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 <WRAP>
-{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=DwYwlgTgBAZgvAIgMwKgFwM6IAwDpsHYCcJpZJqYIOuALABwDsAjMwGwCspATLR7Yw6oQAI0RIUUAA5iEtSQDcIiIVAC2mFQFMAtKwQA+AFBQowAIZQAHom716UZnahJ6tR3dTwE9VGvOIzKpqYIh6qgDmAQjMhAQIAPTGpsAA7tbibo5OLllstF44iclmIBnIee52DvmFCNjCKvhxLXHMuoyUCjQEzKgYyvWoCgAmiLS4HGzY9ByMjNyM9Ni0tNicxSZm6TYI1VD5UPus3HUNSVvA0LvcM9ncR-b3Z6iDsfEXKdeZ7kgP+38XlA3oRNikdrYnn9HjUCrAip9tuVXL8HiiDnDvOcSsAIuVjqsYY5GGwXojgAAlcpOBw0qBENgeXzwoZQVLeU6wQZrPzmKzdBBCckAGwAdsisnT0dx2HU4WgtIgAKoAfQA8n1yQBlEAAeykWmRbActwcHByi05WMMWxSuqgWlFgQaUAwUnGdSst1usukYT65SgNtMIbMUigApdGGoCEYuHo3DmRCQjCItE4SCCnLUWDkfndQ0RoeA4YFkmjPV6flzeDitHIDbIpPUBextrMCV1OISOv1WhxGAhMRJGPpjNqLOzoT2Lv8zvi6gFqkHNE1OK1+LuJ2JjJOQOF05daAAFrYwWYxZvaRa7jLm955YqEKqAJLn4AKakjuk-zwsl3sog97cqC6h8ku76XrsUzYEyUAwUcvoPqgCrKuqpzkniuzpu4zCEjhO5kjiQ4IdCCETta5JDgR0IERRCI4t8grTC4Dw0VaRTAvObZfBKuE5ARe7-q83HvtRhyHIJThEZcZTQSxkkSZinExrWbSqGAkbNAGAycaMYRILgbDTPktBBKw-AkAwYnlAhdLkcphY4pY2GHPZLE0nUzJzjEwTTuEqBRNxHzEXx9y5Lhf6UeueoGrZhKmlAjArEcCwvCUdoOk6MTNm6Hosl6hC+gWeioLsQYZSGJYRpxFY+HQXC9DMVmuNW+VqK257FqW4j9KpzTYAGOaVgQ9aNo2zYdQx7bAJ23a9gaoW7MwI4MjuGIySkC2GstRD-HcEiMpa6UzfajqBHCeV5gVty9M2JUBuVwahmGNWsnVsRtddU1Oe2KQ9cgfWrl9tbBJ1RYdl2lw9rF-ZGLN4AQMYQA noborder}}
+{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=DwYwlgTgBAZgvAIgMwKgFwM6IAwDpsHYCcJpZJqYIOuALABwDsAjMwGwCspATLR7Yw6oQAI0RIUUAA5iEtSQDcIiIVAC2mFQFMAtKwQA+AFBQowAIZQAHom716UZnahJ6tR3dTwE9VGvOIzKpqYIh6qgDmAQjMhAQIAPTGpsAA7tbibo5OLllstF44iclmIBnIee52DvmFCNjCKvhxLXHMuoyUCjQEzKgYyvWoCgAmiLS4HGzY9ByMjNyM9Ni0tNicxSZm6TYI1VD5UPus3HUNSVvA0LvcM9ncR-b3Z6iDsfEXKdeZ7kgP+38XlA3oRNikdrYnn9HjUCrAip9tuVXL8HiiDnDvOcSsAIuVjqsYY5GGwXojgAAlcpPJwOKYeXzwoZQVLeU6wQZrPzmKzdBBCckAGwAdsisrTclV2HU4WgtIgAKoAfQA8n1yQBlEAAeykWmRbAc3F4UA4OWqLxKKW1UC0wsCDSgGCk4zqVlut2l0jCfXKUEMW1MKSkUD5jow1AQjFw9G4cyISEYRFonCQQXZaiwcj8LqGiKDZhDfMkEZ6vT8WbwcVo5FrZFJ6lz2MDZgS2pxCS1uq0OIwEJiJIxprYGLqGdCe0d-gd8XUfNUfZo6pxGvxdxOxJHJyBgonjrQAAtbGCzCK1w4N7cjV7vLL5QhlQBJE-ABTlZiDiU0zxMx2sxANjAnKguoPLzi+Z67FM2AMsOMHcDerroPeyoqqc5J4rsKbuMwhLYZuZI4v20EuA8JG1L+L79vh0L4RRWIvt8-LTKRUA0eyDHAjOzZfGKOE5Ph26UVxMSguS1GHIcglOIRlxlFBLFSZJmJFFAkZVm0qhgGGzS+gMqmjGESC4Gw0z5LQQSsPwJAMFR5QkRK5EqXmOKWFhhyOSxtJ1Iy04xMEE7hKgUTcR8RF8fckoMrJKRdnq9mEsa7iMCsMKWi2wA2nagQNs6SHeO6hBermeioLs-pWkGwBFqppY+HQXC9DMNmuBWSFqE2J4FtVobiP06nNNgvqZmWBA1nWdYNh1CKVcAbYdnFPaXP2H4jkQW6DvRM2XIt75EP8JoSCOFqUbNWX2jEcJ5dmTKFb0DYlb65UBgWwa9cydWxG1N3TS5LZvcW-VLt9VbBJ1+atu2lydjqerGHN4AQMYQA noborder}}
 </WRAP>
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 Als Testsignal eignet sich besonders eine sinusförmige Spannung
-$u_{\rm I}(t)=\hat U_{\rm I}\sin(\omega t)$.
