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--- elektrotechnik_1:das_stationaere_elektrische_stroemungsfeld [2020/12/11 02:05]
tfischer
+++ elektrotechnik_1:das_stationaere_elektrische_stroemungsfeld [2023/09/19 22:37] (aktuell)
mexleadmin
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-====== 6. Das stationäre elektrische Strömungsfeld ======
+====== 6 Das stationäre elektrische Strömungsfeld ======
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 Das elektrische Strömungsfeld bezeichnet hier wie gemeinsame (kollektive) Bewegung von Ladungsträgern. Das stationäre Strömungsfeld beschreibt dabei die Ladungsträgerbewegung, wenn eine **Gleichspannung** die Ursache der Bewegung ist. Im stationären elektrischen Strömungsfeld fließt dann ein konstanter Gleichstrom. Damit gibt es keine Zeitabhängigkeit des Stroms:
-$\Large{{dI}{dt}}=0$
+$\large{{{\rm d}I}\over{{\rm d}t}}=0$
+Wichtig ist auch:  Bisher wurde betrachtet, dass die Ladungen sich durch ein Feld bewegt haben, oder zukünftig bewegt werden könnten. Nun wird gerade der Augenblick der Bewegung betrachtet.
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-Die Stromstärke wurde bisher als "Ladung pro Zeit" ($I={{dQ}\over{dt}}$) begriffen. Mikroskopisch betrachtet ist der elektrische Strom die gerichtete Bewegung von elektrischen Ladungsträgern. Im Kapitel [[grundlagen_und_grundbegriffe#ladung_und_strom|Grundlagen und Grundbegriffe]] sind wir auf das Bild des durch eine Querschnittsfläche $A$ durchdringenden Ladungsträgerstromes bereits eingegangen (siehe <imgref BildNr01>).
+==== Stromstärke und Stromdichte im einfachen Fall ====
+Die Stromstärke wurde bisher als "Ladung pro Zeit" ($I={{{\rm d}Q}\over{{\rm d}t}}$) begriffen. Mikroskopisch betrachtet ist der elektrische Strom die gerichtete Bewegung von elektrischen Ladungsträgern. Im Kapitel [[grundlagen_und_grundbegriffe#ladung_und_strom|Grundlagen und Grundbegriffe]] sind wir auf das Bild des durch eine Querschnittsfläche $A$ durchdringenden Ladungsträgerstromes bereits eingegangen (siehe <imgref BildNr01>).
 Weiterhin hatten wir in der Gleichstromtechnik ganz praktisch das ohmsche Gesetz mit $R = {{U}\over{I}}$ angewandt. Nun wissen wir aber, dass aus dem elektrostatischen Feld das die Spannung sich aus der elektrischen Feldstärke herleiten lässt. Wie ist das aber nun beim Strom?
-Dazu wird das Paket $dQ$ an Ladungen betrachtet, welches zukünftig in dem Zeitraum $dt$ die Fläche $A$ passieren wird. Diese Ladungen befinden sich in einem Teilvolumenelement $dV$, welches durch die zu durchtretende Fläche $A$ und einem Teilabschnitt $dx$ gegeben ist: $dV = A \cdot dx$. Die Menge an Ladungen pro Volumen wird durch die Ladungsträgerdichte angegeben, speziell bei Metallen durch die Elektronendichte $n_e$. Die Elektronendichte $n_e$ gibt die Anzahl der freien Elektronen je Volumeneinheit a. Diese liegt z.B. bei Kupfer etwa bei $n_e(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} {{1}\over{mm^3}}$.
+Dazu wird das Paket ${\rm d}Q$ an Ladungen betrachtet, welches zukünftig in dem Zeitraum ${\rm d}t$ die Fläche $A$ passieren wird. Diese Ladungen befinden sich in einem Teilvolumenelement ${\rm d}V$, welches durch die zu durchtretende Fläche $A$ und einem Teilabschnitt ${\rm d}x$ gegeben ist: ${\rm d}V = A \cdot {\rm d}x$. Die Menge an Ladungen pro Volumen wird durch die Ladungsträgerdichte angegeben, speziell bei Metallen durch die Elektronendichte $n_{\rm e}$. Die Elektronendichte $n_{\rm e}$ gibt die Anzahl der freien Elektronen je Volumeneinheit a. Diese liegt z.B. bei Kupfer etwa bei $n_{\rm e}(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} ~\rm {{1}\over{mm^3}}$.
