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elektronische_schaltungstechnik:5_filterschaltungen_i [2020/05/21 14:58]
tfischer 		elektronische_schaltungstechnik:5_filterschaltungen_i [2022/06/01 22:09] (aktuell)
tfischer [5 Filterschaltungen]
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   * Auch für die Grundschaltungen II ist sind die [[https://www.mikrocontroller.net/articles/Operationsverst%C3%A4rker-Grundschaltungen|Operationsverstärker-Grundschaltungen auf Microcontroller.net]] zu empfehlen   * Auch für die Grundschaltungen II ist sind die [[https://www.mikrocontroller.net/articles/Operationsverst%C3%A4rker-Grundschaltungen|Operationsverstärker-Grundschaltungen auf Microcontroller.net]] zu empfehlen
   * [[https://rd.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-2146-1|Lehr- und Arbeitsbuch Operationsverstärker (Joachim Federau)]] (über das Hochschulnetz einsehbar)   * [[https://rd.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-2146-1|Lehr- und Arbeitsbuch Operationsverstärker (Joachim Federau)]] (über das Hochschulnetz einsehbar)
 +
 +empfohlene Videos:
 +  * In diesem Kurs wird davon ausgegangen, dass Sie ET2 in diesem Semester gehört haben. \\ Falls dort nicht teilgenommen haben und damit komplexe Impedanzen nicht kennen, kann die Reihe zu [[https://www.youtube.com/watch?v=PoQxSPl0qZU&list=PLQERt4zteWhd5Au48b-pFHqaq47dGFEQQ&ab_channel=OnlinevorlesungElektrotechnik|Wechselstromnetzwerke von Herrn Dr.-Ing. Stefan Schenke]] (4:18 min, 6:07 min, 6:22 min und 4:44 min) für Sie sinnvoll sein.
 +  * Für die Definition des Bodediagramms empfehle ich die folgenden Videos in der angegebenen Reihenfolge:
 +    - das Einführungsvideo von [[https://www.youtube.com/watch?v=2L9nbr9hePU|Herrn Wolfgang Bengfort]] (9:20 min)
 +    - die ersten 4 Videos zum [[https://www.youtube.com/watch?v=bvPHEc6-XtY&list=PLQERt4zteWhetwcM4fVMPLTeXeA99orsT&ab_channel=OnlinevorlesungElektrotechnik|Bodediagramm von Herrn Dr.-Ing. Stefan Schenke]] (6:23 min, 5:34 min, 12:25 min und 9:41 min)
 </callout> </callout>
  
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 === Einführendes Beispiel=== === Einführendes Beispiel===
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?cct=$+1+0.00009999999999999999+2.008553692318767+41+5+43%0Aa+288+128+384+128+8+15+-15+1000000+-0.000058679015510918+0+100000%0Aw+384+112+384+64+0%0Ac+384+64+288+64+0+5.000000000000001e-7+5.867960230107311%0Aw+288+64+288+112+0%0Ar+208+112+288+112+0+1000%0Ar+384+32+288+32+0+1000%0Aw+288+32+288+64+0%0Aw+384+32+384+64+0%0Ag+288+144+288+176+0%0AR+96+128+64+128+0+2+40+5+0+0+0.5%0A207+384+128+384+176+4+U_A1%0A403+304+208+448+272+0+10_4_0_12294_7.438926379638319_0.0001_0_2_10_3_U%5CsA1%0A170+144+96+144+64+2+20+1000+5+0.1%0AS+176+112+144+112+0+0+false+0+2%0Aw+176+112+208+112+0%0A403+160+208+288+272+0+4_4_0_12294_9.983191019672175_0.0001_0_2_4_3_U%5CsE%5Csverrauscht%0A207+96+128+96+160+4+U_E%0Av+144+128+96+128+0+6+4000+5+0+0+0.5%0A207+560+128+560+176+4+U_A2%0Ag+464+144+464+176+0%0Aw+560+32+560+64+0%0Aw+464+32+464+64+0%0Ar+560+32+464+32+0+1000%0Ar+384+112+464+112+0+1000%0Aw+464+64+464+112+0%0Ac+560+64+464+64+0+0.0000015+-5.260573781691551%0Aw+560+128+560+64+0%0Aa+464+128+560+128+8+15+-15+1000000+0.00005260521176479787+0+100000%0Aw+384+112+384+128+0%0A403+480+208+640+272+0+18_4_0_4102_8.4590010899438_0.0001_0_2_18_3_U%5CsA2%0A403+0+208+144+272+0+16_4_0_12294_5.000000000000001_0.0001_0_2_16_3%0A 900,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.00009999999999999999+2.008553692318767+41+5+43%0Aa+288+128+384+128+8+15+-15+1000000+-0.000058679015510918+0+100000%0Aw+384+112+384+64+0%0Ac+384+64+288+64+0+5.000000000000001e-7+5.867960230107311%0Aw+288+64+288+112+0%0Ar+208+112+288+112+0+1000%0Ar+384+32+288+32+0+1000%0Aw+288+32+288+64+0%0Aw+384+32+384+64+0%0Ag+288+144+288+176+0%0AR+96+128+64+128+0+2+40+5+0+0+0.5%0A207+384+128+384+176+4+U_A1%0A403+304+208+448+272+0+10_4_0_12294_7.438926379638319_0.0001_0_2_10_3_U%5CsA1%0A170+144+96+144+64+2+20+1000+5+0.1%0AS+176+112+144+112+0+0+false+0+2%0Aw+176+112+208+112+0%0A403+160+208+288+272+0+4_4_0_12294_9.983191019672175_0.0001_0_2_4_3_U%5CsE%5Csverrauscht%0A207+96+128+96+160+4+U_E%0Av+144+128+96+128+0+6+4000+5+0+0+0.5%0A207+560+128+560+176+4+U_A2%0Ag+464+144+464+176+0%0Aw+560+32+560+64+0%0Aw+464+32+464+64+0%0Ar+560+32+464+32+0+1000%0Ar+384+112+464+112+0+1000%0Aw+464+64+464+112+0%0Ac+560+64+464+64+0+0.0000015+-5.260573781691551%0Aw+560+128+560+64+0%0Aa+464+128+560+128+8+15+-15+1000000+0.00005260521176479787+0+100000%0Aw+384+112+384+128+0%0A403+480+208+640+272+0+18_4_0_4102_8.4590010899438_0.0001_0_2_18_3_U%5CsA2%0A403+0+208+144+272+0+16_4_0_12294_5.000000000000001_0.0001_0_2_16_3%0A 900,400 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
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 === technische Pegel in dB ===  === technische Pegel in dB === 
 <WRAP right> <WRAP right>
-^ Name              ^ Symbol  ^ Formel                          ^ Referenzgröße für 0dB         ^ + 
-| Spannungspegel    | $dBV$   | $20 \cdot log_{10}(V/V_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 1V$        | +^ Name                            ^ Symbol  ^ Formel                            ^ Referenzgröße für 0dB         ^ 
-| Leistungspegel    | $dBm$   | $10 \cdot log_{10}(P/P_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 1mW$       | +| [[wpde>Spannungspegel]]         | $dBV$   | $20dB \cdot log_{10}(V/V_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 1V$        | 
-| Leistungspegel    | $dBW$   | $10 \cdot log_{10}(P/P_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 1W$        | +| [[wpde>Leistungspegel]]         | $dBm$   | $10dB \cdot log_{10}(P/P_{ref})$  | $0dBm  \widehat{=} 1mW$       | 
-| Schalldruckpegel  | $dBA$   | $20 \cdot log_{10}(p/p_{ref})$  | $0dBV  \widehat{=} 20\mu Pa$  |+| [[wpde>Leistungspegel]]         | $dBW$   | $10dB \cdot log_{10}(P/P_{ref})$  | $0dBW  \widehat{=} 1W$        | 
 +| [[wpde>dBFS|Full-Scale-Pegel]]  | $dBFS$  | $20dB \cdot log_{10}(V/V_{max})$  | $0dBFS  \widehat{=} V_{max}$  | 
 +| [[wpde>Schalldruckpegel]]       | $dBA$   | $20dB \cdot log_{10}(p/p_{ref})$  | $0dBA  \widehat{=} 20\mu Pa$  |
 </WRAP> </WRAP>
  
