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| elektronische_schaltungstechnik:block02 [2026/09/27 23:14] – mexleadmin | elektronische_schaltungstechnik:block02 [2026/09/27 23:38] (current) – mexleadmin | ||
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| Als Testsignal eignet sich besonders eine sinusförmige Spannung | Als Testsignal eignet sich besonders eine sinusförmige Spannung | ||
| - | $u_{\rm I}(t)=\hat U_{\rm I}\sin(\omega t)$. | + | $$u_{\rm I}(t)=\hat U_{\rm I}\sin(\omega t)$$ |
| - | Nach dem Einschwingen entsteht in einer linearen Schaltung am Ausgang wieder ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz. Seine Amplitude und seine zeitliche Lage können sich jedoch ändern: | + | Nach dem Einschwingen entsteht in einer linearen Schaltung am Ausgang wieder ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz. |
| + | Seine Amplitude und seine zeitliche Lage können sich jedoch ändern: | ||
| - | $u_{\rm O}(t)=\hat U_{\rm O}\sin(\omega t+\varphi)$. | + | $$u_{\rm O}(t)=\hat U_{\rm O}\sin(\omega t+\varphi)$$ |
| Damit reichen zwei Größen aus, um die Wirkung der Schaltung bei einer bestimmten Frequenz zu beschreiben: | Damit reichen zwei Größen aus, um die Wirkung der Schaltung bei einer bestimmten Frequenz zu beschreiben: | ||
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| - | === Frequenz, Periodendauer | + | === Refresh: |
| - | Für ein periodisches Signal gilt $f=1/T$. | + | Für ein periodisches Signal gilt $f=1/T$. Die **Kreisfrequenz** lautet $\omega=2\pi f$. |
| - | + | ||
| - | Die Kreisfrequenz lautet $\omega=2\pi f$. | + | |
| Damit entspricht beispielsweise eine Frequenz von $f=1~\mathrm{kHz}$ einer Periodendauer von $T=1~\mathrm{ms}$ und einer Kreisfrequenz von ungefähr $\omega=6283~\mathrm{rad/ | Damit entspricht beispielsweise eine Frequenz von $f=1~\mathrm{kHz}$ einer Periodendauer von $T=1~\mathrm{ms}$ und einer Kreisfrequenz von ungefähr $\omega=6283~\mathrm{rad/ | ||
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| In Datenblättern, | In Datenblättern, | ||
| - | === Phase als Zeitverschiebung === | + | Die Phase kann auch aus einer **Zeitverschiebung** zwischen zwei sinusförmigen Signalen bestimmt werden.\\ |
| - | + | ||
| - | Die Phase kann auch aus einer Zeitverschiebung zwischen zwei sinusförmigen Signalen bestimmt werden. | + | |
| Eine vollständige Periodendauer $T$ entspricht $360^\circ$. Für eine Zeitverschiebung $\Delta t$ gilt daher | Eine vollständige Periodendauer $T$ entspricht $360^\circ$. Für eine Zeitverschiebung $\Delta t$ gilt daher | ||
| - | $\varphi=360^\circ\cdot{\Delta t\over T}$. | + | $$\varphi=360^\circ\cdot{\Delta t\over T}$$ |
| Je nach Richtung der Verschiebung wird die Phase positiv oder negativ angegeben. | Je nach Richtung der Verschiebung wird die Phase positiv oder negativ angegeben. | ||
| Line 142: | Line 138: | ||
| Das Spannungsübertragungsverhältnis einer Schaltung wird mit | Das Spannungsübertragungsverhältnis einer Schaltung wird mit | ||
| - | $A_{\rm V}={U_{\rm O}\over U_{\rm I}}$ | + | $$A_{\rm V}={U_{\rm O}\over U_{\rm I}}$$ |
| beschrieben. | beschrieben. | ||
| Line 150: | Line 146: | ||
| Für eine frequenzabhängige Schaltung ist $A_{\rm V}$ jedoch keine einzelne Zahl mehr: | Für eine frequenzabhängige Schaltung ist $A_{\rm V}$ jedoch keine einzelne Zahl mehr: | ||
