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elektrotechnik_1:lineare_quellen_und_zweipole [2020/11/02 02:19] tfischer |
elektrotechnik_1:lineare_quellen_und_zweipole [2023/09/19 22:28] mexleadmin |
====== 3. Lineare Quellen und Zweipole ====== | ====== 3 Lineare Quellen und Zweipole ====== |
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<callout> | <callout> |
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==== Ziele ==== | === Ziele === |
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Nach dieser Lektion sollten Sie: | Nach dieser Lektion sollten Sie: |
<imgcaption BildNr2 | Batteriemodell mit Lastwiderstand> | <imgcaption BildNr2 | Batteriemodell mit Lastwiderstand> |
</imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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</WRAP> | </WRAP> |
<imgcaption BildNr4 | Ersatzschaltbilder von linearen Quellen> | <imgcaption BildNr4 | Ersatzschaltbilder von linearen Quellen> |
</imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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</WRAP> | </WRAP> |
Wie sieht nun das Innere der linearen Quelle aus? In <imgref BildNr4> sind zwei mögliche, lineare Quellen dargestellt, die im Folgenden betrachtet werden. | Wie sieht nun das Innere der linearen Quelle aus? In <imgref BildNr4> sind zwei mögliche, lineare Quellen dargestellt, die im Folgenden betrachtet werden. |
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==== lineare Spannungsquelle ==== | ==== Lineare Spannungsquelle ==== |
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Die lineare Spannungsquelle besteht aus einer Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellspannung $U_0$ (englisch: EMF für Elektro-Magnetic-Force) und dem Innenwiderstand $R_i$. | Die lineare Spannungsquelle besteht aus einer Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellspannung $U_0$ (englisch: EMF für ElektroMotive Force) und dem Innenwiderstand $R_i$. |
Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Spannungsteiler betrachten. Dabei gilt: | Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Spannungsteiler betrachten. Dabei gilt: |
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Ist das also der gesuchte Aufbau der linearen Quelle? Zur Überprüfung soll nun noch die zweite lineare Quelle betrachtet werden. | Ist das also der gesuchte Aufbau der linearen Quelle? Zur Überprüfung soll nun noch die zweite lineare Quelle betrachtet werden. |
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==== lineare Stromquelle ==== | ==== Lineare Stromquelle ==== |
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Die lineare Stromquelle besteht nun aus einer __Parallelschaltung__ einer idealen Stromquelle mit dem Quellstrom $I_0$ und dem Innenwiderstand $R_i$, bzw. dem Innenleitwert $G_i = {{1}\over{R_i}}$. Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Stromteiler betrachten. Dabei gilt: | Die lineare Stromquelle besteht nun aus einer __Parallelschaltung__ einer idealen Stromquelle mit dem Quellstrom $I_0$ und dem Innenwiderstand $R_i$, bzw. dem Innenleitwert $G_i = {{1}\over{R_i}}$. Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Stromteiler betrachten. Dabei gilt: |
<imgcaption BildNr5 | Kennlinien der Quelle und des Verbrauchers> | <imgcaption BildNr5 | Kennlinien der Quelle und des Verbrauchers> |
</imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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</WRAP> | </WRAP> |
