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elektronische_schaltungstechnik:6_filterschaltungen_ii [2020/06/08 15:22] tfischer |
elektronische_schaltungstechnik:6_filterschaltungen_ii [2023/09/19 23:09] (aktuell) mexleadmin |
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- | ====== 6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ====== | + | ====== 6 Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ====== |
- | ====== 6.1 Bandpassfilter | + | ===== 6.1 Bandpassfilter ===== |
<WRAP right>< | <WRAP right>< | ||
Zeile 24: | Zeile 24: | ||
Den Bereich zwischen den zwei Frequenzen nennt man **Durchlassbereich**, | Den Bereich zwischen den zwei Frequenzen nennt man **Durchlassbereich**, | ||
- | Ein reelles Filter kann nicht unendlich stark abschwächen. | + | Außerhalb des Durchlassbereichs fällt die Verstärkung ab. Ein reelles Filter kann nicht unendlich stark abschwächen. |
- | Auch gibt es verschiedene ideale Filtern, bei denen außerhalb des Durchlassbereichs nicht Verstärkung nicht gegen Null strebt, sondern nur ein Schwelle unterschreitet. | + | Auch gibt es verschiedene ideale Filtern, bei denen außerhalb des Durchlassbereichs nicht Verstärkung nicht gegen Null strebt, sondern nur ein Schwelle unterschreitet. |
+ | Häufig wird der der abfallende Bereich | ||
+ | Die Schwelle selbst nennt man **Sperrdämpfung**. In <imgref pic1b> sind die Bereiche eingezeichnet. Die Begriffe sind aber nicht eindeutig definiert; in verschiedenen Lehrbüchern wird bereits der Übergangsbereich als Sperrbereich bezeichnet. | ||
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- | === Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers === | + | ==== 6.1.1 Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers |
== Realisation == | == Realisation == | ||
Aus [[5_filterschaltungen_i# | Aus [[5_filterschaltungen_i# | ||
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Die Extremalwertbetrachtung ergibt: | Die Extremalwertbetrachtung ergibt: | ||
- | * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.** | + | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.** |
- | * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.** | + | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.** |
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== komplexwertige Betrachtung der Übertragungsfunktion == | == komplexwertige Betrachtung der Übertragungsfunktion == | ||
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+ | <wrap # | ||
Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, | Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, | ||
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$\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$ | $\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$ | ||
+ | \\ | ||
Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen: | Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen: | ||
- | - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht | + | - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht |
- | - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht | + | - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht |
- | - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: Dies entspricht | + | - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: Dies entspricht |
\\ | \\ | ||
- | Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion: | + | Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion: |
- | * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\ | + | |
+ | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0 } $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\ | ||
* für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators | * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators | ||
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Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $. \\ | Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $. \\ | ||
Damit ergibt sich für den Betrag $|\underline{A}_V|$: | Damit ergibt sich für den Betrag $|\underline{A}_V|$: | ||
- | $|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 C_2^2 R_2^2}} \cdot \large{{\omega \cdot C_1 R_1} \over \sqrt{1+ \omega^2 C_1^2 R_1^2}}$ | + | $ |
+ | $\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, | ||
+ | $\boxed{|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 / \color{teal}{\omega_{Gr, | ||
Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden. \\ | Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden. \\ | ||
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Damit ergibt sich für die Phase $\varphi$ : | Damit ergibt sich für die Phase $\varphi$ : | ||
- | $\varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right) = arctan \left( \frac{1 - \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2}{\omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1} \right)$ | + | $ |
+ | $\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, | ||
+ | $\boxed{\varphi = arctan \left( \frac{\color{teal}{\omega_{Gr, | ||
- | Die Extremalwertbetrachtung | + | \\ |
- | * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ $\varphi(0) = arctan \left( \frac{1 - \omega^2 | + | Die Formal für für die Phase $\varphi$ |
- | * für $ \omega \rightarrow \infty $: \\ $\varphi(\infty) = arctan \left( \frac{1 - \omega^2 | + | Die Extremalwertbetrachtung |
- | * für eine (Kreis)Frequenz $\omega_0$ für die das Argument der $arctan$-Funktion Null wird: $\frac{1 - \omega_0 R_1 C_1 \omega_0 R_2 C_2}{\omega_0 R_2 C_2 + \omega_0 R_1 C_1} = 0 \rightarrow \omega_0^2 = {1 \over {R_1 C_1 R_2 C_2}} \rightarrow \omega_0 = \sqrt{1 \over {R_1 C_1 R_2 C_2}}$: \\ $\varphi(\omega_0) = arctan \left( | + | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:\\ $\varphi(0) = arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 |
- | * für die Grenzfrequenz des Hochpassfilter | + | * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $: \\ $\varphi(\infty) = arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 |
+ | * für eine **(Kreis)Frequenz** $\boldsymbol{\omega= | ||
+ | * für die Grenzfrequenz des Hochpassfilter $\boldsymbol{\omega = \color{brown}{\omega_{Gr, | ||
+ | * für die Grenzfrequenz des Tiefpassfilter | ||
+ | <WRAP right>< | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | \\ {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | Es ergibt sich damit für einzelne Punkte: | ||
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+ | ^ $\boldsymbol{\omega}\quad$ | | ||
+ | ^ $\boldsymbol{\varphi}$ | | ||
+ | ^ | $+90°$ | ||
+ | |||
+ | Die Ergebnisse scheinen auch mit dem Verlauf des Arcus Tangens plausibel zu sein (<fc # | ||
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+ | <fs x-large> | ||
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+ | <panel type=" | ||
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+ | - Betrachten Sie nochmals die [[# | ||
+ | - Betrachten Sie die Schaltung in der Simulation unten an den folgenden Punkten: | ||
+ | - Anstieg um +20dB/Dek bei niedrigen Frequenzen | ||
+ | - Mitte des Durchlassbereichs (" | ||
+ | - Abfall um -20dB/Dek bei hohen Frequenzen \\ <WRAP outdent> <WRAP outdent> Welcher Kondensator verhält sich dabei jeweils wie ein Kurzschluss? | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Damit lässt sich das Bodediagramm ermitteln. | ||
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+ | ==== 6.1.2 Multi-Feedback Bandpass ==== | ||
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+ | <WRAP right>< | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | \\ {{drawio> | ||
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+ | <WRAP onlyprint> | ||
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