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elektrotechnik_1:einfache_gleichstromkreise [2020/11/01 21:05]
tfischer [2.5 unbelasteter und belasteter Spannungsteiler] |
elektrotechnik_1:einfache_gleichstromkreise [2023/09/19 22:28] (aktuell)
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| ====== 2. Einfache Gleichstromkreise ====== | ====== 2 Einfache Gleichstromkreise ====== |
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| <imgcaption BildNr5 | Beispiel einer Schaltung> | <imgcaption BildNr5 | Beispiel einer Schaltung> |
| </imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
| {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BWcMBMcUHYMGZIA4UA2ATmIxEJRCQBZsAoAJxDqsJvA0JGO8hBRpITTt14hsacMSr9Mw5pP5gZEwnnA0OyhHBGsKHGuJQI+LDHubHup7kumyQBKxKkqqNMPfVRwQhRYTMxZvNQ1+dUCUGmVVbzlYvzAAkQcPASTsbHMzVxj+bO4vHwiLEQKJHP8NTCcweHoANxqBDCowLh5zfiT+JH4YMARiYeM6SBl6AGUBPFr8TLlF5RAAMwBDABsAZwBTPxR6AHc5hY101WikwQ4EtqdsYmFT+8qU2vaoE-BCOS+Pg9vgAPAQjaQQTBIFRGTIgab0UHYGjkFIQbAIDQpWFSI5Ip7gFISFGE2gSfgASXo2Es4U0HGweDuKCxfheEiZrQM7BBbTuxFqeCQaAgHHc9CAA 600,500 noborder}} | {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BWcMBMcUHYMGZIA4UA2ATmIxEJRCQBZsAoAJxDqsJvA0JGO8hBRpITTt14hsacMSr9Mw5pP5gZEwnnA0OyhHBGsKHGuJQI+LDHubHup7kumyQBKxKkqqNMPfVRwQhRYTMxZvNQ1+dUCUGmVVbzlYvzAAkQcPASTsbHMzVxj+bO4vHwiLEQKJHP8NTCcweHoANxqBDCowLh5zfiT+JH4YMARiYeM6SBl6AGUBPFr8TLlF5RAAMwBDABsAZwBTPxR6AHc5hY101WikwQ4EtqdsYmFT+8qU2vaoE-BCOS+Pg9vgAPAQjaQQTBIFRGTIgab0UHYGjkFIQbAIDQpWFSI5Ip7gFISFGE2gSfgASXo2Es4U0HGweDuKCxfheEiZrQM7BBbTuxFqeCQaAgHHc9CAA 600,500 noborder}} |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 2.1.1 Zweige und Knoten"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Aufgabe 2.3.1 Zweige und Knoten"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
| <WRAP right> | <WRAP right> |
| <imgcaption BildNr70 | Zweige und Knoten> | <imgcaption BildNr70 | Zweige und Knoten> |
| </WRAP></WRAP></panel> | </WRAP></WRAP></panel> |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 2.1.2 Vereinfachungen von Schaltungen"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Aufgabe 2.3.2 Vereinfachungen von Schaltungen"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
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| <imgcaption BildNr71 | Zweige und Knoten> | <imgcaption BildNr71 | Zweige und Knoten> |
| Aus dem Knotensatz lässt sich der Gesamtwiderstand für parallel geschaltete Widerstände herleiten (<imgref BildNr11>): | Aus dem Knotensatz lässt sich der Gesamtwiderstand für parallel geschaltete Widerstände herleiten (<imgref BildNr11>): |
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| Da an allen Widerständen die gleiche Spannung $U_{ab}$ abfällt, gilt mit dem Maschensatz: | Da an allen Widerständen die gleiche Spannung $U_{ab}$ abfällt, gilt mit dem Knotensatz: |
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| $\large{{U_{ab}}\over{R_1}}+ {{U_{ab}}\over{R_2}}+ ... + {{U_{ab}}\over{R_n}}= {{U_{ab}}\over{R_{ersatz}}}$ | $\large{{U_{ab}}\over{R_1}}+ {{U_{ab}}\over{R_2}}+ ... + {{U_{ab}}\over{R_n}}= {{U_{ab}}\over{R_{ersatz}}}$ |
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| Bei parallel geschalteten Widerständen ergibt sich also der Leitwert $G_{ersatz}$ als Summe der Einzelleitwerte: $G_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} {G_x}$ | Bei parallel geschalteten Widerständen ergibt sich also der Leitwert $G_{ersatz}$ als Summe der Einzelleitwerte: $G_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} {G_x}$ |
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| | __Allgemein gilt__: Der Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Widerstand. |
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| Speziell für zwei parallele Widerstände $R_1$ und $R_2$ gilt: $R_{ersatz}= \large{{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}}$ | Speziell für zwei parallele Widerstände $R_1$ und $R_2$ gilt: $R_{ersatz}= \large{{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}}$ |
| <imgcaption BildNr85| Stromteiler> | <imgcaption BildNr85| Stromteiler> |
| </imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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| </WRAP> | </WRAP> |
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| $R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} R_x $ | $R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} R_x $ |