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<panel type="info" title="Aufgabe 3.1.1 Stromquelle in Spannungsquelle umwandeln"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Aufgabe 3.1.1 Stromquelle in Spannungsquelle umwandeln"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
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</WRAP></WRAP></panel> | </WRAP></WRAP></panel> |
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| {{page>aufgabe_3.1.3_mit_rechnung&nofooter}} |
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===== 3.2 Umwandlung beliebiger linearer Zweipole ===== | ===== 3.2 Umwandlung beliebiger linearer Zweipole ===== |
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<callout> | <callout> |
==== Ziele ==== | === Ziele === |
Nach dieser Lektion sollten Sie: | Nach dieser Lektion sollten Sie: |
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<imgcaption BildNr7 | Widerstand von linearen Quellen> | <imgcaption BildNr7 | Widerstand von linearen Quellen> |
</imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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</WRAP> | </WRAP> |
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</callout> | </callout> |
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=== komplexeres Beispiel === | ==== Komplexeres Beispiel ==== |
<WRAP right> | <WRAP right> |
<imgcaption BildNr9 | Schaltung mit mehreren Quellen> | <imgcaption BildNr9 | Schaltung mit mehreren Quellen> |
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=== vereinfachte Ermittlung des Innenwiderstands === | |
| <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> |
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| <WRAP right> |
| <imgcaption BildNr63 | Ersatzspannungs- und -stromquelle> |
| </imgcaption> \\ |
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| </WRAP> |
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| Jede beliebige Zusammenschaltung von __linearen__ Spannungsquellen, Stromquellen und __ohmschen__ Widerständen lässt sich |
| * als eine einzelne, lineare Spannungsquelle \\ ({{wpde>Thévenin-Theorem}}) oder |
| * als eine einzelne, lineare Stromquelle \\ ({{wpde>Norton-Theorem}}) |
| darstellen. |
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| In <imgref BildNr63> ist zu sehen, dass die drei Schaltungen bei gleicher Last das gleiche Resultat (Spannung / Strom) liefern. Dies gilt auch, wenn statt der Last eine (Wechselspannungs)Quelle genutzt wird. |
| </callout> |
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| ==== Vereinfachte Ermittlung des Innenwiderstands ==== |
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<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> | <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> |
Damit kann auch der Ersatzwiderstand der obigen komplexen Schaltung schnell hergeleitet werden. \\ | Damit kann auch der Ersatzwiderstand der obigen komplexen Schaltung schnell hergeleitet werden. \\ |
Für den Quellstrom $I_0$ ideale Ersatzstromquelle bzw. der Quellspannung $U_0$ ideale Ersatzspannungsquelle kann diese Herleitung nicht genutzt werden. | Für den Quellstrom $I_0$ ideale Ersatzstromquelle bzw. der Quellspannung $U_0$ ideale Ersatzspannungsquelle kann diese Herleitung nicht genutzt werden. |
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| Der Grund, dass der Innenwiderstand in dieser einfachen Weise ermittelt werden kann, wird im nächsten Kapitel [[analyse_von_gleichstromnetzen#ueberlagerungsverfahrensuperpositionsprinzip|Analyse von Gleichstromnetzen: Überlagerungsverfahren]] erklärt. |
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<WRAP right> | <WRAP right> |