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 <WRAP right> <WRAP right>
 ^ linearer Faktor ^ Pegel [$dB$] ^ ^ linearer Faktor ^ Pegel [$dB$] ^
-| $0,01$ |  $-40dB$ | +| $\times 0,01$ |  $-40dB$ | 
-| $0,1$  |  $-20dB$ | +| $\times 0,1$  |  $-20dB$ | 
-| $1$    |  $0dB$ | +| $\times 1$    |  $0dB$ | 
-| $2$    |  $\approx 6dB$ | +| $\times 2$    |  $\approx +6dB$ | 
-| $10$   |  $20dB$ | +| $\times 10$   |  $+20dB$ | 
-| $100$  |  $40dB$ |+| $\times 100$  |  $+40dB$ |
 </WRAP> </WRAP>
  
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   * **handlichere Zahlenwerte**: Werden sehr große oder sehr kleine lineare Werte benötigt, so hat die Zahl des sich ergebenden Pegel weniger Stellen. Beispiel: $A_V = 10000000 \rightarrow A_V^{dB}= 140dB$. Dadurch ergibt sich auch weniger "Nullen-Zählen".   * **handlichere Zahlenwerte**: Werden sehr große oder sehr kleine lineare Werte benötigt, so hat die Zahl des sich ergebenden Pegel weniger Stellen. Beispiel: $A_V = 10000000 \rightarrow A_V^{dB}= 140dB$. Dadurch ergibt sich auch weniger "Nullen-Zählen".
   * **Bezug zu Sinnesempfindungen**: Sinnesempfindungen wie Helligkeit und Lautstärke wirken nahezu exponentiell. Das bedeutet jede Verzehnfachung der zugrunde liegenden physikalischen Größe (Photonenanzahl oder Schalldruck) wirkt nicht zehnmal so stark, sondern scheint einen additiven Effekt zu haben.   * **Bezug zu Sinnesempfindungen**: Sinnesempfindungen wie Helligkeit und Lautstärke wirken nahezu exponentiell. Das bedeutet jede Verzehnfachung der zugrunde liegenden physikalischen Größe (Photonenanzahl oder Schalldruck) wirkt nicht zehnmal so stark, sondern scheint einen additiven Effekt zu haben.
-  * **leichteres Rechnen**: Durch den Logarithmus in der Definitionsgleichung wird aus jeder Multiplikation von linearen Faktoren eine Addition von Pegeln: \\ $A_V^{dB}(A_1 \cdot A_2) = 20dB \cdot log_{10}(A_1 \cdot A_2) =  20dB \cdot log_{10}(x_1) + 20dB \cdot log_{10}(x_2) = A_V^{dB}(A_1) + A_V^{dB}(A_2) $+  * **leichteres Rechnen**: Durch den Logarithmus in der Definitionsgleichung wird aus jeder Multiplikation von linearen Faktoren eine Addition von Pegeln: \\ $A_V^{dB}(A_1 \cdot A_2) = 20dB \cdot log_{10}(A_1 \cdot A_2) =  20dB \cdot log_{10}(A_1) + 20dB \cdot log_{10}(A_2) = A_V^{dB}(A_1) + A_V^{dB}(A_2) $
  