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| | __Allgemein gilt__: Der Ersatzwiderstand einer Reihenschaltung ist stets größer als der größte Widerstand. |
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| <imgcaption BildNr81| unbelasteter Spannungsteiler> | <imgcaption BildNr81| unbelasteter Spannungsteiler> |
| </imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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| </WRAP> | </WRAP> |
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| <imgcaption BildNr82| belasteter Spannungsteiler> | <imgcaption BildNr82| belasteter Spannungsteiler> |
| </imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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| <imgcaption BildNr83| Simulation für Motoraufbau> | <imgcaption BildNr83| Simulation für Motoraufbau> |
| </imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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| </WRAP> | </WRAP> |
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| <imgcaption BildNr17| Umwandlung Parallelschaltung in Reihenschaltung> | <imgcaption BildNr17| Umwandlung Parallelschaltung in Reihenschaltung> |
| </imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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| </WRAP> | </WRAP> |
| </callout> | </callout> |
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| Zu Beginn des Kapitels wurde ein Beispiel eines Netzwerks gezeigt (<imgref BildNr91>). Dabei kommt man aber mit dem Knoten- und Maschensatz nicht unmittelbar zur Lösung. Jedoch ist nach sichtbar, dass dort viele dreieckförmige Maschen vorhanden sind (<imgref BildNr98>). Auf diese soll nun tiefer eingegangen werden. | Zu Beginn des Kapitels wurde ein Beispiel eines Netzwerks gezeigt (<imgref BildNr91>). Dabei kommt man aber mit dem Knoten- und Maschensatz nicht unmittelbar zur Lösung. Jedoch ist nach sichtbar, dass dort viele dreieckförmige Maschen bzw. sternförmige Knoten vorhanden sind (<imgref BildNr98>). Auf diese soll nun tiefer eingegangen werden. |
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| Dazu zunächst ein Resume aus den bisherigen Erkenntnissen. Über den Knoten- und Maschensatz wurde klar, dass sowohl aus einer Reihen-, als auch aus einer Parallelschaltung ein Ersatzwiderstand ermittelt werden kann. Betrachtet man den Ersatzwiderstand als eine Blackbox - d.h. der innere Ausbau ist unbekannt - so könnte dieser also durch beide Schaltungsarten interpretiert werden (<imgref BildNr17>). | Dazu zunächst ein Resume aus den bisherigen Erkenntnissen. Über den Knoten- und Maschensatz wurde klar, dass sowohl aus einer Reihen-, als auch aus einer Parallelschaltung ein Ersatzwiderstand ermittelt werden kann. Betrachtet man den Ersatzwiderstand als eine Blackbox - d.h. der innere Ausbau ist unbekannt - so könnte dieser also durch beide Schaltungsarten interpretiert werden (<imgref BildNr17>). |
| Wie hilft uns das nun im Falle einer dreieckförmigen Masche? | Wie hilft uns das nun im Falle einer dreieckförmigen Masche? |
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| Auch in für diesen Fall kann man eine Blackbox bereitstellen. Diese müsste sich aber immer gleich verhalten, wie die dreieckförmige Masche, also beliebige, angelegte Spannungen sollten gleiche Ströme erzeugen. \\ | Auch in diesen Fall kann man eine Blackbox bereitstellen. Diese müsste sich aber immer gleich verhalten, wie die dreieckförmige Masche, also beliebige, angelegte Spannungen sollten gleiche Ströme erzeugen. \\ |
| Anders gesagt: Die zwischen zwei Klemmen messbaren Widerständen müssen für beide Schaltungen identisch sein. | Anders gesagt: Die zwischen zwei Klemmen messbaren Widerständen müssen für beide Schaltungen identisch sein. |
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| <imgcaption BildNr18| Stern-Dreieck-Transformation> | <imgcaption BildNr18| Stern-Dreieck-Transformation> |
| </imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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| \\ \\ | \\ \\ |
| Berechung der Umformungsformeln: Sternschaltung in Dreiecksschaltung | Berechung der Umformungsformeln: Sternschaltung in Dreiecksschaltung |
| Bei der Dreieckschaltung sind die 3 Widerstände $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ in einer Masche verschalten. | Bei der Dreieckschaltung sind die 3 Widerstände $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ in einer Masche verschalten. |
