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elektrotechnik_1:das_stationaere_elektrische_stroemungsfeld [2022/03/10 12:32]
tfischer [6. Das stationäre elektrische Strömungsfeld] 		elektrotechnik_1:das_stationaere_elektrische_stroemungsfeld [2023/09/19 22:37] (aktuell)
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-====== 6. Das stationäre elektrische Strömungsfeld ======+====== 6 Das stationäre elektrische Strömungsfeld ======
  
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 Das elektrische Strömungsfeld bezeichnet hier wie gemeinsame (kollektive) Bewegung von Ladungsträgern. Das stationäre Strömungsfeld beschreibt dabei die Ladungsträgerbewegung, wenn eine **Gleichspannung** die Ursache der Bewegung ist. Im stationären elektrischen Strömungsfeld fließt dann ein konstanter Gleichstrom. Damit gibt es keine Zeitabhängigkeit des Stroms: Das elektrische Strömungsfeld bezeichnet hier wie gemeinsame (kollektive) Bewegung von Ladungsträgern. Das stationäre Strömungsfeld beschreibt dabei die Ladungsträgerbewegung, wenn eine **Gleichspannung** die Ursache der Bewegung ist. Im stationären elektrischen Strömungsfeld fließt dann ein konstanter Gleichstrom. Damit gibt es keine Zeitabhängigkeit des Stroms:
  
-$\large{{dI}\over{dt}}=0$+$\large{{{\rm d}I}\over{{\rm d}t}}=0$
  
 Wichtig ist auch:  Bisher wurde betrachtet, dass die Ladungen sich durch ein Feld bewegt haben, oder zukünftig bewegt werden könnten. Nun wird gerade der Augenblick der Bewegung betrachtet. Wichtig ist auch:  Bisher wurde betrachtet, dass die Ladungen sich durch ein Feld bewegt haben, oder zukünftig bewegt werden könnten. Nun wird gerade der Augenblick der Bewegung betrachtet.
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 ==== Stromstärke und Stromdichte im einfachen Fall ==== ==== Stromstärke und Stromdichte im einfachen Fall ====
  
-Die Stromstärke wurde bisher als "Ladung pro Zeit" ($I={{dQ}\over{dt}}$) begriffen. Mikroskopisch betrachtet ist der elektrische Strom die gerichtete Bewegung von elektrischen Ladungsträgern. Im Kapitel [[grundlagen_und_grundbegriffe#ladung_und_strom|Grundlagen und Grundbegriffe]] sind wir auf das Bild des durch eine Querschnittsfläche $A$ durchdringenden Ladungsträgerstromes bereits eingegangen (siehe <imgref BildNr01>).+Die Stromstärke wurde bisher als "Ladung pro Zeit" ($I={{{\rm d}Q}\over{{\rm d}t}}$) begriffen. Mikroskopisch betrachtet ist der elektrische Strom die gerichtete Bewegung von elektrischen Ladungsträgern. Im Kapitel [[grundlagen_und_grundbegriffe#ladung_und_strom|Grundlagen und Grundbegriffe]] sind wir auf das Bild des durch eine Querschnittsfläche $A$ durchdringenden Ladungsträgerstromes bereits eingegangen (siehe <imgref BildNr01>).
 Weiterhin hatten wir in der Gleichstromtechnik ganz praktisch das ohmsche Gesetz mit $R = {{U}\over{I}}$ angewandt. Nun wissen wir aber, dass aus dem elektrostatischen Feld das die Spannung sich aus der elektrischen Feldstärke herleiten lässt. Wie ist das aber nun beim Strom? Weiterhin hatten wir in der Gleichstromtechnik ganz praktisch das ohmsche Gesetz mit $R = {{U}\over{I}}$ angewandt. Nun wissen wir aber, dass aus dem elektrostatischen Feld das die Spannung sich aus der elektrischen Feldstärke herleiten lässt. Wie ist das aber nun beim Strom?
  