{{drawio>VereinfachteErmittlungDesInnenwiderstands}} | {{drawio>VereinfachteErmittlungDesInnenwiderstands}} |
</WRAP> | </WRAP> |
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<callout> | <callout> |
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==== Ziele ==== | === Ziele === |
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Nach dieser Lektion sollten Sie: | Nach dieser Lektion sollten Sie: |
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</callout> | </callout> |
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Leistung und Wirkungsgrad wurden bereits im [[grundlagen_und_grundbegriffe#leistung_und_wirkungsgrad|1. Kapitel]] und [[einfache_gleichstromkreise#erzeuger-_und_verbraucher_bezugs_pfeilsysteme|2. Kapitel]] für einen einfachen Gleichstrom-Stromkreis betrachtet. Im Folgenden soll dies nochmals mit den Kenntnissen der Zweipole analysiert werden. | Leistung und Wirkungsgrad wurden bereits im [[grundlagen_und_grundbegriffe#leistung_und_wirkungsgrad|1. Kapitel]] und [[einfache_gleichstromkreise#erzeuger-_und_verbraucher_bezugs_pfeilsysteme|2. Kapitel]] für einen einfachen Gleichstrom-Stromkreis betrachtet. Im Folgenden soll dies nochmals mit den Kenntnissen der Zweipole analysiert werden. |
Gerade für die Bereiche der Nachrichten- und Energietechnik ist dies wichtig. Die Ziele sind dabei unterschiedlich: | Gerade für die Bereiche der Nachrichten- und Energietechnik ist dies wichtig. Die Ziele sind dabei unterschiedlich: |
- In Energietechnik ist die Leistungsübertragung das Ziel. Die Leistung soll damit möglichst ohne Verluste abgegeben werden. | - In __Energietechnik__ ist die Leistungsübertragung das Ziel. Die Leistung soll damit möglichst ohne Verluste abgegeben werden. |
- In Nachrichtentechnik ist die Informationsübertragung im Fokus. Damit z.B. aus einer Antenne das bestmögliche Signal entnommen werden kann, muss hier die maximale Leistung entnommen werden. | - In __Nachrichtentechnik__ ist die Informationsübertragung im Fokus. Damit z.B. aus einer Antenne das bestmögliche Signal entnommen werden kann, muss hier die maximale Leistung entnommen werden. |
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Diese beiden Ziele scheinen zunächst das ähnlich zu klingen, sind aber deutlich zu unterscheiden, wie gleich zu sehen sein wird. | Diese beiden Ziele scheinen zunächst das ähnlich zu klingen, sind aber deutlich zu unterscheiden, wie gleich zu sehen sein wird. |
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| ==== Leistung und Bezugsgrößen im Diagramm ==== |
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<imgcaption BildNr13 | Leistungsanpassung> | <imgcaption BildNr13 | Leistungsanpassung> |
</imgcaption> \\ | </imgcaption> \\ |
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</WRAP> | </WRAP> |
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* Diagramm oben: Strom-Spannungs-Diagramm der linearen Spannungsquelle. | * Diagramm oben: Strom-Spannungs-Diagramm der linearen Spannungsquelle. |
* Diagramm mittig: Quellenleistung $P_Q$ und Verbraucherleistung $P_L$ über abgegebene Spannung $U_L$ | * Diagramm mittig: Quellenleistung $P_Q$ und Verbraucherleistung $P_L$ über abgegebene Spannung $U_L$ |
* Diagramm unten: Wirkungsgrad über abgegebene Spannung $U_L$ | * Diagramm unten: Bezugsgrößen über abgegebene Spannung $U_L$ |
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Die beiden Leistungen sind wie folgt definiert: | Die beiden Leistungen sind wie folgt definiert: |