+$$u_{\rm I}(t)=\hat U_{\rm I}\sin(\omega t)$$
-Nach dem Einschwingen entsteht in einer linearen Schaltung am Ausgang wieder ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz. Seine Amplitude und seine zeitliche Lage können sich jedoch ändern:
+Nach dem Einschwingen entsteht in einer linearen Schaltung am Ausgang wieder ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz. \\
+Seine Amplitude und seine zeitliche Lage können sich jedoch ändern:
-$u_{\rm O}(t)=\hat U_{\rm O}\sin(\omega t+\varphi)$.
+$$u_{\rm O}(t)=\hat U_{\rm O}\sin(\omega t+\varphi)$$
 Damit reichen zwei Größen aus, um die Wirkung der Schaltung bei einer bestimmten Frequenz zu beschreiben:
@@ Line 116: / Line 117: @@
 </WRAP>
-=== Frequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz ===
+=== Refresh: Frequenz, Periodendauer, Phase ===
-Für ein periodisches Signal gilt $f=1/T$.
+Für ein periodisches Signal gilt $f=1/T$. Die **Kreisfrequenz** lautet $\omega=2\pi f$.
-Die Kreisfrequenz lautet $\omega=2\pi f$.
 Damit entspricht beispielsweise eine Frequenz von $f=1~\mathrm{kHz}$ einer Periodendauer von $T=1~\mathrm{ms}$ und einer Kreisfrequenz von ungefähr $\omega=6283~\mathrm{rad/s}$.
@@ Line 126: / Line 125: @@
 In Datenblättern, Simulationen und Bode-Diagrammen wird meist die Frequenz $f$ in $\mathrm{Hz}$ verwendet. In Gleichungen ist dagegen häufig $\omega$ zu finden.
-=== Phase als Zeitverschiebung ===
+Die Phase kann auch aus einer **Zeitverschiebung** zwischen zwei sinusförmigen Signalen bestimmt werden.\\
-Die Phase kann auch aus einer Zeitverschiebung zwischen zwei sinusförmigen Signalen bestimmt werden.
 Eine vollständige Periodendauer $T$ entspricht $360^\circ$. Für eine Zeitverschiebung $\Delta t$ gilt daher
-$\varphi=360^\circ\cdot{\Delta t\over T}$.
+$$\varphi=360^\circ\cdot{\Delta t\over T}$$
 Je nach Richtung der Verschiebung wird die Phase positiv oder negativ angegeben.
@@ Line 142: / Line 138: @@
 Das Spannungsübertragungsverhältnis einer Schaltung wird mit
-$A_{\rm V}={U_{\rm O}\over U_{\rm I}}$
+$$A_{\rm V}={U_{\rm O}\over U_{\rm I}}$$
 beschrieben.
@@ Line 150: / Line 146: @@
 Für eine frequenzabhängige Schaltung ist $A_{\rm V}$ jedoch keine einzelne Zahl mehr:
-$A_{\rm V}=A_{\rm V}(f)$.
+$$A_{\rm V}=A_{\rm V}(f)$$
 Zusätzlich kann zwischen Ein- und Ausgang eine Phasenverschiebung entstehen. Vollständig wird die Übertragung deshalb durch eine komplexe Größe beschrieben:
-$\underline A_{\rm V}(f)={\underline U_{\rm O}(f)\over\underline U_{\rm I}(f)}$.
+$$\underline A_{\rm V}(f)={\underline U_{\rm O}(f)\over\underline U_{\rm I}(f)}$$
 Für die praktische Betrachtung wird diese komplexe Größe in Betrag und Phase zerlegt:
@@ Line 163: / Line 159: @@
 Wir werden im Folgenden vor allem lernen, diese beiden Größen **zu lesen und zu interpretieren**. Die detaillierte Herleitung konkreter Filter folgt später.
-==== 2.1.3 Warum Dezibel? ====
+==== 2.1.3 Die dB-Skala ====
-Ein Amplitudenverhältnis kann direkt als linearer Faktor angegeben werden.
+Die Dezibel-Skala ist eine Hilfsdarstellung, welche die Arbeit mit Verhältnissen vereinfacht, beispielsweise mit dem Verhältnis $U_2/U_1$.
-Beispielsweise bedeutet $A_{\rm V}=0.001$, dass am Ausgang nur noch ein Tausendstel der Eingangsamplitude vorhanden ist.