-Dazu wird das Paket $dQ$ an Ladungen betrachtet, welches zukünftig in dem Zeitraum $dt$ die Fläche $A$ passieren wird. Diese Ladungen befinden sich in einem Teilvolumenelement $dV$, welches durch die zu durchtretende Fläche $A$ und einem Teilabschnitt $dx$ gegeben ist: $dV = A \cdot dx$. Die Menge an Ladungen pro Volumen wird durch die Ladungsträgerdichte angegeben, speziell bei Metallen durch die Elektronendichte $n_e$. Die Elektronendichte $n_e$ gibt die Anzahl der freien Elektronen je Volumeneinheit a. Diese liegt z.B. bei Kupfer etwa bei $n_e(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} {{1}\over{mm^3}}$.+Dazu wird das Paket ${\rm d}Q$ an Ladungen betrachtet, welches zukünftig in dem Zeitraum ${\rm d}t$ die Fläche $A$ passieren wird. Diese Ladungen befinden sich in einem Teilvolumenelement ${\rm d}V$, welches durch die zu durchtretende Fläche $A$ und einem Teilabschnitt ${\rm d}x$ gegeben ist: ${\rm d}V = A \cdot {\rm d}x$. Die Menge an Ladungen pro Volumen wird durch die Ladungsträgerdichte angegeben, speziell bei Metallen durch die Elektronendichte $n_{\rm e}$. Die Elektronendichte $n_{\rm e}$ gibt die Anzahl der freien Elektronen je Volumeneinheit a. Diese liegt z.B. bei Kupfer etwa bei $n_{\rm e}(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} ~\rm {{1}\over{mm^3}}$.
  
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-Die in dem Teilvolumenelement $dV$ enthaltenen, strömenden Ladungen sind dann (mit der Elementarladung $e_0$):+Die in dem Teilvolumenelement ${\rm d}V$ enthaltenen, strömenden Ladungen sind dann (mit der Elementarladung $e_0$):
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-dQ = n_e \cdot e_0 \cdot A \cdot dx+{\rm d}Q = n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A \cdot {\rm d}x
 \end{align*} \end{align*}
  
-Die Stromstärke ist dann mit $I={{dQ}\over{dt}}$:+Die Stromstärke ist dann mit $I={{{\rm d}Q}\over{{\rm d}t}}$:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-dQ = n_e \cdot e_0 \cdot A \cdot {{dx}\cdot{dt}} = n_e \cdot e_0 \cdot A \cdot v_e+{{{\rm d}Q} \over{{\rm d}t}} = n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A \cdot {{{\rm d}x}\over{{\rm d}t}} = n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A \cdot v_e
 \end{align*} \end{align*}
  
-Es ergibt sich so eine Elektronengeschwindigkeit $v_e$ von:+Es ergibt sich so eine Elektronengeschwindigkeit $v_{\rm e}$ von:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-v_e = {{dx}\cdot{dt}} = {{I}\over{n_e \cdot e_0 \cdot A }}+v_{\rm e} = {{{\rm d}x}\over{{\rm d}t}} = {{I}\over{n_{\rm e} \cdot e_0 \cdot A }}
 \end{align*} \end{align*}
  
-Die Ladungsträge sind also nun - im Gegensatz zu den Betrachtungen in der Elektrostatik mit endlichen Geschwindigkeiten unterwegs. +Die Ladungsträger sind also nun - im Gegensatz zu den Betrachtungen in der Elektrostatik mit endlichen Geschwindigkeiten unterwegs. 
-Mit Blick auf die Elektronengeschwindigkeit $v_e \sim {{I}\over{A}}$ liegt es nahe eine (auf die Fläche bezogene) Stromdichte $S$ zu bestimmen:+Mit Blick auf die Elektronengeschwindigkeit $v_{\rm e} \sim {{I}\over{A}}$ liegt es nahe eine (auf die Fläche bezogene) Stromdichte $S$ zu bestimmen:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
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       - zeigen nun eine Verdichtung bei der Engstelle       - zeigen nun eine Verdichtung bei der Engstelle
  
-Warum ergibt sich aber eine Verdichtung der Äquipotentialflächen bei der Engstelle? Diese bedeutet anschaulich, dass dort eine große Potentialdifferenz, also eine große Spannung abfällt. Das klingt also schon etwas plausibel. Tiefer soll dies gleich nochmal betrachtet werden.+Warum ergibt sich aber eine Verdichtung der Äquipotentialflächen bei der Engstelle?  
 +Diese bedeutet anschaulich, dass dort eine große Potentialdifferenz, also eine große Spannung abfällt.  
 +Das klingt also schon etwas plausibel. Tiefer soll dies gleich nochmal betrachtet werden.
  
