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--- elektrotechnik_1:einfache_gleichstromkreise [2020/10/24 13:21]
tfischer
+++ elektrotechnik_1:einfache_gleichstromkreise [2023/09/19 22:28] (aktuell)
mexleadmin
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-====== 2. Einfache Gleichstromkreise ======
+====== 2 Einfache Gleichstromkreise ======
-Bisher wurden nur einfache Stromkreise aus einer Quelle und einem mit Leitungen verbundenen Verbraucher betrachtet. \\ Im Folgenden werden kompliziertere Schaltungsanordnungen analysieren. Diese beinhalten zunächst nur eine Quelle, aber mehrere Leitungen und viele ohmsche Verbraucher.
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr91 | Beispiel für einen Stromkreis>
+</imgcaption>
+{{drawio>BeispieleStromkreis}}
+</WRAP>
+Bisher wurden nur einfache Stromkreise aus einer Quelle und einem mit Leitungen verbundenen Verbraucher betrachtet. \\ Im Folgenden werden kompliziertere Schaltungsanordnungen analysieren. Diese beinhalten zunächst nur eine Quelle, aber mehrere Leitungen und viele ohmsche Verbraucher (vgl. <imgref BildNr91>).
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 <imgcaption BildNr5 | Beispiel einer Schaltung>
 </imgcaption> \\
-{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BWcMBMcUHYMGZIA4UA2ATmIxEJRCQBZsAoAJxDqsJvA0JGO8hBRpITTt14hsacMSr9Mw5pP5gZEwnnA0OyhHBGsKHGuJQI+LDHubHup7kumyQBKxKkqqNMPfVRwQhRYTMxZvNQ1+dUCUGmVVbzlYvzAAkQcPASTsbHMzVxj+bO4vHwiLEQKJHP8NTCcweHoANxqBDCowLh5zfiT+JH4YMARiYeM6SBl6AGUBPFr8TLlF5RAAMwBDABsAZwBTPxR6AHc5hY101WikwQ4EtqdsYmFT+8qU2vaoE-BCOS+Pg9vgAPAQjaQQTBIFRGTIgab0UHYGjkFIQbAIDQpWFSI5Ip7gFISFGE2gSfgASXo2Es4U0HGweDuKCxfheEiZrQM7BBbTuxFqeCQaAgHHc9CAA 600,500 noborder}}
+{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWcMBMcUHYMGZIA4UA2ATmIxEJRCQBZsAoAJxDqsJvA0JGO8hBRpITTt14hsacMSr9Mw5pP5gZEwnnA0OyhHBGsKHGuJQI+LDHubHup7kumyQBKxKkqqNMPfVRwQhRYTMxZvNQ1+dUCUGmVVbzlYvzAAkQcPASTsbHMzVxj+bO4vHwiLEQKJHP8NTCcweHoANxqBDCowLh5zfiT+JH4YMARiYeM6SBl6AGUBPFr8TLlF5RAAMwBDABsAZwBTPxR6AHc5hY101WikwQ4EtqdsYmFT+8qU2vaoE-BCOS+Pg9vgAPAQjaQQTBIFRGTIgab0UHYGjkFIQbAIDQpWFSI5Ip7gFISFGE2gSfgASXo2Es4U0HGweDuKCxfheEiZrQM7BBbTuxFqeCQaAgHHc9CAA 600,500 noborder}}
 </WRAP>
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-<panel type="info" title="Aufgabe 2.1.1 Zweige und Knoten"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.3.1 Zweige und Knoten"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 <WRAP right>
 <imgcaption BildNr70 | Zweige und Knoten>
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 </WRAP></WRAP></panel>
-<panel type="info" title="Aufgabe 2.1.2 Vereinfachungen von Schaltungen"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.3.2 Vereinfachungen von Schaltungen"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 <WRAP right>
 <imgcaption BildNr71 | Zweige und Knoten>
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 </callout>
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 ==== Der Knotensatz (1. Kirchhoffsche Gleichung) ====
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 Aus dem Knotensatz lässt sich der Gesamtwiderstand für parallel geschaltete Widerstände herleiten (<imgref BildNr11>):
-Da an allen Widerständen die gleiche Spannung $U_{ab}$ abfällt, gilt mit dem Maschensatz:
+Da an allen Widerständen die gleiche Spannung $U_{ab}$ abfällt, gilt mit dem Knotensatz:
 $\large{{U_{ab}}\over{R_1}}+ {{U_{ab}}\over{R_2}}+ ... + {{U_{ab}}\over{R_n}}= {{U_{ab}}\over{R_{ersatz}}}$
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 Bei parallel geschalteten Widerständen ergibt sich also der Leitwert $G_{ersatz}$ als Summe der Einzelleitwerte: $G_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} {G_x}$
+__Allgemein gilt__: Der Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Widerstand.