| - | $A_{\rm V}=A_{\rm V}(f)$. | + | $$A_{\rm V}=A_{\rm V}(f)$$ |
| Zusätzlich kann zwischen Ein- und Ausgang eine Phasenverschiebung entstehen. Vollständig wird die Übertragung deshalb durch eine komplexe Größe beschrieben: | Zusätzlich kann zwischen Ein- und Ausgang eine Phasenverschiebung entstehen. Vollständig wird die Übertragung deshalb durch eine komplexe Größe beschrieben: | ||
| - | $\underline A_{\rm V}(f)={\underline U_{\rm O}(f)\over\underline U_{\rm I}(f)}$. | + | $$\underline A_{\rm V}(f)={\underline U_{\rm O}(f)\over\underline U_{\rm I}(f)}$$ |
| Für die praktische Betrachtung wird diese komplexe Größe in Betrag und Phase zerlegt: | Für die praktische Betrachtung wird diese komplexe Größe in Betrag und Phase zerlegt: | ||
| Line 165: | Line 161: | ||
| ==== 2.1.3 Die dB-Skala ==== | ==== 2.1.3 Die dB-Skala ==== | ||
| - | Um frequenzabhängige Schaltungen zu untersuchen, müssen häufig sehr große oder sehr kleine Zahlenverhältnisse dargestellt werden. Ein typisches Beispiel ist das Spannungsübertragungsverhältnis | + | Die Dezibel-Skala ist eine Hilfsdarstellung, welche die Arbeit mit Verhältnissen vereinfacht, |
| - | $A_{\rm V}={{U_{\rm O}}\over{U_{\rm I}}}$. | + | Solche Verhältnisse werden in der Technik auch als **Pegel** bezeichnet. Durch die Angabe eines Pegels kann eine Größe auf eine Referenzgröße bezogen werden. |
| - | Solche Verhältnisse werden in der Technik | + | In elektronischen Schaltungen wird Dezibel |
| - | Für Spannungs- und Stromverhältnisse gilt: | + | $$A_{\rm V} = \frac{U_\rm O}{U_\rm I}$$ |
| - | $A_{\rm V}^{\rm dB}=20~\mathrm{dB}\cdot\log_{10}\left({U_{\rm O}\over U_{\rm I}}\right) | + | und allgemein für Übertragungsfaktoren wichtig. |
| - | =20~\mathrm{dB}\cdot\log_{10}(A_{\rm V})$ | + | |
| - | bzw. | + | Die Umrechnung eines Spannungs- |
| - | $A_{\rm | + | $\boxed{A_{\rm |
| - | <WRAP center round info 80%> | ||
| - | Eine Angabe in $\mathrm{dB}$ beschreibt zunächst **ein Verhältnis**. | ||
| - | $0~\mathrm{dB}$ bedeutet dabei nicht „kein Signal“, sondern ein Verhältnis von $1$. | + | === Technische Pegelangaben in dB === |
| - | </ | + | |
| - | === Technische | + | ^ Bezeichnung |
| + | | Spannungspegel | ||
| + | | Leistungspegel | ||
| + | | Leistungspegel | ||
| + | | Full-Scale-Pegel | $\rm dBFS$ | $20~{\rm | ||
| + | | Schalldruckpegel | ||
| - | Neben reinen Verhältnissen existieren auch Pegelangaben mit einem fest definierten Bezugswert. | + | Beachten Sie, dass sich die Gleichung für **Leistungsgrößen**, |
| - | ^ Bezeichnung ^ Symbol ^ Definition ^ Bezugswert für $0~\mathrm{dB}$ | + | Da $P \sim U^2$ bzw. $U \sim P^\frac{1}{2}$ gilt, ergibt sich: |
| - | | Spannungspegel | $\mathrm{dBV}$ | $20\log_{10}(U/U_{\rm ref})$ | $1~\mathrm{V}$ | | + | |
| - | | Leistungspegel | $\mathrm{dBm}$ | $10\log_{10}(P/ | + | |
| - | | Leistungspegel | $\mathrm{dBW}$ | $10\log_{10}(P/ | + | |
| - | Im Folgenden betrachten wir hauptsächlich Spannungsverhältnisse. Deshalb wird meist einfach die Einheit | + | $A_P^{\rm dB}= 20 ~{\rm dB} \cdot \log_{10}\left(\frac{P_2^\frac{1}{2}}{P_1^\frac{1}{2}}\right)$\\ |
| + | (nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp)(nbsp) | ||
| + | $ =\color{blue}{20 ~{\rm dB} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right) | ||
