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Block 02 — Frequenzgang, Dezibel und Bode-Diagramm

2.0 Einführung

In der Leit-Schaltung wird der Motor mit einem PWM-Signal angesteuert. Gleichzeitig soll über den Shunt ein möglichst gut auswertbares Stromsignal gewonnen werden.

Damit treffen zwei sehr unterschiedliche Betrachtungsweisen aufeinander:

• Im Zeitbereich sehen wir Spannungen und Ströme als Funktion der Zeit.
• Im Frequenzbereich betrachten wir, wie eine Schaltung auf Signale unterschiedlicher Frequenz reagiert.

Warum ist diese zweite Sichtweise hilfreich?

Betrachten wir zunächst ein Signal, das durch hochfrequente Störungen überlagert ist.

Links ist das ursprüngliche Signal zu sehen. Anschließend wird Rauschen hinzugefügt. Nach den beiden Filterstufen nimmt der hochfrequente Anteil sichtbar ab.

Dabei entsteht jedoch ein Zielkonflikt: Das Signal wird glatter, gleichzeitig werden aber auch schnelle Änderungen des Nutzsignals abgeschwächt.

Die entscheidende Frage lautet deshalb nicht nur:

„Filtert die Schaltung?“

sondern vielmehr:

„Welche Frequenzen werden wie stark übertragen?“

Genau dafür werden in diesem Block Frequenzgang, Dezibel und Bode-Diagramm eingeführt.

2.0.1 Lernziele

Nach diesem 90-minütigen Block können Sie

• zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich unterscheiden,
• die Frequenz $f$, Kreisfrequenz $\omega$ und Periodendauer $T$ ineinander umrechnen,
• ein Spannungsübertragungsverhältnis $A_{\rm V}=U_{\rm O}/U_{\rm I}$ interpretieren,
• lineare Spannungsverhältnisse in Dezibel umrechnen und typische dB-Werte ohne Taschenrechner abschätzen,
• erklären, warum für Spannungen der Faktor $20$ und für Leistungen der Faktor $10$ im Logarithmus verwendet wird,
• Amplituden- und Phasengang unterscheiden,
• ein einfaches Bode-Diagramm lesen,
• Dekaden und Steigungen in $\mathrm{dB/dec}$ interpretieren,
• die Bedeutung der $-3~\mathrm{dB}$-Grenzfrequenz qualitativ erklären,
• Amplitude und Phase in Falstad für verschiedene Frequenzen untersuchen.

2.0.2 Vorbereitung zu Hause

Aus den vorherigen Lehrveranstaltungen werden folgende Zusammenhänge vorausgesetzt:

• $f=1/T$
• $\omega=2\pi f$
• sinusförmige Spannungen und Ströme,
• komplexe Impedanzen von Widerstand und Kondensator,
• $Z_R=R$ und $Z_C=1/({\rm j}\omega C)$.

Überlegen Sie vor der Veranstaltung:

• Was geschieht mit $|Z_C|$, wenn die Frequenz steigt?
• Warum könnte eine Schaltung auf ein Signal mit $100~\mathrm{Hz}$ anders reagieren als auf ein Signal mit $100~\mathrm{kHz}$?
• Welche Information geht verloren, wenn nur die Amplitude eines Signals betrachtet wird?

2.0.3 90-Minuten-Plan

1. Einstieg und Simulation (10 min): verrauschtes Signal und unterschiedliche Wirkung auf niedrige und hohe Frequenzen.
2. Vom Zeitbereich zum Frequenzgang (15 min): Sinus als Testsignal, Amplitudenverhältnis und Phase.
3. Dezibel (20 min): lineare Faktoren, dB-Skala und typische Referenzwerte.
4. Bode-Diagramm (25 min): logarithmische Frequenzachse, Amplituden- und Phasengang, Dekaden und Steigungen.
5. Praktische Falstad-Untersuchung (15 min): Frequenz verändern, Grenzfrequenz und Phase ablesen.
6. Abschluss (5 min): zentrale Aussagen und Verbindung zum realen Kondensator in Block 03.

