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--- elektrotechnik_1:das_stationaere_elektrische_stroemungsfeld [2020/03/25 00:28]
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+++ elektrotechnik_1:das_stationaere_elektrische_stroemungsfeld [2023/09/19 22:37] (aktuell)
mexleadmin
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-~~NOTOC~~
+====== 6 Das stationäre elektrische Strömungsfeld ======
-====== 3. Das stationäre elektrische Strömungsfeld ======
-----
+<callout>
-++++3.1 Stromstärke und Strömungsfeld|===== 3.1 Stromstärke und Strömungsfeld =====
+Im elektrostatischen Feld wurden prinzipiell keine Ladungen in Bewegung betrachtet. Nun soll die Bewegung der Ladungen explizit betrachtet werden.
-<WRAP group> <WRAP half column>
+Das elektrische Strömungsfeld bezeichnet hier wie gemeinsame (kollektive) Bewegung von Ladungsträgern. Das stationäre Strömungsfeld beschreibt dabei die Ladungsträgerbewegung, wenn eine **Gleichspannung** die Ursache der Bewegung ist. Im stationären elektrischen Strömungsfeld fließt dann ein konstanter Gleichstrom. Damit gibt es keine Zeitabhängigkeit des Stroms:
-==== Ziele ====
+$\large{{{\rm d}I}\over{{\rm d}t}}=0$
-Nach dieser Lektion sollten Sie:
+Wichtig ist auch:  Bisher wurde betrachtet, dass die Ladungen sich durch ein Feld bewegt haben, oder zukünftig bewegt werden könnten. Nun wird gerade der Augenblick der Bewegung betrachtet.
-  - in der Lage sein, das Strömungsfeld in einem eingeschnürten und geradlinigen Leiter zu skizzieren.
+</callout>
-  - die Strömungsgeschwindigkeit von Elektronen bestimmen können.
-  - die integrale Schreibweise der elektrischen Stromstärke kennen.
-</WRAP> <WRAP half column>
+===== 6.1 Stromstärke und Strömungsfeld =====
-==== Video ====
+<callout>
-Die elektrischen Stromdichte
+=== Ziele ===
-{{youtube>ntqXtRYrBeY}}
-Beispiele zur elektrischen Stromdichte
+Nach dieser Lektion sollten Sie:
-{{youtube>9vLvzM9eGxY}}
-</WRAP> </WRAP>
+  - in der Lage sein, das Strömungsfeld in einem eingeschnürten und geradlinigen Leiter zu skizzieren.
+  - die Strömungsgeschwindigkeit von Elektronen bestimmen können.
+  - die integrale Schreibweise der elektrischen Stromstärke kennen.
+</callout>
-==== Aufgaben ====
+<WRAP right>
-++++
+<imgcaption BildNr01 | Teil eines Leiters >
+</imgcaption>
+{{drawio>Ladungen_im_Leiter}}
+</WRAP>
+==== Stromstärke und Stromdichte im einfachen Fall ====
-++++3.2 Gaußscher Satz des Strömungsfeldes|=====3.2 Gaußscher Satz des Strömungsfeldes =====
+Die Stromstärke wurde bisher als "Ladung pro Zeit" ($I={{{\rm d}Q}\over{{\rm d}t}}$) begriffen. Mikroskopisch betrachtet ist der elektrische Strom die gerichtete Bewegung von elektrischen Ladungsträgern. Im Kapitel [[grundlagen_und_grundbegriffe#ladung_und_strom|Grundlagen und Grundbegriffe]] sind wir auf das Bild des durch eine Querschnittsfläche $A$ durchdringenden Ladungsträgerstromes bereits eingegangen (siehe <imgref BildNr01>).
+Weiterhin hatten wir in der Gleichstromtechnik ganz praktisch das ohmsche Gesetz mit $R = {{U}\over{I}}$ angewandt. Nun wissen wir aber, dass aus dem elektrostatischen Feld das die Spannung sich aus der elektrischen Feldstärke herleiten lässt. Wie ist das aber nun beim Strom?