| - | === Warum gilt bei Leistungen | + | Die Tabelle oben zeigt verschiedene in der Technik gebräuchliche Pegelangaben. Im Folgenden wird hauptsächlich das Spannungsverhältnis betrachtet und der zugehörige Pegel vereinfacht mit der Einheit $\rm dB$ angegeben. |
| - | Für Leistungsverhältnisse lautet die Definition | ||
| - | $A_{\rm P}^{\rm dB}=10~\mathrm{dB}\cdot\log_{10}\left({P_2\over P_1}\right)$. | + | === Einfache Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB === |
| - | Der Unterschied zum Faktor $20$ bei Spannungen lässt sich über $P\sim U^2$ erklären. | + | ^ linearer |
| + | |$\times 0.01$ |$-40 ~{\rm dB}$ | | ||
| + | |$\times 0.1$ |$-20 ~{\rm dB}$ | | ||
| + | |$\times 1$ |$ 0 ~{\rm dB}$ | | ||
| + | |$\times | ||
| + | |$\times 10$ |$+20 ~{\rm dB}$ | | ||
| + | |$\times 100$ |$+40 ~{\rm dB}$ | | ||
| - | Setzt man $U\sim\sqrt P$ in die Definition für Spannungsverhältnisse ein, ergibt sich: | + | Mit der oben angegebenen Gleichung können lineare Faktoren bzw. Verhältnisse |
| - | $20\log_{10}\left(\sqrt{{P_2\over P_1}}\right) | + | Gelegentlich wird der hochgestellte Index $\boxed{}^{\rm dB}$ weggelassen. Stattdessen erkennt man den Pegel an der Einheit $\rm dB$. |
| - | =20\cdot{1\over2}\log_{10}\left({P_2\over P_1}\right)$ | + | |
| - | und damit | + | Beispiele: |
| - | $A_{\rm | + | - Für $A_{\rm |
| + | $ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{1}) | ||
| + | Dabei besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{1}$ gilt, also $\color{blue}{x}=0$. </ | ||
| - | === Einfache Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB === | + | - Für $A_{\rm V}= \color{green}{0.01} $ ergibt sich < |
| + | $ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{0.01}) | ||
| + | Dabei besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} | ||
| - | Einige Werte treten in der Elektronik so häufig auf, dass sie ohne Taschenrechner erkannt werden sollten: | + | - Für $A_{\rm V}= \color{green}{2} $ ergibt sich < |
| + | $ A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{2}) = 20 ~{\rm dB} \cdot \underbrace{\log_{10}\left(\color{green}{2}\right)}_\color{blue}{x} \qquad \qquad \rightarrow \boldsymbol{A_{\rm V}^{\rm dB}(\color{green}{2})} \quad\approx 20 ~{\rm dB} \cdot 0.30103 \boldsymbol{\approx 6 ~{\rm dB}}$ \\ | ||
| + | Hier besitzt $\color{blue}{x}$ den Wert, für den $10^\color{blue}{x} = \color{green}{2}$ gilt. Damit ist $\color{blue}{x}\approx 0.30103$. </ | ||
| - | ^ linearer Faktor ^ Pegel ^ | ||
| - | | $\times0.01$ | $-40~\mathrm{dB}$ | | ||
| - | | $\times0.1$ | $-20~\mathrm{dB}$ | | ||
| - | | $\times1$ | $0~\mathrm{dB}$ | | ||
| - | | $\times2$ | ungefähr $+6~\mathrm{dB}$ | | ||
| - | | $\times10$ | $+20~\mathrm{dB}$ | | ||
| - | | $\times100$ | $+40~\mathrm{dB}$ | | ||
| - | Betrachten wir einige Beispiele genauer. | + | === Nutzen der dB-Darstellung === |
| - | Für $A_{\rm V}=1$ gilt: | + | Dezibel besitzt einige Vorteile, die insbesondere bei den später betrachteten frequenzabhängigen Schaltungen hilfreich sind: |
| - | $A_{\rm V}^{\rm dB}=20\log_{10}(1)=0~\mathrm{dB}$. | + | * **Handlichere Zahlenwerte: |
| - | Für $A_{\rm V}=0.01$ gilt: | + | * **Logarithmische Wahrnehmung:** Viele menschliche Sinneswahrnehmungen, |