 Speziell für zwei parallele Widerstände $R_1$ und $R_2$ gilt: $R_{ersatz}= \large{{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}}$
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 <imgcaption BildNr85| Stromteiler>
 </imgcaption> \\
-{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsBMA2AzAgnAdjBgBxhgK7q64gKTXWQBQATiCgmuLh2xxpACxRwcBmHKt2nbpLApCQqkiS0V0JADUA9gBsALgEMA5gFMGhibwzTeCFFAYB3CyD6CeLq+GYvbUn3dchMHhHfxcBMIxPMDNIzywA30YnQLEbOzT7J3dM1K4s50ywNFpMxhZi2hQUQUrnUpCnOtSSjw4Y82bo1oSCupyeiMYAZ3BW6trWsvAQADN9bWHTIA 600,400 noborder}}
+{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsBMA2AzAgnAdjBgBxhgK7q64gKTXWQBQATiCgmuLh2xxpACxRwcBmHKt2nbpLApCQqkiS0V0JADUA9gBsALgEMA5gFMGhibwzTeCFFAYB3CyD6CeLq+GYvbUn3dchMHhHfxcBMIxPMDNIzywA30YnQLEbOzT7J3dM1K4s50ywNFpMxhZi2hQUQUrnUpCnOtSSjw4Y82bo1oSCupyeiMYAZ3BW6trWsvAQADN9bWHTIA 600,400 noborder}}
 </WRAP>
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 </WRAP></WRAP></panel>
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.4.2 zwei Widerstände"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+Zwei Widerstände von $18\Omega$ und $2 \Omega$ sind parallel geschalten. Der Gesamtstrom die Widerstände liegt bei $3A$. \\ Berechnen Sie den Gesamtwiderstand und die Stromaufteilung.
+</WRAP></WRAP></panel>
 \\
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 $R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{ersatz} =  \sum_{x=1}^{n} R_x $
+__Allgemein gilt__: Der Ersatzwiderstand einer Reihenschaltung ist stets größer als der größte Widerstand.
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+<panel type="info" title="Aufgabe 2.4.3 drei Widerstände"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+Gegeben sind drei gleiche Widerstände mit je $20k\Omega$. \\
+Welche Werte sind durch beliebige Verschaltung von einem bis drei Widerstände realisierbar?
+</WRAP></WRAP></panel>
 ===== 2.5 unbelasteter und belasteter Spannungsteiler =====
+==== Der unbelastete Spannungsteiler ====
 <WRAP right>
-Herleitung unbelasteter Spannungsteiler
+Herleitung des unbelasteten Spannungsteilers
 {{youtube>AmjaKLkPovg}}
 </WRAP>
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 Nach dieser Lektion sollten Sie:
+  - den belasteten und unbelasteten Spannungsteiler auseinanderhalten können.
+  - die Unterschiede zwischen belasteten und unbelasteten Spannungsteiler beschreiben können.
   -
 </callout>
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 <imgcaption BildNr81| unbelasteter Spannungsteiler>
 </imgcaption> \\
-{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsAsB2ATAZgGw4QhmimJGOiApJSClgFABu4O1RGL1YaOUfK1JNWHQE9bihBZIk7rywY2CXhFJxkSAEoBTAM4BLXQBcAhgDsAxtvoB3EIoAc9zFJnOOkW68nspDny6edgpsGJJY-vZhUPQADn4+0REBHBDCcfaQTnKZTr5pMXZgrOA8uaW8QZzu5b6eAObeNdI+Dk6eimgJUZICob0gADq6w6O6AKoA+gD2AK5GXo4VPctVLcv5ZZ66KzmbleAgAGYmADa61kA 500,400 noborder}}
+{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsAsB2ATAZgGw4QhmimJGOiApJSClgFABu4O1RGL1YaOUfK1JNWHQE9bihBZIk7rywY2CXhFJxkSAEoBTAM4BLXQBcAhgDsAxtvoB3EIoAc9zFJnOOkW68nspDny6edgpsGJJY-vZhUPQADn4+0REBHBDCcfaQTnKZTr5pMXZgrOA8uaW8QZzu5b6eAObeNdI+Dk6eimgJUZICob0gADq6w6O6AKoA+gD2AK5GXo4VPctVLcv5ZZ66KzmbleAgAGYmADa61kA 500,400 noborder}}
 </WRAP>
@@ Zeile 492: / Zeile 519: @@
 $ U_1 = \LARGE{{{k \cdot U} \over { 1 + k \cdot (1-k) \cdot{{R_s}\over{R_L}}  }}  }$
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr65 | Spannungsverlauf des belasteten Spannungsteiler>
+</imgcaption>
+{{drawio>SpannungsverlaufBelasteterSpannungsteiler}}
+</WRAP>
+<imgref BildNr65> zeigt in welchem Verhältnis die ausgegebene Spannung $U_1$ zur eingehenden Spannung $U$ steht (y-Achse), in Bezug zum Verhältnis $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$. Prinzipiell gleicht dies der <imgref BildNr14>, hat aber hier noch eine weitere Dimension: Es sind mehrere Graphen eingezeichnet. Diese unterscheiden sich um das Verhältnis ${{R_s}\over{R_L}}$.
