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elektronische_schaltungstechnik:6_filterschaltungen_ii [2020/06/07 23:09] tfischer |
elektronische_schaltungstechnik:6_filterschaltungen_ii [2023/09/19 23:09] mexleadmin |
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- | ====== 6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ====== | + | ====== 6 Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ====== |
- | ====== 6.1 Bandpassfilter | + | ===== 6.1 Bandpassfilter ===== |
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Zur Separierung der gewünschten Frequenzen kann ein Filter genutzt werden, welcher nur ein vorgegebenes Band zwischen zwei Frequenzen (// | Zur Separierung der gewünschten Frequenzen kann ein Filter genutzt werden, welcher nur ein vorgegebenes Band zwischen zwei Frequenzen (// | ||
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+ | === Bereiche im Frequenzgang === | ||
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+ | Den Bereich zwischen den zwei Frequenzen nennt man **Durchlassbereich**, | ||
+ | Außerhalb des Durchlassbereichs fällt die Verstärkung ab. Ein reelles Filter kann nicht unendlich stark abschwächen. | ||
+ | Auch gibt es verschiedene ideale Filtern, bei denen außerhalb des Durchlassbereichs nicht Verstärkung nicht gegen Null strebt, sondern nur ein Schwelle unterschreitet. | ||
+ | Häufig wird der der abfallende Bereich **Übergangsbereich** genannt und der der Bereich unterhalb der Schwelle **Sperrbereich**. | ||
+ | Die Schwelle selbst nennt man **Sperrdämpfung**. In <imgref pic1b> sind die Bereiche eingezeichnet. Die Begriffe sind aber nicht eindeutig definiert; in verschiedenen Lehrbüchern wird bereits der Übergangsbereich als Sperrbereich bezeichnet. | ||
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- | === Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers === | + | ==== 6.1.1 Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers |
== Realisation == | == Realisation == | ||
Aus [[5_filterschaltungen_i# | Aus [[5_filterschaltungen_i# | ||
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Die Extremalwertbetrachtung ergibt: | Die Extremalwertbetrachtung ergibt: | ||
- | * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.** | + | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.** |
- | * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.** | + | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.** |
- | == komplexwertige Betrachtung == | + | \\ |
+ | == komplexwertige Betrachtung | ||
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+ | <wrap # | ||
Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, | Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, | ||
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$\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$ | $\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$ | ||
+ | \\ | ||
Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen: | Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen: | ||
- | - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht | + | - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht |
- | - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht | + | - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht |
- | - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: : Dies entspricht | + | - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: Dies entspricht |
- | Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion: | + | \\ |
- | * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\ | + | Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion: |
- | * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators | + | |
- | Für den Betrag | + | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0 } $:\\ $\underline{A}_V |
+ | * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega | ||
- | Damit ergibt sich | + | \\ |
- | $|\underline{A}_V| | + | == Ermittlung von Betrag und Phase aus der komplexwertigen Betrachtung == |
- | Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert | + | Für den Betrag |
+ | Damit ergibt sich für den Betrag $|\underline{A}_V|$: | ||
+ | $ | ||
+ | $\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, | ||
+ | $\boxed{|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 / \color{teal}{\omega_{Gr, | ||
- | Die erzeugt zwar zunächst eine unhandliche Gleichung - aus dieser kann aber eine realwertige Konstante abgetrennt werden. | + | Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden. \\ |
+ | Dies erzeugt zwar zunächst eine unhandliche Gleichung - aus dieser kann aber eine realwertige Konstante abgetrennt werden. | ||
$\underline{A}_V = - \color{blue}\large{R_2 \over R_1 } $ | $\underline{A}_V = - \color{blue}\large{R_2 \over R_1 } $ | ||
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$\cdot \large\color{brown}{{1- j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{ | $\cdot \large\color{brown}{{1- j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{ | ||