| - | $A_{\rm V}^{\rm dB}=20\log_{10}(0.01) | + | * **Einfachere Rechnung:** Durch den Logarithmus wird eine Multiplikation linearer Faktoren zu einer Addition der Pegel: |
| - | =20\cdot(-2) | + | |
| - | =-40~\mathrm{dB}$. | + | |
| - | Für $A_{\rm V}=2$ gilt näherungsweise: | + | $A_{\rm V}^{\rm dB}(A_1 \cdot A_2) = 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_1 \cdot A_2) = 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_1) + 20~{\rm dB} \cdot \log_{10}(A_2) = A_{\rm V}^{\rm dB}(A_1) + A_{\rm V}^{\rm dB}(A_2)$ |
| - | $A_{\rm V}^{\rm dB}=20\log_{10}(2)\approx6~\mathrm{dB}$. | ||
| - | < | + | < |
| - | Für Spannungsverhältnisse sollte man sich insbesondere merken: | + | < |
| - | + | </ | |
| - | * Faktor $10$ $\rightarrow +20~\mathrm{dB}$ | + | {{drawio> |
| - | * Faktor $2$ $\rightarrow \approx+6~\mathrm{dB}$ | + | |
| - | * Faktor $1$ $\rightarrow 0~\mathrm{dB}$ | + | |
| - | + | ||
| - | Für Abschwächungen gelten die entsprechenden negativen Werte. | + | |
| </ | </ | ||
| - | === Warum verwendet man dB? === | + | Gerade der letzte Punkt ist für elektronische Systeme interessant. |
| - | Die logarithmische Darstellung bietet | + | Werden |
| - | **1. Große Wertebereiche werden übersichtlicher** | + | $A_{\rm V, eq}=\prod A_{i} = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3$. |
| - | Ein sehr großes lineares Verhältnis wie | + | In der dB-Darstellung wird daraus dagegen eine Summe: |
| - | $A_{\rm V}=10\,000\,000$ | + | $A_{\rm V,eq}^{\rm dB}=\sum A_i^{\rm dB} = A_1^{\rm dB} + A_2^{\rm dB} + A_3^{\rm dB}$. |
| - | entspricht beispielsweise | + | Im dargestellten Beispiel ergibt sich: |
| - | $A_{\rm V}^{\rm dB}=140~\mathrm{dB}$. | + | $A_{\rm V,eq}^{\rm dB} = \sum A^{\rm dB} = 88~{\rm dB} + (-58~{\rm dB}) + 14~{\rm dB} = 44~{\rm |
| - | Die logarithmische Darstellung vermeidet damit lange Zahlenfolgen mit vielen Nullen. | ||
| - | **2. Multiplikationen werden zu Additionen** | + | <WRAP center round important 80%> |
| + | **Merke: dB-Darstellung** | ||
| - | Bei mehreren hintereinandergeschalteten Stufen werden die linearen Übertragungsfaktoren multipliziert: | + | Für Strom- und Spannungsverhältnisse gilt: |
| - | $A_{\rm V,ges}=A_1\cdot A_2\cdot A_3$. | + | - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 10}$ entspricht einem Pegel von $+ 20~{\rm dB}$. |
| + | - Ein linearer Faktor von $\color{green}{\times 2} $ entspricht ungefähr einem Pegel von $+ 6~{\rm dB}$. | ||
| + | - Der lineare Wert $A_{\rm V} = 1$ entspricht $0 ~{\rm dB}$. | ||
| - | In dB können die zugehörigen Pegel dagegen einfach addiert werden: | ||
| - | |||
| - | $A_{\rm V,ges}^{\rm dB} | ||
| - | =A_1^{\rm dB}+A_2^{\rm dB}+A_3^{\rm dB}$. | ||
| - | |||
| - | Betrachten wir beispielsweise drei Stufen mit | ||
| - | |||
| - | $A_1^{\rm dB}=88~\mathrm{dB}$, | ||
| - | |||
| - | $A_2^{\rm dB}=-58~\mathrm{dB}$ und | ||
| - | |||
| - | $A_3^{\rm dB}=14~\mathrm{dB}$. | ||
| - | |||
| - | Dann ergibt sich unmittelbar | ||
| - | |||
| - | $A_{\rm V,ges}^{\rm dB} | ||
| - | =88~\mathrm{dB}-58~\mathrm{dB}+14~\mathrm{dB} | ||
| - | =44~\mathrm{dB}$. | ||
| - | |||
| - | <WRAP center round important 80%> | ||
| Für hintereinandergeschaltete Systeme gilt: | Für hintereinandergeschaltete Systeme gilt: | ||
| - | | + | |
| - | | + | |
| </ | </ | ||