+Was sagt dieses Diagramm nun aus? Dies soll an einem Beispiel gezeigt werden. Zunächst wird angenommen, dass ein __unbelasteter Spannungsteiler__ mit $R_2 = 4 k\Omega$ und $R_1 = 6 k\Omega$, sowie eine Eingangsspannung von $10V$ vorliegt. Damit ist $k = 0,6$, $R_s = 10k\Omega$ und $U_1 = 6V$. \\ Nun wird dieser Spannungsteiler mit einem Lastwiderstand belastet. Liegt dieser bei $R_L = R_1 = 10 k\Omega$, so reduziert sich $k$ auf etwa $0,48$ und $U_1$ auf $4,8V$ - die Ausgangsspannung bricht also ein. Bei $R_L = 4k\Omega$ wird $k$ noch kleiner zu $k=0,375$ und $U_1 = 3,75V$. Ist die Last $R_L$ nur noch ein Zehntel des Widerstandes $R_s=R_1 + R_2$, so wird $k=0,18$ und $U_1=1,8V$. Aus der Ausgangspannung des unbelasteten Spannungsteilers ($6V$) wurde damit weniger als ein Drittel.
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 <imgcaption BildNr82| belasteter Spannungsteiler>
 </imgcaption> \\
-{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BWcMBMcUHYMGZIA4UA2ATmIxAUgpABZsAoAN3BppExRbbA0Kn5pUkVEdAT0ebXN14hsadgj4Qw8KGJAAlAKYBnAJa6ALgEMAdgGNt9AO7t87DJ2mPOkW6-CyXPPu7suHHIInEH+cgooKFIh7NFQ9AAOcnhsUVKpnhAi9ABOwaHx2LFhyHAexaFOKWnV4ZVxGWnx4WCsnmh4nq3tvvZdfe7JnV58I0HZCXYjfemjCbqN8xOyVBAAZiYANrrWaOTYmXOCVMcgADq6l9e6AKoA+gD2AK5G9ADmcpC1zt9fbO4gA 500,400 noborder}}
+{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWcMBMcUHYMGZIA4UA2ATmIxAUgpABZsAoAN3BppExRbbA0Kn5pUkVEdAT0ebXN14hsadgj4Qw8KGJAAlAKYBnAJa6ALgEMAdgGNt9AO7t87DJ2mPOkW6-CyXPPu7suHHIInEH+cgooKFIh7NFQ9AAOcnhsUVKpnhAi9ABOwaHx2LFhyHAexaFOKWnV4ZVxGWnx4WCsnmh4nq3tvvZdfe7JnV58I0HZCXYjfemjCbqN8xOyVBAAZiYANrrWaOTYmXOCVMcgADq6l9e6AKoA+gD2AK5G9ADmcpC1zt9fbO4gA 500,400 noborder}}
 </WRAP>
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   - Berechnen Sie zunächst den Maximalstrom $I_{M,max}$ des Motors.
   - Zeichnen Sie die entsprechende elektrische Schaltung mit angeschlossenem Motor als ohmschen Widerstand.
-  - Beim Maximalstrom soll der Motor ein Drehmoment von $M= 100mN$ abgeben können. Welches Drehmoment würde der Motor abgeben, wenn Sie den Aufbau so umsetzen? (Annahme: Das Drehmoment des Motors steigt proportional zum Motorstrom).
+  - Beim Maximalstrom soll der Motor ein Drehmoment von $M= 100mNm$ abgeben können. Welches Drehmoment würde der Motor abgeben, wenn Sie den Aufbau so umsetzen? (Annahme: Das Drehmoment des Motors steigt proportional zum Motorstrom).
   - Wie könnte ein Aufbau mit Potentiometer aussehen, mit dem man tatsächlich eine Spannung zwischen $0,5V$ bis $4V$ am Motor einstellen kann? Welchen Widerstandswert muss das Potentiometer haben?
-  - Bauen Sie Ihre Schaltung in untenstehender Simulation auf und testen Sie diese. Eine Einführung zu der Simulation finden Sie unter: [[elektronische_schaltungstechnik:0 Hilfsmittel#online_circuit_simulator]].
