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}$ kontinuerlich verläuft. Das ist nur auf dem __oberen Ast__ möglich: Der Punkt $Arg \rightarrow -0$ entspricht dann gerade dem Annähern an die y-Achse (hier $\color{red}{\varphi}$-Achse) von links in <imgref pic20>. Der Punkt $Arg \rightarrow -\infty$ entspricht dem Weg nach links im Diagramm.+Im Diagramm ist durch den Regler oben links das Argument $Arg$ veränderbar. Der Verlauf im Diagramm muss kontinuierlich sein, da auch das Argument $Arg = \color{teal}{-\omega \cdot R_2 \cdot C}$ zwischen $-0$ und $-\infty$ kontinuierlich verläuft. Das ist nur auf dem __oberen Ast__ möglich: Der Punkt $Arg \rightarrow -0$ entspricht dann gerade dem Annähern an die y-Achse (hier $\color{red}{\varphi}$-Achse) von links in <imgref pic20>. Der Punkt $Arg \rightarrow -\infty$ entspricht dem Weg nach links im Diagramm.
  
-Daraus ergibt sich ein Verlauf der Phase $\color{red}{\varphi}$ von $\color{red}{\varphi}($\omega \rightarrow 0$)=\pi$ zu $\color{red}{\varphi}($\omega \rightarrow \infty$)=frac{\pi}{2}$.+Daraus ergibt sich ein Verlauf der Phase $\color{red}{\varphi}$ von $\color{red}{\varphi}(\omega \rightarrow -0)=\pi = 180°$ zu $\color{red}{\varphi}(\omega \rightarrow -\infty)=\frac{\pi}{2} = 90°$.
  
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 === Berechnung der Grenzfrequenz === === Berechnung der Grenzfrequenz ===
  
-Bei der Grenzfrequenz lässt sich auch so verstehen, dass dort gerade der Übergang vom invertierenden Inverter zum Umkehrintegrator stattfindet. Im Bode-Diagramm (<imgref pic10>) ist die Grenzfrequenz gerade beim Schnittpunkt der Geraden für invertierenden Inverter und Umkehrintegrator zu finden. +Bei der Grenzfrequenz lässt sich auch so verstehen, dass dort gerade der Übergang vom invertierenden Verstärker zum Umkehrintegrator stattfindet. Im Bode-Diagramm (<imgref pic10>) ist die Grenzfrequenz gerade beim Schnittpunkt der Geraden für invertierenden Verstärker und Umkehrintegrator zu finden. 
  