+Solche Verhältnisse werden in der Technik auch als **Pegel** bezeichnet. Durch die Angabe eines Pegels kann eine Größe auf eine Referenzgröße bezogen werden.
-Bei Schaltungen mit großen Frequenzbereichen entstehen schnell sehr kleine oder sehr große Zahlen. Deshalb wird in der Elektronik häufig die logarithmische Einheit **Dezibel** verwendet.
+In elektronischen Schaltungen wird Dezibel häufig für Strom- oder Spannungsverhältnisse verwendet. Für diesen Kurs wird dies insbesondere für die Spannungsverstärkung
-Für ein Spannungs- oder Stromverhältnis gilt
+$$A_{\rm V} = \frac{U_\rm O}{U_\rm I}$$
-$A_{\rm V,dB}=20\log_{10}(|A_{\rm V}|)$.
+und allgemein für Übertragungsfaktoren wichtig.
-Einige Werte sollte man ohne Taschenrechner erkennen können:
+Die Umrechnung eines Spannungs- bzw. Stromverhältnisses in einen Pegel in $\rm dB$ ist definiert durch:
-^ linearer Faktor $|A_{\rm V}|$ ^ Pegel ^
+$\boxed{A_{\rm V}^{\rm dB}=20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10}\left(\frac{U_2}{U_1}\right)=20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10} A_\rm V}$(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)  bzw. (nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp) $A_{\rm C}^{\rm dB}=20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right)$
-| $0.01$ | $-40~\mathrm{dB}$ |
-| $0.1$ | $-20~\mathrm{dB}$ |
-| $1/\sqrt{2}\approx0.707$ | ungefähr $-3~\mathrm{dB}$ |
-| $1$ | $0~\mathrm{dB}$ |
-| $2$ | ungefähr $+6~\mathrm{dB}$ |
-| $10$ | $+20~\mathrm{dB}$ |
-| $100$ | $+40~\mathrm{dB}$ |
-<WRAP center round important 80%>
-**Drei wichtige Ankerpunkte**
-  * Faktor $10$ $\leftrightarrow$ $20~\mathrm{dB}$
+=== Technische Pegelangaben in dB ===
-  * Faktor $2$ $\leftrightarrow$ ungefähr $6~\mathrm{dB}$
-  * Faktor $1$ $\leftrightarrow$ $0~\mathrm{dB}$
-</WRAP>
-=== Warum 20 dB bei Spannungen, aber 10 dB bei Leistungen? ===
+^ Bezeichnung                    ^ Symbol      ^ Formel                                      ^ Bezugswert für 0 dB       ^
+| Spannungspegel                 | $\rm dBV$   | $20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(V/V_{\rm ref})$  | $\rm 0~dBV  \widehat{=} 1~V$        |
+| Leistungspegel                 | $\rm dBm$   | $10~{\rm dB} \cdot \log_{10}(P/P_{\rm ref})$  | $\rm 0~dBm  \widehat{=} 1~mW$       |
+| Leistungspegel                 | $\rm dBW$   | $10~{\rm dB} \cdot \log_{10}(P/P_{\rm ref})$  | $\rm 0~dBW  \widehat{=} 1~W$        |
+| Full-Scale-Pegel               | $\rm dBFS$  | $20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(V/V_{\rm max})$  | $\rm 0~dBFS  \widehat{=} V_{max}$  |
+| Schalldruckpegel               | $\rm dBA$   | $20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(p/p_{\rm ref})$  | $\rm 0~dBA  \widehat{=} 20~µPa$    |
-Für Leistungsverhältnisse gilt
+Beachten Sie, dass sich die Gleichung für **Leistungsgrößen**, also beispielsweise Verhältnisse von $P$, etwas verändert.
-$A_{\rm P,dB}=10\log_{10}(P_2/P_1)$.
+Da $P \sim U^2$ bzw. $U \sim P^\frac{1}{2}$ gilt, ergibt sich:
-Der Unterschied entsteht, weil bei konstantem Widerstand die Leistung proportional zum Quadrat der Spannung ist: $P\sim U^2$.
+$A_P^{\rm dB}=             20 ~{\rm dB} \cdot                    \log_{10}\left(\frac{P_2^\frac{1}{2}}{P_1^\frac{1}{2}}\right)$\\
+(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)
+$            =\color{blue}{20 ~{\rm dB} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)  =\color{blue}{10 ~{\rm dB}} \cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right) $
-Damit führt beispielsweise eine Verzehnfachung der Spannung zu einer Verhundertfachung der Leistung.
+Die Tabelle oben zeigt verschiedene in der Technik gebräuchliche Pegelangaben. Im Folgenden wird hauptsächlich das Spannungsverhältnis betrachtet und der zugehörige Pegel vereinfacht mit der Einheit $\rm dB$ angegeben.
-Für die Spannung ergibt sich $20\log_{10}(10)=20~\mathrm{dB}$.
-Für die Leistung ergibt sich entsprechend $10\log_{10}(100)=20~\mathrm{dB}$.