+  - Bauen Sie Ihre Schaltung in untenstehender Simulation auf und testen Sie diese. Eine Einführung zur Online-Simulation finden Sie unter: [[elektronische_schaltungstechnik:0 Hilfsmittel#Online Circuit Simulator]]. \\ Für diesen Aufbau benötigen Sie im wesentlichen folgende Tipps:
+    - Das Verlegen von Verbindungen lässt sich über das Menü ''Zeichnen >> Verbindung einfügen (wire)'' aktivieren. Anschließend muss auf den Startpunkt geklickt und anschließend bis zum Endpunkt gezogen werden.
+    - Beachten Sie, dass Verbindungen immer nur an Verbindungspunkten angeschlossen werden können. Der rot markierte Knoten am $5 \Omega$-Widerstand zeigt an, dass dieser nicht verbunden ist. Dieser könnte im ein Rasterschritt nach links verschoben werden, da dort ein Verbindungspunkt liegt.
+    - Mit Druck auf die ''<ESC>'' Taste lässt sich das Einfügen von Komponenten deaktivieren.
+    - Mit Rechtsklick auf eine Komponente lässt sich diese kopieren oder Werte wie der Widerstand über ''Bearbeiten...'' ändern.
 <WRAP right>
 <imgcaption BildNr83| Simulation für Motoraufbau>
 </imgcaption> \\
-{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html 800,400 noborder}}
+{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsDsKAc64YMyRWACyRIKQhKE4BQAbiIeiHoQ0wEzuvnnEgCcUITATUATuH7sQnVu0wyuQ0QHM2zSK0bMcANijUA7upYgsG7kfWyz5G+2pgUrJ-tOvmCaRDDxkSACUAUwBnAEsQgBcAQwA7AGMgq3ZIDhRpFI4lSCswKUUXFH0bHKA 800,400 noborder}}
 </WRAP>
@@ Zeile 561: / Zeile 603: @@
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 ===== 2.6 Stern-Dreieck-Schaltung =====
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr98 | Beispiel für einen Stromkreis>
+</imgcaption>
+{{drawio>BeispielStromkreis}}
+<imgcaption BildNr17| Umwandlung Parallelschaltung in Reihenschaltung>
+</imgcaption> \\
+{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWKsDsKAc64YMyRWACyRIIRKE4BQATiALQ4BM4T6Dz4KAbFON92gDhVAOYcWTJoQkhpkKFQBKssGBaMWATl4KFxEEj3IEVAO6r1qtuHMMwWlmo0OnhGWGX3H4K-VcgOnz6CkbB0KYW-j5EMv7cCrGKUVIe7t5uMpBiGXKQ7NGSBtlRAUz5DKl57CX2CdW55TW0dYnp8QpNfGDwLYXg7WUVib109FVJ49INI3B2jAhOfjiLAx5eC0saK9q6fAZhehE5mw2n8opjO2scq10KOI-Qj9RXTjyyVYkCQsLcVEA 600,300 noborder}}
+</WRAP>
 <callout>
@@ Zeile 569: / Zeile 625: @@
 Nach dieser Lektion sollten Sie:
-  -
+  - dreieckige Maschen in eine Sternform (und umgekehrt) umwandeln können
 </callout>
-==== Video ====
+Zu Beginn des Kapitels wurde ein Beispiel eines Netzwerks gezeigt (<imgref BildNr91>). Dabei kommt man aber mit dem Knoten- und Maschensatz nicht unmittelbar zur Lösung. Jedoch ist nach sichtbar, dass dort viele dreieckförmige Maschen bzw. sternförmige Knoten vorhanden sind (<imgref BildNr98>). Auf diese soll nun tiefer eingegangen werden.
+Dazu zunächst ein Resume aus den bisherigen Erkenntnissen. Über den Knoten- und Maschensatz wurde klar, dass sowohl aus einer Reihen-, als auch aus einer Parallelschaltung ein Ersatzwiderstand ermittelt werden kann. Betrachtet man den Ersatzwiderstand als eine Blackbox - d.h. der innere Ausbau ist unbekannt - so könnte dieser also durch beide Schaltungsarten interpretiert werden (<imgref BildNr17>).
+Wie hilft uns das nun im Falle einer dreieckförmigen Masche?
+Auch in diesen Fall kann man eine Blackbox bereitstellen. Diese müsste sich aber immer gleich verhalten, wie die dreieckförmige Masche, also beliebige, angelegte Spannungen sollten gleiche Ströme erzeugen. \\
+Anders gesagt: Die zwischen zwei Klemmen messbaren Widerständen müssen für beide Schaltungen identisch sein.
+Dazu sollen nun die verschiedenen Widerstände zwischen den einzelnen Knoten $a$, $b$ und $c$ betrachtet werden, siehe <imgref BildNr18>. Es soll herausgefunden werden wie aus einer Stern-Schaltung eine Dreieck-Schaltung entwickelt werden kann (und umgekehrt).