 Es ergibt sich also für die Grenzfrequenz $f_{Gr}$ Es ergibt sich also für die Grenzfrequenz $f_{Gr}$
Zeile 581: Zeile 609:
 $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{\omega_{Gr} R_1 \cdot C}$ \\ $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{\omega_{Gr} R_1 \cdot C}$ \\
 $\omega_{Gr} = \frac{1}{ R_2 \cdot C} = 2 \pi \cdot f_{Gr}$ $\omega_{Gr} = \frac{1}{ R_2 \cdot C} = 2 \pi \cdot f_{Gr}$
 +
 +Bei der Grenzfrequenz ergibt sich ein Betrag von: 
 +
 +$|\underline{A}_{V,Gr}| =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\omega_{Gr} \cdot R_2 \cdot C)^2}}=  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\frac{1}{ R_2 \cdot C} \cdot R_2 \cdot C)^2}} =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
 +
 +$\boxed{|\underline{A}_{V,Gr}| =  \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{R_2}{R_1} = -3dB + |\underline{A}^{dB}_V(\omega \rightarrow 0)|}$
 +
 +Die Phase bei der Grenzfrequenz ist:
 +
 +$\varphi_{Gr} = arctan\left(-\omega_{Gr} \cdot R_2 \cdot C\right) = arctan\left(-\frac{1}{ R_2 \cdot C} \cdot R_2 \cdot C\right) = arctan\left(-1 \right)$ 
 +
 +$\boxed{\varphi_{Gr} = \frac{3}{4} \pi =135°}$
 +
 +Aufgrund der Abschwächung der niederfrequenten Verstärkung um $-3dB$ bei der Grenzfrequenz wird diese auch **$-3dB$-Grenzfrequenz** genannt.
 +
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +===== 5.3 Umkehrdifferentiator =====
 +
 +<WRAP right><panel type="default"> 
 +<imgcaption pic11_1| Schaltung des Umkehrdifferentiators>
 +</imgcaption>
 +\\ {{drawio>Schaltung_des_Umkehrdifferentiators}}
 +</panel></WRAP>
 +
 +<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.000049999999999999996+1.9265835257097934+41+5+43%0Aa+288+128+384+128+8+15+-15+1000000+-0.000039999600019248555+0+100000%0Aw+384+112+384+80+0%0Ac+208+112+160+112+0+5.000000000000001e-7+-3.42003999865076%0Aw+288+80+288+112+0%0Ar+384+80+288+80+0+10000%0Ag+288+144+288+176+0%0AR+128+112+96+112+0+3+40+5+0+0+0.5%0A207+384+128+432+128+4+U_A%0A403+320+208+464+272+0+7_8_0_12294_4.008796818347498_0.0001_0_2_7_3_U%5CsA%0A207+128+112+128+144+4+U_E%0Aw+384+112+384+128+0%0A403+112+208+256+272+0+9_8_0_12294_4.9840000009474466_0.0001_0_2_9_3_U%5CsE%0Aw+128+112+160+112+0%0Aw+272+112+288+112+0%0Ar+208+112+272+112+0+10%0A 600,400 noborder}}
 +</WRAP>
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +
 +<WRAP right><panel type="default"> 
 +<imgcaption pic11| Bode-Diagramm des Umkehrdifferentiators>
 +</imgcaption>
 +\\ {{drawio>Bode_Diagramm_des_Umkehrdifferentiators}}
 +</panel></WRAP>
 +
 +
 +In <imgref pic11_1> ist ein Umkehrdifferentiator dargestellt. Im Vergleich zum Integrator ist hier gerade der Widerstand und der Kondensator vertauscht. 
 +
 +In der Simulation daneben ist die Wirkung der Schaltung zu sehen: die Ableitung des invertierten Eingangssignal wird am Ausgang ausgegeben. Die Ableitung an den Umkehrpunkten ("Spitzen") des Signals ist nicht ermittelbar (siehe [[wpde>Differenzierbarkeit#Betragsfunktion|Differenzierbarkeit der Betragsfunktion]]). Dies führt bei der Simulation zu Problemen bei der Berechnung und ist als Überschwingen bzw. "Ausschlag" bei $U_A$ zu sehen. Um diese zu reduzieren, ist ein (im Verhältnis zum  Rückkoppelwiderstand) kleiner Widerstand hinter dem Kondensator eingefügt.
 +
 +Im Folgenden soll ohne Herleitung nur auf die Ergebnisse eingegangen werden.
 +
 +Die Schaltungsanalyse über Differentialgleichung ergibt:
 +
 +$\boxed{U_A = - R \cdot C \frac{d}{dt}U_E}$
 +
 +Mit komplexer Rechnung wird die Übertragungsfunktion zu: 
 +
 +$\boxed{\underline{A}_V=-j \cdot \omega \cdot R \cdot C}$
 +
 +Daraus lässt sich das in <imgref pic11> abgebildete Bode-Diagramm ermitteln.
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +<panel type="info" title="Aufgabe 5.3.1 Umkehrdifferentiator"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 +
