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elektrotechnik_1:einfache_gleichstromkreise [2020/10/25 01:29] tfischer |
elektrotechnik_1:einfache_gleichstromkreise [2023/09/19 22:28] (aktuell) mexleadmin |
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- | ====== 2. Einfache Gleichstromkreise ====== | + | ====== 2 Einfache Gleichstromkreise ====== |
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- | Bisher wurden nur einfache Stromkreise aus einer Quelle und einem mit Leitungen verbundenen Verbraucher betrachtet. \\ Im Folgenden werden kompliziertere Schaltungsanordnungen analysieren. Diese beinhalten zunächst nur eine Quelle, aber mehrere Leitungen und viele ohmsche Verbraucher (vgl. < | + | Bisher wurden nur einfache Stromkreise aus einer Quelle und einem mit Leitungen verbundenen Verbraucher betrachtet. \\ Im Folgenden werden kompliziertere Schaltungsanordnungen analysieren. Diese beinhalten zunächst nur eine Quelle, aber mehrere Leitungen und viele ohmsche Verbraucher (vgl. < |
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Aus dem Knotensatz lässt sich der Gesamtwiderstand für parallel geschaltete Widerstände herleiten (<imgref BildNr11> | Aus dem Knotensatz lässt sich der Gesamtwiderstand für parallel geschaltete Widerstände herleiten (<imgref BildNr11> | ||
- | Da an allen Widerständen die gleiche Spannung $U_{ab}$ abfällt, gilt mit dem Maschensatz: | + | Da an allen Widerständen die gleiche Spannung $U_{ab}$ abfällt, gilt mit dem Knotensatz: |
$\large{{U_{ab}}\over{R_1}}+ {{U_{ab}}\over{R_2}}+ ... + {{U_{ab}}\over{R_n}}= {{U_{ab}}\over{R_{ersatz}}}$ | $\large{{U_{ab}}\over{R_1}}+ {{U_{ab}}\over{R_2}}+ ... + {{U_{ab}}\over{R_n}}= {{U_{ab}}\over{R_{ersatz}}}$ | ||
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Bei parallel geschalteten Widerständen ergibt sich also der Leitwert $G_{ersatz}$ als Summe der Einzelleitwerte: | Bei parallel geschalteten Widerständen ergibt sich also der Leitwert $G_{ersatz}$ als Summe der Einzelleitwerte: | ||
+ | |||
+ | __Allgemein gilt__: Der Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Widerstand. | ||
Speziell für zwei parallele Widerstände $R_1$ und $R_2$ gilt: $R_{ersatz}= \large{{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}}$ | Speziell für zwei parallele Widerstände $R_1$ und $R_2$ gilt: $R_{ersatz}= \large{{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}}$ | ||
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$R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} R_x $ | $R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} R_x $ | ||
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+ | __Allgemein gilt__: Der Ersatzwiderstand einer Reihenschaltung ist stets größer als der größte Widerstand. | ||
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===== 2.5 unbelasteter und belasteter Spannungsteiler ===== | ===== 2.5 unbelasteter und belasteter Spannungsteiler ===== | ||
+ | ==== Der unbelastete Spannungsteiler ==== | ||
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- | Herleitung | + | Herleitung |
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Nach dieser Lektion sollten Sie: | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
+ | - den belasteten und unbelasteten Spannungsteiler auseinanderhalten können. | ||
+ | - die Unterschiede zwischen belasteten und unbelasteten Spannungsteiler beschreiben können. | ||
- | - | ||
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$ U_1 = \LARGE{{{k \cdot U} \over { 1 + k \cdot (1-k) \cdot{{R_s}\over{R_L}} | $ U_1 = \LARGE{{{k \cdot U} \over { 1 + k \cdot (1-k) \cdot{{R_s}\over{R_L}} | ||
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+ | <imgref BildNr65> | ||
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+ | Was sagt dieses Diagramm nun aus? Dies soll an einem Beispiel gezeigt werden. Zunächst wird angenommen, dass ein __unbelasteter Spannungsteiler__ mit $R_2 = 4 k\Omega$ und $R_1 = 6 k\Omega$, sowie eine Eingangsspannung von $10V$ vorliegt. Damit ist $k = 0,6$, $R_s = 10k\Omega$ und $U_1 = 6V$. \\ Nun wird dieser Spannungsteiler mit einem Lastwiderstand belastet. Liegt dieser bei $R_L = R_1 = 10 k\Omega$, so reduziert sich $k$ auf etwa $0,48$ und $U_1$ auf $4,8V$ - die Ausgangsspannung bricht also ein. Bei $R_L = 4k\Omega$ wird $k$ noch kleiner zu $k=0,375$ und $U_1 = 3,75V$. Ist die Last $R_L$ nur noch ein Zehntel des Widerstandes $R_s=R_1 + R_2$, so wird $k=0,18$ und $U_1=1,8V$. Aus der Ausgangspannung des unbelasteten Spannungsteilers ($6V$) wurde damit weniger als ein Drittel. | ||