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr18| Stern-Dreieck-Transformation>
+</imgcaption> \\
+{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjA7CAMB00IQVhvCEAcGGYMzQjABZoUkA2EFI3AKACUQBaYo8CSlsAJncuhggSQwQLhJaAd2as+M8gMiUwtAE7NuEXko3c2eseERqZHOU03azi4+pZmdFvSAOCwx6U3xtH3LHJVGL2gfMy9cZWtBYRRDcSldfS1ElwpwBhTLTP9DYV442Akg2VwMNi5eUrZcgWrRQoSWIjYq+QFWlTtuZyIwTm62InI63FHYUYnRkydBvo1k1vaxyYnpnVaZoTml3HGVuk9vEA2-DGOy9KCjjdHKReiBWPqJTwGhbBShnwzNog-fgCc-AeLlEqBebXO5XWF2gjVOUPmlVh8P8SABvAsyXR+UafUeGNMlBxMB+bwgIRSWjiQgE+We8OcFPKb3I-kCzCOJPCxMJNSoYPih0p3IRJM6RKohM25GcOz2K2mrOcWN4JPl+zoXWcspZOuSGv2eOaUsx+NNlxkJu5YB4Fv5dTEDQAHvNcFQ7SxyFAkGBqOAkAJAAGktFdFgB7u6AI0bJcuF4+jY9AAnaH5j5ZTGM-6wGcAIaos6+ZI6OGec2OHSltMWDDu3PRiwKcCEwYCQAzpDWG+AMI2+spW7SQJ2w9wIqkwBowJGkIMhyOZBgUH13fZl+RKD4zgAjGvcdypTHcaCT7hIHNnADGjP0aU2rjho+SY-6SEjuGjW5Al4LYfNL6tU8PxEXMQG3a8-wwU9uD7NIxwTFwk1TUcaHAP4pyLX0RGcFM926AMUAsaBtCQM4vzzXdR1wH0MCPO1SP9HDkKnYlexkIELS-bdHw0AE2FlfpyGjWVP0QkBcKfd1yFGDQ3xAaTNx7EA8x4oioA3aFaPk71sKQrsMEob1Jy9dSIDnUDL1Uvx1MpJt+IIERhAXLEziQdAY1cj5yP0903L7CBfK0rj9Jswi+nssj5z3dC2X6YC2VEiy93HISWWneSASgNthxveTkhlHIaygqghOOaM3IQ0CAGUABcAFNVAAOwAZ0vAALPMABsaoAV0agBzGtMHAchJ2bcKQLOAARVQ6oASzqy8AGtWo67q+sGsMzGowj3WoyLQIAIU6vNlu3AB7Z1aCAA 600,800 noborder}}
+\\ \\
 Berechung der Umformungsformeln: Sternschaltung in Dreiecksschaltung
 {{youtube>AFSWn5xR8tE}}
-Anwendung der Dreieck-Stern-Umwandlung
-{{youtube>YDpNFEWkN9U}}
-{{youtube>s7NqWI_ZSt4}}
-schwierigere Aufgabe mit Stern-Dreieck-Umwandlung
+</WRAP>
+==== Dreieckschaltung ====
+Bei der Dreieckschaltung sind die 3 Widerstände $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ in einer Masche verschalten.
+Für die Widerstände zwischen den zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird die dritte ($c$) als nicht angeschlossen betrachtet. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung des direkten Dreieckswiderstands $R_{ab}^1$ mit der Reihenschaltung der anderen beiden Dreieckswiderstände $R_{ca}^1 + R_{bc}^1$:
+$R_{ab} = R_{ab}^1 || (R_{ca}^1 + R_{bc}^1) $ \\
+$R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}} =  {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} $ \\
+Gleiches gilt für die anderen Anschlüssen. Damit ergibt sich:
+\begin{align*}
+R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}}  \\
+R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}}  \\
+R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \tag{2.6.1}  \end{align*}
+==== Sternschaltung ====
+Die Widerstände zwischen den Anschlüssen müssen nun denen bei der Sternschaltung gleichen. Auch bei der Sternschaltung sind 3 Widerstände verschalten, diese aber in Sternform. Die Sternwiderstände sind also alle mit einem weiteren Knoten $0$ in der Mitte verbunden: $R_{a0}^1$, $R_{b0}^1$ und $R_{c0}^1$
+Auch hier wird vorgegangen wie bei der Dreieckschaltung: der Widerstand zwischen zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird ermittelt, der weitere Anschluss ($c$) wird als offen betrachtet. Der Widerstand des weiteren Anschlusses ($R_{c0}^1$) ist nur an einer Seite angeschlossen. Dadurch fließt durch diesen kein Strom - er ist damit nicht zu berücksichtigen. Es ergibt sich:
+\begin{align*}
+R_{ab} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1  \\
+R_{bc} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1  \\
+R_{ca} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1  \tag{2.6.2}
+\end{align*}
+Aus den Gleichungen $(2.6.1)$ und $(2.6.2)$ erhält man:
+\begin{align} R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1 \tag{2.6.3} \end{align}
+\begin{align} R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1 \tag{2.6.4} \end{align}
+\begin{align} R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1 \tag{2.6.5} \end{align}
+Die Gleichungen $(2.6.3)$ bis $(2.6.5)$ lassen sich nun so geschickt zusammenfassen, dass auf einer Seite nur noch ein Widerstand steht. \\
+Eine Variante ist die Formeln als ${{1}\over{2}} \cdot \left( (2.6.3) + (2.6.4) - (2.6.5) \right)$ bzw. ${{1}\over{2}} \cdot \left(R_{ab} + R_{bc} - R_{ca}\right)$ zu kombinieren. Damit ergibt sich $R_{b0}^1$ \\
+\begin{align*}