-<WRAP group> <WRAP half column>
+Dazu wird das Paket ${\rm d}Q$ an Ladungen betrachtet, welches zukünftig in dem Zeitraum ${\rm d}t$ die Fläche $A$ passieren wird. Diese Ladungen befinden sich in einem Teilvolumenelement ${\rm d}V$, welches durch die zu durchtretende Fläche $A$ und einem Teilabschnitt ${\rm d}x$ gegeben ist: ${\rm d}V = A \cdot {\rm d}x$. Die Menge an Ladungen pro Volumen wird durch die Ladungsträgerdichte angegeben, speziell bei Metallen durch die Elektronendichte $n_{\rm e}$. Die Elektronendichte $n_{\rm e}$ gibt die Anzahl der freien Elektronen je Volumeneinheit a. Diese liegt z.B. bei Kupfer etwa bei $n_{\rm e}(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} ~\rm {{1}\over{mm^3}}$.
-==== Ziele ====
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
-Nach dieser Lektion sollten Sie:
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr02 | Ladungen in einem Teilvolumen im Leiter>
+</imgcaption> \\
+{{drawio>LadungenImLeiterVolumen}} \\
+</WRAP>
-  - wissen, welche Größen beim elektrostatischen Feld und beim Strömungsfeld vergleichbar sind.
+Die in dem Teilvolumenelement ${\rm d}V$ enthaltenen, strömenden Ladungen sind dann (mit der Elementarladung $e_0$):
-  - anhand von Hüllflächen den Verschiebungsstrom erklären können.
-  - verstanden haben wie der Strom "durch" einen Kondensator fließen kann.
-</WRAP> <WRAP half column>
+\begin{align*}
+{\rm d}Q = n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A \cdot {\rm d}x
+\end{align*}
-==== Video ====
+Die Stromstärke ist dann mit $I={{{\rm d}Q}\over{{\rm d}t}}$:
-Warum fließt ein Elektronen durch einen Kondensator
+\begin{align*}
-{{youtube>8tXXlI0gHVk}}
+{{{\rm d}Q} \over{{\rm d}t}} = n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A \cdot {{{\rm d}x}\over{{\rm d}t}} = n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A \cdot v_e
+\end{align*}
+Es ergibt sich so eine Elektronengeschwindigkeit $v_{\rm e}$ von:
-</WRAP> </WRAP>
+\begin{align*}
+v_{\rm e} = {{{\rm d}x}\over{{\rm d}t}} = {{I}\over{n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A }}
+\end{align*}
-----
+Die Ladungsträger sind also nun - im Gegensatz zu den Betrachtungen in der Elektrostatik mit endlichen Geschwindigkeiten unterwegs.
+Mit Blick auf die Elektronengeschwindigkeit $v_{\rm e} \sim {{I}\over{A}}$ liegt es nahe eine (auf die Fläche bezogene) Stromdichte $S$ zu bestimmen:
-<WRAP group> <WRAP half column>
+\begin{align*}
+\boxed{S = {{I}\over{A}}}
+\end{align*}
-====== Aufgaben ======
+In einigen Büchern wird auch der Buchstabe $J$ für die Stromdichte genutzt.
-Im Simulationsprogramm von [[http://www.falstad.com/emstatic/|Falstad]] könnnen von Äquipotentialflächen, elektrischer Feldstärke und Stromdichte in verschiedenen Objekten dargestellt werden.
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
-  - Öffnen Sie das Simulationsprogramm über den Link
+==== Feldlinien und Äquipotentialflächen des elektrischen Strömungsfeldes ====
-  - Wählen Sie: "Setup: Wire w/ Current" und "Show Current (j)"
-  - Sie sehen nun einen endlichen Leiter, bei dem am oberen Ende Ladungsträger starten und am unteren Ende ankommen.