| - | === Etwas schwierigere Umrechnungen === | ||
| - | Mit den beiden | + | === Weitere Beispiele für Spannungsverhältnisse in dB === |
| + | |||
| + | Mit den beiden | ||
| - | $20~\mathrm{dB}\widehat{=}\times10$ | + | $\color{green}{\times 10} \rightarrow + 20~{\rm dB}$ |
| und | und | ||
| - | $6~\mathrm{dB}\widehat{\approx}\times2$ | + | $\color{green}{\times 2} \rightarrow + 6~{\rm dB}$ |
| - | lassen sich viele Werte auch ohne Taschenrechner | + | lassen sich viele lineare |
| - | Beispielsweise: | + | Beispiele: |
| - | $38~\mathrm{dB} | + | - < |
| - | =20~\mathrm{dB}+3\cdot6~\mathrm{dB}$ | + | $A_{\rm V}^{dB}=58~{\rm dB} = 40~{\rm dB} + 18~{\rm dB} = \color{blue}{2}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{3}\cdot 6~{\rm |
| + | Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ A_{\rm V} = 10^\color{blue}{2} \qquad | ||
| - | entsprechen näherungsweise | + | - < |
| + | $A_{\rm V}^{dB}=56~{\rm dB} = 80~{\rm dB} - 24~{\rm dB} = \color{blue}{4}\cdot 20~{\rm dB} + \color{magenta}{-4}\cdot 6~{\rm dB}$ \\ | ||
| + | Linear ergibt sich daraus: $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ A_{\rm V} = 10^\color{blue}{4} \qquad \cdot \qquad | ||
| - | $10\cdot2^3=80$. | + | - < |
| - | + | $A_{\rm V}^{dB}=56~{\rm dB} = 40~{\rm dB} + 18~{\rm | |
| - | Ebenso gilt: | + | Linear ergibt sich daraus: |
| - | + | ||
| - | $-38~\mathrm{dB} | + | |
| - | =-20~\mathrm{dB}-3\cdot6~\mathrm{dB}$ | + | |
| - | + | ||
| - | und damit näherungsweise | + | |
| - | + | ||
| - | $0.1\cdot2^{-3}=0.0125$. | + | |
| - | + | ||
| - | Der Wert $-3~\mathrm{dB}$ wird im Folgenden noch eine besondere Bedeutung erhalten. | + | |
| + | Der Wert $-3~{\rm dB}$ wird im Folgenden noch eine besondere Bedeutung erhalten. | ||
| ==== 2.1.4 Das Bode-Diagramm ==== | ==== 2.1.4 Das Bode-Diagramm ==== | ||
| - | Das Bode-Diagramm | + | Das Bode-Diagramm |
| - | === Vorüberlegung: komplexe | + | === Vorbetrachtung: komplexe |
| - | Eine komplexe Zahl kann grundsätzlich | + | Eine komplexe Zahl kann immer durch zwei reelle Größen beschrieben werden. |
| - | Eine Möglichkeit ist die Darstellung über Real- und Imaginärteil: | + | < |
| + | < | ||
| + | </ | ||
| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
| - | $\underline A | + | - Darstellung durch Realteil |
| - | =\Re(\underline A)+{\rm j}\cdot\Im(\underline A)$. | + | |
| - | Alternativ kann dieselbe komplexe Zahl über Betrag und Phase beschrieben werden: | + | - Darstellung durch Betrag |
| - | $\underline A | + | Die zweite Darstellung ist für die Betrachtung frequenzabhängiger Spannungsverhältnisse besonders geeignet. Sie trennt die Änderung der Amplitude von der zeitlichen Verschiebung bzw. Phase. |
| - | =|\underline A|\cdot{\rm e}^{{\rm j}\varphi}$. | + | |
| - | Für die Betrachtung frequenzabhängiger Spannungsübertragungen ist die zweite Darstellung besonders geeignet. | ||
| - | |||
| - | Damit lässt sich das komplexe Übertragungsverhältnis | ||
| - | |||
| - | $\underline A_{\rm V}(f) | ||
| - | ={{\underline U_{\rm O}(f)}\over{\underline U_{\rm I}(f)}}$ | ||
| - | |||
| - | durch zwei Größen beschreiben: | ||
| - | |||
| - | * den Betrag $|\underline A_{\rm V}(f)|$ und | ||
| - | * die Phase $\varphi(f)$. | ||
| - | |||