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-Die in dem Teilvolumenelement $dV$ enthaltenen, strömenden Ladungen sind dann (mit der Elementarladung $e_0$):
+Die in dem Teilvolumenelement ${\rm d}V$ enthaltenen, strömenden Ladungen sind dann (mit der Elementarladung $e_0$):
 \begin{align*}
-dQ = n_e \cdot e_0 \cdot A \cdot dx
+{\rm d}Q = n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A \cdot {\rm d}x
 \end{align*}
-Die Stromstärke ist dann mit $I={{dQ}\over{dt}}$:
+Die Stromstärke ist dann mit $I={{{\rm d}Q}\over{{\rm d}t}}$:
 \begin{align*}
-dQ = n_e \cdot e_0 \cdot A \cdot {{dx}\cdot{dt}} = n_e \cdot e_0 \cdot A \cdot v_e
+{{{\rm d}Q} \over{{\rm d}t}} = n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A \cdot {{{\rm d}x}\over{{\rm d}t}} = n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A \cdot v_e
 \end{align*}
-Es ergibt sich so eine Elektronengeschwindigkeit $v_e$ von:
+Es ergibt sich so eine Elektronengeschwindigkeit $v_{\rm e}$ von:
 \begin{align*}
-v_e = {{dx}\cdot{dt}} = {{I}\over{n_e \cdot e_0 \cdot A }}
+v_{\rm e} = {{{\rm d}x}\over{{\rm d}t}} = {{I}\over{n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A }}
 \end{align*}
-Mit Blick auf die Elektronengeschwindigkeit $v_e \sim {{I}\over{A}}$ liegt es nahe eine (auf die Fläche bezogene) Stromdichte $S$ zu bestimmen:
+Die Ladungsträger sind also nun - im Gegensatz zu den Betrachtungen in der Elektrostatik mit endlichen Geschwindigkeiten unterwegs.
+Mit Blick auf die Elektronengeschwindigkeit $v_{\rm e} \sim {{I}\over{A}}$ liegt es nahe eine (auf die Fläche bezogene) Stromdichte $S$ zu bestimmen:
 \begin{align*}
-S = {{I}\over{A}}
+\boxed{S = {{I}\over{A}}}
 \end{align*}
-In einigen Büchern wird auch der Buchstabe $j$ für die Stromdichte genutzt.
+In einigen Büchern wird auch der Buchstabe $J$ für die Stromdichte genutzt.
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+==== Feldlinien und Äquipotentialflächen des elektrischen Strömungsfeldes ====
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+Wie auch beim elektrostatischen Feld soll auch hier eine homogene Feldform und die inhomogene Feldform gegenübergestellt werden:
+  - Homogenes Strömungsfeld \\ z.B. Leiter mit konstantem Querschnitt
+    - Feldlinien des Stroms verlaufen parallel
+    - Äquipotentialflächen
+      - stehen dazu stets senkrecht, da die potentielle Energie einer Ladung nur von der Position entlang des Weges abhängt
+      - sind aufgrund des konstanten elektrischen Feldes, welches den Strom verursacht und der homogenen Geometrie äquidistant
+    - Strom $I = S \cdot A$ ist konstant \\ $\rightarrow$ Ladungsträger haben die gleiche Geschwindigkeit $v$
+  - Inhomogenes Strömungsfeld \\ Schmelzsicherung oder Verjüngung im Draht
+    - Feldlinien des Stroms verlaufen nicht parallel
+    - Strom $I = S \cdot A$ muss auch konstant sein, da die Ladung nicht verschwindet / erzeugt wird, aber die Fläche $A$ wird geringer \\ $\rightarrow$ damit muss die Stromdichte $S$ und die Geschwindigkeit $v$ an der Engstelle größer werden
+    - Äquipotentialflächen
+      - stehen auch dazu wieder senkrecht.
+      - zeigen nun eine Verdichtung bei der Engstelle
+Warum ergibt sich aber eine Verdichtung der Äquipotentialflächen bei der Engstelle?