 +<WRAP right>
 +{{drawio>Vorgabe_Zeitverlauf_Umkehrintegrator}}</WRAP>
 +
 +Leiten Sie für den in <imgref pic11_1> dargestellten Umkehrdifferentiator die komplexe Spannungsverstärkung, sowie deren Betrag und Phase mittels komplexer Rechnung wie für den [[#umkehrintegrator]] dargestellt her. Setzen Sie dabei folgende Schritte um:
 +
 +  - Schaltungsanalyse mittels Differentialgleichung
 +  - Ermittlung von Betrag und Phase aus Differentialgleichung (incl. Betrachtung der Extremfälle)
 +  - Beispiel eines Signal-Zeit-Verlaufs mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 2µF$ und $U_E$ wie rechts dargestellt
 +  - Schaltungsanalyse mittels komplexer Rechnung
 +  - Betrachtung von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$
 +  - Frequenzgang (Bode-Diagramm) für Schaltung mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 16nF$
 +
 +</WRAP></WRAP></panel>
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +===== 5.4 Hochpass =====
 +
 +<WRAP left>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.000005+5+63+5+50%0A%25+4+984968.4014609919%0Ag+240+176+240+224+0%0Aw+384+80+384+160+0%0Aw+240+80+240+144+0%0Aa+240+160+384+160+4+15+-15+10000000000%0Ac+144+80+208+80+0+1.5915e-9+0.16559840149986407%0Ar+80+80+144+80+0+10000%0AO+384+160+448+160+0%0A170+80+80+32+80+2+2+400000+0.005+0.1%0Ar+256+80+368+80+0+1000%0AB+64+48+224+160+0+Box%0As+144+112+80+112+0+1+false%0As+208+112+144+112+0+1+false%0Aw+240+80+256+80+0%0Aw+368+80+384+80+0%0Ax+78+147+100+150+0+18+S1%0Ax+149+149+171+152+0+18+S2%0Aw+144+80+144+112+0%0Aw+80+80+80+112+0%0Aw+208+80+208+112+0%0Aw+208+80+240+80+0%0Ao+0+32+0+34+10+0.0125+0+-1%0A 600,500 noborder}}
 +</WRAP>
 +
 +<WRAP right><panel type="default"> 
 +<imgcaption pic12_1| Schaltung des Hochpass-Filter>
 +</imgcaption>
 +\\ {{drawio>Schaltung_des_Hochpass_Filter}}
 +</panel></WRAP>
 +
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +
 +<WRAP right><panel type="default"> 
 +<imgcaption pic12| Bode-Diagramm des Hochpass-Filter>
 +</imgcaption>
 +\\ {{drawio>Bode_Diagramm_des_Hochpass_Filter}}
 +</panel></WRAP>
 +
 +Aus dem Umkehrdifferentiator lässt sich ein Hochpass erstellen, wenn die rein kapazitive Impedanz für $Z_1$ geeignet über einen ohmschen Anteil erweitert wird (<imgref pic12_1>). Die Simulation oben zeigt diesen Hochpass. Aus diesem bildet sich bei geschlossenem Schalter $S1$ und offenem Schalter $S2$ ein Umkehrintegrator. Bei umgekehrter Schalterstellung bildet sich ein invertierender Verstärker. In der Simulation ist durch Klick auf einen Frequenzpunkt wieder die Aufteilung der Ströme zu sehen.
 +
 +Mit komplexer Rechnung ergibt sich hierfür: $\boxed{\underline{A}_V = - \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{j \cdot \omega \cdot R_1 \cdot C}{1 + j \cdot \omega \cdot R_1 \cdot C}} $
 +
 +Daraus lässt sich das in <imgref pic12> abgebildete Bode-Diagramm ermitteln.
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +<panel type="info" title="Aufgabe 5.4.1 Hochpass 1. Ordnung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 +
 +Im [[#tiefpass|vorangegangenen Kapitel]] wurde die Verstärkung $A_V$ des Tiefpasses 1. Ordnung auf Basis seiner Schaltung hergeleitet. In gleicher Weise soll nun die Verstärkung für einen Hochpass (vgl. <imgref pic12_1>) hergeleitet werden.
 +
 +  - Verhalten von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$
 +  - Erwartetes Bode-Diagramm
 +  - RC-Glied und Grenzfrequenz
 +  - Schaltungsanalyse mit komplexer Rechnung
 +  - Berechnung von Betrag und Phase
 +
 +</WRAP></WRAP></panel>
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +===== 5.5 Übersicht Hochpass / Tiefpass =====
 +
 +<WRAP right><panel type="default"> 
 +<imgcaption pic13| Übersicht Hochpass / Tiefpass>
 +</imgcaption>
 +\\ {{drawio>Übersicht_Hochpass_Tiefpass}}
 +</panel></WRAP>
  