+{{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} + {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} - {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( R_{a0}^1 + R_{b0}^1 + R_{b0}^1 + R_{c0}^1 - R_{c0}^1 - R_{a0}^1 \right) \\
+{{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)} + {R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)} - {R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( 2 \cdot  R_{b0}^1  \right) \\
+{{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 R_{ca}^1 + R_{ab}^1 R_{bc}^1 + R_{bc}^1 R_{ab}^1 + R_{bc}^1 R_{ca}^1 - R_{ca}^1 R_{bc}^1 - R_{ca}^1 R_{ab}^1}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &=  R_{b0}^1  \\
+{{1}\over{2}} \cdot \left( {{ 2 \cdot R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &=  R_{b0}^1  \\
+{{ R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} &=  R_{b0}^1  \\
+\end{align*}
+Auf ähnlichem Weg kann man nach $R_{a0}^1$ und $R_{c0}^1$, sowie mit etwas abgewandeltem Ansatz auch auf $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ auflösen.
+==== Stern-Dreieck-Transformation ====
+<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">
+<WRAP group><WRAP column half>
+Soll von einer **Dreieckschaltung in eine Sternschaltung** umgewandelt werden, so sind die Sternwiderstände ermittelbar über:
+\begin{align*}
+    \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{an Anschluss x} \end{array} }}} &=
+ {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Produkt der} \\ \text{am Anschluss x liegenden} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}} } \over
+  { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}}}} \\
+\\
+\text{also:}\quad\quad\quad\quad\quad\quad
+R_{a0}^1 &= {{ R_{ca}^1 \cdot R_{ab}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\
+R_{b0}^1 &= {{ R_{ab}^1 \cdot R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\
+R_{c0}^1 &= {{ R_{bc}^1 \cdot R_{ca}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}}
+\end{align*}
+</WRAP><WRAP column half>
+Soll von einer **Sternschaltung in eine Dreieckschaltung** umgewandelt werden, so sind die Dreieckwiderstände ermittelbar über:
+\begin{align*}
+    \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Dreieckwiderstand} \\ \text{zwischen den} \\ \text{Anschlüssen x und y } \end{array} }}} &=
+ {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller Produkte} \\ \text{zwischen zwei} \\ \text{unterschiedlichen Sternwiderständen} \end{array} }}} } \over
+  { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{gegenüber von x und y} \end{array} }}}}} \\
+\\
+\text{also:}\quad\quad\quad\quad\quad\quad
+R_{ab}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{c0}^1}} \\
+R_{bc}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{a0}^1}} \\
+R_{ca}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{b0}^1}}
+\end{align*}
+</WRAP></WRAP>
+</callout>
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.6.1 Anwendung der Dreieck-Stern-Umwandlung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+{{youtube>YDpNFEWkN9U}}{{youtube>s7NqWI_ZSt4}}
+</WRAP></WRAP></panel>
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.6.2 schwierigere Aufgabe mit Stern-Dreieck-Umwandlung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 {{youtube>poP4a0y0oLU}}
+</WRAP></WRAP></panel>
 ===== 2.7 Gruppenschaltung von Widerständen =====
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 </callout>
-==== Video ====
+In diesem Unterkapitel wird auf eine Methodik eingegangen, welche beim Umformen von Schaltungen helfen soll. In Unterkapitel [[#2.6 Stern-Dreieck-Schaltung]] wurde gegen Ende bereits ein Netzwerk so umgeformt, dass es keine dreieckigen Maschen mehr enthält. Nun soll dieses Vorgehen systematisiert werden.
+Ausgangspunkt sind Aufgaben, bei denen für ein Widerstandsnetzwerk der Gesamtwiderstand, Gesamtstrom oder die Gesamtspannung berechnet werden muss.
+==== einfaches Beispiel ====
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr89 | Beispiel für einen Stromkreis>
+</imgcaption>
+{{drawio>BeispielStromkreis2}}
+</WRAP>
+Ein Beispiel für eine solche Schaltung ist in <imgref BildNr89> gegeben. Hier ist $I_0$ gesucht. Dieser Strom kann über die (gegebene) Spannung $U_0$ und den Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen $a$ und $b$ ermittelt werden. Gesucht ist also $R_{ab}$.