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- Berechnen Sie zunächst den Maximalstrom $I_{M,max}$ des Motors. | - Berechnen Sie zunächst den Maximalstrom $I_{M,max}$ des Motors. | ||
- Zeichnen Sie die entsprechende elektrische Schaltung mit angeschlossenem Motor als ohmschen Widerstand. | - Zeichnen Sie die entsprechende elektrische Schaltung mit angeschlossenem Motor als ohmschen Widerstand. | ||
- | - Beim Maximalstrom soll der Motor ein Drehmoment von $M= 100mN$ abgeben können. Welches Drehmoment würde der Motor abgeben, wenn Sie den Aufbau so umsetzen? (Annahme: Das Drehmoment des Motors steigt proportional zum Motorstrom). | + | - Beim Maximalstrom soll der Motor ein Drehmoment von $M= 100mNm$ abgeben können. Welches Drehmoment würde der Motor abgeben, wenn Sie den Aufbau so umsetzen? (Annahme: Das Drehmoment des Motors steigt proportional zum Motorstrom). |
- Wie könnte ein Aufbau mit Potentiometer aussehen, mit dem man tatsächlich eine Spannung zwischen $0,5V$ bis $4V$ am Motor einstellen kann? Welchen Widerstandswert muss das Potentiometer haben? | - Wie könnte ein Aufbau mit Potentiometer aussehen, mit dem man tatsächlich eine Spannung zwischen $0,5V$ bis $4V$ am Motor einstellen kann? Welchen Widerstandswert muss das Potentiometer haben? | ||
- Bauen Sie Ihre Schaltung in untenstehender Simulation auf und testen Sie diese. Eine Einführung zur Online-Simulation finden Sie unter: [[elektronische_schaltungstechnik: | - Bauen Sie Ihre Schaltung in untenstehender Simulation auf und testen Sie diese. Eine Einführung zur Online-Simulation finden Sie unter: [[elektronische_schaltungstechnik: | ||
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Nach dieser Lektion sollten Sie: | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
- | - | + | - dreieckige Maschen in eine Sternform (und umgekehrt) umwandeln können |
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- | Zu Beginn des Kapitels wurde ein Beispiel eines Netzwerks gezeigt (< | + | Zu Beginn des Kapitels wurde ein Beispiel eines Netzwerks gezeigt (< |
Dazu zunächst ein Resume aus den bisherigen Erkenntnissen. Über den Knoten- und Maschensatz wurde klar, dass sowohl aus einer Reihen-, als auch aus einer Parallelschaltung ein Ersatzwiderstand ermittelt werden kann. Betrachtet man den Ersatzwiderstand als eine Blackbox - d.h. der innere Ausbau ist unbekannt - so könnte dieser also durch beide Schaltungsarten interpretiert werden (<imgref BildNr17> | Dazu zunächst ein Resume aus den bisherigen Erkenntnissen. Über den Knoten- und Maschensatz wurde klar, dass sowohl aus einer Reihen-, als auch aus einer Parallelschaltung ein Ersatzwiderstand ermittelt werden kann. Betrachtet man den Ersatzwiderstand als eine Blackbox - d.h. der innere Ausbau ist unbekannt - so könnte dieser also durch beide Schaltungsarten interpretiert werden (<imgref BildNr17> | ||
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Wie hilft uns das nun im Falle einer dreieckförmigen Masche? | Wie hilft uns das nun im Falle einer dreieckförmigen Masche? | ||
- | Auch in für diesen Fall kann man eine Blackbox bereitstellen. Diese müsste sich aber immer gleich verhalten, wie die dreieckförmige Masche, also beliebige, angelegte Spannungen sollten gleiche Ströme erzeugen. \\ | + | Auch in diesen Fall kann man eine Blackbox bereitstellen. Diese müsste sich aber immer gleich verhalten, wie die dreieckförmige Masche, also beliebige, angelegte Spannungen sollten gleiche Ströme erzeugen. \\ |
Anders gesagt: Die zwischen zwei Klemmen messbaren Widerständen müssen für beide Schaltungen identisch sein. | Anders gesagt: Die zwischen zwei Klemmen messbaren Widerständen müssen für beide Schaltungen identisch sein. | ||
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- | {{url> | + | {{url> |
+ | \\ \\ | ||