- Wird der Verbraucherwiderstand hochohmig $R_L\rightarrow\infty$, so fließt zwar immer weniger Strom, aber immer mehr Spannung fällt am Verbraucher ab. Damit steigt der Wirkungsgrad und nähert sich $100\%$ für $R_L\rightarrow\infty$. | - Wird der Verbraucherwiderstand hochohmig $R_L\rightarrow\infty$, so fließt zwar immer weniger Strom, aber immer mehr Spannung fällt am Verbraucher ab. Damit steigt der Wirkungsgrad und nähert sich $100\%$ für $R_L\rightarrow\infty$. |
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Der ganze Zusammenhang kann in einer [[https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0mQrFaB2AzADgJwIGyU1qpDvBPOiIgCyoBQAbiALSY4gBMVkzr4VVUQV0qDuMeLQDuIKhTD8QveQMi0ATorbLwePivBxV09pDkLO3bao2oT4ZG1vcLgsHCkgnHZOw6nvvkY6zj46AVAeLGzsoVEcwtYc6GYCLlZIhmC07GC+NL44AvwUYp5+hnAAVAAUAIZMAEYAlDUNTADGTR4uhTK2IL1BXtoYAlYeXjG+o+FB+Rycfb65JbQA5pTsFLzwW+C5ESbImxS9uxSyMiAACgD6ADLdwmAHaQpBPanPB0PoArwzcbSebsRYg0KqBrMFb7ZbITAcAgRKEmCj9eCYCBgQa0AAeCwMyxwWIQVzAFAAygAHWoAO1pAFdaWsAM4ARwZAFMADbczl4hapbjwSDHdioMkUe6cgCWLIALkzWQBbTksllKgA6LNqyu1ADVOWoGmpagz2gALI3dfzabGWd42ihTYKzWhUzx-PSe1KhCBiCZ2EZBhwRVDIbhEMYKYYKf0RaSTYSTCETL28ea8X6+vL9F2qfGgkDoNihrCSkDcmW0zm1NT8-E4aLEEDIZ34CsAVQF6F8OV8yQ4YGo4ECApeYz97C0yBH5JAACVx0R7HJ+uSIGNfDKBVtoi9Ec75BWl-iiM5sZ4WzkEVuQI9Cxj9tFkFiwLfwBRT94JblnOgsXFMlfApbpBxGSBoxUAVUCfXtPFfYs5wobsz0QksEIRcs71A-EuGOd8LjACUTE3Ud7xgzBfyomRSXfNgxhQmC3FHaZL1yOdfAfK9f0vIg5HfCsAEk0wEOJ5jiVRw24Jh13eb14wLQVoVCeAcF8JhsQ-edpTlRVmRZVV1S1HVaW1AATI1tWqGVLNqPlaSabUAEUuV5fkUX8TTdAxCAmD2VQjhOaE9nOaEFAEO5nPWYK4jCph0ADaRLxdS8mBxaRZI0gEvUkyJEpCi5+k0gLsgOCSYWKaFMECMoTAqSAanqZomo6LoNCy70EodfQYEySIlAUbrvSCYaSooYagWYOSxOKrMPBS2JeHzDwJN6NKMtcCKUkOA4cFiF4CkHTTQ2cEAGgAejqTUqT6sAug2BwJoKp7mEuIJ4phfaNJhIJvsKgYDp+Dwwt6f7NvBgR-uGwLRVbHAJsO1tcqRgROXlWpaChQoZPtVtMARfzVkbKg-LAdDUDJhGKwAdRlNQAGslRZNZTUstRlRleV5W5JVaAAezKQYZGxPJoAJiXJalzBOW88BZfJwRpk8AXWyxIR8BKaB1MQGB1d8RC6EF3ZwA1pFdegCA+3AXXaAwK5LDgWinfuWoFUkWyjQVOlzO1BcHloIA|ausführlichen Simulation]] nochmals analysiert werden. | Der ganze Zusammenhang kann in einer [[https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0mQrFaB2AzADgJwIGyU1qpDvBPOiIgCyoBQAbiALSY4gBMVkzr4VVUQV0qDuMeLQDuIKhTD8QveQMi0ATorbLwePivBxV09pDkLO3bao2oT4ZG1vcLgsHCkgnHZOw6nvvkY6zj46AVAeLGzsoVEcwtYc6GYCLlZIhmC07GC+NL44AvwUYp5+hnAAVAAUAIZMAEYAlDUNTADGTR4uhTK2IL1BXtoYAlYeXjG+o+FB+Rycfb65JbQA5pTsFLzwW+C5ESbImxS9uxSyMiAACgD6ADLdwmAHaQpBPanPB0PoArwzcbSebsRYg0KqBrMFb7ZbITAcAgRKEmCj9eCYCBgQa0AAeCwMyxwWIQVzAFAAygAHWoAO1pAFdaWsAM4ARwZAFMADbczl4hapbjwSDHdioMkUe6cgCWLIALkzWQBbTksllKgA6LNqyu1ADVOWoGmpagz2gALI3dfzabGWd42ihTYKzWhUzx-PSe1KhCBiCZ2EZBhwRVDIbhEMYKYYKf0RaSTYSTCETL28ea8X6+vL9F2qfGgkDoNihrCSkDcmW0zm1NT8-E4aLEEDIZ34CsAVQF6F8OV8yQ4YGo4ECApeYz97C0yBH5JAACVx0R7HJ+uSIGNfDKBVtoi9Ec75BWl-iiM5sZ4WzkEVuQI9Cxj9tFkFiwLfwBRT94JblnOgsXFMlfApbpBxGSBoxUAVUCfXtPFfYs5wobsz0QksEIRcs71A-EuGOd8LjACUTE3Ud7xgzBfyomRSXfNgxhQmC3FHaZL1yOdfAfK9f0vIg5HfCsAEk0wEOJ5jiVRw24Jh13eb14wLQVoVCeAcF8JhsQ-edpTlRVmRZVV1S1HVaW1AATI1tWqGVLNqPlaSabUAEUuV5fkUX8TTdAxCAmD2VQjhOaE9nOaEFAEO5nPWYK4jCph0ADaRLxdS8mBxaRZI0gEvUkyJEpCi5+k0gLsgOCSYWKaFMECMoTAqSAanqZomo6LoNCy70EodfQYEySIlAUbrvSCYaSooYagWYOSxOKrMPBS2JeHzDwJN6NKMtcCKUkOA4cFiF4CkHTTQ2cEAGgAejqTUqT6sAug2BwJoKp7mEuIJ4phfaNJhIJvsKgYDp+Dwwt6f7NvBgR-uGwLRVbHAJsO1tcqRgROXlWpaChQoZPtVtMARfzVkbKg-LAdDUDJhGKwAdRlNQAGslRZNZTUstRlRleV5W5JVaAAezKQYZGxPJoAJiXJalzBOW88BZfJwRpk8AXWyxIR8BKaB1MQGB1d8RC6EF3ZwA1pFdegCA+3AXXaAwK5LDgWinfuWoFUkWyjQVOlzO1BcHloIA|ausführlichen Simulation]] nochmals analysiert werden. |
