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elektronische_schaltungstechnik:6_filterschaltungen_ii [2020/06/08 22:24]
tfischer 		elektronische_schaltungstechnik:6_filterschaltungen_ii [2021/06/10 02:38]
tfischer
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 ====== 6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ====== ====== 6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ======
  
-====== 6.1 Bandpassfilter ======+===== 6.1 Bandpassfilter =====
  
 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
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 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
  
-=== Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers ===+==== 6.1.1 Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers ====
 == Realisation == == Realisation ==
 Aus [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Kapitel 5]] sind die Schaltungen von Hochpass- und Tiefpass-Filter bekannt. Daraus lässt sich die in <imgref pic3> dargestellte Schaltung ableiten. Aus [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Kapitel 5]] sind die Schaltungen von Hochpass- und Tiefpass-Filter bekannt. Daraus lässt sich die in <imgref pic3> dargestellte Schaltung ableiten.
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 Die Extremalwertbetrachtung ergibt:  Die Extremalwertbetrachtung ergibt: 
-  * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und  $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.** +  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und  $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.** 
-  * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und  $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\  $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.**+  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und  $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\  $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.**
  
 \\  \\ 
 == komplexwertige Betrachtung der Übertragungsfunktion == == komplexwertige Betrachtung der Übertragungsfunktion ==
 +
 +<wrap #uebertragungsfunktion1 />
  
 Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, invertierenden Verstärker hergeleitet werden: Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, invertierenden Verstärker hergeleitet werden:
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 $\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$ $\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$
  
 +\\
 Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen: Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen:
-  - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht dem [[3_grundschaltungen_i#invertierender_verstaerker|invertierenden Verstärker]] +  - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht einem [[3_grundschaltungen_i#invertierender_verstaerker|invertierenden Verstärker]] 
-  - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht dem [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Tiefpass 1. Ordnung]] +  - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht einem [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Tiefpass 1. Ordnung]] mit einer Grenzfrequenz von $\color{teal}{\omega_{Gr, TP}= {1 \over {C_2 R_2}}}$ 
-  - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: Dies entspricht dem [[5_filterschaltungen_i#hochpass|Hochpass 1. Ordnung]]+  - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: Dies entspricht einem [[5_filterschaltungen_i#hochpass|Hochpass 1. Ordnung]] mit einer Grenzfrequenz von $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}= {1 \over {C_1 R_1}}}$
  
 \\ \\
-Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion: +Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion:   
-  * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\+ 
 +  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0     } $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\
   * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators   * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators
  
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 Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $. \\  Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $. \\ 
 Damit ergibt sich für den Betrag $|\underline{A}_V|$: \\ Damit ergibt sich für den Betrag $|\underline{A}_V|$: \\
-$|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 C_2^2 R_2^2}} \cdot \large{{\omega \cdot C_1 R_1} \over \sqrt{1+ \omega^2 C_1^2 R_1^2}}$+$       |\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 C_2^2 R_2^2}} \cdot \large{{\omega \cdot C_1 R_1} \over \sqrt{1+ \omega^2 C_1^2 R_1^2}} $ 
 +$\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}, \ \ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$  
 +$\boxed{|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 / \color{teal}{\omega_{Gr, TP}^2}}} \cdot \large{{\omega / \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}} \over \sqrt{1+ \omega^2 \color{brown} / {\omega_{Gr, HP}}^2}}}$
  
 Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden. \\ Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden. \\
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 Damit ergibt sich für die Phase $\varphi$ :  Damit ergibt sich für die Phase $\varphi$ : 
  
-$\varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right) = arctan \left( \frac{1 - \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2}{\omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1} \right)$ +$       \varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right) = arctan \left( \frac{1 - \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2}{\omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1} \right)$ 
- +$\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}, \ \ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$  
-und mit den Grenzfrequenzen $\color{teal}{\omega_{Gr, TP} = {1 \over {R_2 C_2}}}$ und $\color{brown}{\omega_{Gr, HP} = {1 \over {R_1 C_1}}}$ +$\boxed{\varphi = arctan \left( \frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \omega^2 }{\omega (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right)}$
- +
-$\varphi =  arctan \left( \Large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \omega^2 }{\omega (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right)$+
  
 \\ \\
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   * für die Grenzfrequenz des Tiefpassfilter $\boldsymbol{\omega = \color{teal}{\omega_{Gr, TP} = {1 \over {R_2 C_2}}}}$. \\ Hierfür kann bei hinreichend großem Durchlassbereich $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \gg \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}$ angenommen werden. \\ Damit ergibt sich: \\ $\varphi(\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}) = arctan \left( \large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}^2 }{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right)      =     arctan \left( \large\frac{ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}}{ (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right) \xrightarrow{\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \gg \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}} \varphi(\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}) = arctan (-1)$    * für die Grenzfrequenz des Tiefpassfilter $\boldsymbol{\omega = \color{teal}{\omega_{Gr, TP} = {1 \over {R_2 C_2}}}}$. \\ Hierfür kann bei hinreichend großem Durchlassbereich $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \gg \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}$ angenommen werden. \\ Damit ergibt sich: \\ $\varphi(\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}) = arctan \left( \large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}^2 }{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right)      =     arctan \left( \large\frac{ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}}{ (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right) \xrightarrow{\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \gg \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}} \varphi(\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}) = arctan (-1)$ 
  