+ | Berechung der Umformungsformeln: | ||
+ | {{youtube> | ||
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- | == Dreieckschaltung == | + | ==== Dreieckschaltung |
Bei der Dreieckschaltung sind die 3 Widerstände $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ in einer Masche verschalten. | Bei der Dreieckschaltung sind die 3 Widerstände $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ in einer Masche verschalten. | ||
- | Für die Widerstände zwischen den zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird die dritte ($c$) als nicht angeschlossen betrachtet. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung | + | Für die Widerstände zwischen den zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird die dritte ($c$) als nicht angeschlossen betrachtet. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung |
$R_{ab} = R_{ab}^1 || (R_{ca}^1 + R_{bc}^1) $ \\ | $R_{ab} = R_{ab}^1 || (R_{ca}^1 + R_{bc}^1) $ \\ | ||
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R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \tag{2.6.1} | R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \tag{2.6.1} | ||
- | == Sternschaltung == | + | ==== Sternschaltung |
- | Die Widerstände zwischen den Anschlüssen müssen nun denen bei der Sternschaltung gleichen. Auch bei der Sternschaltung sind 3 Widerstände verschalten, | + | Die Widerstände zwischen den Anschlüssen müssen nun denen bei der Sternschaltung gleichen. Auch bei der Sternschaltung sind 3 Widerstände verschalten, |
Auch hier wird vorgegangen wie bei der Dreieckschaltung: | Auch hier wird vorgegangen wie bei der Dreieckschaltung: | ||
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\end{align*} | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Auf ähnlichem Weg kann man nach $R_{a0}^1$ und $R_{c0}^1$, sowie mit etwas abgewandeltem Ansatz auch auf $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ auflösen. | ||
+ | |||
+ | ==== Stern-Dreieck-Transformation ==== | ||
+ | <callout icon=" | ||
+ | |||
+ | <WRAP group>< | ||
+ | Soll von einer **Dreieckschaltung in eine Sternschaltung** umgewandelt werden, so sind die Sternwiderstände ermittelbar über: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{an Anschluss x} \end{array} }}} &= | ||
+ | {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Produkt der} \\ \text{am Anschluss x liegenden} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}} } \over | ||
+ | { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}}}} \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \text{also: | ||
+ | |||
+ | R_{a0}^1 &= {{ R_{ca}^1 \cdot R_{ab}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ | ||
+ | R_{b0}^1 &= {{ R_{ab}^1 \cdot R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ | ||
+ | R_{c0}^1 &= {{ R_{bc}^1 \cdot R_{ca}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | Soll von einer **Sternschaltung in eine Dreieckschaltung** umgewandelt werden, so sind die Dreieckwiderstände ermittelbar über: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Dreieckwiderstand} \\ \text{zwischen den} \\ \text{Anschlüssen x und y } \end{array} }}} &= | ||
+ | {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller Produkte} \\ \text{zwischen zwei} \\ \text{unterschiedlichen Sternwiderständen} \end{array} }}} } \over | ||
+ | { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{gegenüber von x und y} \end{array} }}}}} \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \text{also: | ||
+ | |||
+ | R_{ab}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{c0}^1}} \\ | ||
+ | R_{bc}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{a0}^1}} \\ | ||
+ | R_{ca}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{b0}^1}} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | </ | ||
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- | ==== Video ==== | + | <panel type=" |
- | Berechung der Umformungsformeln: | + | {{youtube> |
- | {{youtube> | + | |
- | Anwendung der Dreieck-Stern-Umwandlung | + | </ |
- | {{youtube> | + | |
- | {{youtube>s7NqWI_ZSt4}} | + | <panel type=" |
- | schwierigere Aufgabe mit Stern-Dreieck-Umwandlung | ||
{{youtube> | {{youtube> | ||
+ | </ | ||