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 Beispiele: Beispiele:
   - $A_V^{dB}=58dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=58dB = 40dB + 18dB = \color{blue}{2}\cdot 20dB + \color{magenta}{3}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \  A_V = 10^\color{blue}{2} \qquad  \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3} \qquad = 100 \cdot 8 = 800$ \\ \\   - $A_V^{dB}=58dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=58dB = 40dB + 18dB = \color{blue}{2}\cdot 20dB + \color{magenta}{3}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \  A_V = 10^\color{blue}{2} \qquad  \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3} \qquad = 100 \cdot 8 = 800$ \\ \\
-  - $A_V^{dB}=56dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=56dB = 60dB - 24dB = \color{blue}{4}\cdot 20dB + \color{magenta}{-4}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ A_V = 10^\color{blue}{4} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{-4} \qquad = 10000 \cdot \frac{1}{16} = 625$ \\  oder $A_V = 20dB + 36dB = 10^\color{blue}{1} \cdot 2^\color{magenta}{6} = 10 \cdot 64 = 640$ \\ \\+  - $A_V^{dB}=56dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=56dB = 80dB - 24dB = \color{blue}{4}\cdot 20dB + \color{magenta}{-4}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ A_V = 10^\color{blue}{4} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{-4} \qquad = 10000 \cdot \frac{1}{16} = 625$ \\  oder $A_V^{dB} = 20dB + 36dB \rightarrow A_V= 10^\color{blue}{1} \cdot 2^\color{magenta}{6} = 10 \cdot 64 = 640$ \\ \\
   - $A_V^{dB}=55dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=56dB = 40dB + 18dB - 3dB = \color{blue}{2}\cdot 20dB + \color{magenta}{3}\cdot 6dB  + \color{teal}{-\frac{1}{2}}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \ A_V = 10^\color{blue}{2} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3}  \qquad \cdot \qquad  2^\color{teal}{-\frac{1}{2}} \approx 100 \cdot 8 \cdot 0,707  = 560$    - $A_V^{dB}=55dB$ \\ mit Stützstellen: $A_V^{dB}=56dB = 40dB + 18dB - 3dB = \color{blue}{2}\cdot 20dB + \color{magenta}{3}\cdot 6dB  + \color{teal}{-\frac{1}{2}}\cdot 6dB$ \\ Das wird linear zu $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \ A_V = 10^\color{blue}{2} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3}  \qquad \cdot \qquad  2^\color{teal}{-\frac{1}{2}} \approx 100 \cdot 8 \cdot 0,707  = 560$ 
  
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 === Weg zum Bodediagramm === === Weg zum Bodediagramm ===
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+44+0.5+50%0A%25+1+8761050.782000184%0Ac+240+160+240+48+0+1e-9+0%0Ar+112+48+240+48+0+16000%0AO+240+48+352+48+1%0Ag+240+160+240+192+0%0A170+112+48+80+48+3+20+1000+50+0.1%0Ax+326+77+343+80+0+24+U%0Ax+339+86+355+89+0+24+A%0Ax+114+88+130+91+0+24+E%0Ax+101+79+118+82+0+24+U%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A 600,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.000005+5+44+0.5+50%0A%25+1+8761050.782000184%0Ac+240+160+240+48+0+1e-9+0%0Ar+112+48+240+48+0+16000%0AO+240+48+352+48+1%0Ag+240+160+240+192+0%0A170+112+48+80+48+3+20+1000+50+0.1%0Ax+326+77+343+80+0+24+U%0Ax+339+86+355+89+0+24+A%0Ax+114+88+130+91+0+24+E%0Ax+101+79+118+82+0+24+U%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A 600,400 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
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 <WRAP column 100%> <panel type="danger" title="Merke: Bodediagramm"> <WRAP group><WRAP column 7%>{{fa>exclamation?32}}</WRAP><WRAP column 80%> <WRAP column 100%> <panel type="danger" title="Merke: Bodediagramm"> <WRAP group><WRAP column 7%>{{fa>exclamation?32}}</WRAP><WRAP column 80%>
  
-Für Strom und Spannungspegel gilt: +Das Bodediagramm (=Frequenzgang) besteht aus: 
-  - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 10}$ ergibt im Pegel $+ 20dB$ +  - Amplitudengang: Amplitude in dB über logarithmisch-aufgetragener Frequenz (d.h. doppeltlogarithmische Darstellung) 
-  - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 2}$ ergibt im Pegel $+ 6dB$ +  - Phasengang: lineare Phase über logarithmisch-aufgetragener Frequenz (d.h. einfach logarithmischer Darstellung)
-  - Der linearer Wert $A_V = 1$ entspricht $0 dB$ +
- +
-Bei hintereinander geschalteten Systemen ist für die Ermittlung der Verstärkung  +
-  - das lineare Maß $A_V$ zu multiplizieren und +
-  - der Pegel $A_V^{dB}$ zu addieren.+
  
 +Damit ergibt sich im Amplitudengang für Funktionen der Form $A(\omega) \sim \omega^n$ eine Gerade. \\
 +Insbesondere gilt das für $A(\omega) \sim \omega$, also einer Steigung von +20dB/Dekade und für  $A(\omega) \sim \frac{1}{\omega}$, also einer Steigung von -20dB/Dekade
 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP> </WRAP></WRAP></panel> </WRAP>
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 ==== 5.1.1 Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen ==== ==== 5.1.1 Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen ====
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?cct=$+1+0.00009999999999999999+0.32112705431535615+57+5+50%0Ag+96+224+96+240+0%0Aw+336+112+336+160+0%0Aw+192+112+192+144+0%0Aa+192+160+336+160+8+15+-15+1000000+-0.00007695554889407606+0+100000%0Ac+192+112+336+112+0+0.0000058+-7.695631844956501%0AO+336+160+400+160+0%0Av+96+224+96+160+0+2+40+2+0+3.141592653589793+0.5%0Av+96+160+96+112+0+2+80+1+0+0+0.5%0Aw+96+112+128+112+0%0Ar+128+112+192+112+0+1000%0Ag+192+176+192+192+0%0A403+304+16+432+80+0+5_4_0_12290_8.523156660430175_0.0001_1_1%0A403+16+16+144+80+0+8_4_0_12290_3_0.0001_0_2_8_3%0Ax+194+97+210+100+4+24+K%0Ax+209+105+222+108+4+24+1%0A 600,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.00009999999999999999+0.32112705431535615+57+5+50%0Ag+96+224+96+240+0%0Aw+336+112+336+160+0%0Aw+192+112+192+144+0%0Aa+192+160+336+160+8+15+-15+1000000+-0.00007695554889407606+0+100000%0Ac+192+112+336+112+0+0.0000058+-7.695631844956501%0AO+336+160+400+160+0%0Av+96+224+96+160+0+2+40+2+0+3.141592653589793+0.5%0Av+96+160+96+112+0+2+80+1+0+0+0.5%0Aw+96+112+128+112+0%0Ar+128+112+192+112+0+1000%0Ag+192+176+192+192+0%0A403+304+16+432+80+0+5_4_0_12290_8.523156660430175_0.0001_1_1%0A403+16+16+144+80+0+8_4_0_12290_3_0.0001_0_2_8_3%0Ax+194+97+210+100+4+24+K%0Ax+209+105+222+108+4+24+1%0A 600,400 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
Zeile 257: Zeile 262:
 === Herleitung === === Herleitung ===
  