+=== Einfache Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB ===
-Beide Darstellungen beschreiben also dieselbe physikalische Änderung.
+^ linearer Faktor  ^ Pegel [$\rm dB$]  ^
+|$\times 0.01$   |$-40 ~{\rm dB}$    |
+|$\times 0.1$    |$-20 ~{\rm dB}$    |
+|$\times 1$      |$  0 ~{\rm dB}$    |
+|$\times 2$      |$\approx +6~{\rm dB}$|
+|$\times 10$     |$+20 ~{\rm dB}$    |
+|$\times 100$    |$+40 ~{\rm dB}$    |
-=== dB ist zunächst ein Verhältnis ===
+Mit der oben angegebenen Gleichung können lineare Faktoren bzw. Verhältnisse $A = \boxed{}_2 / \boxed{}_1$ in einen Pegel $A^{\rm dB}$ in $\rm dB$ umgerechnet werden.
-Die Einheit $\mathrm{dB}$ allein beschreibt zunächst ein **Verhältnis**.
+Gelegentlich wird der hochgestellte Index $\boxed{}^{\rm dB}$ weggelassen. Stattdessen erkennt man den Pegel an der Einheit $\rm dB$.
-Davon zu unterscheiden sind Angaben wie $\mathrm{dBV}$ oder $\mathrm{dBm}$, bei denen ein fester Bezugswert definiert ist.
+Beispiele:
-^ Angabe ^ Bezugswert ^
+  - Für $A_{\rm V}= \color{green}{1} $ ergibt sich <WRAP>
-| $\mathrm{dB}$ | Verhältnis zweier Größen |
+$ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{1}) = 20 {\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{1}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{1})} \quad = 20 {\rm dB} \cdot 0 \quad \ \boldsymbol{= 0 {\rm dB}}$ \\
-| $\mathrm{dBV}$ | $0~\mathrm{dBV}\widehat{=}1~\mathrm V$ |
+Dabei besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{1}$ gilt, also $\color{blue}{x}=0$. </WRAP> \\  \\
-| $\mathrm{dBm}$ | $0~\mathrm{dBm}\widehat{=}1~\mathrm{mW}$ |
-Für diesen Kurs wird im Zusammenhang mit Bode-Diagrammen überwiegend das dimensionslose Übertragungsverhältnis in $\mathrm{dB}$ verwendet.
+  - Für $A_{\rm V}= \color{green}{0.01} $ ergibt sich <WRAP>
+$ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{0.01}) = 20 ~{\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{0.01}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{0.01})} = 20 ~{\rm dB} \cdot (-2) \boldsymbol{= -40 ~{\rm dB}}$ \\
+Dabei besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{0.01}$ gilt, also $\color{blue}{x}=-2$. </WRAP>   \\  \\
-=== Warum ist die logarithmische Darstellung praktisch? ===
+  - Für $A_{\rm V}= \color{green}{2} $ ergibt sich <WRAP>
+$ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{2}) = 20 ~{\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{2}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{2})} \quad\approx 20 ~{\rm dB} \cdot 0.30103 \boldsymbol{\approx 6 ~{\rm dB}}$ \\
+Hier besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{2}$ gilt. Damit ist $\color{blue}{x}\approx 0.30103$. </WRAP> \\  \\
-Nehmen wir zwei hintereinandergeschaltete Stufen mit $A_1=10$ und $A_2=0.1$.
-Linear müssen die Faktoren multipliziert werden:
+=== Nutzen der dB-Darstellung ===
-$A_{\rm ges}=A_1\cdot A_2=10\cdot0.1=1$.
+Dezibel besitzt einige Vorteile, die insbesondere bei den später betrachteten frequenzabhängigen Schaltungen hilfreich sind:
-In dB werden daraus
+  * **Handlichere Zahlenwerte:** Werden sehr große oder sehr kleine lineare Werte benötigt, entstehen in der dB-Darstellung meist deutlich kompaktere Zahlen. Beispiel: $A_{\rm V} = 10000000 \rightarrow A_{\rm V}^{\rm dB}= 140~{\rm dB}$. Das reduziert insbesondere das fehleranfällige „Nullenzählen“.
-$A_1=20~\mathrm{dB}$ und $A_2=-20~\mathrm{dB}$.
+  * **Logarithmische Wahrnehmung:** Viele menschliche Sinneswahrnehmungen, beispielsweise Lautstärke oder Helligkeit, reagieren näherungsweise logarithmisch auf physikalische Größen.
-Damit gilt einfach:
+  * **Einfachere Rechnung:** Durch den Logarithmus wird eine Multiplikation linearer Faktoren zu einer Addition der Pegel:
-$A_{\rm ges,dB}=20~\mathrm{dB}-20~\mathrm{dB}=0~\mathrm{dB}$.
+$A_{\rm V}^{\rm dB}(A_1 \cdot A_2) = 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_1 \cdot A_2) = 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_1) + 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_2) = A_{\rm V}^{\rm dB}(A_1) + A_{\rm V}^{\rm dB}(A_2)$
-<WRAP center round info 80%>
-Bei hintereinandergeschalteten Übertragungsstufen gilt:
-  * lineare Faktoren werden **multipliziert**,
+<WRAP>
-  * dB-Werte werden **addiert**.