-Die Stromdichte wurde nur für eine konstante Querschnittsfläche $A$ bestimmt, durch welche ein homogener Strom, also auch ein homogenes Strömungsfeld, rechtwinklig durchtritt. Nun soll aber ein allgemeiner Ansatz für die elektrische Stromstärke gefunden werden.+Die Stromdichte wurde nur für eine konstante Querschnittsfläche $A$ bestimmt, durch welche ein homogener Strom, also auch ein homogenes Strömungsfeld, rechtwinklig durchtritt.  
 +Nun soll aber ein allgemeiner Ansatz für die elektrische Stromstärke gefunden werden.
  
-Hierzu wird zunächst statt einer konstanten Stromdichte $S$ über einer senkrechten, geraden Querschnittsfläche $A$, eine variierende Stromdichte $S(A)$ über viele kleine Teilflächen $dA$ betrachtet. Damit kann - wenn die Teilflächen hinreichend klein sind  - wieder eine konstante Stromdichte über die Teilfläche erhalten werden. Es wird dann also aus+Hierzu wird zunächst statt einer konstanten Stromdichte $S$ über einer senkrechten, geraden Querschnittsfläche $A$, eine variierende Stromdichte $S(A)$ über viele kleine Teilflächen $dA$ betrachtet.  
 +Damit kann - wenn die Teilflächen hinreichend klein sind  - wieder eine konstante Stromdichte über die Teilfläche erhalten werden. Es wird dann also aus
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-I = S \cdot A \rightarrow dI = S \cdot dA+I = S \cdot A \rightarrow {\rm d}I = S \cdot {\rm d}A
 \end{align*} \end{align*}
  
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 \begin{align*} \begin{align*}
-I = \int dI = \iint_A S \cdot dA+I = \int {\rm d}I = \iint_A S \cdot {\rm d}A
 \end{align*} \end{align*}
  
-Was hierbei aber nicht betrachtet wurde: Die gewählte Fläche $A$ muss nicht zwangsläufig senkrecht auf der Stromdichte $S$ stehen. Um dies zu berücksichtigen kann der (Teil)Flächennormalenvektor $d\vec{A}$ genutzt werden. Wenn nur der Teil der Stromdichte $\vec{S}$ betrachtet werden soll, welcher in Richtung von $d\vec{A}$ wirkend, so lässt sich dies über das Skalarprodukt ermitteln: +Was hierbei aber nicht betrachtet wurde: Die gewählte Fläche $A$ muss nicht zwangsläufig senkrecht auf der Stromdichte $S$ stehen.  
 +Um dies zu berücksichtigen, kann der (Teil)Flächennormalenvektor ${\rm d}\vec{A}$ genutzt werden.  
 +Wenn nur der Teil der Stromdichte $\vec{S}$ betrachtet werden soll, welcher in Richtung von ${\rm d}\vec{A}$ wirkend, so lässt sich dies über das Skalarprodukt ermitteln: 
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-I = \int dI = \iint_A \vec{S} \cdot d\vec{A}+I = \int {\rm d}I = \iint_A \vec{S} \cdot {\rm d}\vec{A}
 \end{align*} \end{align*}
  
-Dies stellt die integrale Schreibweise der elektrischen Stromstärke dar. Mit dieser lässt sich die Stromstärke in einem beliebigen Feld ermitteln.+Dies stellt die integrale Schreibweise der elektrischen Stromstärke dar.  
 +Mit dieser lässt sich die Stromstärke in einem beliebigen Feld ermitteln.
  
