DW EditSeite anzeigenÄltere VersionenLinks hierherAlles aus-/einklappenNach oben Diese Seite ist nicht editierbar. Sie können den Quelltext sehen, jedoch nicht verändern. Kontaktieren Sie den Administrator, wenn Sie glauben, dass hier ein Fehler vorliegt. CKG Editor ====== 6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ====== ====== 6.1 Bandpassfilter ====== <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic0| Beispiel: WLAN-Kanäle> </imgcaption> \\ {{drawio>WLAN_Kanäle}} </panel></WRAP> Bei der Analyse unterschiedlicher Signale ist nur ein Teil des gesamten Frequenzspektrums gewünscht. In <imgref pic0> sind als Beispiel die Kanäle des WLAN Standards 802.11 dargestellt; Diese werden abwechselnd zur Datenübertragung genutzt. Ein weiteres Beispiel ergibt sich bei Schwingungsspektren eines Motors in einer Maschine, welche nicht nur die (zur Diagnose verwendbaren) Schwingungen enthält, sondern auch Störungen durch andere Maschinenteile. Andere Beispiele ist die kabelgebundene Datenübertragung oder die [[wpde>Elektroenzephalografie#EEG-Frequenzb%C3%A4nder_und_Graphoelemente|Bänder der Gehirnwellen]]. Zur Separierung der gewünschten Frequenzen kann ein Filter genutzt werden, welcher nur ein vorgegebenes Band zwischen zwei Frequenzen (//Frequenzband//) durchlässt. Dies ist mit einem **Bandpassfilter** möglich. ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic1| Blockschaltbild Bandpass> </imgcaption> \\ {{drawio>Blockschaltbild_Bandpass}} </panel></WRAP> === Zusammensetzen des Bandpass Filter === Dieses Filter lässt sich über durch grundlegenden Tief- und Hochpassfilter zusammensetzen. Wird zunächst der Signal durch einen Tiefpass und anschließend durch einen Hochpass gefiltert, so entsteht das gewünschte Filter. Die Reihenfolge der Filter kann vertauscht werden. <imgref pic1> zeigt dies im Blockschaltbild - dabei ist in (1) ein häufig genutzte und in (2) mit den nach EN 60617 zu verwendenden Schaltzeichen. Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion $\underline{A}_{BP}$ des Bandpasses einfach aus der Übertragungsfunktion der Tief- und Hochpassfilter $\underline{A}_{TP}$ und $\underline{A}_{HP}$, da das Signal nacheinander durch die Filterstufen läuft: $$\underline{A}_{BP}= {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_E}} = {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_1}} \cdot {{\underline{U}_1}\over{\underline{U}_E}} = \underline{A}_{TP} \cdot \underline{A}_{HP}$$ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic2| Amplitudengang Bandpass> </imgcaption> \\ {{drawio>Amplitudengang_Bandpass}} </panel></WRAP> === Amplitudengang des Bandpass Filter === In <imgref pic2> ist der Amplitudengang des Bandpassfilter zu sehen. Da im Amplitudengang die Übertragungsfunktion in $dB$ ($\underline{A}^{dB}$) dargestellt wird, ergibt sich aus der Multiplikation der Übertragungsfunktion der Tief- und Hochpassfilter $\underline{A}_{TP}$ und $\underline{A}_{HP}$ eine Addition von $\underline{A}_{TP}^{dB}$ und $\underline{A}_{HP}^{dB}$. Im Amplitudengang ist zu sehen, dass es zweimal eine Änderung um $20 dB/Dek$ ergibt: einmal bei $f_{Gr,HP}$ und einmal bei $f_{Gr,TP}$. Das Filter hat also eine Ordnung von 2. Wichtig dabei: Die Grenzfrequenz des Tiefpassfiter $f_{Gr,TP}$ muss größer sein, als die Grenzfrequenz des Hochpassfilter $f_{Gr,HP}$ (siehe <imgref pic2>). Wie sieht aber nun der Frequenzgang aus? Dies soll im Folgenden hergeleitet werden. ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic3| Schaltung des Bandpassfilter auf Basis des invertierenden Verstärkers > </imgcaption> \\ {{drawio>Schaltung_Bandpassfilter_invertierender_Verstärker}} </panel></WRAP> === Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers === == Realisation == Aus [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Kapitel 5]] sind die Schaltungen von Hochpass- und Tiefpass-Filter bekannt. Daraus lässt sich die in <imgref pic3> dargestellte Schaltung ableiten. Diese soll etwas näher betrachtet werden. Die Extremalwertbetrachtung ergibt: * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.** * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.** \\ == komplexwertige Betrachtung der Übertragungsfunktion == Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, invertierenden Verstärker hergeleitet werden: $\underline{A}_V = {{\underline{U}_A}\over{\underline{U}_E}} = - {{\underline{Z}_2}\over{\underline{Z}_1}} = - {\underline{Z}_2}\cdot {1\over{\underline{Z}_1}} = - \Large{{{R_2\cdot {1\over{j\omega C_2}}}\over{{R_2 + {1\over{j\omega C_2}}}}}}\cdot{1 \over{{R_1 + {1\over{j\omega C_1}}}}}= - \Large{{{R_2}\over{{j\omega C_2 R_2 + 1}}}}\cdot{j\omega C_1 \over{{j\omega C_1 R_1 + 1}}} \Bigg| {{\cdot R_1}\over{\cdot R_1}}$ $\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$ Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen: - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht dem [[3_grundschaltungen_i#invertierender_verstaerker|invertierenden Verstärker]] - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht dem [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Tiefpass 1. Ordnung]] - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: Dies entspricht dem [[5_filterschaltungen_i#hochpass|Hochpass 1. Ordnung]] \\ Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion: * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\ * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators \\ == Ermittlung von Betrag und Phase aus der komplexwertigen Betrachtung == Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $. \\ Damit ergibt sich für den Betrag $|\underline{A}_V|$: \\ $|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 C_2^2 R_2^2}} \cdot \large{{\omega \cdot C_1 R_1} \over \sqrt{1+ \omega^2 C_1^2 R_1^2}}$ Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden. \\ Dies erzeugt zwar zunächst eine unhandliche Gleichung - aus dieser kann aber eine realwertige Konstante abgetrennt werden. $\underline{A}_V = - \color{blue}\large{R_2 \over R_1 } $ $\cdot \large\color{teal }{ 1 \over \color{lightgray}{\boxed{\color{teal }{\small{1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}}}}$ $\cdot \large\color{teal }{{1- j\omega \cdot C_2 R_2} \over \color{lightgray}{\boxed{\color{teal }{\small{1- j\omega \cdot C_2 R_2}}}}}$ $\cdot \large\color{brown}{{ j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{ pink }{\boxed{\color{brown}{\small{1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}}}$ $\cdot \large\color{brown}{{1- j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{ pink }{\boxed{\color{brown}{\small{1- j\omega \cdot C_1 R_1}}}}}$ $\underline{A}_V = \quad \quad \quad \mathcal{C} \quad \quad \quad \quad$ $ \cdot \color{teal }{(1- j\omega \cdot C_2 R_2)}$ $\ \cdot \ \color{brown}{ j\omega \cdot C_1 R_1 }$ $\ \cdot \ \color{brown}{(1- j\omega \cdot C_1 R_1)}$ $\underline{A}_V = \quad \quad \quad \mathcal{C} \quad \quad \quad \quad$ $ \cdot (j + \omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1 - j \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2)$ Aus dieser Gleichung lassen sich einfach die Anteile für Realteil $\Re(\underline{A}_V)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_V)$ ablesen. \\ Damit ergibt sich für die Phase $\varphi$ : $\varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right) = arctan \left( \frac{1 - \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2}{\omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1} \right)$ Die Extremalwertbetrachtung für die Phase $\varphi$ kann nun für einige markante Frequenzen geführt werden: * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ $\varphi(0) = arctan \left( \frac{1 - \omega^2 \mathcal{C}_1}{\omega \mathcal{C}_2} \right) \rightarrow arctan \left( \frac{1 - 0}{0} \right) = arctan \left( "+\infty" \right)$ \\ \\ * für $ \omega \rightarrow \infty $: \\ $\varphi(\infty) = arctan \left( \frac{1 - \omega^2 \mathcal{C}_1}{\omega \mathcal{C}_2} \right) \rightarrow arctan \left( \frac{1 - "\infty"^2}{"\infty"} \right) = arctan \left( "-\infty" \right)$ \\ \\ * für eine (Kreis)Frequenz $\omega_0$ für die das Argument der $arctan$-Funktion Null wird: $\frac{1 - \omega_0 R_1 C_1 \omega_0 R_2 C_2}{\omega_0 R_2 C_2 + \omega_0 R_1 C_1} = 0 \rightarrow \omega_0^2 = {1 \over {R_1 C_1 R_2 C_2}} \rightarrow \omega_0 = \sqrt{1 \over {R_1 C_1 R_2 C_2}}$: \\ $\varphi(\omega_0) = arctan \left( 0 \right)$ \\ \\ * für die Grenzfrequenz des Hochpassfilter $\omega_{Gr, HP} = {1 \over {R_1 C_1}}$: Hierfür wird angenommen, dass $\omega_{Gr, HP} ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right><panel type="default"> <imgcaption pic6| Bodediagramm Bandpass> </imgcaption> \\ {{drawio>Bodediagramm_Bandpass}} </panel></WRAP> ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ====== 6.2 Bandsperre ====== Elektrotechnik 2 und Elektrotechnik Labor haben bereits Einblicke in Schwingkreise gegeben. In diesen Schaltungen ergeben sich bei bestimmte Frequenzen Schwingungen, die Energien aus dem System aufnehmen können ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zhvkeaa8/width/1000/height/700/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 1000,700 noborder}} Von der Seite [[https://www.geogebra.org/m/zhvkeaa8|www.geogebra.org/m/zhvkeaa8]], Autor: Tim Fischer. ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ==== Hausarbeiten ==== Beispiel: Auswertung eines Infrarot-Sensors: * Vom Hersteller fehlen die Knoten in der Schaltung --> korrekte Schaltung ist zu zeichnen * welchen Grundschaltungen entspricht OPV 1 und 2? Welchen Filtenn entsprechen beide? {{elektronische_schaltungstechnik:murata_beispiel_opv_schaltung.jpg?600}} ====== Referenzen ====== --> Referenzen zu den genutzten Medien # ^ Element ^ Lizenz ^ Link ^ | <imgref pic5>: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen | Public Domain | https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif | | <imgref pic6>: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en|CC-BY SA 3.0]] | https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif | | <imgref pic7>: Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen | [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en|CC-BY SA 4.0]] | https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Example_of_Fourier_Convergence.gif | <--