| - | Der Betrag beschreibt, wie stark das Signal übertragen wird. Die Phase beschreibt die Verschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal. | ||
| === Entwicklung des Bode-Diagramms === | === Entwicklung des Bode-Diagramms === | ||
| - | |||
| - | Betrachten wir zunächst den Frequenzgang eines einfachen RC-Glieds. | ||
| < | < | ||
| - | {{url> | + | {{url> |
| </ | </ | ||
| - | Im unteren Teil der Simulation ist der Betrag | + | Um die Frequenzabhängigkeit des Spannungsübertragungsverhältnisses besser zu verstehen, kann dessen |
| - | Bei kleinen Frequenzen liegt das Spannungsverhältnis | + | Sinnvoll ist es, das Spannungsverhältnis |
| - | Bewegen Sie den Mauszeiger über die Kurve. Für verschiedene Frequenzen können jeweils Frequenz und Verstärkung in $\mathrm{dB}$ abgelesen werden. | + | Die Simulation zeigt den Verlauf von $|A_{\rm V}^{\rm dB}(f)|$ für einen Tiefpass im unteren Bereich der Darstellung. Der Verlauf beginnt links bei ungefähr $0~{\rm dB}$ und fällt für höhere Frequenzen deutlich ab. |
| - | In einer zunächst linearen Darstellung | + | Wird der Mauszeiger über das Diagramm bewegt, kann für jede Frequenz der jeweilige Wert der Verstärkung in $\rm dB$ angezeigt werden. |
| - | Ein großer Teil der interessanten Änderung findet | + | Beim Anklicken eines Punktes im Frequenzgang zeigt die Simulation außerdem die zu dieser Frequenz gehörenden Strom- und Spannungsverhältnisse |
| - | Schalten Sie deshalb über | + | Bei einer linearen Frequenzachse ist es allerdings schwierig, charakteristische Punkte wie beispielsweise die Grenzfrequenz aus dem Frequenzgang abzulesen. |
| - | '' | + | Wird auch die Frequenzachse logarithmisch dargestellt, |
| - | zwischen linearer und logarithmischer Frequenzdarstellung um. | + | Nun werden |
| - | Mit logarithmischer Frequenzachse wird das Verhalten deutlich übersichtlicher: | + | * der zunächst nahezu konstante Verlauf bei niedrigen Frequenzen und |
| + | * der Abfall bei höheren Frequenzen | ||
| - | * Für kleine Frequenzen ist der Amplitudengang nahezu konstant. | + | sehr deutlich sichtbar. |
| - | * In einem Übergangsbereich beginnt die Kurve abzufallen. | + | |
| - | * Für hohe Frequenzen ergibt sich näherungsweise eine Gerade. | + | |
| - | Aktivieren Sie zusätzlich | + | Die Phase kann über '' |
| - | '' | ||
| - | die Darstellung der Phase. | + | === Beschreibung des Bode-Diagramms === |
| - | Damit erhalten wir die beiden Bestandteile des später so genannten | + | < |
| + | < | ||
| + | </ | ||
| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
| + | Das Bode-Diagramm ermöglicht die **Darstellung einer komplexwertigen, | ||
| + | Der Frequenzgang wird dabei in zwei Darstellungen aufgeteilt: | ||
| - | ==== 2.1.5 Beschreibung des Bode-Diagramms ==== | + | * den **Amplitudengang**, |
| + | * den **Phasengang**, | ||
| - | Ein Bode-Diagramm ermöglicht die **Darstellung einer komplexwertigen, | + | Eine Änderung der Frequenz um den Faktor $\times 10$ wird als **Dekade** bezeichnet. |
| - | Es besteht aus zwei Teilen: | + | Der Amplitudengang verschiedener grundlegender Funktionen kann damit einfach beschrieben werden. Dabei bezeichnet $\mathcal{C}$ einen beliebigen frequenzunabhängigen Faktor: |
| - | | + | |
| - | * dem **Phasengang**. | + | |
| - | === Amplitudengang === | + | - $|A_{\rm V}(f)| |