2.0.4 Konzeptübersicht

1. Eine Schaltung kann unterschiedliche Frequenzen unterschiedlich stark übertragen.
2. Ein sinusförmiges Testsignal ermöglicht es, für jede Frequenz Amplitudenverhältnis und Phasenverschiebung zu bestimmen.
3. Der Frequenzgang beschreibt diese beiden Größen über der Frequenz.
4. Die dB-Skala stellt große Wertebereiche kompakt dar und macht Multiplikationen zu Additionen.
5. Das Bode-Diagramm verwendet eine logarithmische Frequenzachse und besteht aus Amplituden- und Phasengang.
6. Eine Steigung von $-20~\mathrm{dB/dec}$ bedeutet: Bei einer Verzehnfachung der Frequenz wird das Amplitudenverhältnis um den Faktor 10 kleiner.
7. Die Grenzfrequenz eines Systems erster Ordnung liegt typischerweise dort, wo der Amplitudengang gegenüber dem Durchlassbereich um $3~\mathrm{dB}$ abgefallen ist.

2.1 Kerninhalt

2.1.1 Vom Zeitbereich zum Frequenzbereich

Bisher wurden Spannungen häufig als Funktion der Zeit betrachtet: $u(t)$.

Eine solche Darstellung beantwortet beispielsweise die Fragen:

• Wann ändert sich das Signal?
• Wie groß ist die Spannung zu einem bestimmten Zeitpunkt?
• Wie schnell steigt oder fällt eine Flanke?

Für viele elektronische Schaltungen ist aber zusätzlich interessant, wie die Schaltung auf unterschiedliche Frequenzen reagiert.

Als Testsignal eignet sich besonders eine sinusförmige Spannung

$u_{\rm I}(t)=\hat U_{\rm I}\sin(\omega t)$.

Nach dem Einschwingen entsteht in einer linearen Schaltung am Ausgang wieder ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz. Seine Amplitude und seine zeitliche Lage können sich jedoch ändern:

$u_{\rm O}(t)=\hat U_{\rm O}\sin(\omega t+\varphi)$.

Damit reichen zwei Größen aus, um die Wirkung der Schaltung bei einer bestimmten Frequenz zu beschreiben:

• das Amplitudenverhältnis $|A_{\rm V}|=\hat U_{\rm O}/\hat U_{\rm I}$ und
• die Phasenverschiebung $\varphi$.

Frequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz

Für ein periodisches Signal gilt $f=1/T$.

Die Kreisfrequenz lautet $\omega=2\pi f$.

Damit entspricht beispielsweise eine Frequenz von $f=1~\mathrm{kHz}$ einer Periodendauer von $T=1~\mathrm{ms}$ und einer Kreisfrequenz von ungefähr $\omega=6283~\mathrm{rad/s}$.

In Datenblättern, Simulationen und Bode-Diagrammen wird meist die Frequenz $f$ in $\mathrm{Hz}$ verwendet. In Gleichungen ist dagegen häufig $\omega$ zu finden.

Phase als Zeitverschiebung

Die Phase kann auch aus einer Zeitverschiebung zwischen zwei sinusförmigen Signalen bestimmt werden.

Eine vollständige Periodendauer $T$ entspricht $360^\circ$. Für eine Zeitverschiebung $\Delta t$ gilt daher

$\varphi=360^\circ\cdot{\Delta t\over T}$.

Je nach Richtung der Verschiebung wird die Phase positiv oder negativ angegeben.

Beispiel: Bei $f=1~\mathrm{kHz}$ gilt $T=1~\mathrm{ms}$. Ist das Ausgangssignal gegenüber dem Eingang um $250~\mathrm{\mu s}$ verzögert, entspricht dies einer Phasenverschiebung von $90^\circ$.

2.1.2 Übertragungsverhältnis und Frequenzgang

Das Spannungsübertragungsverhältnis einer Schaltung wird mit

$A_{\rm V}={U_{\rm O}\over U_{\rm I}}$

beschrieben.

Ist $A_{\rm V}=1$, besitzen Ein- und Ausgang dieselbe Amplitude. Bei $A_{\rm V}=0.1$ besitzt das Ausgangssignal nur noch ein Zehntel der Eingangsamplitude.

Für eine frequenzabhängige Schaltung ist $A_{\rm V}$ jedoch keine einzelne Zahl mehr:

$A_{\rm V}=A_{\rm V}(f)$.

Zusätzlich kann zwischen Ein- und Ausgang eine Phasenverschiebung entstehen. Vollständig wird die Übertragung deshalb durch eine komplexe Größe beschrieben:

$\underline A_{\rm V}(f)={\underline U_{\rm O}(f)\over\underline U_{\rm I}(f)}$.