+<imgcaption BildNr20 | Beispiel: hintereinandergeschaltete Übertragungsstufen>
+</imgcaption>
+{{drawio>Beispiel_Filter_in_Reihe.svg}}
 </WRAP>
-==== 2.1.4 Das Bode-Diagramm ====
+Gerade der letzte Punkt ist für elektronische Systeme interessant.
-Um das Verhalten einer Schaltung über einen großen Frequenzbereich darzustellen, wird häufig das **Bode-Diagramm** verwendet.
+Werden mehrere Verstärker oder Übertragungsstufen hintereinander geschaltet, ergibt sich die Gesamtverstärkung aus dem Produkt der Einzelverstärkungen:
-Es besteht aus zwei Diagrammen:
+$A_{\rm V, eq}=\prod A_{i} = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3$.
-  * dem **Amplitudengang** und
+In der dB-Darstellung wird daraus dagegen eine Summe:
-  * dem **Phasengang**.
-Die Frequenzachse ist dabei logarithmisch.
+$A_{\rm V,eq}^{\rm dB}=\sum A_i^{\rm dB} = A_1^{\rm dB} + A_2^{\rm dB} + A_3^{\rm dB}$.
-<WRAP>
+Im dargestellten Beispiel ergibt sich:
-{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+44+0.5+50%0A%25+1+8761050.782000184%0Ac+240+160+240+48+0+1e-9+0%0Ar+112+48+240+48+0+16000%0AO+240+48+352+48+1%0Ag+240+160+240+192+0%0A170+112+48+80+48+3+20+1000+50+0.1%0Ax+326+77+343+80+0+24+U%0Ax+339+86+357+89+0+24+O%0Ax+120+88+126+91+0+24+I%0Ax+101+79+118+82+0+24+U%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A noborder}}
-</WRAP>
-Die Schaltung zeigt einen einfachen RC-Tiefpass. Der Filter selbst wird erst in einem späteren Block ausführlich hergeleitet und dimensioniert. Hier dient er zunächst nur als **Versuchsobjekt für das Bode-Diagramm**.
+$A_{\rm V,eq}^{\rm dB} = \sum A^{\rm dB} = 88~{\rm dB} + (-58~{\rm dB}) + 14~{\rm dB} = 44~{\rm dB}$.
-Bewegen Sie den Mauszeiger über den Frequenzgang und beobachten Sie
-  * die Frequenz,
+<WRAP center round important 80%>
-  * das Amplitudenverhältnis in $\mathrm{dB}$ und
+**Merke: dB-Darstellung**
-  * die Phase.
-=== Logarithmische Frequenzachse ===
+Für Strom- und Spannungsverhältnisse gilt:
-Eine logarithmische Achse besitzt keine gleichmäßigen Abstände für gleiche Frequenzdifferenzen.
+  - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 10}$ entspricht einem Pegel von $+ 20~{\rm dB}$.
+  - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 2} $ entspricht ungefähr einem Pegel von $+ 6~{\rm dB}$.
+  - Der lineare Wert $A_{\rm V} = 1$ entspricht $0 ~{\rm dB}$.
-Stattdessen entsprechen gleiche Abstände gleichen **Faktoren**.
+Für hintereinandergeschaltete Systeme gilt:
-Der Bereich von
+  - lineare Übertragungsfaktoren $A_\rm V$ werden **multipliziert**,
+  - Pegel $A_{\rm V}^{\rm dB}$ werden **addiert**.
+</WRAP>
-$100~\mathrm{Hz}$ bis $1~\mathrm{kHz}$
-nimmt daher genauso viel Platz ein wie
+=== Weitere Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB ===
-$1~\mathrm{kHz}$ bis $10~\mathrm{kHz}$.
+Mit den beiden leicht merkbaren Stützstellen
-Eine Verzehnfachung der Frequenz wird als **Dekade** bezeichnet.
+$\color{green}{\times 10} \rightarrow + 20~{\rm dB}$
-Beispiele:
+und
-  * $10~\mathrm{Hz}\rightarrow100~\mathrm{Hz}$: eine Dekade
+$\color{green}{\times 2} \rightarrow + 6~{\rm dB}$
-  * $1~\mathrm{kHz}\rightarrow10~\mathrm{kHz}$: eine Dekade
-  * $10~\mathrm{kHz}\rightarrow1~\mathrm{MHz}$: zwei Dekaden
-Diese Darstellung ist sehr praktisch, weil elektronische Systeme häufig über viele Größenordnungen betrachtet werden.
+lassen sich viele lineare Werte auch ohne Taschenrechner näherungsweise aus einem Pegel in $\rm dB$ bestimmen.
-=== Amplitudengang ===
+Beispiele:
-Im oberen bzw. ersten Teil eines Bode-Diagramms wird der Betrag des Übertragungsverhältnisses in $\mathrm{dB}$ dargestellt.
