DW EditSeite anzeigenÄltere VersionenLinks hierherAlles aus-/einklappenNach oben Diese Seite ist nicht editierbar. Sie können den Quelltext sehen, jedoch nicht verändern. Kontaktieren Sie den Administrator, wenn Sie glauben, dass hier ein Fehler vorliegt. CKG Editor ====== 3. Lineare Quellen und Zweipole ====== Aus dem Alltag ist bekannt, dass Batteriespannungen bei starker Belastung einbrechen. Dies zeigt sich zum Beispiel bei beim Drehen des Zündschlüssels im Winter: Die Belastung durch den Startermotor ist teilweise so groß, dass das Abblendlicht oder Radio kurzzeitig aussetzt. \\ Ein anderes Beispiel sind $1,5V$-Batterien: Wird eine solche Batterie durch ein Drahtstück kurzgeschlossen so fließt nicht soviel Strom, dass das Drahtstück glüht, sondern merklich weniger. Es ist also sinnvoll hier das Konzept der idealen Spannungsquelle weiter zu entwickeln. Zusätzlich werden wir sehen, dass damit auch eine Möglichkeit eröffnet wird, kompliziertere Schaltungen umzuwandeln und zu vereinfachen. <WRAP right> <imgcaption BildNr1 | passiver Zweipol> </imgcaption> {{drawio>PassiverZweipol}} </WRAP> Zunächst soll der Begriff des Zweipols aus dem Kapitel [[grundlagen_und_grundbegriffe?#widerstand_und_leitwert|Grundlagen und Grundbegriffe]] erweitert werden (<imgref BildNr1>). - Als **passiver Zweipol** wird im Folgenden ein Zweipol bezeichnet, welcher ausschließlich als Verbraucher wirkt. Damit gilt für den passiven Zweipol, dass die Strom-Spannungs-Kennlinie immer durch den Ursprung verläuft (siehe auch Kapiel [[einfache_gleichstromkreise#verbraucher|Einfache Stromkreise]]) - **Aktive Zweipole** hingegen wirken auch als Erzeuger elektrischer Energie. Damit verläuft die Strom-Spannungs-Kennlinie dort __nicht__ durch den Ursprung. Aktive Zweipole enthalten immer mindestens eine Quelle (d.h. mindestens eine Strom- oder Spannungsquelle). ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ===== 3.1 lineare Quellen ===== <callout> ==== Ziele ==== Nach dieser Lektion sollten Sie: - den Unterschied zwischen einer idealen und linearen Spannungs- bzw. Stromquelle beschreiben können. - den Zusammenhang zwischen abgegebener Spannung, Quellenspannung $U_q$ und Innenwiderstand $R_i$ kennen und anwenden können. - den Zusammenhang zwischen abgegebenem Strom, Quellenstrom $I_q$ und Innenleitwert $G_i$ kennen und anwenden können. - anhand von Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom den Spannungsverlauf der linearen (Spannungs-/Strom)quelle darstellen können. - anhand zweier Strom/Spannungs-Messpunkte die Leerlaufspannung und den Kurzschlussstrom ermitteln können </callout> ==== praktisches Beispiel einer realitätsnahen Quelle ==== <WRAP right> <imgcaption BildNr2 | Batteriemodell mit Lastwiderstand> </imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3AWAnC1b0DYrQOwGYAOJSAVg0iSL0gxIjyzGhJATwChoQAhAQwBd+AUwBOATyjgQAJhkgAOgAcpkSQFpJqiACUhAZwCWe-gHsRAUQA2AW3l6wd6fJEA1E5f68A5kKu29kI5Q8nYkdoHhIXoIEfZhkQkBzOwIYFrkMpAE4DhY0jiyEHyCohKBSSzl5TF2TGEBkRXsykiMuSCtMgUqUOwA7uBIsvmFYMPdkP3g0tlg7WBDOViTIiB447LrMtIImtBgU51zWFvHvQOdI2sb5x153WBjXbKTXoM3C8ME2ZN4OFozJZ3IEQVSTPTXIFbaQ7TQgABmvEseiE7AhajAbSwGLysK0CKRKKmp3aOKBkwGZJhuypEymtM2N0mAA8QAQ8DlVEgWHMObswLsAJLyACO7FZaWGAumqmkc1Y4F2AFVReLWHk8BAyDI8Lt+bttGqSNlpIQQLQZKkFdKADLsExSUGsTEcjDQaQkIRqJBrd1en5yH0cM27MH7cCqXSGYy8AB2AGNUUA 600,500 noborder}} </WRAP> Für die ideale Spannungsquelle wurde definiert, dass diese unabhängig von der Last stets die gleiche Spannung liefert. In <imgref BildNr2> wird im Gegensatz dazu ein Beispiel einer "realitätsnahen" Spannungsquelle als aktiven Zweipol dargestellt. \\ - Dieser aktiven Zweipol erzeugt bei offener Schaltung eine Spannung von $1,5V$ und einen Strom von $0A$. - Wird nun ein Widerstand hinzugeschalten, so sinkt die Spannung, wohingegen der Strom steigt. Beispielsweise liegt am Widerstand von $2 \Omega$ eine Spannung von $1,2V$ an und ein Strom von $0,6A$ fließt. - Über den äußeren Schalter können die Anschlüsse des aktiven Zweipols direkt miteinander verbunden werden. Dann fließt ein Strom von $3A$ bei einer Spannung von $0V$. Diese Erkenntnis soll nun mit einigen Fachtermini beschrieben werden: * Man spricht vom **Leerlauf**, wenn kein Strom aus einem aktiven Zweipol entnommen wird: $I_{LL}=0$. \\ Die Spannung entspricht der **Leerlaufspannung** $U=U_{LL}$ (englisch: OCV für Open Circuit Voltage). \\ Die Leerlaufleistung ist $P_{LL}=U_{LL} \cdot I_{LL} = 0$. * Man spricht vom **Kurzschluss**, wenn die Klemmen des Zweipols widerstandslos überbrückt sind. Der dann fließende Strom wird als **Kurzschlussstrom** bezeichnet $I=I_{KS}$. \\ Die Kurzschlussspannung ist $U_{KS}=0V$. \\ Auch die Kurzschlussleistung ist $P_{KS}=U_{KS} \cdot I_{KS} = 0$. * Im Bereich zwischen Leerlauf und Kurzschluss gibt der aktive Zweipol Leistung an einen angeschlossenen Verbraucher ab. Wichtig: Wie in Folgenden zu sehen sein wird, können durch den Kurzschlussstrom im Inneren des Zweipols erhebliche Verlustleistung und damit eine große Abwärme entstehen. Dafür ist nicht jeder reelle Zweipol ausgelegt. ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right> <imgcaption BildNr3 | Strom-Spannungs-Kennlinie einer linearen Spannungsquelle> </imgcaption> {{drawio>IU_KennlinieLineareSpannungsquelle}} </WRAP> Interessant ist nun die Strom-Spannungs-Kennlinie der Schaltung in <imgref BildNr2>. Diese ist in der Simulation unten zu sehen. Es ergibt sich ein linearer Verlauf (siehe <imgref BildNr3>). Rein mathematisch lässt sich der Verlauf über die Grundgleichung linearer Graphen mit dem y-Achsenabschnitt $I_{KS}$ und einer Steigung von $-{{I_{KS}}\over{U_{LL}}}$ darstellen: \begin{align*} I = I_{KS} - {{I_{KS}}\over{U_{LL}}}\cdot U \tag{3.1.1} \end{align*} Andererseits kann die Formel auch nach $U$ aufgelöst werden: \begin{align*} U = U_{LL} - {{U_{LL}}\over{I_{KS}}}\cdot I \tag{3.1.2} \end{align*} ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> Ergibt ein Zweipol einen linearen Verlauf zwischen $U_{LL}$ und $I_{KS}$ so wird er **lineare Quelle** genannt. Dieser Verlauf beschreibt in guter Näherung das Verhalten vieler realer Quellen. Häufig findet man synonym zum Begriff 'lineare Quelle' auch den Begriff 'reale (Spannungs)Quelle'. Dieser ist aber etwas irreführend, da es sich um ein vereinfachtes Modell für die Realität handelt. </callout> ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP right> <imgcaption BildNr4 | Ersatzschaltbilder von linearen