Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- elektronische_schaltungstechnik:6_filterschaltungen_ii [2020/06/07 22:35]
tfischer
+++ elektronische_schaltungstechnik:6_filterschaltungen_ii [2023/09/19 23:09] (aktuell)
mexleadmin
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-====== 6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ======
+====== 6 Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ======
-====== 6.1 Bandpassfilter ======
+===== 6.1 Bandpassfilter =====
 <WRAP right><panel type="default">
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 Zur Separierung der gewünschten Frequenzen kann ein Filter genutzt werden, welcher nur ein vorgegebenes Band zwischen zwei Frequenzen (//Frequenzband//) durchlässt. Dies ist mit einem **Bandpassfilter** möglich.
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+<WRAP right><panel type="default">
+<imgcaption pic1b| Toleranzschema für ein Bandpassfilter>
+</imgcaption>
+\\ {{drawio>Toleranzschema_Bandpassfilter}}
+</panel></WRAP>
+=== Bereiche im Frequenzgang ===
+Den Bereich zwischen den zwei Frequenzen nennt man **Durchlassbereich**, oder Bandbreite.
+Außerhalb des Durchlassbereichs fällt die Verstärkung ab. Ein reelles Filter kann nicht unendlich stark abschwächen.
+Auch gibt es verschiedene ideale Filtern, bei denen außerhalb des Durchlassbereichs nicht Verstärkung nicht gegen Null strebt, sondern nur ein Schwelle unterschreitet.
+Häufig wird der der abfallende Bereich **Übergangsbereich** genannt und der der Bereich unterhalb der Schwelle **Sperrbereich**.
+Die Schwelle selbst nennt man **Sperrdämpfung**. In <imgref pic1b> sind die Bereiche eingezeichnet. Die Begriffe sind aber nicht eindeutig definiert; in verschiedenen Lehrbüchern wird bereits der Übergangsbereich als Sperrbereich bezeichnet.
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 </panel></WRAP>
-=== Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers ===
+==== 6.1.1 Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers ====
 == Realisation ==
 Aus [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Kapitel 5]] sind die Schaltungen von Hochpass- und Tiefpass-Filter bekannt. Daraus lässt sich die in <imgref pic3> dargestellte Schaltung ableiten.
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 Die Extremalwertbetrachtung ergibt:
-  * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und  $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.**
+  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird groß \\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \gg R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \gg R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{X}_{C_1}$ bei $\underline{Z}_1$ und  $\underline{R}_2$ bei $\underline{Z}_2$. \\ $\rightarrow$ **Bei tiefen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Differentiator.**
-  * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und  $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\  $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.**
+  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $:\\ Der Betrag der Impedanz der Kapazitäten wird klein\\ und damit ist $|\underline{X}_{C_1}| \ll R_1$ , sowie $|\underline{X}_{C_2}| \ll R_2$ \\ Es überwiegt also $\underline{R}_1$ bei $\underline{Z}_1$ und  $\underline{X}_{C_2}$ bei $\underline{Z}_2$. \\  $\rightarrow$ **Bei hohen Frequenzen ergibt sich ein Umkehr-Integrator.**
-== komplexwertige Betrachtung ==
+\\
+== komplexwertige Betrachtung der Übertragungsfunktion ==
+<wrap #uebertragungsfunktion1 />
 Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, invertierenden Verstärker hergeleitet werden:
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 $\boxed{\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}$
+\\
 Durch die geschickte Umformung ergibt sich ein interessantes Ergebnis aus folgenden Teilen:
-  - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht dem [[3_grundschaltungen_i#invertierender_verstaerker|invertierenden Verstärker]]
+  - $- \color{blue}{R_2 \over R_1 }$: Dies entspricht einem [[3_grundschaltungen_i#invertierender_verstaerker|invertierenden Verstärker]]
-  - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht dem [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Tiefpass 1. Ordnung]]
+  - $\large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}$: Dies entspricht einem [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Tiefpass 1. Ordnung]] mit einer Grenzfrequenz von $\color{teal}{\omega_{Gr, TP}= {1 \over {C_2 R_2}}}$
-  - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: : Dies entspricht dem [[5_filterschaltungen_i#hochpass|Hochpass 1. Ordnung]]
+  - $\large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}$: Dies entspricht einem [[5_filterschaltungen_i#hochpass|Hochpass 1. Ordnung]] mit einer Grenzfrequenz von $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}= {1 \over {C_1 R_1}}}$
-Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion:
+\\
-  * für $ \omega \rightarrow 0 $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\
+Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion:
+  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0     } $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\
   * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators
-Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $.