+Diese bedeutet anschaulich, dass dort eine große Potentialdifferenz, also eine große Spannung abfällt.
+Das klingt also schon etwas plausibel. Tiefer soll dies gleich nochmal betrachtet werden.
+Die Stromdichte wurde nur für eine konstante Querschnittsfläche $A$ bestimmt, durch welche ein homogener Strom, also auch ein homogenes Strömungsfeld, rechtwinklig durchtritt.
+Nun soll aber ein allgemeiner Ansatz für die elektrische Stromstärke gefunden werden.
+Hierzu wird zunächst statt einer konstanten Stromdichte $S$ über einer senkrechten, geraden Querschnittsfläche $A$, eine variierende Stromdichte $S(A)$ über viele kleine Teilflächen $dA$ betrachtet.
+Damit kann - wenn die Teilflächen hinreichend klein sind  - wieder eine konstante Stromdichte über die Teilfläche erhalten werden. Es wird dann also aus
+\begin{align*}
+I = S \cdot A \rightarrow {\rm d}I = S \cdot {\rm d}A
+\end{align*}
+Der Gesamtstrom über eine größere Fläche $A$ ergibt sich somit als:
+\begin{align*}
+I = \int {\rm d}I = \iint_A S \cdot {\rm d}A
+\end{align*}
+Was hierbei aber nicht betrachtet wurde: Die gewählte Fläche $A$ muss nicht zwangsläufig senkrecht auf der Stromdichte $S$ stehen.
+Um dies zu berücksichtigen, kann der (Teil)Flächennormalenvektor ${\rm d}\vec{A}$ genutzt werden.
+Wenn nur der Teil der Stromdichte $\vec{S}$ betrachtet werden soll, welcher in Richtung von ${\rm d}\vec{A}$ wirkend, so lässt sich dies über das Skalarprodukt ermitteln:
+\begin{align*}
+I = \int {\rm d}I = \iint_A \vec{S} \cdot {\rm d}\vec{A}
+\end{align*}
+Dies stellt die integrale Schreibweise der elektrischen Stromstärke dar.
+Mit dieser lässt sich die Stromstärke in einem beliebigen Feld ermitteln.
+==== Allgemeines Materialgesetz ====
+Für eine "pragmatische" Herleitung des allgemeinen Materialgesetzes zur Stromdichte soll nun nochmal auf die Verdichtung der Äquipotentialflächen bei der Engstelle eingegangen werden.
+Zwischen zwei Äquipotentialflächen ist eine Spannungsdifferenz $\Delta U$ vorhanden.
+Wählt man diese hinreichend klein ergibt sich wieder der Übergang von $\Delta U \rightarrow {\rm d}U$.
+Durch die Potentialflächen muss aber im Leiter stets der gleiche Strom $I$ fließen.
+Aus dem Ohm'schen Gesetz ergibt sich dann für den Teilwiderstand ${\rm d}R$ zwischen den zwei Äquipotentialflächen:
+\begin{align*}
+{\rm d}U = I \cdot {\rm d}R \tag{6.1.1}
+\end{align*}
+Die einzelnen Größen sollen nun für infinitesimal kleine Teilstücke betrachtet werden.
+Für $I$ wurde dazu schon eine Gleichung über eine Dichte - die Stromdichte - gefunden:
+\begin{align*}
+I = S \cdot A \tag{6.1.2}
+\end{align*}
+Aber auch $R$ wurde bereits schon durch eine "Dichte" - dem spezifischen Widerstand $\varrho$ - ausgedrückt: $ R = \varrho \cdot {{l}\over{A}}$
+Wenn ein Leiter aus dem gleichen Material betrachtet wird, ist der spezifische Widerstand $\varrho$ überall gleich.
+Ist aber nun entlang des Leiters ein Teilstück ${\rm d}s$ vorhanden, bei dem der Querschnitt $A$ kleiner ist, so ändert sich auch der Widerstand $dR$ dieses Teilelements.