+  - <WRAP> $A_{\rm V}^{\rm dB}=58~{\rm dB}$ \\ mit den Stützstellen:
+$A_{\rm V}^{dB}=58~{\rm dB} = 40~{\rm dB} + 18~{\rm dB} = \color{blue}{2}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{3}\cdot 6~{\rm dB}$ \\
+Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \  A_{\rm V} = 10^\color{blue}{2} \qquad  \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3} \qquad = 100 \cdot 8 = 800$ </WRAP>\\ \\
-Ein Wert von $0~\mathrm{dB}$ bedeutet $|A_{\rm V}|=1$.
+  - <WRAP>$A_{\rm V}^{\rm dB}=56~{\rm dB}$ \\ mit den Stützstellen:
+$A_{\rm V}^{dB}=56~{\rm dB} = 80~{\rm dB} - 24~{\rm dB} = \color{blue}{4}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{-4}\cdot 6~{\rm dB}$ \\
+Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ A_{\rm V} = 10^\color{blue}{4} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{-4} \qquad = 10000 \cdot \frac{1}{16} = 625$ \\  oder alternativ  $qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_{\rm V}^{\rm dB} = 20~{\rm dB} + 36~{\rm dB} \rightarrow A_{\rm V}= 10^\color{blue}{1} \cdot 2^\color{magenta}{6} = 10 \cdot 64 = 640$ </WRAP>\\ \\
-Bei $-20~\mathrm{dB}$ ist die Ausgangsamplitude nur noch ein Zehntel der Eingangsamplitude.
+  - <WRAP>$A_{\rm V}^{\rm dB}=56~{\rm dB}$ \\ mit den Stützstellen:
+$A_{\rm V}^{dB}=56~{\rm dB} = 40~{\rm dB} + 18~{\rm dB} - 3~{\rm dB} = \color{blue}{2}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{3}\cdot 6~{\rm dB}  + \color{teal}{-\frac{1}{2}}\cdot 6~{\rm dB}$ \\
+Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \ A_{\rm V} = 10^\color{blue}{2} \qquad \cdot \qquad  2^\color{magenta}{3}  \qquad \cdot \qquad  2^\color{teal}{-\frac{1}{2}} \approx 100 \cdot 8 \cdot 0.707  = 560$ </WRAP>
-Bei $-40~\mathrm{dB}$ ist sie nur noch ein Hundertstel.
+Der Wert $-3~{\rm dB}$ wird im Folgenden noch eine besondere Bedeutung erhalten.
-=== Phasengang ===
-Der Phasengang zeigt die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgang.
+==== 2.1.4 Das Bode-Diagramm ====
-Eine Phase von $0^\circ$ bedeutet, dass beide Sinussignale ihre Nulldurchgänge und Maxima gleichzeitig erreichen.
+Das Bode-Diagramm soll das Übertragungsverhalten eines Systems übersichtlich darstellen.
-Eine Phase von $-90^\circ$ entspricht einer Verzögerung um ein Viertel der Periodendauer.
+=== Vorbetrachtung: komplexe Zahlen ===
-<WRAP center round info 80%>
+Eine komplexe Zahl kann immer durch zwei reelle Größen beschrieben werden. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten:
-Das Bode-Diagramm zeigt dieselbe Schaltung aus zwei Blickwinkeln:
-  * **Amplitudengang:** Wie viel kommt noch am Ausgang an?
+<WRAP>
-  * **Phasengang:** Wie stark ist das Ausgangssignal gegenüber dem Eingang verschoben?
+<imgcaption BildNr01 | Beispiel: Darstellung von komplexen Zahlen>
+</imgcaption>
+{{drawio>DarstellungVonKomplZahlenV01.svg}}
 </WRAP>
-==== 2.1.5 Steigungen im Bode-Diagramm ====
+  - Darstellung durch Realteil $\Re(\underline{A}_{\rm V})=A_{\rm V} \cdot \cos(\varphi)$ und Imaginärteil $\Im(\underline{A}_{\rm V})=A_{\rm V} \cdot \sin(\varphi)$ in $\underline{A}_{\rm V}= \Re(\underline{A}_{\rm V}) + {\rm j} \cdot \Im(\underline{A}_{\rm V})$
-Eine große Stärke der logarithmischen Darstellung ist, dass Potenzfunktionen zu Geraden werden.
+  - Darstellung durch Betrag $A_{\rm V} = |\underline{A}_{\rm V}|$ und Phase $\varphi = \arctan \left( \frac{\Im(\underline{A}_{\rm V})}{\Re(\underline{A}_{\rm V})} \right)$ in $\underline{A}_{\rm V}=A_{\rm V} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}$
-Nehmen wir beispielsweise ein Verhalten
+Die zweite Darstellung ist für die Betrachtung frequenzabhängiger Spannungsverhältnisse besonders geeignet. Sie trennt die Änderung der Amplitude von der zeitlichen Verschiebung bzw. Phase.
-$|A(f)|\sim1/f$.
-Wird die Frequenz um den Faktor 10 erhöht, sinkt das Amplitudenverhältnis ebenfalls um den Faktor 10.