+\\
+== Ermittlung von Betrag und Phase aus der komplexwertigen Betrachtung ==
-Damit ergibt sich
+Für den Betrag $|\underline{A}_V|$ der Übertragungsfunktion kann folgender Tipp genutzt werden: $|a\cdot b\cdot c| = |a| \cdot |b| \cdot |c| $. \\
-$|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 C_2^2 R_2^2}} \cdot \large{{\omega \cdot C_1 R_1} \over \sqrt{1+ \omega^2 C_1^2 R_1^2}}$
+Damit ergibt sich für den Betrag $|\underline{A}_V|$: \\
+$       |\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 C_2^2 R_2^2}} \cdot \large{{\omega \cdot C_1 R_1} \over \sqrt{1+ \omega^2 C_1^2 R_1^2}} $
+$\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}, \ \ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$
+$\boxed{|\underline{A}_V| = {R_2 \over R_1 } \cdot \large{1 \over \sqrt{1+ \omega^2 / \color{teal}{\omega_{Gr, TP}^2}}} \cdot \large{{\omega / \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}} \over \sqrt{1+ \omega^2 \color{brown} / {\omega_{Gr, HP}}^2}}}$
-Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden. Die erzeugt zwar zunächst eine unhandliche Gleichung - aus dieser kann aber eine realwertige Konstante abgetrennt werden.
+Für die Phase $\varphi$ muss wieder konjungiert komplex erweitert werden. \\
+Dies erzeugt zwar zunächst eine unhandliche Gleichung - aus dieser kann aber eine realwertige Konstante abgetrennt werden.
-$\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over \color{SpringGreen}\boxed{\color{black}{1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}  \cdot \large\color{teal}{{1- j\omega \cdot C_2 R_2} \over \color{SpringGreen}\boxed{\color{black}{1- j\omega \cdot C_2 R_2}}} \cdot \large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{Apricot}\boxed{\color{black}{1+ j\omega \cdot C_1 R_1}} \cdot \large\color{brown}{{1- j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1- j\omega \cdot C_1 R_1}}$
+$\underline{A}_V = - \color{blue}\large{R_2 \over R_1 } $
+$\cdot \large\color{teal }{          1                \over \color{lightgray}{\boxed{\color{teal }{\small{1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}}}}$
+$\cdot \large\color{teal }{{1- j\omega \cdot C_2 R_2} \over \color{lightgray}{\boxed{\color{teal }{\small{1- j\omega \cdot C_2 R_2}}}}}$
+$\cdot \large\color{brown}{{   j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{  pink   }{\boxed{\color{brown}{\small{1+ j\omega \cdot C_1 R_1}}}}}$
+$\cdot \large\color{brown}{{1- j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{  pink   }{\boxed{\color{brown}{\small{1- j\omega \cdot C_1 R_1}}}}}$
-$\underline{A}_V = - \color{blue}{R_2 \over R_1 } \cdot \large\color{teal}{1 \over \color{SpringGreen}\boxed{\color{teal}{1+ j\omega \cdot C_2 R_2}}}$
+$\underline{A}_V = \quad \quad \quad \mathcal{C} \quad \quad \quad \quad$
+$  \cdot   \color{teal }{(1- j\omega \cdot C_2 R_2)}$
+$\ \cdot \ \color{brown}{    j\omega \cdot C_1 R_1 }$
+$\ \cdot \ \color{brown}{(1- j\omega \cdot C_1 R_1)}$
-~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+$\underline{A}_V = \quad \quad \quad \mathcal{C} \quad \quad \quad \quad$
+$  \cdot   (j + \omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1 - j \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2)$
+Aus dieser Gleichung lassen sich einfach die Anteile für Realteil $\Re(\underline{A}_V)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_V)$ ablesen. \\
+Damit ergibt sich für die Phase $\varphi$ :
+$       \varphi = arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_V)}{\Re(\underline{A}_V)} \right) = arctan \left( \frac{1 - \omega R_1 C_1 \omega R_2 C_2}{\omega R_2 C_2 + \omega R_1 C_1} \right)$
+$\xrightarrow{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}, \ \ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$
+$\boxed{\varphi = arctan \left( \frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \omega^2 }{\omega (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right)}$
+\\
+Die Formal für für die Phase $\varphi$ sagt
+Die Extremalwertbetrachtung kann nun für einige markante Frequenzen geführt werden:
+  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:\\ $\varphi(0) = arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - \omega^2}{\omega \mathcal{C}_2} \right) \rightarrow arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - "0"}{"0"} \right) = arctan \left( "+\infty" \right)$ \\ \\
+  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $: \\ $\varphi(\infty) = arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - \omega^2}{\omega \mathcal{C}_2} \right) \rightarrow arctan \left( \frac{\mathcal{C}_1 - "\infty"^2}{"\infty"} \right) = arctan \left( "-\infty" \right)$ \\ \\