 +<WRAP right><panel type="default"> 
 +<imgcaption pic7| Arcus Tangens für Bandpass>
 +</imgcaption>
 +\\ {{drawio>ArcusTangens_Bandpass}}
 +</panel></WRAP>
 +
 +\\
 Es ergibt sich damit für einzelne Punkte:  Es ergibt sich damit für einzelne Punkte: 
  
-^ $\omega$ | $\rightarrow 0$  | $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}}$ | $\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$ | $\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}$ | $\rightarrow \infty$ | +^ $\boldsymbol{\omega}\quad$ |  $\rightarrow 0$   |  $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}}$   |  $\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$ |  $\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}$   |  $\rightarrow \infty$  | 
-^ $\varphi$ | $arctan \left( "+\infty" \right)$  | $arctan \left( +1)$ | $arctan \left( 0)$ | $arctan \left( -1)$ | |$arctan \left( "-\infty" \right)$ | +^ $\boldsymbol{\varphi}$ |  $arctan \left( "+\infty" \right)$   |  $arctan ( +1)$   |  $arctan ( 0)$   |  $arctan ( -1)$   |  $arctan \left( "-\infty" \right)$   |  
 +^ |  $+90°$    |  $+45°$  |  $0°$  |  $-45°$  |  $-90°$  |  
 + 
 +Die Ergebnisse scheinen auch mit dem Verlauf des Arcus Tangens plausibel zu sein (<fc #ff0000>rote Kurve</fc> in <imgref pic7>): Für niedrige Frequenzen geht das Argument des Arcus Tangens gegen $+\infty$ und damit scheint die Phase $\varphi$ gegen $+90°$ zu gehen, für hohe Frequenzen gegen $-90°$.  
 + 
 +<fs x-large>ABER:</fs> Betrachtet man den Phasenverlauf in der Simulation unten, zeigt sich eher ein Verlauf, der mit der schwarzen Linie einhergeht. 
 + 
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ 
 + 
 +<panel type="info" title="Aufgabe 6.1.1 Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> 
 + 
 +  - Betrachten Sie nochmals die [[#uebertragungsfunktion1| Übertragungsfunktion]] und ermitteln Sie die komplexe Verstärkung für $\omega_0 =  \large\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$. \\ Ist dieser Wert positiv (= keine Phasenverschiebung) oder negativ (= Phasenverschiebung um $\pm 180°$)? 
 +  - Betrachten Sie die Schaltung in der Simulation unten an den folgenden Punkten: 
 +    - Anstieg um +20dB/Dek bei niedrigen Frequenzen 
 +    - Mitte des Durchlassbereichs ("Plateau") 
 +    - Abfall um -20dB/Dek bei hohen Frequenzen \\ <WRAP outdent> <WRAP outdent> Welcher Kondensator verhält sich dabei jeweils wie ein Kurzschluss? \\ Mit der Kenntnis des Verhaltens der Kondensatoren: Welche Ersatzschaltung beschreibt das System im Durchlassbereich? </WRAP> </WRAP> 
 +</WRAP></WRAP></panel> 
 + 
 +<WRAP right>{{url>https://falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+50+5+50%0A%25+4+33623165.424224265%0Ac+256+128+304+128+0+0.000006799999999999999+0%0Ar+192+128+256+128+0+33%0AO+400+144+464+144+0%0Ag+304+160+304+192+0%0A170+192+128+160+128+3+20+1000+5+0.1%0Aa+304+144+400+144+0+15+-15+100000000%0Ar+304+80+400+80+0+100%0Ac+304+32+400+32+0+6.8000000000000005e-9+0%0Aw+400+32+400+80+0%0Aw+400+80+400+144+0%0Aw+304+128+304+80+0%0Aw+304+80+304+32+0%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A 700,400 noborder}} 
 +</WRAP> 
 + 
 +Damit lässt sich das Bodediagramm ermitteln.
  
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +==== 6.1.2 Multi-Feedback Bandpass ====
 +
 +<WRAP right><panel type="default"> 
 +<imgcaption pic7| Schaltung des Multi-Feedback Bandpass Filter>
 +</imgcaption>
 +\\ {{drawio>Schaltung_MultiFeedbackBandpassFilter}}
 +</panel></WRAP>
 +
  
 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
Zeile 159: Zeile 199:
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
 +<WRAP onlyprint>
 {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zhvkeaa8/width/1000/height/700/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 1000,700 noborder}} {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zhvkeaa8/width/1000/height/700/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 1000,700 noborder}}
  
 Von der Seite [[https://www.geogebra.org/m/zhvkeaa8|www.geogebra.org/m/zhvkeaa8]], Autor: Tim Fischer. Von der Seite [[https://www.geogebra.org/m/zhvkeaa8|www.geogebra.org/m/zhvkeaa8]], Autor: Tim Fischer.
 +</WRAP>
  
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