+=== Entwicklung des Bode-Diagramms ===
-Ein Faktor $0.1$ entspricht $-20~\mathrm{dB}$.
+<WRAP>
+{{url>https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?cct=$+1+0.000005+5+44+0.5+50%0A%25+1+8761050.782000184%0Ac+240+160+240+48+0+1e-9+0%0Ar+112+48+240+48+0+16000%0AO+240+48+352+48+1%0Ag+240+160+240+192+0%0A170+112+48+80+48+3+20+1000+50+0.1%0Ax+326+77+343+80+0+24+U%0Ax+339+86+357+89+0+24+U%0Ax+120+88+126+91+0+24+I%0Ax+101+79+118+82+0+24+U%0Ao+4+16+0+34+5+0.00009765625+0+-1+in%0Ao+2+16+0+34+2.5+0.00009765625+1+-1+out%0A noborder}}
+</WRAP>
-Im Bode-Diagramm entsteht daher eine Steigung von
+Um die Frequenzabhängigkeit des Spannungsübertragungsverhältnisses besser zu verstehen, kann dessen Betrag als Funktion der Frequenz $f$ dargestellt werden: $|A_{\rm V}(f)|$.
-$-20~\mathrm{dB/dec}$.
+Sinnvoll ist es, das Spannungsverhältnis als Pegel $|A_{\rm V}^{\rm dB}(f)|$ darzustellen.
-Entsprechend gilt:
+Die Simulation zeigt den Verlauf von $|A_{\rm V}^{\rm dB}(f)|$ für einen Tiefpass im unteren Bereich der Darstellung. Der Verlauf beginnt links bei ungefähr $0~{\rm dB}$ und fällt für höhere Frequenzen deutlich ab.
-^ Verhalten ^ Änderung bei $f\times10$ ^ Steigung ^
+Wird der Mauszeiger über das Diagramm bewegt, kann für jede Frequenz der jeweilige Wert der Verstärkung in $\rm dB$ angezeigt werden.
-| $A(f)\sim f$ | Faktor $10$ | $+20~\mathrm{dB/dec}$ |
-| $A(f)\sim 1/f$ | Faktor $0.1$ | $-20~\mathrm{dB/dec}$ |
-| $A(f)\sim1/f^2$ | Faktor $0.01$ | $-40~\mathrm{dB/dec}$ |
-<WRAP center round important 80%>
+Beim Anklicken eines Punktes im Frequenzgang zeigt die Simulation außerdem die zu dieser Frequenz gehörenden Strom- und Spannungsverhältnisse in der Schaltung.
-$-20~\mathrm{dB/dec}$ bedeutet nicht „minus 20 dB pro Hertz“.
-Es bedeutet: **Bei jeder Verzehnfachung der Frequenz fällt der Pegel um $20~\mathrm{dB}$.**
+Bei einer linearen Frequenzachse ist es allerdings schwierig, charakteristische Punkte wie beispielsweise die Grenzfrequenz aus dem Frequenzgang abzulesen.
-</WRAP>
-=== Praktische Untersuchung ===
+Wird auch die Frequenzachse logarithmisch dargestellt, ergibt sich ein deutlich übersichtlicheres Bild. In Falstad kann dies über ''Options'' >> ''Linear Scale'' umgeschaltet werden.
-Verwenden Sie erneut die Falstad-Simulation des RC-Glieds.
+Nun werden
-. Suchen Sie einen Punkt im Frequenzgang, bei dem die Verstärkung ungefähr $-20~\mathrm{dB}$ beträgt.
+  * der zunächst nahezu konstante Verlauf bei niedrigen Frequenzen und
-. Erhöhen Sie die betrachtete Frequenz ungefähr um den Faktor 10.
+  * der Abfall bei höheren Frequenzen
-. Lesen Sie erneut die Verstärkung ab.
-Im Bereich deutlich oberhalb der Grenzfrequenz sollte die Änderung näherungsweise $-20~\mathrm{dB}$ pro Dekade betragen.
+sehr deutlich sichtbar.
-==== 2.1.6 Grenzfrequenz und -3 dB ====
+Die Phase kann über ''Options'' >> ''Show Phase'' eingeblendet werden.
-Im Bode-Diagramm des RC-Glieds ist ein Übergang zwischen zwei Bereichen zu erkennen:
-  * bei niedrigen Frequenzen liegt der Amplitudengang ungefähr bei $0~\mathrm{dB}$,
+=== Beschreibung des Bode-Diagramms ===
-  * bei hohen Frequenzen fällt er mit ungefähr $-20~\mathrm{dB/dec}$.
-Der Übergangsbereich wird durch die **Grenzfrequenz** charakterisiert.
+<WRAP>
+<imgcaption BildNr21 | Prinzipdarstellung eines Bode-Diagramms>
+</imgcaption>
+{{drawio>Prinzipbild_des_Bodediagramms.svg}}
+</WRAP>
-Für ein System erster Ordnung liegt der Betrag an der Grenzfrequenz beim Faktor
+Das Bode-Diagramm ermöglicht die **Darstellung einer komplexwertigen, frequenzabhängigen Größe in logarithmischer Form**.