+  * für eine **(Kreis)Frequenz** $\boldsymbol{\omega= \omega_0}$ **für die das Argument der** $\boldsymbol{arctan}$**-Funktion Null wird**. \\ Damit wird die Phase: \\ $\varphi(\omega_0) = arctan \left( 0 \right)$. \\ Die entsprechende Frequenz ergibt sich zu: \\ $\large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \omega^2 }{\omega (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} = 0 \quad\rightarrow\quad \omega_0^2 = \color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \quad\rightarrow\quad \omega_0 =  \large\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$ \\ \\
+  * für die Grenzfrequenz des Hochpassfilter $\boldsymbol{\omega = \color{brown}{\omega_{Gr, HP} = {1 \over {R_1 C_1}}}}$. \\ Hierfür kann bei hinreichend großem Durchlassbereich $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \ll \color{teal}\omega_{Gr, TP}$ angenommen werden. \\ Damit ergibt sich: \\ $\varphi(\color{brown}{\omega_{Gr, HP}}) = arctan \left( \large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}^2 }{\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right)      =     arctan \left( \large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} - \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} }{ (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right) \xrightarrow{\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \ll \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}} \varphi(\color{brown}{\omega_{Gr, HP}}) = arctan (1)$ \\ \\
+  * für die Grenzfrequenz des Tiefpassfilter $\boldsymbol{\omega = \color{teal}{\omega_{Gr, TP} = {1 \over {R_2 C_2}}}}$. \\ Hierfür kann bei hinreichend großem Durchlassbereich $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \gg \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}$ angenommen werden. \\ Damit ergibt sich: \\ $\varphi(\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}) = arctan \left( \large\frac{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}^2 }{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right)      =     arctan \left( \large\frac{ \color{brown}{\omega_{Gr, HP}} - \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}}{ (\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}+\color{brown}{\omega_{Gr, HP}})} \right) \xrightarrow{\color{brown}{\omega_{Gr, HP}} \gg \color{teal}{\omega_{Gr, TP}}} \varphi(\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}) = arctan (-1)$
 <WRAP right><panel type="default">
-<imgcaption pic6| Bodediagramm Bandpass>
+<imgcaption pic7| Arcus Tangens für Bandpass>
 </imgcaption>
-\\ {{drawio>Bodediagramm_Bandpass}}
+\\ {{drawio>ArcusTangens_Bandpass}}
 </panel></WRAP>
-~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+\\
+Es ergibt sich damit für einzelne Punkte:
-====== 6.2 Bandsperre ======
+^ $\boldsymbol{\omega}\quad$	|  $\rightarrow 0$   			|  $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}}$  	|  $\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$	|  $\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}$  	|  $\rightarrow \infty$ 	|
+^ $\boldsymbol{\varphi}$	|  $arctan \left( "+\infty" \right)$   	|  $arctan ( +1)$  			|  $arctan ( 0)$  								|  $arctan ( -1)$  											|  $arctan \left( "-\infty" \right)$  	|
+^ 	|  $+90°$   	|  $+45°$  			|  $0°$  								|  $-45°$  											|  $-90°$  	|
-Elektrotechnik 2 und Elektrotechnik Labor haben bereits Einblicke in Schwingkreise gegeben. In diesen Schaltungen ergeben sich bei bestimmte Frequenzen Schwingungen, die Energien aus dem System aufnehmen können
+Die Ergebnisse scheinen auch mit dem Verlauf des Arcus Tangens plausibel zu sein (<fc #ff0000>rote Kurve</fc> in <imgref pic7>): Für niedrige Frequenzen geht das Argument des Arcus Tangens gegen $+\infty$ und damit scheint die Phase $\varphi$ gegen $+90°$ zu gehen, für hohe Frequenzen gegen $-90°$.
+<fs x-large>ABER:</fs> Betrachtet man den Phasenverlauf in der Simulation unten, zeigt sich eher ein Verlauf, der mit der schwarzen Linie einhergeht.
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-=== beliebige periodische Signale ===
+<panel type="info" title="Aufgabe 6.1.1 Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-<WRAP right><imgcaption pic5|Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen>
+  - Betrachten Sie nochmals die [[#uebertragungsfunktion1| Übertragungsfunktion]] und ermitteln Sie die komplexe Verstärkung für $\omega_0 =  \large\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$. \\ Ist dieser Wert positiv (= keine Phasenverschiebung) oder negativ (= Phasenverschiebung um $\pm 180°$)?