Für die praktische Betrachtung wird diese komplexe Größe in Betrag und Phase zerlegt:

• $|\underline A_{\rm V}(f)|$: Amplitudenverhältnis
• $\varphi(f)$: Phasenverschiebung

Wir werden im Folgenden vor allem lernen, diese beiden Größen zu lesen und zu interpretieren. Die detaillierte Herleitung konkreter Filter folgt später.

2.1.3 Warum Dezibel?

Ein Amplitudenverhältnis kann direkt als linearer Faktor angegeben werden.

Beispielsweise bedeutet $A_{\rm V}=0.001$, dass am Ausgang nur noch ein Tausendstel der Eingangsamplitude vorhanden ist.

Bei Schaltungen mit großen Frequenzbereichen entstehen schnell sehr kleine oder sehr große Zahlen. Deshalb wird in der Elektronik häufig die logarithmische Einheit Dezibel verwendet.

Für ein Spannungs- oder Stromverhältnis gilt

$A_{\rm V,dB}=20\log_{10}(|A_{\rm V}|)$.

Einige Werte sollte man ohne Taschenrechner erkennen können:

Warum 20 dB bei Spannungen, aber 10 dB bei Leistungen?

Für Leistungsverhältnisse gilt

$A_{\rm P,dB}=10\log_{10}(P_2/P_1)$.

Der Unterschied entsteht, weil bei konstantem Widerstand die Leistung proportional zum Quadrat der Spannung ist: $P\sim U^2$.

Damit führt beispielsweise eine Verzehnfachung der Spannung zu einer Verhundertfachung der Leistung.

Für die Spannung ergibt sich $20\log_{10}(10)=20~\mathrm{dB}$.

Für die Leistung ergibt sich entsprechend $10\log_{10}(100)=20~\mathrm{dB}$.

Beide Darstellungen beschreiben also dieselbe physikalische Änderung.

dB ist zunächst ein Verhältnis

Die Einheit $\mathrm{dB}$ allein beschreibt zunächst ein Verhältnis.

Davon zu unterscheiden sind Angaben wie $\mathrm{dBV}$ oder $\mathrm{dBm}$, bei denen ein fester Bezugswert definiert ist.

Für diesen Kurs wird im Zusammenhang mit Bode-Diagrammen überwiegend das dimensionslose Übertragungsverhältnis in $\mathrm{dB}$ verwendet.

Warum ist die logarithmische Darstellung praktisch?

Nehmen wir zwei hintereinandergeschaltete Stufen mit $A_1=10$ und $A_2=0.1$.

Linear müssen die Faktoren multipliziert werden:

$A_{\rm ges}=A_1\cdot A_2=10\cdot0.1=1$.

In dB werden daraus

$A_1=20~\mathrm{dB}$ und $A_2=-20~\mathrm{dB}$.

Damit gilt einfach:

$A_{\rm ges,dB}=20~\mathrm{dB}-20~\mathrm{dB}=0~\mathrm{dB}$.

2.1.4 Das Bode-Diagramm

Um das Verhalten einer Schaltung über einen großen Frequenzbereich darzustellen, wird häufig das Bode-Diagramm verwendet.

Es besteht aus zwei Diagrammen:

• dem Amplitudengang und
• dem Phasengang.

Die Frequenzachse ist dabei logarithmisch.

Die Schaltung zeigt einen einfachen RC-Tiefpass. Der Filter selbst wird erst in einem späteren Block ausführlich hergeleitet und dimensioniert. Hier dient er zunächst nur als Versuchsobjekt für das Bode-Diagramm.

Bewegen Sie den Mauszeiger über den Frequenzgang und beobachten Sie

• die Frequenz,
• das Amplitudenverhältnis in $\mathrm{dB}$ und
• die Phase.

Logarithmische Frequenzachse

Eine logarithmische Achse besitzt keine gleichmäßigen Abstände für gleiche Frequenzdifferenzen.

Stattdessen entsprechen gleiche Abstände gleichen Faktoren.

Der Bereich von

$100~\mathrm{Hz}$ bis $1~\mathrm{kHz}$

nimmt daher genauso viel Platz ein wie

$1~\mathrm{kHz}$ bis $10~\mathrm{kHz}$.

Eine Verzehnfachung der Frequenz wird als Dekade bezeichnet.