+Wie bereits in den vorherigen Unterkapitel beschrieben, können hier auch Teilschaltung schrittweise in Ersatzwiderstände umgewandelt werden. Wichtig dabei ist, dass diese Teilschaltungen zur Umwandlung in Ersatzwiderstände immer nur zwei Anschlüsse (= zwei Knoten zur "Außenwelt") haben dürfen.
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr88 | Schrittweise Lösung des Beispiels >
+</imgcaption>
+{{drawio>BeispielStromkreis2Loesung}}
+</WRAP>
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+<imgref BildNr88> zeigt die schrittweise Umwandlung der Ersatzwiderstände an diesem Beispiel. \\ Als Ergebnis des Ersatzwiderstands erhält man:
+\begin{align*}
+R_g = R_{12345} &= R_{12}||R_{345} = R_{12}||(R_3+R_{45}) =  (R_1||R_2)||(R_3+R_4||R_5) \\
+&= {{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) }\over{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} +R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}} }} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bigg\rvert \cdot{{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}\over{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}} \\
+&= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) \cdot (R_4 + R_5) } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\
+&= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 \cdot (R_4 + R_5) + R_4 \cdot R_5)  } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\
+  \end{align*}
+==== Beispiel mit Dreieck-Stern-Transformation ====
+Mit der Dreieck-Stern-Transformation lässt sich nun auch das anfängliche Beispiel umwandeln. Bei komplizierteren Schaltungen ist die wiederholte Dreieck-Stern-Transformation mit anschließendem Zusammenfassen der Widerstände sinnvoll, solange bis die entstandene Schaltung leicht mit Knoten- und Maschensatz berechenbar wird (<imgref BildNr92>). Hier wird auf eine Rechnung verzichtet - es empfiehlt sich hier mit Zwischenergebnissen für die transformierten Widerständen zu rechnen.
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr92 | Umwandlung des Beispiel-Stromkreises>
+</imgcaption>
+{{drawio>BeispielStromkreisUmgewandelt}}
+</WRAP>
+==== Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung ====
+Ein gewisser Sonderfall betrifft mögliche Symmetrien in Schaltungen. Falls dies vorhanden sind, kann eine weitere Vereinfachung vorgenommen werden.
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr40| Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung>
+</imgcaption> \\
+{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjA7CAMB00IQVhvCEAcGGYMzQjABZoUkA2EFI3AKACcQBaSS15gJgg-AkunCIGzduxZ8QXHgLBCA7s3xFelJhywrwtAEqLoysblxsJAgSSowrcJLQVqNYqZujC13Te57OZQxuMpnL0kPXwQ3dmMMTg8oq1lw-2cg5ziw1392IMjyaPTaAHNmbBA4phKiMH5aAGdOCw4LNWhojhb4kAAzAEMAGxqAUztOdrbogJdhtQam5NC3EqCStMFE4oEynLzVjPWQngmfHYWZCQn2fP8SsUXQ4-tGjeMYnjSpsdL9EQkfWvqn1QfJQdHr9Ib2YjKR7fQLzCFgbztcqnap1FhEKFNMAIyTtGRdPqDKaQ0rPCZveGvL7I-YwP7o5RGVTYqnKfGgokAD2Y5BQHFwyiYSFwklwUAM0W0tG5TF5pQ4KCFItw6hAEpAUpl+A2HAO6miKuo4El0r0An5YE4Gn5ynVms4HAAnKVHXrIC6jWATTKwAKXSKWLqXZQ7aaWNjJOQA47nRxyCHjRqw76UFVFQiRVVoqGZfyZORBRwveByOLE-bxJa2oKwEhYwQ1eXk-HPumkIz2jmRlCoyJXZGE8WpZsJGJRDizLQytczirwKrJ9PzXcjq4ZeQvnGA3XvC2u0KW-hFUh259s02ZUhCLjBSf62Wh2Go-nBeRi1UH97mMLU3KhfyS3PR9LwjLdmCIGMB0bYDvz9XBHW3IN4MHL9ZSdF0DjfKB4M9VCIAQUVLVla0-X3fCdUwjRDWg1CiDlaimCIYV5SA2i5RtcDmP5T8k38IgZ1Ufjl2kY4+IE79R1MUTwNuA4r1hESEl2RjllyCTKBWJS3CE2kVI2NT8iKPTSjU4zKmqfx5N0qzNL8HkPCCUtXgM6ShQkMonJM7YtMsn4PFlBy7h8+yeDETyji0+xcmiMKPAuHRmHwgwzggZ4LisCwUDMVBbHsJLPGizQwDcKyxCsiK7LckxVE89KtLiJlSRDKpJAoawpzUuYeHM+dtlcOIPiBL4WXa7k00kR0oEgbCCK7fBlXdXBa3lcwLyg3UoUwSQuBopMxowVMkBkSbwGYrsuGdSBWkdS0vUtOaWq4ZVVS4FC9tKOi1WgZ1cCQbMcXOjFSggPk2rFVj3t9ULIJJNpurWtoRXUc1lvUEU5sg37xQjYxVpg4xYzrUoMCrch4cfRhfu8RpSiQbwNEuFbwH7BU2H7Rmqcka1ue8uzcAwRkBaZ-m2WkkXhaF8X8gUMB+1l0KN22tlCmJwW1bVOddn1LnWioun4js+XWrZ142gNtZtc5jbacUuzWeN5nvDaxmqnzN2lfN1wZaB12S3d1xdARGLFcdNhFeyzLrBy4Yg798AfcV4rGHto37ftxnrd9rPw-uD2s7l9mY4LxFWjxYZrczlnnfLmmK7ao2vZ1pvrc5xu07arq6QUduTaZxuVWOp3AmrhQrdrnmu5tqfxYHyfOfns2peGK2qMXs3+7X809ekcvRlGWuabbwL6d1vJl83prL-755Gvn-XXCAA 1000,400 noborder}}