+Der Teilwiderstand ist dann:
+\begin{align*}
+{\rm d}R = \varrho \cdot {{{\rm d}s}\over{A}} \tag{6.1.3}
+\end{align*}
+**Konkret heißt dass also für die Engstelle: An der Engstelle steigt der Widerstand. Damit steigt dort auch der Spannungsabfall. Damit gibt es dort auch mehr Äquipotentialflächen. **
+Die Anreicherung der Äquipotentialflächen wäre damit gelöst.
+Interessanterweise lässt sich aber mit dem Gedankenmodell nun auch für einen __homogenen Körper__ das allgemeine Materialgesetz erklären.
+Dazu fügt man Gleichung $(6.1.2)$ und $(6.1.3)$ in $(6.1.1)$ ein.
+Dann ergibt sich:
+\begin{align*}
+{\rm d}U = I \cdot {\rm d}R = S \cdot A \cdot \varrho \cdot {{{\rm d}s}\over{{A}}} = \varrho \cdot S \cdot {\rm d}s \\
+\end{align*}
+Wird nun die elektrische Feldstärke als $E={{{\rm d}U}\over{{\rm d}s}}$ eingefügt, erhält man:
+\begin{align*}
+E = {{{\rm d}U}\over{{\rm d}s}} = \varrho \cdot S
+\end{align*}
+Mit einer ausführlicheren (und mathematisch korrekten) Herleitung erhält man:
+\begin{align*}
+\boxed{\vec{E} = \varrho \cdot \vec{S} }
+\end{align*}
+Diese Gleichung drückt aus, wie das elektrische Feld $\vec{E}$ und das (stationäre) elektrische Strömungsfeld $\vec{S}$ zusammenhängen:
+beide zeigen in die gleiche Richtung.
+Bei einem vorgegebenen, elektrischen Feld $\vec{E}$ in einem homogenen Leiter wird das Strömungsfeld $\vec{S}$ um so größer, je kleiner der spezifische Widerstand $\varrho$ ist.
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-Die elektrischen Stromdichte
+==== Aufgabe  ====
-{{youtube>ntqXtRYrBeY}}
+<panel type="info" title="Aufgabe 6.1.1 durchgerechnete Übungen im Video"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 Beispiele zur elektrischen Stromdichte
 {{youtube>9vLvzM9eGxY}}
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+</WRAP></WRAP></panel>
-==== Aufgabe  ====
-<panel type="info" title="Aufgabe 6.1.1 Elektronengeschwindigkeit in Kupfer"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+<panel type="info" title="Aufgabe 6.1.2 Elektronengeschwindigkeit in Kupfer"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-In einem Leiter aus Kupfer mit der Querschnittsfläche $A$ fließt der Strom $I = 20A$. \\
+In einem Leiter aus Kupfer mit der Querschnittsfläche $A$ fließt der Strom $I = 20 ~\rm A$. \\
-Gegeben sei weiterhin die Elektronendichte $n_e(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} {{1}\over{mm^3}}$ und den Betrag der Elementarladung $e_0 = 1,602 \cdot 10^{-19} As$
+Gegeben sei weiterhin die Elektronendichte $n_e(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} ~\rm {{1}\over{mm^3}}$ und den Betrag der Elementarladung $e_0 = 1,602 \cdot 10^{-19} ~\rm As$
-  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,5mm^2$ beträgt?
+  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{\rm e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,5 ~\rm mm^2$ beträgt?
-  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,0mm^2$ beträgt?
+  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{\rm e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,0 ~\rm mm^2$ beträgt?
 </WRAP></WRAP></panel>
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 ====== Aufgaben ======
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     - Überlegen Sie sich, warum sich bei der Verjüngung des Leiters nun mehr Äquipotentiallinien ansammeln.
     - Wenn Sie auf zusätzlich mit "Show E/j" das E-Feld einzeichnen, sehen Sie, das dieses entlang der Verjüngung stärker ist. Dies lässt sich über den Schieberegler "Brightness" überprüfen. Warum ist das so?
-  - Wählen Sie "Setup: Current in 2D 1", "Show E/rho/j". Warum Verhält sich der Hohlraum hier nicht wie ein Faradayscher Käfig?
+  - Wählen Sie "Setup: Current in 2D 1", "Show E/rho/j". Warum Verhält sich der Hohlraum hier nicht wie ein Faraday'scher Käfig?
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