-|$U_A = f(U_E)$|mit III.| | +Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts "►" führt zum nächsten Schritt, [[rechnung_umkehrintegrator|alternative Darstellung]]): 
-|$U_A=\color{blue}{-U_D}-U_C$|mit II. \\ und I.|$ \color{blue}{U_D} = { 1 \over A_D } \cdot U_A \overset{A_D -> \infty}\longrightarrow 0$| +{{url>https://wiki.mexle.org/_export/revealjs/elektronische_schaltungstechnik/rechnung_umkehrintegrator?theme=dokuwiki&fade=fade&controls=1&show_progress_bar=1&build_all_lists=1&show_image_borders=0&horizontal_slide_level=2&enlarge_vertical_slide_headers=0&size=2024x128#/ 1024,108 left noborder}} 
-|$U_A= \quad \quad 0 \quad -\color{blue}{U_C}$|mit V.|$\color{blue}{U_C}={ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C \ dt+ Q_0(t_0))$| + 
-|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{I_C} \ dt+ Q_0(t_0)) $|mit IV.|$\color{blue}{I_C}=I_R$| +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ 
-|$U_A = \color{blue}{-{ 1 \over C }\cdot(}\int_{t_0}^{t_1} I_R \ dt+ Q_0(t_0)\color{blue}{)} $|Ausklammern| | +\\
-|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} I_R \ dt - \color{blue}{ Q_0(t_0) \over C } $|Integrationskonstante \\ betrachten|$\color{blue}{ Q_0(t_0) \over C }= U_C(t_0) = -U_{A0}$| +
-|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{I_R} \ dt + U_{A0}$|mit VI. und II.|$\color{blue}{I_R}={ U_R \over R}={ U_E \over R} $| +
-|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{1 \over R} \cdot U_E \ dt + U_{A0}$|Konstante vorziehen| | +
-|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt + U_{A0}$| Zeitkonstante $\tau = R \cdot C$ einfügen | | +
-|<WRAP hi>$U_A = -{ 1 \over {\tau} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt + U_{A0}$</WRAP>| | |+
  
 ==== 5.1.2 Signal-Zeit-Verlauf ==== ==== 5.1.2 Signal-Zeit-Verlauf ====
Zeile 284: Zeile 284:
   - Beim Umkehrintegrator wird der Eingangswert integriert und invertiert. Für den gegebenen Verlauf der Eingangsspannung ist also die Berechnung von Stützstellen ausreichend    - Beim Umkehrintegrator wird der Eingangswert integriert und invertiert. Für den gegebenen Verlauf der Eingangsspannung ist also die Berechnung von Stützstellen ausreichend 
   - Mit der in 5.1.1 hergeleiteten Formel lässt sich $U_A$ abschnittsweise zusammensetzen:   - Mit der in 5.1.1 hergeleiteten Formel lässt sich $U_A$ abschnittsweise zusammensetzen:
-    - Am Punkt $t_1$: \\ $U_{A}(t_1) \ \ = \  -{ 1 \over {\tau} } \ \cdot \ \int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt \  + \  U_{A}(t_0) =  -{ 1 \over {5 k\Omega \cdot 1 \mu F} }\cdot\int_{0}^{10ms} 1V \ dt + 0V$ \\ $\qquad \qquad =  -{ 1 \over {5 ms} } \quad \cdot 1V \ \cdot \int_{0}^{10ms} \ dt \qquad \ = \ -{ 1 \over {5 ms} }\ 1V \ [t]_{0}^{10ms} = -2V$ \\ \\ + 
-    - Am Punkt $t_2$: \\ $U_{A}(t_2) \ \ = \  -{ 1 \over {\tau} } \ \cdot \ \int_{t_1}^{t_2} U_E \ dt \  + \  U_{A}(t_1) =  -{ 1 \over {5 ms} }\cdot (-1V) \cdot [t]_{10ms}^{20ms} + 2V = 0V \quad$ \\ \\ + 
-    - Am Punkt $t_3$: \\ $U_{A}(t_3) \ \ = \ -{ 1 \over {\tau} }\ \cdot \  \int_{t_2}^{t_3} U_E \ dt \  + \  U_{A}(t_2) =  -{ 1 \over {5 ms} }\cdot (-2V) \cdot [t]_{20ms}^{25ms} + 0V = -2V \quad$+Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts "►" führt zum nächsten Schritt, [[rechnung_signalzeitverlauf_umkehrintegrator|alternative Darstellung]]): 
 +{{url>https://wiki.mexle.org/_export/revealjs/elektronische_schaltungstechnik/rechnung_signalzeitverlauf_umkehrintegrator?theme=dokuwiki&fade=fade&controls=1&show_progress_bar=1&build_all_lists=1&show_image_borders=0&horizontal_slide_level=2&enlarge_vertical_slide_headers=0&size=1624x128#/ 624,108 left noborder}}
  