| - | Im Amplitudengang wird der Betrag | + | - $|A_{\rm V}(f)| = \mathcal{C} / f^n$: \\ Ist eine Funktion umgekehrt proportional zu $f^n$, führt eine Verzehnfachung |
| - | Die logarithmische Darstellung des Betrags entsteht bereits | + | Als Alternative zum exakten Verlauf werden $|A_{\rm V}(f)|$ und $\varphi(f)$ gelegentlich näherungsweise |
| - | Damit werden sowohl | ||
| - | * die Frequenzachse als auch | + | <WRAP center round important 80%> |
| - | * das Amplitudenverhältnis | + | **Merke: Bode-Diagramm** |
| - | logarithmisch dargestellt. | + | Das Bode-Diagramm bzw. der Frequenzgang besteht aus: |
| - | === Phasengang | + | - **Amplitudengang: |
| + | - **Phasengang:** linear dargestellte Phase über logarithmischer Frequenz. | ||
| - | Im Phasengang wird die Phase $\varphi$ in Grad über derselben logarithmischen Frequenzachse dargestellt. | + | Dadurch ergeben sich im Amplitudengang für Funktionen der Form $A(\omega) \sim \omega^n$ Geraden. |
| - | + | ||
| - | Die Phase selbst wird dabei linear aufgetragen. | + | |
| - | + | ||
| - | Das Bode-Diagramm besteht damit aus: | + | |
| - | + | ||
| - | ^ Teil ^ y-Achse ^ x-Achse ^ | + | |
| - | | Amplitudengang | Betrag in $\mathrm{dB}$ | Frequenz logarithmisch | | + | |
| - | | Phasengang | Phase in Grad | Frequenz logarithmisch | | + | |
| - | + | ||
| - | === Dekaden === | + | |
| - | + | ||
| - | Eine Verzehnfachung der Frequenz wird als **Dekade** bezeichnet. | + | |
| - | + | ||
| - | Beispielsweise liegen zwischen | + | |
| - | + | ||
| - | $100~\mathrm{Hz}$ und $1~\mathrm{kHz}$ | + | |
| - | + | ||
| - | genauso eine Dekade wie zwischen | + | |
| - | + | ||
| - | $10~\mathrm{kHz}$ und $100~\mathrm{kHz}$. | + | |
| - | + | ||
| - | Auf einer logarithmischen Frequenzachse besitzen diese beiden Bereiche deshalb dieselbe Breite. | + | |
| - | + | ||
| - | === Steigungen | + | |
| - | + | ||
| - | Betrachten wir zunächst eine Funktion der Form | + | |
| - | + | ||
| - | $|A_{\rm V}(f)|=\mathcal C\cdot f$, | + | |
| - | + | ||
| - | wobei $\mathcal C$ eine frequenzunabhängige Konstante ist. | + | |
| - | + | ||
| - | Wird die Frequenz um den Faktor $10$ erhöht, steigt auch der Betrag um den Faktor $10$. | + | |
| - | + | ||
| - | Ein Faktor $10$ entspricht $+20~\mathrm{dB}$. | + | |
| - | + | ||
| - | Daraus ergibt sich eine Steigung von | + | |
| - | + | ||
| - | $+20~\mathrm{dB/ | + | |
| - | + | ||
| - | Für | + | |
| - | + | ||
| - | $|A_{\rm V}(f)|={{\mathcal C}\over f}$ | + | |
| - | + | ||
| - | führt eine Verzehnfachung der Frequenz dagegen zu einem Zehntel des ursprünglichen Betrags. | + | |
| - | + | ||
| - | Das entspricht $-20~\mathrm{dB}$ pro Dekade. | + | |
| - | + | ||
| - | Allgemeiner gilt für | + | |
| - | + | ||
| - | $|A_{\rm V}(f)|={{\mathcal C}\over f^n}$: | + | |
| - | + | ||
| - | Bei einer Verzehnfachung der Frequenz verringert sich das Amplitudenverhältnis um den Faktor $10^n$. | + | |
| - | + | ||
| - | Im Bode-Diagramm entspricht dies einer Steigung von | + | |
| - | + | ||
| - | $-20n~\mathrm{dB/ | + | |
| - | + | ||
| - | ^ Verhalten ^ Steigung ^ | + | |
| - | | $A(f)\sim f$ | $+20~\mathrm{dB/ | + | |
| - | | $A(f)\sim1/ | + | |
| - | | $A(f)\sim1/ | + | |
| - | + | ||
| - | <WRAP center round important 80%> | + | |
| - | Ein Bode-Diagramm besteht aus | + | |
| - | + | ||
