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elektronische_schaltungstechnik:6_filterschaltungen_ii [2020/06/08 23:49]
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mexleadmin
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-====== 6. Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ======+====== 6 Filterschaltungen II - Filter höherer Ordnung ======
  
-====== 6.1 Bandpassfilter ======+===== 6.1 Bandpassfilter =====
  
 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
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 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
  
-=== Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers ===+==== 6.1.1 Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers ====
 == Realisation == == Realisation ==
 Aus [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Kapitel 5]] sind die Schaltungen von Hochpass- und Tiefpass-Filter bekannt. Daraus lässt sich die in <imgref pic3> dargestellte Schaltung ableiten. Aus [[5_filterschaltungen_i#tiefpass|Kapitel 5]] sind die Schaltungen von Hochpass- und Tiefpass-Filter bekannt. Daraus lässt sich die in <imgref pic3> dargestellte Schaltung ableiten.
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 == komplexwertige Betrachtung der Übertragungsfunktion == == komplexwertige Betrachtung der Übertragungsfunktion ==
 +
 +<wrap #uebertragungsfunktion1 />
  
 Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, invertierenden Verstärker hergeleitet werden: Die Übertragungsfunktion soll wieder aus einem komplexwertigen, invertierenden Verstärker hergeleitet werden:
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-Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion: +Damit ergibt sich über die Extremalwertbetrachtung als Funktion:   
-  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0} $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\ + 
-  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow \infty} $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators+  * für $ \boldsymbol{\omega \rightarrow 0     } $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{teal}{j\omega \cdot C_2 R_2}}_{\rightarrow 0}}}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over {1+ \color{black}{\underbrace{\color{brown}{j\omega \cdot C_1 R_1}}_{\rightarrow 0}}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over 1} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over 1} \rightarrow - \color{brown}{\normalsize{j\omega \cdot C_1 \color{black}{R_2}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Differentiators \\ \\ 
 +  * für $ \omega \rightarrow \infty $:\\ $\underline{A}_V = - \Large{R_2 \over R_1 } \cdot \Large\color{teal}{1 \over {1+ j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{{j\omega \cdot C_1 R_1} \over \color{brown}{1+ {j\omega \cdot C_1 R_1}}} \rightarrow - {R_2 \over R_1 } \cdot \color{teal}{ 1 \over {j\omega \cdot C_2 R_2}} \cdot \Large\color{brown}{1 \over 1} \rightarrow - \color{teal}{1 \over {j\omega \cdot C_2 \color{black}{R_1}}}$ \\ Die Gleichung entspricht der eines Umkehr-Integrators
  
 \\  \\ 
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 </panel></WRAP> </panel></WRAP>
  
 +\\
 Es ergibt sich damit für einzelne Punkte:  Es ergibt sich damit für einzelne Punkte: 
  
 ^ $\boldsymbol{\omega}\quad$ |  $\rightarrow 0$    |  $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}}$  |  $\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$ |  $\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}$  |  $\rightarrow \infty$ | ^ $\boldsymbol{\omega}\quad$ |  $\rightarrow 0$    |  $\color{brown}{\omega_{Gr, HP}}$  |  $\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$ |  $\color{teal}{\omega_{Gr, TP}}$  |  $\rightarrow \infty$ |
 ^ $\boldsymbol{\varphi}$ |  $arctan \left( "+\infty" \right)$    |  $arctan ( +1)$  |  $arctan ( 0)$  |  $arctan ( -1)$  |  $arctan \left( "-\infty" \right)$  |  ^ $\boldsymbol{\varphi}$ |  $arctan \left( "+\infty" \right)$    |  $arctan ( +1)$  |  $arctan ( 0)$  |  $arctan ( -1)$  |  $arctan \left( "-\infty" \right)$  | 
-^ laut \\ Taschenrechner |  $+90°$    |  $+45°$  |  $0°$  |  $-45°$  |  $-90°$  | +^  |  $+90°$    |  $+45°$  |  $0°$  |  $-45°$  |  $-90°$  |  
 + 
 +Die Ergebnisse scheinen auch mit dem Verlauf des Arcus Tangens plausibel zu sein (<fc #ff0000>rote Kurve</fc> in <imgref pic7>): Für niedrige Frequenzen geht das Argument des Arcus Tangens gegen $+\infty$ und damit scheint die Phase $\varphi$ gegen $+90°$ zu gehen, für hohe Frequenzen gegen $-90°$.  
 + 
 +<fs x-large>ABER:</fs> Betrachtet man den Phasenverlauf in der Simulation unten, zeigt sich eher ein Verlauf, der mit der schwarzen Linie einhergeht. 
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 +<panel type="info" title="Aufgabe 6.1.1 Bandpass auf Basis des invertierenden Verstärkers"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 +
 +  - Betrachten Sie nochmals die [[#uebertragungsfunktion1| Übertragungsfunktion]] und ermitteln Sie die komplexe Verstärkung für $\omega_0 =  \large\sqrt{\color{teal}{\omega_{Gr, TP}} \color{brown}{\omega_{Gr, HP}}}$. \\ Ist dieser Wert positiv (= keine Phasenverschiebung) oder negativ (= Phasenverschiebung um $\pm 180°$)?
 +  - Betrachten Sie die Schaltung in der Simulation unten an den folgenden Punkten:
 +    - Anstieg um +20dB/Dek bei niedrigen Frequenzen
 +    - Mitte des Durchlassbereichs ("Plateau")
 +    - Abfall um -20dB/Dek bei hohen Frequenzen \\ <WRAP outdent> <WRAP outdent> Welcher Kondensator verhält sich dabei jeweils wie ein Kurzschluss? \\ Mit der Kenntnis des Verhaltens der Kondensatoren: Welche Ersatzschaltung beschreibt das System im Durchlassbereich? </WRAP> </WRAP>
 +</WRAP></WRAP></panel>
 +
 +<WRAP right>{{url>https://falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+50+5+50%0A%25+4+33623165.424224265%0Ac+256+128+304+128+0+0.000006799999999999999+0%0Ar+192+128+256+128+0+33%0AO+400+144+464+144+0%0Ag+304+160+304+192+0%0A170+192+128+160+128+3+20+1000+5+0.1%0Aa+304+144+400+144+0+15+-15+100000000%0Ar+304+80+400+80+0+100%0Ac+304+32+400+32+0+6.8000000000000005e-9+0%0Aw+400+32+400+80+0%0Aw+400+80+400+144+0%0Aw+304+128+304+80+0%0Aw+304+80+304+32+0%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A 700,400 noborder}}
 +</WRAP>
 +
 +Damit lässt sich das Bodediagramm ermitteln.
 +
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 +==== 6.1.2 Multi-Feedback Bandpass ====
 +
 +<WRAP right><panel type="default"> 
 +<imgcaption pic7| Schaltung des Multi-Feedback Bandpass Filter>
 +</imgcaption>
 +\\ {{drawio>Schaltung_MultiFeedbackBandpassFilter}}
 +</panel></WRAP>
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 <WRAP right><panel type="default">  <WRAP right><panel type="default"> 
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 +<WRAP onlyprint>
 {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zhvkeaa8/width/1000/height/700/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 1000,700 noborder}} {{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zhvkeaa8/width/1000/height/700/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false 1000,700 noborder}}
  
 Von der Seite [[https://www.geogebra.org/m/zhvkeaa8|www.geogebra.org/m/zhvkeaa8]], Autor: Tim Fischer. Von der Seite [[https://www.geogebra.org/m/zhvkeaa8|www.geogebra.org/m/zhvkeaa8]], Autor: Tim Fischer.
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