 <WRAP column 100%> <panel type="danger" title="Merke: Signal-Zeit-Verlauf des Umkehrintegrators"> <WRAP group><WRAP column 7%>{{fa>exclamation?32}}</WRAP><WRAP column 80%> <WRAP column 100%> <panel type="danger" title="Merke: Signal-Zeit-Verlauf des Umkehrintegrators"> <WRAP group><WRAP column 7%>{{fa>exclamation?32}}</WRAP><WRAP column 80%>
Zeile 304: Zeile 305:
 Diese Definition der Eingangsspannung kann nun in die obige Gleichung für $U_A$ eingesetzt werden: Diese Definition der Eingangsspannung kann nun in die obige Gleichung für $U_A$ eingesetzt werden:
  
-|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{U_E(t)} \ dt + U_{A0}$|Sinusfunktion einsetzen|$ \color{blue}{U_E(t)}= \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$| +Die Rechnung ist hier einmal detailliert durchgeführt (der Klick auf Pfeil nach rechts "►" führt zum nächsten Schritt, [[rechnung_betragundphase_umkehrintegrator|alternative Darstellung]]): 
-|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\color{blue}{\int_{t_0}^{t_1} \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t) \ dt} + U_{A0}$|Stammfunktion mit Grenzen einsetzen|$\color{blue}{\int_{x_0}^{x_1} sin(a \cdot x) \ dx} = [- {1 \over a} \cdot cos(a \cdot x) ]_{x_0}^{x_1}$| +{{url>https://wiki.mexle.org/_export/revealjs/elektronische_schaltungstechnik/rechnung_betragundphase_umkehrintegrator?theme=dokuwiki&fade=fade&controls=1&show_progress_bar=1&build_all_lists=1&show_image_borders=0&horizontal_slide_level=2&enlarge_vertical_slide_headers=0&size=2524x128#/ 1024,108 left noborder}} 
-|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot [- \color{blue}{\hat{U}_E \over \omega} \cdot cos(\omega \cdot t) ]_{t_0}^{t_1} + U_{A0}$  |Konstante vor Integral setzen| | +
-|$U_A = { 1 \over {R\cdot C} }\cdot {\hat{U}_E \over \omega} \cdot \color{blue}{[ cos(\omega \cdot t) ]_{t_0}^{t_1}} + U_{A0}$  |Grenzwerte einsetzen|$t_0=0$, $t_1=t$| +
-|$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot ( cos(\omega \cdot t) - \color{blue}{cos(0)} ) + U_{A0}$  | |$\color{blue}{cos(0)}=1$| +
-|$U_A = \color{blue}{{{ \hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot (} cos(\omega \cdot t) - 1 \color{blue}{)} + U_{A0}$  |Ausmultiplizieren| | +
-|$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t) \color{blue}{-{ {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C}} + U_{A0}}$  |Betrachtung der nicht-Kosinus-Terme|Dieser Teil ist zeitlich unabhängig. Da wir von rein sinusförmigen Größen ausgehen, muss die für die anfängliche Spannung des Kondensators gelten: $U_{C0} = U_{A0}={{\hat{U}_E} \over {\omega \cdot R\cdot C}}$| +
-|<WRAP hi>$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t)$</WRAP>| | |+
  
 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
Zeile 318: Zeile 314:
 \\ {{drawio>Skizze_des_Bodediagramms_vom_Umkehrintegrator}} \\ {{drawio>Skizze_des_Bodediagramms_vom_Umkehrintegrator}}
 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
-Der **Betrag**  $|A_v|$ ist über das Amplitudenverhältnis von $\hat{U}_A \over \hat{U}_E$ gegeben: $$|A_v|={\hat{U}_A \over \hat{U}_E} = {1 \over {\omega \cdot R\cdot C}} $$+Der **Betrag**  $|A_V|$ ist über das Amplitudenverhältnis von $\hat{U}_A \over \hat{U}_E$ gegeben: $$|A_V|={\hat{U}_A \over \hat{U}_E} = {1 \over {\omega \cdot R\cdot C}} $$
  
 Die **Phase**  lässt sich aus dem "zeitlichen Versatz" des Spitzenwerts von Eingangsspannung $U_E = \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$ und Ausgangsspannung $U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t)$ ermitteln. Die Phase ist durch die Betrachtung der trigonometrischen Funktionen und dem Vorzeichen gegeben:  Die **Phase**  lässt sich aus dem "zeitlichen Versatz" des Spitzenwerts von Eingangsspannung $U_E = \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$ und Ausgangsspannung $U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t)$ ermitteln. Die Phase ist durch die Betrachtung der trigonometrischen Funktionen und dem Vorzeichen gegeben: 
Zeile 330: Zeile 327:
 === Extremalwertbetrachtung === === Extremalwertbetrachtung ===
  
-Um den den Verlauf im Bodediagramm skizzieren zu können, soll das **Verhalten der Übertragungsfunktion $U_A=f(U_E)$ in den Extremfällen für niedrige (${\omega}\rightarrow 0$) und hohe Frequenzen (${\omega}\rightarrow \infty$)** betrachtet werden. Für Betrag $|A_v|$ und Phase $\varphi$ ergibt sich:+Um den den Verlauf im Bodediagramm skizzieren zu können, soll das **Verhalten der Übertragungsfunktion $U_A=f(U_E)$ in den Extremfällen für niedrige (${\omega}\rightarrow 0$) und hohe Frequenzen (${\omega}\rightarrow \infty$)** betrachtet werden. Für Betrag $|A_V|$ und Phase $\varphi$ ergibt sich:
  