-  - Wir wollen nun beobachten, was bei Verjüngungen im Leiter passiert.
-    - Wählen Sie dazu "Mouse = Clear Square". Sie können nun mit Hilfe der linken Maustaste vom leitenden Material Teile entfernen. Ziel soll sein, dass etwas in der Mitte des Leiters nur noch eine ein Kästchen breite Leitung liegt, auf einer Länge von wenigstens 10 Kästchen. Falls Sie wieder leitendes Material hinzufügen wollen, ist dies mit "Mouse = Add - Conductor" möglich.
-    - Überlegen Sie sich, warum sich bei der Verjüngung des Leiters nun mehr Äquipotentiallinien ansammeln.
-    - Wenn Sie auf zusätzlich mit "Show E/j" das E-Feld einzeichnen, sehen Sie, das dieses entlang der Verjüngung stärker ist. Dies lässt sich über den Schieberegler "Brightness" überprüfen. Warum ist das so?
-  - Wählen Sie "Setup: Current in 2D 1", "Show E/rho/j". Warum Verhält sich der Hohlraum hier nicht wie ein Faradayscher Käfig?
-</WRAP> <WRAP half column>
-</WRAP> </WRAP>
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr03 | Feldlinien und Äquipotentialflächen des elektrischen Strömungsfeldes>
+</imgcaption> \\
+{{drawio>FeldlinienelektrischesStroemungsfeld}} \\
+</WRAP>
-++++
+Wie auch beim elektrostatischen Feld soll auch hier eine homogene Feldform und die inhomogene Feldform gegenübergestellt werden:
+  - Homogenes Strömungsfeld \\ z.B. Leiter mit konstantem Querschnitt
+    - Feldlinien des Stroms verlaufen parallel
+    - Äquipotentialflächen
+      - stehen dazu stets senkrecht, da die potentielle Energie einer Ladung nur von der Position entlang des Weges abhängt
+      - sind aufgrund des konstanten elektrischen Feldes, welches den Strom verursacht und der homogenen Geometrie äquidistant
+    - Strom $I = S \cdot A$ ist konstant \\ $\rightarrow$ Ladungsträger haben die gleiche Geschwindigkeit $v$
+  - Inhomogenes Strömungsfeld \\ Schmelzsicherung oder Verjüngung im Draht
+    - Feldlinien des Stroms verlaufen nicht parallel
+    - Strom $I = S \cdot A$ muss auch konstant sein, da die Ladung nicht verschwindet / erzeugt wird, aber die Fläche $A$ wird geringer \\ $\rightarrow$ damit muss die Stromdichte $S$ und die Geschwindigkeit $v$ an der Engstelle größer werden
+    - Äquipotentialflächen
+      - stehen auch dazu wieder senkrecht.
+      - zeigen nun eine Verdichtung bei der Engstelle
+Warum ergibt sich aber eine Verdichtung der Äquipotentialflächen bei der Engstelle?
+Diese bedeutet anschaulich, dass dort eine große Potentialdifferenz, also eine große Spannung abfällt.
+Das klingt also schon etwas plausibel. Tiefer soll dies gleich nochmal betrachtet werden.
-++++3.3 der Ohmsche Widerstand|=====3.3 der Ohmsche Widerstand =====
+Die Stromdichte wurde nur für eine konstante Querschnittsfläche $A$ bestimmt, durch welche ein homogener Strom, also auch ein homogenes Strömungsfeld, rechtwinklig durchtritt.
+Nun soll aber ein allgemeiner Ansatz für die elektrische Stromstärke gefunden werden.
-<WRAP group> <WRAP half column>
+Hierzu wird zunächst statt einer konstanten Stromdichte $S$ über einer senkrechten, geraden Querschnittsfläche $A$, eine variierende Stromdichte $S(A)$ über viele kleine Teilflächen $dA$ betrachtet.