-{{elektronische_schaltungstechnik:fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif}}
+  - Betrachten Sie die Schaltung in der Simulation unten an den folgenden Punkten:
-</imgcaption> </WRAP>
+    - Anstieg um +20dB/Dek bei niedrigen Frequenzen
+    - Mitte des Durchlassbereichs ("Plateau")
+    - Abfall um -20dB/Dek bei hohen Frequenzen \\ <WRAP outdent> <WRAP outdent> Welcher Kondensator verhält sich dabei jeweils wie ein Kurzschluss? \\ Mit der Kenntnis des Verhaltens der Kondensatoren: Welche Ersatzschaltung beschreibt das System im Durchlassbereich? </WRAP> </WRAP>
+</WRAP></WRAP></panel>
-Im vorherigen Kapitel wurde bereits eine sinusförmige Eingangsspannung zur Analyse herangezogen. Wie wirken die Filter Hier soll nun nochmals kurz ein Fokus darauf gelegt werden.
+<WRAP right>{{url>https://falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+50+5+50%0A%25+4+33623165.424224265%0Ac+256+128+304+128+0+0.000006799999999999999+0%0Ar+192+128+256+128+0+33%0AO+400+144+464+144+0%0Ag+304+160+304+192+0%0A170+192+128+160+128+3+20+1000+5+0.1%0Aa+304+144+400+144+0+15+-15+100000000%0Ar+304+80+400+80+0+100%0Ac+304+32+400+32+0+6.8000000000000005e-9+0%0Aw+400+32+400+80+0%0Aw+400+80+400+144+0%0Aw+304+128+304+80+0%0Aw+304+80+304+32+0%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A 700,400 noborder}}
+</WRAP>
-In <imgref pic5> ist zu sehen, dass ein Rechtecksignal durch mehrere sinusförmige Signale angenähert werden kann. Werden von diesen Signalen die Amplituden über die Frequenz aufgetragen, so erhält man ein Abbild des Signals im Frequenzbereich. Diese Umwandlung geschieht rechnerisch über die [[https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation|Fouriertransformation]] und wird in weiterführenden Fächern, wie Regelungstechnik, Signale und Systeme und Digitale Signalverarbeitung ausführlich behandelt.
+Damit lässt sich das Bodediagramm ermitteln.
-Für sehr schnelle Änderungen werden hochfrequente Anteile benötigt.
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+==== 6.1.2 Multi-Feedback Bandpass ====
-Bereits beim [[4_grundschaltungen_ii#umkehraddierer|Umkehraddierer]] wurde ersichtlich, dass aus mehreren sinusförmigen Spannungen ein periodisches Sägezahnsignal zusammengesetzt werden kann.
+<WRAP right><panel type="default">
+<imgcaption pic7| Schaltung des Multi-Feedback Bandpass Filter>
+</imgcaption>
+\\ {{drawio>Schaltung_MultiFeedbackBandpassFilter}}
+</panel></WRAP>
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-<WRAP right><imgcaption pic6|Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen>
+<WRAP right><panel type="default">
-{{elektronische_schaltungstechnik:fourier_series_square_wave_circles_animation.gif}}
+<imgcaption pic6| Bodediagramm Bandpass>
-</imgcaption> </WRAP>
+</imgcaption>
+\\ {{drawio>Bodediagramm_Bandpass}}
+</panel></WRAP>
-<WRAP right><imgcaption pic7|Annäherung an ein beliebiges Signal>
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
-{{elektronische_schaltungstechnik:example_of_fourier_convergence.gif}}
-</imgcaption> </WRAP>
-Aus den Sinus
+====== 6.2 Bandsperre ======
-Das englische Video [[https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k|But what is a Fourier series?]] erklärt anschaulich, wie selbst Vektorbilder über die Überlagerung von Sinusfunktionen generiert werden können.
+Elektrotechnik 2 und Elektrotechnik Labor haben bereits Einblicke in Schwingkreise gegeben. In diesen Schaltungen ergeben sich bei bestimmte Frequenzen Schwingungen, die Energien aus dem System aufnehmen können
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+<WRAP onlyprint>
 {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zhvkeaa8/width/1000/height/700/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 1000,700 noborder}}
 Von der Seite [[https://www.geogebra.org/m/zhvkeaa8|www.geogebra.org/m/zhvkeaa8]], Autor: Tim Fischer.
+</WRAP>
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