===== 2.7 Gruppenschaltung von Widerständen ===== | ===== 2.7 Gruppenschaltung von Widerständen ===== | ||
Zeile 709: | Zeile 770: | ||
</ | </ | ||
- | ==== Video ==== | + | In diesem Unterkapitel wird auf eine Methodik eingegangen, |
+ | Ausgangspunkt sind Aufgaben, bei denen für ein Widerstandsnetzwerk der Gesamtwiderstand, | ||
+ | ==== einfaches Beispiel ==== | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ein Beispiel für eine solche Schaltung ist in <imgref BildNr89> | ||
+ | |||
+ | Wie bereits in den vorherigen Unterkapitel beschrieben, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | |||
+ | <imgref BildNr88> | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | R_g = R_{12345} &= R_{12}||R_{345} = R_{12}||(R_3+R_{45}) = (R_1||R_2)||(R_3+R_4||R_5) \\ | ||
+ | &= {{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) }\over{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} +R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}} }} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bigg\rvert \cdot{{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}\over{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}} \\ | ||
+ | |||
+ | &= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) \cdot (R_4 + R_5) } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\ | ||
+ | &= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 \cdot (R_4 + R_5) + R_4 \cdot R_5) } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\ | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | ==== Beispiel mit Dreieck-Stern-Transformation ==== | ||
+ | |||
+ | Mit der Dreieck-Stern-Transformation lässt sich nun auch das anfängliche Beispiel umwandeln. Bei komplizierteren Schaltungen ist die wiederholte Dreieck-Stern-Transformation mit anschließendem Zusammenfassen der Widerstände sinnvoll, solange bis die entstandene Schaltung leicht mit Knoten- und Maschensatz berechenbar wird (<imgref BildNr92> | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ==== Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung ==== | ||
+ | |||
+ | Ein gewisser Sonderfall betrifft mögliche Symmetrien in Schaltungen. Falls dies vorhanden sind, kann eine weitere Vereinfachung vorgenommen werden. | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | {{url> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | |||
+ | <imgref BildNr40> | ||
+ | |||
+ | Über die Schalter kann nachgeprüft werden, ob ein Strom fließt, falls die jeweiligen Knoten verbunden werden. In der Simulation ist zu sehen, dass dies nicht der Fall ist. Im symmetrischen Aufbau sind diese Knoten jeweils auf dem gleichen Potential. | ||
+ | |||
+ | Damit lässt sich die Schaltung auch in die Form bringen, wie sie in <imgref BildNr40> | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | R_g = R || R + R || R || R || R + R || R || R || R + R || R = {{1}\over{2}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{2}}\cdot R = 1,5\cdot R | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | |||
+ | <panel type=" | ||
{{youtube> | {{youtube> | ||
- | Vereinfachen von Gruppenschaltungen | + | </ |
+ | |||
+ | <panel type=" | ||
{{youtube> | {{youtube> | ||
{{youtube> | {{youtube> | ||
- | Beispiel für die Berechnung | + | </ |
- | {{youtube>SzXWWrPRsDU}} | + | |
+ | <panel type=" | ||
- | Lösungen bei Symmetrie in der Schaltung | + | {{youtube> |
- | {{youtube> | + | |
- | ===== 2.8 Beliebige Gleichstromkreise ===== | + | </ |
- | <callout> | + | <panel type=" |
- | === Ziele === | + | {{youtube> |
- | Nach dieser Lektion sollten Sie: | + | </ |
- | - | ||
- | </ | ||
- | ==== Video ==== | + | <panel type=" |
- | Übungsaufgaben 1/2 | + | {{youtube> |
- | {{youtube> | + | |
- | Übungsaufgaben 2/2 | + | </WRAP></ |
- | {{youtube>ueKmNw2dtlI}} | + | |
- | Übungsaufgaben 2 | ||
- | {{youtube> | ||
- | Übungsaufgabe 3 | + | <panel type=" |
{{youtube> | {{youtube> | ||
+ | </ | ||
- | ---- | + | {{page> |
+ | {{page> | ||
+ | {{page> | ||
+ | {{page> | ||
- | ===== 2.9 Weiterführende Tipps ===== | ||
- | Vergleich der Elektrik mit der Fluidmechanik | + | <panel type=" |
- | {{youtube>6Dlva2_XOvI}} | + | |
+ | Weitere Aufgaben sind Online auf den Seiten von [[https:// | ||
+ | </ | ||