- | $\underline{A}_V = \quad \mathcal{C} | + | $\underline{A}_V = \quad \quad \quad \mathcal{C} \quad \quad \quad \quad$ |
- | $\cdot \color{teal }{(1- j\omega \cdot C_2 R_2)}$ | + | $ \cdot |
- | $\cdot \color{brown}{ | + | $\ \cdot \ \color{brown}{ |
- | $\cdot \color{brown}{(1- j\omega \cdot C_1 R_1)}$ | + | $\ \cdot \ \color{brown}{(1- j\omega \cdot C_1 R_1)}$ |
- | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | + | $\underline{A}_V = \quad \quad \quad \mathcal{C} \quad \quad \quad \quad$ |
+ | $ \cdot (j + \omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1 - j \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2)$ | ||
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+ | Aus dieser Gleichung lassen sich einfach die Anteile für Realteil $\Re(\underline{A}_V)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_V)$ ablesen. \\ | ||
+ | Damit ergibt sich für die Phase $\varphi$ : | ||
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+ | $ | ||
+ | $\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, | ||
+ | $\boxed{\varphi = arctan \left( \frac{\color{teal}{\omega_{Gr, | ||
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+ | \\ | ||
+ | Die Formal für für die Phase $\varphi$ sagt | ||
+ | Die Extremalwertbetrachtung kann nun für einige markante Frequenzen geführt werden: | ||
+ | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:\\ $\varphi(0) = arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - \omega^2}{\omega \mathcal{C}_2} \right) \rightarrow arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - " | ||
+ | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $: \\ $\varphi(\infty) = arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - \omega^2}{\omega \mathcal{C}_2} \right) \rightarrow arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - " | ||
+ | * für eine **(Kreis)Frequenz** $\boldsymbol{\omega= \omega_0}$ **für die das Argument der** $\boldsymbol{arctan}$**-Funktion Null wird**. \\ Damit wird die Phase: \\ $\varphi(\omega_0) = arctan \left( 0 \right)$. \\ Die entsprechende Frequenz ergibt sich zu: \\ $\large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, | ||
+ | * für die Grenzfrequenz des Hochpassfilter $\boldsymbol{\omega = \color{brown}{\omega_{Gr, | ||
+ | * für die Grenzfrequenz des Tiefpassfilter $\boldsymbol{\omega = \color{teal}{\omega_{Gr, | ||
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- | < | + | < |
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- | \\ {{drawio> | + | \\ {{drawio> |
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+ | Es ergibt sich damit für einzelne Punkte: | ||
- | ====== 6.2 Bandsperre ====== | + | ^ $\boldsymbol{\omega}\quad$ | |
+ | ^ $\boldsymbol{\varphi}$ | | ||
+ | ^ | $+90°$ | ||
- | Elektrotechnik 2 und Elektrotechnik Labor haben bereits Einblicke | + | Die Ergebnisse scheinen auch mit dem Verlauf des Arcus Tangens plausibel zu sein (<fc # |
+ | |||
+ | <fs x-large> | ||
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- | === beliebige periodische Signale === | + | <panel type=" |
- | < | + | - Betrachten Sie nochmals die [[# |
- | {{elektronische_schaltungstechnik:fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif}} | + | - Betrachten Sie die Schaltung in der Simulation unten an den folgenden Punkten: |
- | </imgcaption> </ | + | - Anstieg um +20dB/Dek bei niedrigen Frequenzen |
+ | - Mitte des Durchlassbereichs (" | ||
+ | - Abfall um -20dB/Dek bei hohen Frequenzen \\ < | ||
+ | </WRAP></ | ||
- | Im vorherigen Kapitel wurde bereits eine sinusförmige Eingangsspannung zur Analyse herangezogen. Wie wirken die Filter Hier soll nun nochmals kurz ein Fokus darauf gelegt werden. | + | <WRAP right> |
+ | </ | ||
- | In <imgref pic5> ist zu sehen, dass ein Rechtecksignal durch mehrere sinusförmige Signale angenähert werden kann. Werden von diesen Signalen die Amplituden über die Frequenz aufgetragen, | + | Damit lässt sich das Bodediagramm ermitteln. |
- | Für sehr schnelle Änderungen werden hochfrequente Anteile benötigt. | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
+ | ==== 6.1.2 Multi-Feedback Bandpass ==== | ||
- | Bereits beim [[4_grundschaltungen_ii# | + | <WRAP right>< |
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+ | \\ {{drawio> | ||
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- | <WRAP right>< | + | <WRAP right><panel type=" |
- | {{elektronische_schaltungstechnik: | + | < |
- | </imgcaption> </ | + | </ |
+ | \\ {{drawio> | ||
+ | </panel></ | ||
- | <WRAP right>< | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
- | {{elektronische_schaltungstechnik: | + | |
- | </ | + | |
- | Aus den Sinus | + | ====== 6.2 Bandsperre ====== |
- | Das englische Video [[https:// | + | Elektrotechnik 2 und Elektrotechnik Labor haben bereits Einblicke in Schwingkreise gegeben. In diesen Schaltungen ergeben sich bei bestimmte Frequenzen Schwingungen, die Energien aus dem System aufnehmen |
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+ | <WRAP onlyprint> | ||
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