Beispiele:

• $10~\mathrm{Hz}\rightarrow100~\mathrm{Hz}$: eine Dekade
• $1~\mathrm{kHz}\rightarrow10~\mathrm{kHz}$: eine Dekade
• $10~\mathrm{kHz}\rightarrow1~\mathrm{MHz}$: zwei Dekaden

Diese Darstellung ist sehr praktisch, weil elektronische Systeme häufig über viele Größenordnungen betrachtet werden.

Amplitudengang

Im oberen bzw. ersten Teil eines Bode-Diagramms wird der Betrag des Übertragungsverhältnisses in $\mathrm{dB}$ dargestellt.

Ein Wert von $0~\mathrm{dB}$ bedeutet $|A_{\rm V}|=1$.

Bei $-20~\mathrm{dB}$ ist die Ausgangsamplitude nur noch ein Zehntel der Eingangsamplitude.

Bei $-40~\mathrm{dB}$ ist sie nur noch ein Hundertstel.

Phasengang

Der Phasengang zeigt die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgang.

Eine Phase von $0^\circ$ bedeutet, dass beide Sinussignale ihre Nulldurchgänge und Maxima gleichzeitig erreichen.

Eine Phase von $-90^\circ$ entspricht einer Verzögerung um ein Viertel der Periodendauer.

2.1.5 Steigungen im Bode-Diagramm

Eine große Stärke der logarithmischen Darstellung ist, dass Potenzfunktionen zu Geraden werden.

Nehmen wir beispielsweise ein Verhalten

$|A(f)|\sim1/f$.

Wird die Frequenz um den Faktor 10 erhöht, sinkt das Amplitudenverhältnis ebenfalls um den Faktor 10.

Ein Faktor $0.1$ entspricht $-20~\mathrm{dB}$.

Im Bode-Diagramm entsteht daher eine Steigung von

$-20~\mathrm{dB/dec}$.

Entsprechend gilt:

Praktische Untersuchung

Verwenden Sie erneut die Falstad-Simulation des RC-Glieds.

1. Suchen Sie einen Punkt im Frequenzgang, bei dem die Verstärkung ungefähr $-20~\mathrm{dB}$ beträgt. 2. Erhöhen Sie die betrachtete Frequenz ungefähr um den Faktor 10. 3. Lesen Sie erneut die Verstärkung ab.

Im Bereich deutlich oberhalb der Grenzfrequenz sollte die Änderung näherungsweise $-20~\mathrm{dB}$ pro Dekade betragen.

2.1.6 Grenzfrequenz und -3 dB

Im Bode-Diagramm des RC-Glieds ist ein Übergang zwischen zwei Bereichen zu erkennen:

• bei niedrigen Frequenzen liegt der Amplitudengang ungefähr bei $0~\mathrm{dB}$,
• bei hohen Frequenzen fällt er mit ungefähr $-20~\mathrm{dB/dec}$.

Der Übergangsbereich wird durch die Grenzfrequenz charakterisiert.

Für ein System erster Ordnung liegt der Betrag an der Grenzfrequenz beim Faktor

$|A|=1/\sqrt{2}\approx0.707$

des Werts im Durchlassbereich.

In Dezibel ergibt sich daraus ungefähr

$20\log_{10}(0.707)\approx-3~\mathrm{dB}$.

Deshalb wird häufig auch von der $-3~\mathrm{dB}$-Grenzfrequenz gesprochen.

Praktische Untersuchung in Falstad

Bestimmen Sie mit dem Cursor in der Simulation näherungsweise die Frequenz, bei der der Amplitudengang $-3~\mathrm{dB}$ erreicht.

Beobachten Sie an derselben Stelle zusätzlich die Phase.

Für einen idealen RC-Tiefpass erster Ordnung liegt sie an dieser Stelle bei ungefähr $-45^\circ$.

Die mathematische Herleitung dieses Zusammenhangs folgt im späteren Filterblock. Hier ist zunächst wichtig, die charakteristischen Punkte im Bode-Diagramm erkennen zu können.

2.1.7 Frequenzgang und die Leit-Schaltung

Warum benötigen wir dieses Werkzeug für die Motortreiberschaltung?

Das PWM-Signal der Leit-Schaltung besitzt eine Grundfrequenz von ungefähr $30~\mathrm{kHz}$. Schnelle Schaltvorgänge erzeugen darüber hinaus weitere hochfrequente Signalanteile.