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
Zeile 609: Zeile 754:
 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
  
-<panel type="info" title="Aufgabe 5.0.2. Analyse von Schaltungen in Tina TI"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>+<panel type="info" title="Aufgabe 5.1.1 Analyse von Schaltungen in Tina TI"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
  
-<WRAP right> {{  elektronische_schaltungstechnik:umkehrintegrator.jpg?400|umkehrintegrator.jpg}}</WRAP>+<WRAP right> 
 +{{drawio>Umkehrintegrator}}</WRAP>
  
 Gegeben sei nebenstehende Schaltung mit $R= 10 k\Omega$, $C = 1,6 uF$ und einer sinusförmigen Eingangsspannung $U_E = 1 V $ mit $f = 1 kHz$. Wie im Kurs beschrieben, lässt sich das Bode-Diagramm in Tina TI über Analysis > AC Analysis > AC Transfer Characteristic darstellen. Relevant sind im folgenden Frequenzen von 100 Hz bis 1 GHz. Gegeben sei nebenstehende Schaltung mit $R= 10 k\Omega$, $C = 1,6 uF$ und einer sinusförmigen Eingangsspannung $U_E = 1 V $ mit $f = 1 kHz$. Wie im Kurs beschrieben, lässt sich das Bode-Diagramm in Tina TI über Analysis > AC Analysis > AC Transfer Characteristic darstellen. Relevant sind im folgenden Frequenzen von 100 Hz bis 1 GHz.
Zeile 627: Zeile 773:
       - Welche Grenzfrequenz ergibt sich?       - Welche Grenzfrequenz ergibt sich?
       - Mit wieviel dB pro Dekade fällt der Amplitudengang bei hohen Frequenzen ab?       - Mit wieviel dB pro Dekade fällt der Amplitudengang bei hohen Frequenzen ab?
- 
-</WRAP></WRAP></panel> 
- 
- 
-<panel type="info" title="Aufgabe 5.2.1. Umkehrdifferentiator"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> 
- 
-<WRAP right> {{  elektronische_schaltungstechnik:umkehrdifferentiator.jpg?300|umkehrdifferentiator.jpg}} \\ {{  elektronische_schaltungstechnik:vorgabezeitverlaufumkehrdifferentiator.jpg?300|vorgabezeitverlaufumkehrdifferentiator.jpg}}</WRAP> 
- 
-Leiten Sie für den rechts dargestellten Umkehrdifferentiator die komplexe Spannungsverstärkung, sowie deren Betrag und Phase mittels komplexer Rechnung wie oben dargestellt her. Zeichnen Sie zusätzlich ein passendes Bode-Diagramm 
- 
-  - Schaltungsanalyse mittels Differentialgleichung 
-  - Ermittlung von Betrag und Phase aus Differentialgleichung (incl. Betrachtung der Extremfälle) 
-  - Beispiel eines Signal-Zeit-Verlaufs mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 2µF$ und $U_E$ wie rechts dargestellt 
-  - Schaltungsanalyse mittels komplexer Rechnung 
-  - Betrachtung von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$ 
-  - Frequenzgang (Bode-Diagramm) für Schaltung mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 16nF$ 
- 
-</WRAP></WRAP></panel> 
- 
- 
-<panel type="info" title="Aufgabe 5.2.1 Tiefpass 1. Ordnung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> 
- 
-Bevor der Tiefpass in der Vorlesung durchgesprochen wird, sollen hier bereits die Grundlagen dazu gelegt werden. 
-versuchen Sie folgende Fragen zu beantworten:  
-  - Welchen Amplitudengang erwarten Sie für einen Tiefpass? 