Quellen> </imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3AWAnC1b0DYqzAVgMz67IYYAcCyATBWSPlmNLiAvgFAAOIZk4A7Fl4gq-KuChR2AdxFUEIsSCRZR4yDPBhxYQXIW6sGgE7hVSsKvmSYYTcMNmBR+3zVP3G2cPcrF69gBzEABafHF3MIiyOg18fj4wbWceRL0IPg0AZydHS31JCAAzAEMAGyyAU3YcqJS6qmtEkFKK6tl8xzrHL1DwgoalXsGdcwCANwL3RoUZm1ZE5nmYXHZTOY3rHuxVgCNwSjM3JAgqJAUNfbBDhjoziFxIANNHBAc9fAobZk06t8SsP8pLI-v0-sJevlPgo6tCpLV+nDQeoJK0qjUnHD8mwUcVyuj4olknDhFibEE+uIgX8-L1hEC-EC6XwgdiIa56F8oV8TE5WYD+ploHYOsSuR8eZpXsJGezuKSvvSHOSAJYiBAsjCzDULTL0TTyFlwdV8OG9Q2cgwSi4GnUILUm1js2QW1l6JnsAAenPAnxEDAOEAMdDKKoAdpUSsZKgAdLIAZU4JTDYYArmHAlkAI6pyplMrVb0YcT4ZAiXT0XBU8Ah8OR6Nx+MAF2MAHsALY5vMFr0gcgCcRkfACFjBkAASRjWd7GH49H4SB4JbI1bAdEn0+9ZBYVGu4EgdwrY4AqlPe2RFwgtskr3OT2fvWBziIni-VJBRzWQAAlXtUSBzv+h5uEkrBfiqvZrnQCCgf+LJ7mOv7ev+VL-i+o5UMOY4QY+K7qsOT7aoCX7HpBz7yIucEiFWYHJBoyE0TBpy4HeCFfuOf64ICT4iMWrCNLRATIZRAYwf6l5fkh9Asmw-GsPatF0FJsnyA8w7yAoY4ADK9rJCA0QQrC4J+a4gDpraFJIMEYMOuCVCEdBINAghcVQdkhGAw5uDw+oWf0GSsJYtn2Y5zkYK57meRIEQKBwfpedgEBgHw36VFkKpZE2yYAMbVH6ZzfElKVpRlWVhrl7BAA 600,700 noborder}} </WRAP> Wie sieht nun das Innere der linearen Quelle aus? In <imgref BildNr4> sind zwei mögliche, lineare Quellen dargestellt, die im Folgenden betrachtet werden. ==== lineare Spannungsquelle ==== Die lineare Spannungsquelle besteht aus einer Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellspannung $U_0$ (englisch: EMF für Elektro-Magnetic-Force) und dem Innenwiderstand $R_i$. Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Spannungsteiler betrachten. Dabei gilt: \begin{align*} U = U_0 - R_i \cdot I \end{align*} Die Quellspannung $U_0$ der idealen Spannungsquelle ist an den Klemmen des Zweipols zu messen, wenn dieser unbelastet ist. Dann fließt kein Strom über den Innenwiderstand $R_i$ und es ergibt sich dort kein Spannungsabfall. Es gilt also: Die Quellenspannung ist gleich der Leerlaufspannung $U_0 = U_{LL}$. \begin{align*} U = U_{LL} - R_i \cdot I \end{align*} Wenn die äußere Spannung $U=0$ ist, handelt es sich um den Kurzschlussfall. Damit wird $0 = U_{LL} - R_i \cdot I_{KS}$ und umgeformt $R_i = {{U_{LL}}\over{I_{KS}}}$. Es ergibt sich also die Gleichung $(3.1.2)$: \begin{align*} U = U_{LL} - {{U_{LL}}\over{I_{KS}}} \cdot I \end{align*} Ist das also der gesuchte Aufbau der linearen Quelle? Zur Überprüfung soll nun noch die zweite lineare Quelle betrachtet werden. ==== lineare Stromquelle ==== Die lineare Stromquelle besteht nun aus einer __Parallelschaltung__ einer idealen Stromquelle mit dem Quellstrom $I_0$ und dem Innenwiderstand $R_i$, bzw. dem Innenleitwert $G_i = {{1}\over{R_i}}$. Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Stromteiler betrachten. Dabei gilt: \begin{align*} I = I_0 - G_i \cdot U \end{align*} Hierbei kann der Quellstrom im Kurzschlussfall an den Klemmen gemessen werden. Es gilt also: $I_{KS}= I_0$ \begin{align*} I = I_{KS} - G_i \cdot U \end{align*} Wenn der äußere Strom $I=0$ ist, handelt es sich um den Leerlauf-Fall. Damit wird $0 = I_{KS} - G_i \cdot U_{LL}$ und umgeformt $G_i = {{I_{KS}}\over{U_{LL}}}$. \\ Es ergibt sich also Gleichung $(3.1.1)$: \begin{align*} I = I_{KS} - {{I_{KS}}\over{U_{LL}}} \cdot U \end{align*} Es scheint also so, als ob de beiden linearen Quellen das gleiche beschreiben. ==== Dualität der linearen Quellen ==== Durch die vorherigen Berechnungen kamen wir zur interessanten Erkenntnis, dass sowohl die lineare Spannungsquelle, als auch die lineare Stromquelle das gleiche Ergebnis liefern. Es gilt: Für eine lineare Quelle kann als Ersatzschaltbild sowohl eine lineare Spannungsquelle als auch eine lineare Stromquelle angegeben werden! Wie bereits bei der Stern-Dreieck-Transformation wird damit nicht nur für eine Blackbox zwei Erklärungen geliefert. Auch hier können lineare Spannungsquellen in lineare lineare Stromquellen umgewandelt werden und umgekehrt. Zur Umwandlung ==== Arbeitspunkt einer realen Spannungsquelle ==== ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ==== Video ==== Beispiel