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| Für die Widerstände zwischen den zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird die dritte ($c$) als nicht angeschlossen betrachtet. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung des direkten Sternwiderstands $R_{ab}^1$ mit der Reihenschaltung der anderen beiden Sternwiderstände $R_{ca}^1 + R_{bc}^1$: | Für die Widerstände zwischen den zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird die dritte ($c$) als nicht angeschlossen betrachtet. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung des direkten Dreieckswiderstands $R_{ab}^1$ mit der Reihenschaltung der anderen beiden Dreieckswiderstände $R_{ca}^1 + R_{bc}^1$: |
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| $R_{ab} = R_{ab}^1 || (R_{ca}^1 + R_{bc}^1) $ \\ | $R_{ab} = R_{ab}^1 || (R_{ca}^1 + R_{bc}^1) $ \\ |
| \begin{align*} | \begin{align*} |
| \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{an Anschluss x} \end{array} }}} &= | \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{an Anschluss x} \end{array} }}} &= |
| {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Produkt der nicht } \\ \text{am Anschluss x liegenden} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}} } \over | {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Produkt der} \\ \text{am Anschluss x liegenden} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}} } \over |
| { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}}}} \\ | { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}}}} \\ |
| \\ | \\ |
| \text{also:}\quad\quad\quad\quad\quad\quad | \text{also:}\quad\quad\quad\quad\quad\quad |
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| R_{a0}^1 &= {{ R_{bc}^1 \cdot R_{ca}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ | R_{a0}^1 &= {{ R_{ca}^1 \cdot R_{ab}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ |
| R_{b0}^1 &= {{ R_{ca}^1 \cdot R_{ab}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ | R_{b0}^1 &= {{ R_{ab}^1 \cdot R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ |
| R_{c0}^1 &= {{ R_{ab}^1 \cdot R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} | R_{c0}^1 &= {{ R_{bc}^1 \cdot R_{ca}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} |
| \end{align*} | \end{align*} |
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| ==== Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung ==== | ==== Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung ==== |
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| Ein gewisser Sonderfall betrifft mögliche Symmetrien in Schaltungen. Falls dies3 vorhanden sind, kann eine weitere Vereinfachung vorgenommen werden. | Ein gewisser Sonderfall betrifft mögliche Symmetrien in Schaltungen. Falls dies vorhanden sind, kann eine weitere Vereinfachung vorgenommen werden. |
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| <WRAP right> | <WRAP right> |
| <imgcaption BildNr40| Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung> | <imgcaption BildNr40| Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung> |
| </imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 2.7.4 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung VI "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Aufgabe 2.7.6 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung VI "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
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| <panel type="info" title="weitere Aufgaben "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="weitere Aufgaben "> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
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| Weitere Anfgaben sind Online auf den Seiten von [[https://www.eit.hs-karlsruhe.de/hertz/teil-b-gleichstromtechnik/zusammenschaltung-von-widerstaenden-und-idealen-quellen/uebungsaufgaben-zusammenschaltung-von-widerstaenden/berechnung-von-ersatzwiderstaenden.html|HErTZ]] zu finden (Auswahl links im Menu). | Weitere Aufgaben sind Online auf den Seiten von [[https://www.eit.hs-karlsruhe.de/hertz/teil-b-gleichstromtechnik/zusammenschaltung-von-widerstaenden-und-idealen-quellen/uebungsaufgaben-zusammenschaltung-von-widerstaenden/berechnung-von-ersatzwiderstaenden.html|HErTZ]] zu finden (Auswahl links im Menu). |
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