 ==== Allgemeines Materialgesetz ==== ==== Allgemeines Materialgesetz ====
  
-Für eine "pragmatische" Herleitung des allgemeinen Materialgesetzes zur Stromdichte soll nun nochmal auf die Verdichtung der Äquipotentialflächen bei der Engstelle eingegangen werden. Zwischen zwei Äquipotentialflächen ist eine Spannungsdifferenz $\Delta U$ vorhanden. Wählt man diese hinreichend klein ergibt sich wieder der Übergang von $\Delta U \rightarrow dU$. Durch die Potentialflächen muss aber im Leiter stets der gleiche Strom $I$ fließen. Aus dem Ohmschen Gesetz ergibt sich dann für den Teilwiderstand $dR$ zwischen den zwei Äquipotentialflächen:+Für eine "pragmatische" Herleitung des allgemeinen Materialgesetzes zur Stromdichte soll nun nochmal auf die Verdichtung der Äquipotentialflächen bei der Engstelle eingegangen werden.  
 +Zwischen zwei Äquipotentialflächen ist eine Spannungsdifferenz $\Delta U$ vorhanden.  
 +Wählt man diese hinreichend klein ergibt sich wieder der Übergang von $\Delta U \rightarrow {\rm d}U$.  
 +Durch die Potentialflächen muss aber im Leiter stets der gleiche Strom $I$ fließen.  
 +Aus dem Ohm'schen Gesetz ergibt sich dann für den Teilwiderstand ${\rm d}R$ zwischen den zwei Äquipotentialflächen:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-dU = I \cdot dR \tag{6.1.1}+{\rm d}U = I \cdot {\rm d}R \tag{6.1.1}
 \end{align*} \end{align*}
  
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 Aber auch $R$ wurde bereits schon durch eine "Dichte" - dem spezifischen Widerstand $\varrho$ - ausgedrückt: $ R = \varrho \cdot {{l}\over{A}}$ Aber auch $R$ wurde bereits schon durch eine "Dichte" - dem spezifischen Widerstand $\varrho$ - ausgedrückt: $ R = \varrho \cdot {{l}\over{A}}$
  
-Wenn ein Leiter aus dem gleichen Material betrachtet wird, ist der spezifische Widerstand $\varrho$ überall gleich. Ist aber nun entlang des Leiters ein Teilstück $ds$ vorhanden, bei dem der Querschnitt $A$ kleiner ist, so ändert sich auch der Widerstand $dR$ dieses Teilelements. Der Teilwiderstand ist dann:+Wenn ein Leiter aus dem gleichen Material betrachtet wird, ist der spezifische Widerstand $\varrho$ überall gleich.  
 +Ist aber nun entlang des Leiters ein Teilstück ${\rm d}s$ vorhanden, bei dem der Querschnitt $A$ kleiner ist, so ändert sich auch der Widerstand $dR$ dieses Teilelements.  
 +Der Teilwiderstand ist dann:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-dR = \varrho \cdot {{ds}\over{A}} \tag{6.1.3}+{\rm d}R = \varrho \cdot {{{\rm d}s}\over{A}} \tag{6.1.3}
 \end{align*} \end{align*}
  
 **Konkret heißt dass also für die Engstelle: An der Engstelle steigt der Widerstand. Damit steigt dort auch der Spannungsabfall. Damit gibt es dort auch mehr Äquipotentialflächen. ** **Konkret heißt dass also für die Engstelle: An der Engstelle steigt der Widerstand. Damit steigt dort auch der Spannungsabfall. Damit gibt es dort auch mehr Äquipotentialflächen. **
  
-Die Anreicherung der Äquipotentialflächen wäre damit gelöst. Interessanterweise lässt sich aber mit dem Gedankenmodell nun auch für einen __homogenen Körper__ das allgemeine Materialgesetz erklären.  +Die Anreicherung der Äquipotentialflächen wäre damit gelöst.  
-Dazu fügt man Gleichung $(6.1.2)$ und $(6.1.3)$ in $(6.1.)$ ein. +Interessanterweise lässt sich aber mit dem Gedankenmodell nun auch für einen __homogenen Körper__ das allgemeine Materialgesetz erklären.  
 +Dazu fügt man Gleichung $(6.1.2)$ und $(6.1.3)$ in $(6.1.1)$ ein. 
 Dann ergibt sich: Dann ergibt sich:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-dU = I \cdot dR = S \cdot A \cdot \varrho \cdot {{ds}\over{{A}}} = \varrho \cdot S \cdot ds \\+{\rm d}U = I \cdot {\rm d}R = S \cdot A \cdot \varrho \cdot {{{\rm d}s}\over{{A}}} = \varrho \cdot S \cdot {\rm d}s \\
 \end{align*} \end{align*}
  