-$ |A_v({\omega}\rightarrow 0 \ \; )| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow 0}\quad \infty$ \\ +$ |A_V({\omega}\rightarrow 0 \ \; )| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow 0}\quad \infty$ \\ 
-$ |A_v({\omega}\rightarrow\infty)| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow\infty}\quad 0$ \\+$ |A_V({\omega}\rightarrow\infty)| \quad=\quad{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}} \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow\infty}\quad 0$ \\
  
 $\varphi = +90° \qquad \forall \ \omega$ $\varphi = +90° \qquad \forall \ \omega$
Zeile 381: Zeile 378:
 === Betrag und Phase === === Betrag und Phase ===
  
-<WRAP right>+<WRAP right><panel type="default"> 
 <imgcaption pic6| Verlauf des Arcustangens> <imgcaption pic6| Verlauf des Arcustangens>
-{{elektronische_schaltungstechnik:arctangent.svg?400}} 
 </imgcaption> </imgcaption>
-</WRAP>+\\ {{drawio>Verlauf_Arcustangens}} 
 +</panel></WRAP>
  
 Als Betrag $A_V$ ergibt sich:  Als Betrag $A_V$ ergibt sich: 
Zeile 432: Zeile 429:
 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
  
-Eine weitere Schaltung lässt sich aus dem Umkehrintegrator ableiten. Dazu soll der bisherig rein kapazitive Wert der Impedanz zwischen Ausgangsseite und virtueller Masse durch einen ohmschen Anteil ergänzt werden. Diese Schaltung ist in <imref pic7_1> zu sehen.+Eine weitere Schaltung lässt sich aus dem Umkehrintegrator ableiten. Dazu soll der bisherig rein kapazitive Wert der Impedanz zwischen Ausgangsseite und virtueller Masse durch einen ohmschen Anteil ergänzt werden. Diese Schaltung ist in <imgref pic7_1> zu sehen.
 Im Folgenden soll diese Schaltung Im Folgenden soll diese Schaltung
   * mit einer Simulation zunächst praktisch betrachtet werden,   * mit einer Simulation zunächst praktisch betrachtet werden,
Zeile 441: Zeile 438:
 === Tiefpass in der Simulation === === Tiefpass in der Simulation ===
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+63+5+50%0A%25+4+984968.4014609919%0Ag+208+208+208+256+0%0Aw+352+112+352+192+0%0Aw+208+112+208+176+0%0Aa+208+192+352+192+4+15+-15+100000000%0Ac+288+112+336+112+0+1.5915000000000002e-7+0.16559840149986407%0Ar+112+112+208+112+0+10000%0AO+352+192+416+192+0%0A170+112+112+64+112+2+20+4000+5+0.1%0Ar+288+64+336+64+0+1000%0Aw+352+64+352+112+0%0Aw+208+64+208+112+0%0AB+224+32+336+144+0+Box%0As+288+64+224+64+0+0+false%0As+288+112+224+112+0+0+false%0Aw+208+64+224+64+0%0Aw+208+112+224+112+0%0Aw+336+112+352+112+0%0Aw+336+64+352+64+0%0Ax+229+53+251+56+0+18+S1%0Ax+229+98+251+101+0+18+S2%0Ao+0+32+0+34+10+0.0125+0+-1%0A 600,500 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.000005+5+63+5+50%0A%25+4+984968.4014609919%0Ag+208+208+208+256+0%0Aw+352+112+352+192+0%0Aw+208+112+208+176+0%0Aa+208+192+352+192+4+15+-15+100000000%0Ac+288+112+336+112+0+1.5915000000000002e-7+0.16559840149986407%0Ar+112+112+208+112+0+10000%0AO+352+192+416+192+0%0A170+112+112+64+112+2+20+4000+5+0.1%0Ar+288+64+336+64+0+1000%0Aw+352+64+352+112+0%0Aw+208+64+208+112+0%0AB+224+32+336+144+0+Box%0As+288+64+224+64+0+0+false%0As+288+112+224+112+0+0+false%0Aw+208+64+224+64+0%0Aw+208+112+224+112+0%0Aw+336+112+352+112+0%0Aw+336+64+352+64+0%0Ax+229+53+251+56+0+18+S1%0Ax+229+98+251+101+0+18+S2%0Ao+0+32+0+34+10+0.0125+0+-1%0A 600,500 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
Zeile 572: Zeile 569:
  
 \\ \\
-=== Extermalwertbetrachtung ===+=== Extremalwertbetrachtung ===
  
 Für den __Betrag__ ergibt sich  Für den __Betrag__ ergibt sich 
-  - bei $\omega \rightarrow 0$:  \\ $|\underline{A}_V| =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 }}$, da $\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2} \gg 1$ \\ Der Betrag der Verstärkung geht also gegen $|\underline{A}_V| = \frac{R_2}{R_1}$. \\ Die Wirkung gleicht dem invertierenden Verstärker \\ \\ +  - bei $\omega \rightarrow 0$:  \\ $|\underline{A}_V| =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 }}$, (nbsp) (nbsp) da $\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2} \gg 1$ \\ Der Betrag der Verstärkung geht also gegen $|\underline{A}_V| = \frac{R_2}{R_1}$. \\ Die Wirkung gleicht dem invertierenden Verstärker \\ \\ 
-  - bei $\omega \rightarrow \infty$: \\ $|\underline{A}_V| =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} $, da $\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2} \ll 1$  \\ Der Betrag der Verstärkung geht also gegen $|\underline{A}_V| = \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{(\omega \cdot} R_1 \color{blue}{\cdot C)^2}}}$. \\ Die Wirkung gleicht dem Umkehrintegrator+  - bei $\omega \rightarrow \infty$: \\ $|\underline{A}_V| =  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + \color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} \rightarrow  \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2}}} $, (nbsp) (nbsp) da $\color{blue}{(\omega \cdot R_2 \cdot C)^2} \ll 1$  \\ Der Betrag der Verstärkung geht also gegen $|\underline{A}_V| = \frac{1}{\color{blue}{\omega \cdot} R_1 \color{blue}{\cdot C}}$. \\ Die Wirkung gleicht dem Umkehrintegrator
  