| - | * **Amplitudengang: | + | |
| - | * **Phasengang: | + | |
| - | + | ||
| - | Für Funktionen der Form $A(f)\sim f^n$ entstehen im Amplitudengang | + | |
| Insbesondere gilt: | Insbesondere gilt: | ||
| - | | + | |
| - | | + | |
| </ | </ | ||
| - | === Asymptotische Darstellung === | ||
| - | In technischen Skizzen wird der tatsächliche Verlauf | + | === Praktische Untersuchung |
| - | Diese asymptotische Darstellung ist besonders praktisch, weil sich charakteristische Frequenzbereiche | + | Verwenden Sie die Simulation oben und untersuchen Sie den Frequenzgang zunächst ohne Rechnung. |
| - | Der reale Verlauf geht dabei kontinuierlich | + | - Bewegen Sie den Cursor |
| + | - Beobachten Sie, wie sich $U_{\rm O}$ gegenüber $U_{\rm I}$ verändert. | ||
| + | - Schalten Sie die Phase ein. | ||
| + | - Suchen Sie den Bereich, in dem der Amplitudengang beginnt deutlich abzufallen. | ||
| + | - Vergleichen Sie zwei Frequenzen, die ungefähr eine Dekade auseinanderliegen. | ||
| + | - Bestimmen Sie näherungsweise die Änderung des Pegels zwischen diesen beiden Punkten. | ||
| - | In den folgenden Blöcken werden wir diese Darstellung nutzen, um das Verhalten realer Kondensatoren | + | Die Rechnung zur Grenzfrequenz und die genaue Analyse des RC-Tiefpasses folgen später. |
| - | ==== 2.1.6 Die -3-dB-Grenze ==== | ||
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| - | Beim betrachteten RC-Glied ist im Bode-Diagramm ein Übergang zwischen zwei Bereichen zu erkennen: | ||
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| - | * bei kleinen Frequenzen ist der Betrag nahezu konstant, | ||
| - | * bei hohen Frequenzen fällt er näherungsweise mit $-20~\mathrm{dB/ | ||
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| - | Eine charakteristische Frequenz dieses Übergangs ist die **Grenzfrequenz** $f_c$. | ||
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| - | An dieser Stelle beträgt das Amplitudenverhältnis gegenüber dem Wert im Durchlassbereich | ||
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| - | $|A_{\rm V}|={1\over\sqrt{2}}\approx0.707$. | ||
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| - | In dB ergibt sich: | ||
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| - | $20\log_{10}\left({1\over\sqrt{2}}\right)\approx-3~\mathrm{dB}$. | ||
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| - | Deshalb wird diese Frequenz auch als **$-3~\mathrm{dB}$-Grenzfrequenz** bezeichnet. | ||
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| - | <WRAP center round important 80%> | ||
| - | $-3~\mathrm{dB}$ bedeuten bei einem Spannungsverhältnis nicht „halbe Spannung“. | ||
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| - | Es gilt: | ||
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| - | * Spannungsverhältnis: | ||
| - | * Leistungsverhältnis bei gleichem Widerstand: $0.5$ | ||
| - | </ | ||
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| - | Für einen RC-Tiefpass erster Ordnung beträgt die Phasenverschiebung an der Grenzfrequenz ungefähr $-45^\circ$. | ||
| - | Die detaillierte Herleitung der Grenzfrequenz erfolgt später bei der konkreten Analyse von Filterschaltungen. | ||
| ==== 2.1.7 Frequenzgang und die Leit-Schaltung ==== | ==== 2.1.7 Frequenzgang und die Leit-Schaltung ==== | ||