+Damit kann - wenn die Teilflächen hinreichend klein sind  - wieder eine konstante Stromdichte über die Teilfläche erhalten werden. Es wird dann also aus
-==== Ziele ====
+\begin{align*}
+I = S \cdot A \rightarrow {\rm d}I = S \cdot {\rm d}A
+\end{align*}
-Nach dieser Lektion sollten Sie:
+Der Gesamtstrom über eine größere Fläche $A$ ergibt sich somit als:
-  - das ohmsche Gesetz kennen und anwenden können.
+\begin{align*}
-  - den Widerstand aus dem spezifischen Widerstand berechnen können.
+I = \int {\rm d}I = \iint_A S \cdot {\rm d}A
-  - den Leitwert aus dem Widerstand bzw. der spezifischen Leitfähigkeit ermitteln können.
+\end{align*}
-</WRAP> <WRAP half column>
+Was hierbei aber nicht betrachtet wurde: Die gewählte Fläche $A$ muss nicht zwangsläufig senkrecht auf der Stromdichte $S$ stehen.
+Um dies zu berücksichtigen, kann der (Teil)Flächennormalenvektor ${\rm d}\vec{A}$ genutzt werden.
+Wenn nur der Teil der Stromdichte $\vec{S}$ betrachtet werden soll, welcher in Richtung von ${\rm d}\vec{A}$ wirkend, so lässt sich dies über das Skalarprodukt ermitteln:
-==== Video ====
+\begin{align*}
+I = \int {\rm d}I = \iint_A \vec{S} \cdot {\rm d}\vec{A}
+\end{align*}
-Anschauliche Erklärung zum Ohmschen Widerstand
+Dies stellt die integrale Schreibweise der elektrischen Stromstärke dar.
-{{youtube>IyFJqQa_Dfw}}
+Mit dieser lässt sich die Stromstärke in einem beliebigen Feld ermitteln.
-Anschauliche Erklärung zum spezifischer Widerstand
+==== Allgemeines Materialgesetz ====
-{{youtube>_F-Y_I8DJEE}}
-Durchgerechnete Aufgabe zum spezifischen Widerstand
+Für eine "pragmatische" Herleitung des allgemeinen Materialgesetzes zur Stromdichte soll nun nochmal auf die Verdichtung der Äquipotentialflächen bei der Engstelle eingegangen werden.
-{{youtube>UbWsbwqQc-E}}
+Zwischen zwei Äquipotentialflächen ist eine Spannungsdifferenz $\Delta U$ vorhanden.
+Wählt man diese hinreichend klein ergibt sich wieder der Übergang von $\Delta U \rightarrow {\rm d}U$.
+Durch die Potentialflächen muss aber im Leiter stets der gleiche Strom $I$ fließen.
+Aus dem Ohm'schen Gesetz ergibt sich dann für den Teilwiderstand ${\rm d}R$ zwischen den zwei Äquipotentialflächen:
-</WRAP> </WRAP>
+\begin{align*}
+{\rm d}U = I \cdot {\rm d}R \tag{6.1.1}
+\end{align*}
-----
+Die einzelnen Größen sollen nun für infinitesimal kleine Teilstücke betrachtet werden.
+Für $I$ wurde dazu schon eine Gleichung über eine Dichte - die Stromdichte - gefunden:
-<WRAP group> <WRAP half column>
+\begin{align*}
+I = S \cdot A \tag{6.1.2}
+\end{align*}
-====== Aufgaben ======
+Aber auch $R$ wurde bereits schon durch eine "Dichte" - dem spezifischen Widerstand $\varrho$ - ausgedrückt: $ R = \varrho \cdot {{l}\over{A}}$
-</WRAP> <WRAP half column>
+Wenn ein Leiter aus dem gleichen Material betrachtet wird, ist der spezifische Widerstand $\varrho$ überall gleich.