-$|A|=1/\sqrt{2}\approx0.707$
+Der Frequenzgang wird dabei in zwei Darstellungen aufgeteilt:
-des Werts im Durchlassbereich.
+  * den **Amplitudengang**, der die Amplitude logarithmisch als dB-Pegel über einer logarithmischen Frequenzachse darstellt,
+  * den **Phasengang**, der die Phase linear über einer logarithmischen Frequenzachse darstellt.
-In Dezibel ergibt sich daraus ungefähr
+Eine Änderung der Frequenz um den Faktor $\times 10$ wird als **Dekade** bezeichnet.
-$20\log_{10}(0.707)\approx-3~\mathrm{dB}$.
+Der Amplitudengang verschiedener grundlegender Funktionen kann damit einfach beschrieben werden. Dabei bezeichnet $\mathcal{C}$ einen beliebigen frequenzunabhängigen Faktor:
+  - $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} \cdot f$: \\ Wird eine Funktion betrachtet, die linear mit $f$ wächst, führt eine Verzehnfachung der Frequenz zu einer Verzehnfachung des Spannungsübertragungsverhältnisses. \\ Daraus ergibt sich ein Anstieg um $+20~{\rm dB}$ pro Dekade.
+  - $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} / f$: \\ Ist eine Funktion umgekehrt proportional zu $f$, führt eine Verzehnfachung der Frequenz zu einer Verringerung des Spannungsübertragungsverhältnisses auf ein Zehntel. \\ Daraus ergibt sich ein Abfall um $-20~{\rm dB}$ pro Dekade.
+  - $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} / f^n$: \\ Ist eine Funktion umgekehrt proportional zu $f^n$, führt eine Verzehnfachung der Frequenz zu einer Verringerung des Spannungsübertragungsverhältnisses auf $1/10^n$. \\ Daraus ergibt sich ein Abfall um $-20~{\rm dB} \cdot n$ pro Dekade.
+Als Alternative zum exakten Verlauf werden $|A_{\rm V}(f)|$ und $\varphi(f)$ gelegentlich näherungsweise durch Geradenstücke dargestellt.
-Deshalb wird häufig auch von der **$-3~\mathrm{dB}$-Grenzfrequenz** gesprochen.
 <WRAP center round important 80%>
-$-3~\mathrm{dB}$ bedeutet bei einem Spannungsverhältnis **nicht**, dass die Spannung halbiert wurde.
+**Merke: Bode-Diagramm**
-Es gilt:
+Das Bode-Diagramm bzw. der Frequenzgang besteht aus:
-  * Spannung: ungefähr $0.707$ des Ausgangswerts,
+  - **Amplitudengang:** Amplitude in dB über logarithmischer Frequenz.
-  * Leistung bei gleichem Widerstand: ungefähr $0.5$ der Leistung.
+  - **Phasengang:** linear dargestellte Phase über logarithmischer Frequenz.
+Dadurch ergeben sich im Amplitudengang für Funktionen der Form $A(\omega) \sim \omega^n$ Geraden.
+Insbesondere gilt:
+  - für $A(\omega) \sim \omega$ eine Steigung von $+ ~\rm 20dB/decade$,
+  - für $A(\omega) \sim \frac{1}{\omega}$ eine Steigung von $-20~\rm dB/decade$.
 </WRAP>
-=== Praktische Untersuchung in Falstad ===
-Bestimmen Sie mit dem Cursor in der Simulation näherungsweise die Frequenz, bei der der Amplitudengang $-3~\mathrm{dB}$ erreicht.
+=== Praktische Untersuchung des Bode-Diagramms ===
+Verwenden Sie die Simulation oben und untersuchen Sie den Frequenzgang zunächst ohne Rechnung.
+  - Bewegen Sie den Cursor von niedrigen zu hohen Frequenzen über den Amplitudengang.
+  - Beobachten Sie, wie sich $U_{\rm O}$ gegenüber $U_{\rm I}$ verändert.
+  - Schalten Sie die Phase ein.
+  - Suchen Sie den Bereich, in dem der Amplitudengang beginnt deutlich abzufallen.
+  - Vergleichen Sie zwei Frequenzen, die ungefähr eine Dekade auseinanderliegen.
+  - Bestimmen Sie näherungsweise die Änderung des Pegels zwischen diesen beiden Punkten.
+Die Rechnung zur Grenzfrequenz und die genaue Analyse des RC-Tiefpasses folgen später. In diesem Block steht zunächst das **Lesen und Interpretieren des Bode-Diagramms** im Vordergrund.
-Beobachten Sie an derselben Stelle zusätzlich die Phase.
-Für einen idealen RC-Tiefpass erster Ordnung liegt sie an dieser Stelle bei ungefähr $-45^\circ$.
-Die mathematische Herleitung dieses Zusammenhangs folgt im späteren Filterblock. Hier ist zunächst wichtig, die charakteristischen Punkte im Bode-Diagramm erkennen zu können.
 ==== 2.1.7 Frequenzgang und die Leit-Schaltung ====