für eine reale Spannungsquelle {{youtube>vH3UQZDrtpA}} Ideale und Reale Spannungsquelle, Arbeitspunkt {{youtube>Okt6oy4sF_A}} ===== 3.2 Umwandlung von Strom- und Spannungsquellen ===== <callout> ==== Ziele ==== Nach dieser Lektion sollten Sie: - den Grund für Dualität von Strom- und Spannungsquelle erklären können. - eine lineare Stromquelle in eine lineare Spannungsquelle umwandeln können. - eine lineare Spannungsquelle in eine lineare Stromquelle umwandeln können. - diese Umwandlung bei komplizierteren Schaltungen mit mehreren Stromquellen bzw. Spannungsquellen anwenden können </callout> <WRAP right> <imgcaption BildNrX | Widerstand von linearen Quellen> </imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgDOB0YzCsICMZICYaoOyYMxgByoBsAnCZkiAgCw4BQAbiCUSKnKy0pqxBNRAR8ocOgCdmrRD25SZEZDDoB3SWw6z1vOqkStUqapoNH2vJLFgq2hrcY1hr0uftvPwdAJYgc6O74V5KHhrAM0cfCN3RwkIqJk4uwUrVUSzHz90x1TIzWoieO0c0w18ku1dVjK8gqSLS0cAcxtylrZ8fA9m6vSejo8AIxAiRCQ4KKIcNkxUQbZyMc7qRFGsWccgA 700,400 noborder}} </WRAP> In <imgref BildNrX> ist zu sehen, dass der Innenwiderstand der linearen Stromquelle genau gleich dem der linearen Spannungsquelle ist. ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <panel type="info" title="Aufgabe 3.3.1 Stromquelle in Spannungsquelle umwandeln"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> {{youtube>eQ60i0ZIfw8}} </WRAP></WRAP></panel> <panel type="info" title="Aufgabe 3.3.2 Spannungsquelle in Stromquelle umwandeln"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> {{youtube>GsNY0_Rsk7I}} </WRAP></WRAP></panel> <panel type="info" title="Aufgabe 3.3.3 Lösung einer Schaltungsvereinfachung I"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> {{youtube>Jb0GIMbZwjA}} </WRAP></WRAP></panel> <panel type="info" title="Aufgabe 3.3.4 Lösung einer Schaltungsvereinfachung II"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> {{youtube>9e1o5QNkzf8}} </WRAP></WRAP></panel> <panel type="info" title="Aufgabe 3.3.5 Lösungsskizze für eine schwierigere Schaltungsvereinfachung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> {{youtube>eYLGsmgAzSY}} </WRAP></WRAP></panel> <panel type="info" title="Aufgabe 3.3.6 3 kurze, aber interessante Schaltungsaufgaben"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> {{youtube>IyMY7bAQtGY}} </WRAP></WRAP></panel> ===== 3.3 Umwandlung beliebiger linearer Zweipole ===== <callout> ==== Ziele ==== Nach dieser Lektion sollten Sie: - wissen, dass jede beliebige lineare Schaltung mit zwei Anschlüssen aus ohmschen Widerständen und Quellen als lineare Stromquelle bzw. lineare Spannungsquelle zu verstehen ist. - wissen, wie die Leerlaufspannung $U_{LL}$ und der Kurzschlusstrom $I_{KS}$) ermittelt werden können. - die Parameter der Ersatzspannungsquelle (Innenwiderstand $R_i$ und Quellenspannung $U_q$) einer beliebigen linearen Schaltung berechnen können. - die grafische Interpretation von Spannung und Strom am linearen Zweipol in Form einer Kennlinie verstehen und zeichnen können. </callout> ===== 3.4 Leistung an Zweipolen und Bezugsgrößen ===== <callout> ==== Ziele ==== Nach dieser Lektion sollten Sie: - die Quellenleistung und Verbraucherleistung berechnen können. - die Optimierungsziele für Energietechnik und Nachrichtentechnik unterscheiden können. - den Wirkungsgrad und Ausnutzungsgrad berechnen können. </callout> ==== Video ==== Beispiel für eine reale Spannungsquelle {{youtube>vH3UQZDrtpA}} Erklärung der Leistungsanpassung {{youtube>BJLlXUD6CsM}}