-<WRAP right><panel type="default"> +<WRAP right> 
 +<panel type="default"> 
 <imgcaption pic20|Arcustangens> <imgcaption pic20|Arcustangens>
 </imgcaption> \\  </imgcaption> \\ 
 +
 +<collapse id="openAni1" collapsed="true"><well>
 {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/t2abuwjr/width/730/height/400/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 450,250 noborder}} {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/t2abuwjr/width/730/height/400/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 450,250 noborder}}
-</panel></WRAP>+</well></collapse> 
 + 
 +<collapse id="openAni1" collapsed="false"> 
 +<button type="warning" collapse="openAni1">Zur Betrachtung der Animation: hier klicken!</button> 
 +</collapse> 
 +  
 +</panel> 
 +</WRAP>
  
  
Zeile 596: Zeile 603:
 === Berechnung der Grenzfrequenz === === Berechnung der Grenzfrequenz ===
  
-Bei der Grenzfrequenz lässt sich auch so verstehen, dass dort gerade der Übergang vom invertierenden Inverter zum Umkehrintegrator stattfindet. Im Bode-Diagramm (<imgref pic10>) ist die Grenzfrequenz gerade beim Schnittpunkt der Geraden für invertierenden Inverter und Umkehrintegrator zu finden. +Bei der Grenzfrequenz lässt sich auch so verstehen, dass dort gerade der Übergang vom invertierenden Verstärker zum Umkehrintegrator stattfindet. Im Bode-Diagramm (<imgref pic10>) ist die Grenzfrequenz gerade beim Schnittpunkt der Geraden für invertierenden Verstärker und Umkehrintegrator zu finden. 
  
 Es ergibt sich also für die Grenzfrequenz $f_{Gr}$ Es ergibt sich also für die Grenzfrequenz $f_{Gr}$
Zeile 622: Zeile 629:
  
 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
-<imgcaption pic11| Bode-Diagramm des Umkehrdifferentiators>+<imgcaption pic11_1| Schaltung des Umkehrdifferentiators>
 </imgcaption> </imgcaption>
-\\ {{drawio>Bode_Diagramm_des_Umkehrdifferentiators}}+\\ {{drawio>Schaltung_des_Umkehrdifferentiators}}
 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
 +
 +<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.000049999999999999996+1.9265835257097934+41+5+43%0Aa+288+128+384+128+8+15+-15+1000000+-0.000039999600019248555+0+100000%0Aw+384+112+384+80+0%0Ac+208+112+160+112+0+5.000000000000001e-7+-3.42003999865076%0Aw+288+80+288+112+0%0Ar+384+80+288+80+0+10000%0Ag+288+144+288+176+0%0AR+128+112+96+112+0+3+40+5+0+0+0.5%0A207+384+128+432+128+4+U_A%0A403+320+208+464+272+0+7_8_0_12294_4.008796818347498_0.0001_0_2_7_3_U%5CsA%0A207+128+112+128+144+4+U_E%0Aw+384+112+384+128+0%0A403+112+208+256+272+0+9_8_0_12294_4.9840000009474466_0.0001_0_2_9_3_U%5CsE%0Aw+128+112+160+112+0%0Aw+272+112+288+112+0%0Ar+208+112+272+112+0+10%0A 600,400 noborder}}
 +</WRAP>
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 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
-<imgcaption pic11_1| Schaltung des Umkehrdifferentiators>+<imgcaption pic11| Bode-Diagramm des Umkehrdifferentiators>
 </imgcaption> </imgcaption>
-\\ {{drawio>Schaltung_des_Umkehrdifferentiators}}+\\ {{drawio>Bode_Diagramm_des_Umkehrdifferentiators}}
 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
 +
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 +In <imgref pic11_1> ist ein Umkehrdifferentiator dargestellt. Im Vergleich zum Integrator ist hier gerade der Widerstand und der Kondensator vertauscht. 
 +
 +In der Simulation daneben ist die Wirkung der Schaltung zu sehen: die Ableitung des invertierten Eingangssignal wird am Ausgang ausgegeben. Die Ableitung an den Umkehrpunkten ("Spitzen") des Signals ist nicht ermittelbar (siehe [[wpde>Differenzierbarkeit#Betragsfunktion|Differenzierbarkeit der Betragsfunktion]]). Dies führt bei der Simulation zu Problemen bei der Berechnung und ist als Überschwingen bzw. "Ausschlag" bei $U_A$ zu sehen. Um diese zu reduzieren, ist ein (im Verhältnis zum  Rückkoppelwiderstand) kleiner Widerstand hinter dem Kondensator eingefügt.
 +
 +Im Folgenden soll ohne Herleitung nur auf die Ergebnisse eingegangen werden.
 +
 +Die Schaltungsanalyse über Differentialgleichung ergibt:
 +
 +$\boxed{U_A = - R \cdot C \frac{d}{dt}U_E}$
 +
 +Mit komplexer Rechnung wird die Übertragungsfunktion zu: 
 +
 +$\boxed{\underline{A}_V=-j \cdot \omega \cdot R \cdot C}$
 +
 +Daraus lässt sich das in <imgref pic11> abgebildete Bode-Diagramm ermitteln.
  