Auch das gemessene Shunt-Signal kann daher neben dem gewünschten Stromverlauf schnelle Störungen und Schaltanteile enthalten.

Wenn später ein Filter für dieses Signal ausgewählt wird, reicht die Aussage

„Das Signal soll geglättet werden.“

nicht aus.

Stattdessen müssen Fragen beantwortet werden wie:

• Welche Frequenzanteile gehören zum Nutzsignal?
• Welche Frequenzanteile sollen abgeschwächt werden?
• Wie stark soll die Abschwächung bei $30~\mathrm{kHz}$ sein?
• Wie viel Phasenverschiebung ist noch akzeptabel?

Das Bode-Diagramm ist das Werkzeug, mit dem diese Fragen quantitativ beschrieben werden können.

In diesem Block wurde also noch kein Filter dimensioniert. Zunächst wurde die Sprache eingeführt, mit der sein Verhalten beschrieben werden kann.

2.2 Häufige Fehler

• dB mit einem absoluten Spannungswert verwechseln: Eine Angabe in $\mathrm{dB}$ beschreibt zunächst ein Verhältnis.
• Für Spannungen $10\log$ verwenden: Für Spannungs- und Stromverhältnisse wird $20\log_{10}$ verwendet.
• $-3~\mathrm{dB}$ mit halber Spannung gleichsetzen: $-3~\mathrm{dB}$ entsprechen ungefähr dem Spannungsfaktor $0.707$.
• Eine logarithmische Frequenzachse wie eine lineare Achse lesen: Gleiche Abstände entsprechen gleichen Faktoren und nicht gleichen Frequenzdifferenzen.
• $\mathrm{dB/dec}$ mit $\mathrm{dB/Hz}$ verwechseln: Eine Dekade entspricht einer Verzehnfachung der Frequenz.
• Nur den Amplitudengang betrachten: Ein Frequenzgang enthält zusätzlich die Phaseninformation.
• Phase und Zeitverschiebung verwechseln: Dieselbe Zeitverschiebung entspricht bei unterschiedlichen Frequenzen unterschiedlichen Phasenwinkeln.
• Den Frequenzgang als Einschaltvorgang interpretieren: Der klassische Frequenzgang beschreibt das eingeschwungene Verhalten bei sinusförmiger Anregung.

2.3 Übungen

2.4 Zusammenfassung

• Der Frequenzgang beschreibt, wie eine Schaltung sinusförmige Signale unterschiedlicher Frequenz überträgt.
• Zur vollständigen Beschreibung gehören Amplitudenverhältnis und Phasenverschiebung.
• Für Spannungsverhältnisse gilt $A_{\rm dB}=20\log_{10}(|A|)$.
• $0~\mathrm{dB}$ entsprechen einem Faktor 1, $20~\mathrm{dB}$ einem Faktor 10 und ungefähr $6~\mathrm{dB}$ einem Faktor 2.
• Das Bode-Diagramm besitzt eine logarithmische Frequenzachse sowie einen Amplituden- und einen Phasengang.
• Eine Dekade entspricht einer Verzehnfachung der Frequenz.
• $-20~\mathrm{dB/dec}$ bedeuten eine Verringerung des Amplitudenverhältnisses um den Faktor 10 je Frequenzdekade.
• Bei einem System erster Ordnung liegt die Grenzfrequenz bei ungefähr $-3~\mathrm{dB}$ gegenüber dem Durchlassbereich.
• $-3~\mathrm{dB}$ entsprechen einem Spannungsfaktor von ungefähr $0.707$, nicht $0.5$.
• Bode-Diagramme ermöglichen es, Nutz- und Störfrequenzen einer realen Schaltung gezielt zu beurteilen.

2.5 Ausblick

Bisher wurde ein Kondensator im Frequenzbereich mit der idealen Impedanz

$Z_C={1\over{\rm j}\omega C}$

beschrieben.

Diese Gleichung sagt voraus, dass der Betrag der Impedanz mit steigender Frequenz immer weiter abnimmt.

Ein realer Kondensator verhält sich jedoch nur in einem begrenzten Frequenzbereich so.

Im nächsten Block wird deshalb der reale Kondensator betrachtet: Bauformen, ESR, ESL, Resonanzfrequenz, Spannungsabhängigkeit und die Frage, warum ein Kondensator bei hohen Frequenzen schließlich sogar induktives Verhalten zeigen kann.