+</WRAP>
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+<imgref BildNr40> zeigt links ein symmetrischen Aufbau eines Netzwerks aus jeweils gleichen Widerständen $R$. Zum Verständnisgewinn ist in der Mitte in der gleichen Schaltung zusätzlich Schalter und Testpunkte (TP) verbaut, welche die Spannung gegen Masse anzeigen.
+Über die Schalter kann nachgeprüft werden, ob ein Strom fließt, falls die jeweiligen Knoten verbunden werden. In der Simulation ist zu sehen, dass dies nicht der Fall ist. Im symmetrischen Aufbau sind diese Knoten jeweils auf dem gleichen Potential.
+Damit lässt sich die Schaltung auch in die Form bringen, wie sie in <imgref BildNr40> rechts zu sehen ist. Diese Schaltung ist wiederum leicht berechenbar:
+\begin{align*}
+R_g = R || R + R || R || R || R + R || R || R || R + R || R = {{1}\over{2}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{2}}\cdot R = 1,5\cdot R
+  \end{align*}
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.1 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung I "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 {{youtube>8nhzwwRYaUI}}
-Vereinfachen von Gruppenschaltungen
+</WRAP></WRAP></panel>
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.2 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung II + III "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 {{youtube>QqUQF3ky7gk}}
 {{youtube>UmvFJbS21co}}
-Beispiel für die Berechnung
+</WRAP></WRAP></panel>
-{{youtube>SzXWWrPRsDU}}
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.3 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung IV "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-Lösungen bei Symmetrie in der Schaltung
+{{youtube>SzXWWrPRsDU}}
-{{youtube>MhaO6kiB4dk}}
-===== 2.8 Beliebige Gleichstromkreise =====
+</WRAP></WRAP></panel>
-<callout>
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.4 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung IV "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-=== Ziele ===
+{{youtube>MhaO6kiB4dk}}
-Nach dieser Lektion sollten Sie:
+</WRAP></WRAP></panel>
-  -
-</callout>
-==== Video ====
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.5 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung V "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-Übungsaufgaben 1/2
+{{youtube>9eIRRUNba4A}}
-{{youtube>gkJfKFuuyr8}}
-Übungsaufgaben 2/2
+</WRAP></WRAP></panel>
-{{youtube>ueKmNw2dtlI}}
-Übungsaufgaben 2
-{{youtube>9eIRRUNba4A}}
-Übungsaufgabe 3
+<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.6 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung VI "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 {{youtube>glzTvhIW-nk}}
+</WRAP></WRAP></panel>
-----
+{{page>aufgabe_2.7.7_mit_Rechnung&nofooter}}
+{{page>aufgabe_2.7.8_mit_Rechnung&nofooter}}
+{{page>aufgabe_2.7.9&nofooter}}
+{{page>aufgabe_2.7.10&nofooter}}
-===== 2.9 Weiterführende Tipps =====
-Vergleich der Elektrik mit der Fluidmechanik
+<panel type="info" title="weitere Aufgaben "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
-{{youtube>6Dlva2_XOvI}}
+Weitere Aufgaben sind Online auf den Seiten von [[https://www.eit.hs-karlsruhe.de/hertz/teil-b-gleichstromtechnik/zusammenschaltung-von-widerstaenden-und-idealen-quellen/uebungsaufgaben-zusammenschaltung-von-widerstaenden/berechnung-von-ersatzwiderstaenden.html|HErTZ]] zu finden (Auswahl links im Menu).
+</WRAP></WRAP></panel>