-  - Untersuchen Sie folgende [[http://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?cct=$+1+5.0000000000000004e-8+19.867427341514983+59+5+50%0Ag+96+176+96+192+0%0Aw+336+112+336+160+0%0Aw+192+80+192+112+0%0Aw+192+112+192+144+0%0Aa+192+160+336+160+8+15+-15+1000000+-0.0000066077435286038724+0+100000%0Ac+192+112+272+112+0+1e-8+-0.6607809606039158%0AO+336+160+400+160+0%0Aw+96+64+128+64+0%0Ar+128+64+192+64+0+1000%0Av+96+64+96+176+0+2+7900+1+0+0.017453292519943295+0.5%0Ar+224+64+272+64+0+3000%0Aw+336+64+336+112+0%0Aw+192+64+192+80+0%0As+272+64+336+64+0+0+false%0Ag+192+176+192+192+0%0Aw+224+64+192+64+0%0As+272+112+336+112+0+0+false%0Ax+349+108+378+111+4+24+S2%0Ax+348+71+377+74+4+24+S1%0Ao+6+32+0+12290+2.7611289785013886+0.0001+0+3+7+0+7+3+integral%0A38+9+3+1000+70000+Frequency%0A|Simulation in Falstad]]. In der Schaltung kann mit den Schalter S1 und S2 ein Teil des Rückkoppelpfades deaktiviert werden.  
-    - Wie heißen die Schaltungen, welche sich ergeben, wenn jeweils nur ein Schalter geschlossen ist?  
-    - Zunächst sollen beide Schalter geschlossen sein. Wie ändert sich die Amplitude der ausgegebenen Spannung (grüne Linie im Oszilloskop), wenn Sie über den Schieberegler rechts die Frequenz der Eingangsspannung ändern?  
-    - Nun soll die Situation mit beiden Schaltern geschlossen mit der Situation jeweils nur ein Schalter geschlossen verglichen werden. Stellen Sie dazu zunächst eine höhere Frequenz ein (z.B. 20...30 kHz) und vergleichen Sie S1=S2=geschlossen mit nur einem Schalter geschlossen.  
- 
-</WRAP></WRAP></panel> 
- 
- 
-<panel type="info" title="Aufgabe 5.2.2 Hochpass 1. Ordnung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> 
- 
-<WRAP right> {{  elektronische_schaltungstechnik:hochpass.jpg?300|hochpass.jpg}}</WRAP> 
- 
-In der Vorlesung haben wir die Verstärkung $A_V$ des Tiefpasses 1. Ordnung auf Basis seiner Schaltung hergeleitet. In gleicher Weise soll nun die Verstärkung für einen Hochpass hergeleitet werden. 
- 
-  - Verhalten von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$ 
-  - Erwartetes Bode-Diagramm 
-  - RC-Glied und Grenzfrequenz 
-  - Schaltungsanalyse mit komplexer Rechnung 
-  - Berechnung von Betrag und Phase 
  
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-| <imgref pic5>: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen  | Public Domain  | https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif                                | +| <imgref pic6>: Verlauf des Arcustangens  | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/|CC-BY-SA 4.0]]  | https://de.m.wikipedia.org/wiki/Datei:Arctangent.svg  |
-| <imgref pic6>: Verlauf des Arcustangens  | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/|CC-BY-SA 4.0]]  | https://de.m.wikipedia.org/wiki/Datei:Arctangent.svg                                | +
-| <imgref pic11>: Verlauf der Funktion Arcustangens2  | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de|CC-BY-SA 3.0]]  | https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Arctangent2.svg                              |+
  
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