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 <panel type="info" title="Aufgabe 5.3.1 Umkehrdifferentiator"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <panel type="info" title="Aufgabe 5.3.1 Umkehrdifferentiator"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
- 
-<WRAP right> 
-{{  elektronische_schaltungstechnik:vorgabezeitverlaufumkehrdifferentiator.jpg?300|vorgabezeitverlaufumkehrdifferentiator.jpg}}</WRAP> 
  
 <WRAP right> <WRAP right>
 {{drawio>Vorgabe_Zeitverlauf_Umkehrintegrator}}</WRAP> {{drawio>Vorgabe_Zeitverlauf_Umkehrintegrator}}</WRAP>
  
- +Leiten Sie für den in <imgref pic11_1> dargestellten Umkehrdifferentiator die komplexe Spannungsverstärkung, sowie deren Betrag und Phase mittels komplexer Rechnung wie für den [[#umkehrintegrator]] dargestellt her. Setzen Sie dabei folgende Schritte um:
-Leiten Sie für den in <imgref pic11_1> dargestellten Umkehrdifferentiator die komplexe Spannungsverstärkung, sowie deren Betrag und Phase mittels komplexer Rechnung wie oben dargestellt her. Zeichnen Sie zusätzlich ein passendes Bode-Diagramm+
  
   - Schaltungsanalyse mittels Differentialgleichung   - Schaltungsanalyse mittels Differentialgleichung
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 ===== 5.4 Hochpass ===== ===== 5.4 Hochpass =====
 +
 +<WRAP left>{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+0.000005+5+63+5+50%0A%25+4+984968.4014609919%0Ag+240+176+240+224+0%0Aw+384+80+384+160+0%0Aw+240+80+240+144+0%0Aa+240+160+384+160+4+15+-15+10000000000%0Ac+144+80+208+80+0+1.5915e-9+0.16559840149986407%0Ar+80+80+144+80+0+10000%0AO+384+160+448+160+0%0A170+80+80+32+80+2+2+400000+0.005+0.1%0Ar+256+80+368+80+0+1000%0AB+64+48+224+160+0+Box%0As+144+112+80+112+0+1+false%0As+208+112+144+112+0+1+false%0Aw+240+80+256+80+0%0Aw+368+80+384+80+0%0Ax+78+147+100+150+0+18+S1%0Ax+149+149+171+152+0+18+S2%0Aw+144+80+144+112+0%0Aw+80+80+80+112+0%0Aw+208+80+208+112+0%0Aw+208+80+240+80+0%0Ao+0+32+0+34+10+0.0125+0+-1%0A 600,500 noborder}}
 +</WRAP>
  
 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
-<imgcaption pic12| Bode-Diagramm des Hochpass-Filter>+<imgcaption pic12_1| Schaltung des Hochpass-Filter>
 </imgcaption> </imgcaption>
-\\ {{drawio>Bode_Diagramm_des_Hochpass_Filter}}+\\ {{drawio>Schaltung_des_Hochpass_Filter}}
 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
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 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
-<imgcaption pic12_1| Schaltung des Hochpass-Filter>+<imgcaption pic12| Bode-Diagramm des Hochpass-Filter>
 </imgcaption> </imgcaption>
-\\ {{drawio>Schaltung_des_Hochpass_Filter}}+\\ {{drawio>Bode_Diagramm_des_Hochpass_Filter}}
 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
 +
 +Aus dem Umkehrdifferentiator lässt sich ein Hochpass erstellen, wenn die rein kapazitive Impedanz für $Z_1$ geeignet über einen ohmschen Anteil erweitert wird (<imgref pic12_1>). Die Simulation oben zeigt diesen Hochpass. Aus diesem bildet sich bei geschlossenem Schalter $S1$ und offenem Schalter $S2$ ein Umkehrintegrator. Bei umgekehrter Schalterstellung bildet sich ein invertierender Verstärker. In der Simulation ist durch Klick auf einen Frequenzpunkt wieder die Aufteilung der Ströme zu sehen.
 +
 +Mit komplexer Rechnung ergibt sich hierfür: $\boxed{\underline{A}_V = - \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{j \cdot \omega \cdot R_1 \cdot C}{1 + j \cdot \omega \cdot R_1 \cdot C}} $
 +
 +Daraus lässt sich das in <imgref pic12> abgebildete Bode-Diagramm ermitteln.
  
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 <panel type="info" title="Aufgabe 5.4.1 Hochpass 1. Ordnung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <panel type="info" title="Aufgabe 5.4.1 Hochpass 1. Ordnung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
  
-In den vorrangegangenen Kapiteln wurde die Verstärkung $A_V$ des Tiefpasses 1. Ordnung auf Basis seiner Schaltung hergeleitet. In gleicher Weise soll nun die Verstärkung für einen Hochpass (vgl. <imgref pic12_1>) hergeleitet werden.+Im [[#tiefpass|vorangegangenen Kapitel]] wurde die Verstärkung $A_V$ des Tiefpasses 1. Ordnung auf Basis seiner Schaltung hergeleitet. In gleicher Weise soll nun die Verstärkung für einen Hochpass (vgl. <imgref pic12_1>) hergeleitet werden.
  
   - Verhalten von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$   - Verhalten von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$
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 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
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 +===== 5.5 Übersicht Hochpass / Tiefpass =====
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 +<WRAP right><panel type="default"> 
 +<imgcaption pic13| Übersicht Hochpass / Tiefpass>
 +</imgcaption>
 +\\ {{drawio>Übersicht_Hochpass_Tiefpass}}
 +</panel></WRAP>
  
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 --> Referenzen zu den genutzten Medien # --> Referenzen zu den genutzten Medien #
  
-^ Element                                                       ^ Lizenz                                                                     ^ Link                                                                       ^ +^ Element                                  ^ Lizenz                                                            ^ Link                                                  ^ 
-| <imgref pic5>: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen  | Public Domain  | https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif                                | +| <imgref pic6>: Verlauf des Arcustangens  | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/|CC-BY-SA 4.0]]  | https://de.m.wikipedia.org/wiki/Datei:Arctangent.svg  |
-| <imgref pic6>: Verlauf des Arcustangens  | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/|CC-BY-SA 4.0]]  | https://de.m.wikipedia.org/wiki/Datei:Arctangent.svg                                | +
-| <imgref pic11>: Verlauf der Funktion Arcustangens2  | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de|CC-BY-SA 3.0]]  | https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Arctangent2.svg                              |+
  
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