+Ist aber nun entlang des Leiters ein Teilstück ${\rm d}s$ vorhanden, bei dem der Querschnitt $A$ kleiner ist, so ändert sich auch der Widerstand $dR$ dieses Teilelements.
+Der Teilwiderstand ist dann:
-</WRAP> </WRAP>
+\begin{align*}
+{\rm d}R = \varrho \cdot {{{\rm d}s}\over{A}} \tag{6.1.3}
+\end{align*}
-++++
+**Konkret heißt dass also für die Engstelle: An der Engstelle steigt der Widerstand. Damit steigt dort auch der Spannungsabfall. Damit gibt es dort auch mehr Äquipotentialflächen. **
+Die Anreicherung der Äquipotentialflächen wäre damit gelöst.
+Interessanterweise lässt sich aber mit dem Gedankenmodell nun auch für einen __homogenen Körper__ das allgemeine Materialgesetz erklären.
+Dazu fügt man Gleichung $(6.1.2)$ und $(6.1.3)$ in $(6.1.1)$ ein.
+Dann ergibt sich:
+\begin{align*}
+{\rm d}U = I \cdot {\rm d}R = S \cdot A \cdot \varrho \cdot {{{\rm d}s}\over{{A}}} = \varrho \cdot S \cdot {\rm d}s \\
+\end{align*}
-++++3.4 Temperaturabhängigkeit des Ohmschen Widerstands|=====3.4 Temperaturabhängigkeit des Ohmschen Widerstands =====
+Wird nun die elektrische Feldstärke als $E={{{\rm d}U}\over{{\rm d}s}}$ eingefügt, erhält man:
-<WRAP group> <WRAP half column>
+\begin{align*}
+E = {{{\rm d}U}\over{{\rm d}s}} = \varrho \cdot S
+\end{align*}
-==== Ziele ====
+Mit einer ausführlicheren (und mathematisch korrekten) Herleitung erhält man:
-Nach dieser Lektion sollten Sie:
+\begin{align*}
+\boxed{\vec{E} = \varrho \cdot \vec{S} }
+\end{align*}
-  - wissen, welche Fälle der Temperaturabhängigkeiten unterschieden und wie diese benannt werden.
+Diese Gleichung drückt aus, wie das elektrische Feld $\vec{E}$ und das (stationäre) elektrische Strömungsfeld $\vec{S}$ zusammenhängen:
-  - den Widerstand bei unterschiedlichen Temperaturen berechnen können.
+beide zeigen in die gleiche Richtung.
+Bei einem vorgegebenen, elektrischen Feld $\vec{E}$ in einem homogenen Leiter wird das Strömungsfeld $\vec{S}$ um so größer, je kleiner der spezifische Widerstand $\varrho$ ist.
-</WRAP> <WRAP half column>
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
-==== Video ====
+==== Aufgabe  ====
-temperaturabhängige Widerstände
+<panel type="info" title="Aufgabe 6.1.1 durchgerechnete Übungen im Video"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-{{youtube>Xw7QXJ9sV6s}}
+Beispiele zur elektrischen Stromdichte
+{{youtube>9vLvzM9eGxY}}
-</WRAP> </WRAP>
+</WRAP></WRAP></panel>
-----
-<WRAP group> <WRAP half column>
+<panel type="info" title="Aufgabe 6.1.2 Elektronengeschwindigkeit in Kupfer"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-====== Aufgaben ======
+In einem Leiter aus Kupfer mit der Querschnittsfläche $A$ fließt der Strom $I = 20 ~\rm A$. \\
-</WRAP> <WRAP half column>
+Gegeben sei weiterhin die Elektronendichte $n_e(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} ~\rm {{1}\over{mm^3}}$ und den Betrag der Elementarladung $e_0 = 1,602 \cdot 10^{-19} ~\rm As$
+  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{\rm e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,5 ~\rm mm^2$ beträgt?
+  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{\rm e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,0 ~\rm mm^2$ beträgt?