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In der Energietechnik ist eine Situation nahe an (1.) gewünscht: Maximale Leistungsabgabe bei geringsten Verlusten am Innenwiderstand der Quelle. Der Innenwiderstand der Quelle sollte also im Vergleich zum Verbraucher niedrig sein $R_L \gg R_i $. Der Wirkungsgrad soll gegen $100\%$ gehen und lässt sich folgendermaßen berechnen: | ==== Die Bezugsgrößen Wirkungsgrad und Ausnutzungsgrad ==== |
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\begin{align*}\eta &= {{P_{ab}}\over{P_{zu}}} = {{R_L\cdot I_L^2}\over{(R_L+R_i) \cdot I_L^2}} \\ | Um das untere Diagramm in <imgref BildNr14> zu verstehen, sollen hier nochmals die Definitionsgleichungen der beiden Bezugsgrößen beschrieben werden: |
\boxed{ \eta &= {{R_L}\over{R_L+R_i}} } | |
| Der **Wirkungsgrad** $\eta$ beschreibt die abgegebene Leistung (Verbraucherleistung) in Verhältnis zur zugeführten Leistung (Leistung der idealen Quelle): |
| \begin{align*}\eta = {{P_{ab}}\over{P_{zu}}} = {{R_L\cdot I_L^2}\over{(R_L+R_i) \cdot I_L^2}} |
| \quad \Rightarrow \quad \boxed{ \eta = {{R_L}\over{R_L+R_i}} } |
\end{align*} | \end{align*} |
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In der Nachrichtentechnik ist eine Situation eine andere und entspricht der Situation (2.): Es soll die maximale Leistung aus der Quelle entnommen werden, ohne Rücksicht auf die Verluste über den Innenwiderstand. Dazu wird der Innenwiderstand der Quelle (z.B. eines Empfängers) und des Verbrauchers (z.B. der nachgelagerten Auswertung) aufeinander abgestimmt. Dieser Fall wird **{{wpde>Leistungsanpassung| Leistungsanpassung oder Widerstandsanpassung}}** genannt. | Der **Ausnutzungsgrad** $\varepsilon$ beschreibt die abgegebene Leistung in Verhältnis zur maximal möglichen Leistung der idealen Quelle. Dabei wird nicht (wie beim Wirkungsgrad) von der aktuell zugeführten Leistung ausgegangen, sondern von der bestmöglichen Leistung der idealen Quelle, d.h. im Kurzschlussfall: |
| \begin{align*}\varepsilon = {{P_{ab}}\over{P_{zu,max}}} = {{R_L\cdot I_L^2}\over{{U_0^2}\over{R_i}}} = {{R_L\cdot R_i \cdot I_L^2} \over {U_0^2}} = {{R_L\cdot R_i \cdot \left({{U_0}\over{R_L+R_i}}\right)^2} \over {U_0^2}} |
~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | \quad \Rightarrow \quad \boxed{\varepsilon = {{R_L\cdot R_i } \over {(R_L+R_i)^2}} = {{R_L} \over {(R_L+R_i)}}\cdot {{R_i} \over {(R_L+R_i)}}} |
| \end{align*} |
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==== Video ==== | |
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Erklärung der Leistungsanpassung | In der __Energietechnik__ ist eine Situation nahe an (1.) in <imgref BildNr14> gewünscht: Maximale Leistungsabgabe bei geringsten Verlusten am Innenwiderstand der Quelle. Der Innenwiderstand der Quelle sollte also im Vergleich zum Verbraucher niedrig sein $R_L \gg R_i $. Der Wirkungsgrad soll gegen $\eta \rightarrow 100\%$ gehen. |
{{youtube>BJLlXUD6CsM}} | |
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| In der __Nachrichtentechnik__ ist eine Situation eine andere und entspricht der Situation (2.): Es soll die maximale Leistung aus der Quelle entnommen werden, ohne Rücksicht auf die Verluste über den Innenwiderstand. Dazu wird der Innenwiderstand der Quelle (z.B. eines Empfängers) und des Verbrauchers (z.B. der nachgelagerten Auswertung) aufeinander abgestimmt. Dieser Fall wird **{{wpde>Leistungsanpassung| Leistungsanpassung oder Widerstandsanpassung}}** genannt. Der Ausnutzungsgrad wird hier maximal: $\varepsilon = 25\%$ |
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| Die Leistungsanpassung ist wird auch [[https://www.youtube.com/watch?v=BJLlXUD6CsM|hier]] nochmals in einem Video erklärt. |