-Wird nun die elektrische Feldstärke als $E={{dU}\over{ds}}$ eingefügt, erhält man:+Wird nun die elektrische Feldstärke als $E={{{\rm d}U}\over{{\rm d}s}}$ eingefügt, erhält man:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-E = {{dU}\over{ds}} = \varrho \cdot S +E = {{{\rm d}U}\over{{\rm d}s}} = \varrho \cdot S 
 \end{align*} \end{align*}
  
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 \end{align*} \end{align*}
  
-Diese Gleichung drückt aus, wie das elektrische Feld $\vec{E}$ und das (stationäre) elektrische Strömungsfeld $\vec{S}$ zusammenhängen: beide zeigen in die gleiche Richtung. Bei einem vorgegebenen, elektrischen Feld $\vec{E}$ in einem homogenen Leiter wird das Strömungsfeld $\vec{S}$ um so größer, je kleiner der spezifische Widerstand $\varrho$ ist.+Diese Gleichung drückt aus, wie das elektrische Feld $\vec{E}$ und das (stationäre) elektrische Strömungsfeld $\vec{S}$ zusammenhängen:  
 +beide zeigen in die gleiche Richtung.  
 +Bei einem vorgegebenen, elektrischen Feld $\vec{E}$ in einem homogenen Leiter wird das Strömungsfeld $\vec{S}$ um so größer, je kleiner der spezifische Widerstand $\varrho$ ist.
  
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 <panel type="info" title="Aufgabe 6.1.2 Elektronengeschwindigkeit in Kupfer"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <panel type="info" title="Aufgabe 6.1.2 Elektronengeschwindigkeit in Kupfer"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
  
-In einem Leiter aus Kupfer mit der Querschnittsfläche $A$ fließt der Strom $I = 20A$. \\ +In einem Leiter aus Kupfer mit der Querschnittsfläche $A$ fließt der Strom $I = 20 ~\rm A$. \\ 
-Gegeben sei weiterhin die Elektronendichte $n_e(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} {{1}\over{mm^3}}$ und den Betrag der Elementarladung $e_0 = 1,602 \cdot 10^{-19} As$+Gegeben sei weiterhin die Elektronendichte $n_e(Cu)=8,47 \cdot 10^{19} ~\rm {{1}\over{mm^3}}$ und den Betrag der Elementarladung $e_0 = 1,602 \cdot 10^{-19} ~\rm As$
  
-  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,5mm^2$ beträgt? +  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{\rm e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,5 ~\rm mm^2$ beträgt? 
-  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,0mm^2$ beträgt?+  - Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $v_{\rm e,1}$ der Elektronen, wenn die Querschnittsfläche des Leiters $A = 1,0 ~\rm mm^2$ beträgt?
  
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     - Überlegen Sie sich, warum sich bei der Verjüngung des Leiters nun mehr Äquipotentiallinien ansammeln.     - Überlegen Sie sich, warum sich bei der Verjüngung des Leiters nun mehr Äquipotentiallinien ansammeln.
     - Wenn Sie auf zusätzlich mit "Show E/j" das E-Feld einzeichnen, sehen Sie, das dieses entlang der Verjüngung stärker ist. Dies lässt sich über den Schieberegler "Brightness" überprüfen. Warum ist das so?     - Wenn Sie auf zusätzlich mit "Show E/j" das E-Feld einzeichnen, sehen Sie, das dieses entlang der Verjüngung stärker ist. Dies lässt sich über den Schieberegler "Brightness" überprüfen. Warum ist das so?
-  - Wählen Sie "Setup: Current in 2D 1", "Show E/rho/j". Warum Verhält sich der Hohlraum hier nicht wie ein Faradayscher Käfig?+  - Wählen Sie "Setup: Current in 2D 1", "Show E/rho/j". Warum Verhält sich der Hohlraum hier nicht wie ein Faraday'scher Käfig?
  
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