-</WRAP> </WRAP>
+</WRAP></WRAP></panel>
-++++
-++++3.5 Technische Bauformen von Widerständen|=====3.5 Technische Bauformen von Widerständen =====
+=====6.2 Gaußscher Satz des Strömungsfeldes =====
-<WRAP group> <WRAP half column>
+<callout>
 ==== Ziele ====
@@ Zeile 161: / Zeile 219: @@
 Nach dieser Lektion sollten Sie:
-  - wissen, dass es verschiedene Bauformen gibt und, dass die physikalische Größe des Widerstands nicht von der geometrischen Größe abhängt
+  - wissen, welche Größen beim elektrostatischen Feld und beim Strömungsfeld vergleichbar sind.
+  - anhand von Hüllflächen den Verschiebungsstrom erklären können.
+  - verstanden haben wie der Strom "durch" einen Kondensator fließen kann.
-</WRAP> <WRAP half column>
+</callout>
-==== Video ====
-Bauformen des Widerstands
-{{youtube>m3jagiGFcoY?start=156}}
-</WRAP> </WRAP>
+==== Video ====
-----
+Warum fließt ein Elektronen durch einen Kondensator
+{{youtube>8tXXlI0gHVk}}
-<WRAP group> <WRAP half column>
-====== Aufgaben ======
-</WRAP> <WRAP half column>
-</WRAP> </WRAP>
-++++
+====== Aufgaben ======
+<panel type="info" title="Aufgabe 6.2.1 Simulation"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-++++3.6 elektrische Leistung und Energie|=====3.6 elektrische Leistung und Energie=====
+Im Simulationsprogramm von [[http://www.falstad.com/emstatic/|Falstad]] können von Äquipotentialflächen, elektrischer Feldstärke und Stromdichte in verschiedenen Objekten dargestellt werden.
-<WRAP group> <WRAP half column>
+  - Öffnen Sie das Simulationsprogramm über den Link
+  - Wählen Sie: "Setup: Wire w/ Current" und "Show Current (j)"
-==== Ziele ====
+  - Sie sehen nun einen endlichen Leiter, bei dem am oberen Ende Ladungsträger starten und am unteren Ende ankommen.
+  - Wir wollen nun beobachten, was bei Verjüngungen im Leiter passiert.
-Nach dieser Lektion sollten Sie:
+    - Wählen Sie dazu "Mouse = Clear Square". Sie können nun mit Hilfe der linken Maustaste vom leitenden Material Teile entfernen. Ziel soll sein, dass etwas in der Mitte des Leiters nur noch eine ein Kästchen breite Leitung liegt, auf einer Länge von wenigstens 10 Kästchen. Falls Sie wieder leitendes Material hinzufügen wollen, ist dies mit "Mouse = Add - Conductor" möglich.
+    - Überlegen Sie sich, warum sich bei der Verjüngung des Leiters nun mehr Äquipotentiallinien ansammeln.
-  - die elektrische Leistung und Energie an einem Widerstand berechnen können.
+    - Wenn Sie auf zusätzlich mit "Show E/j" das E-Feld einzeichnen, sehen Sie, das dieses entlang der Verjüngung stärker ist. Dies lässt sich über den Schieberegler "Brightness" überprüfen. Warum ist das so?
+  - Wählen Sie "Setup: Current in 2D 1", "Show E/rho/j". Warum Verhält sich der Hohlraum hier nicht wie ein Faraday'scher Käfig?
-</WRAP> <WRAP half column>
-==== Video ====
-Übungsaufgaben zur elektrischen Leistung und Energie
-{{youtube>c31qvyXKpNc}}
-</WRAP> </WRAP>
-----
-<WRAP group> <WRAP half column>
-====== Aufgaben ======
-</WRAP> <WRAP half column>
+</WRAP></WRAP></panel>
-</WRAP> </WRAP>
-++++