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elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2020/12/15 03:04] tfischer |
elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2023/09/19 22:38] mexleadmin |
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- | ====== 7. Schaltvorgänge an RC-Kombinationen ====== | + | ====== 7 Schaltvorgänge an RC-Kombinationen ====== |
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\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 {{As}\over{V}}= 1 F = 1 Farad | + | C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 {{As}\over{V}}= 1 F = 1\; Farad |
\end{align*} | \end{align*} | ||
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- | Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, | + | Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, |
Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter $S$ eingefügt. | Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter $S$ eingefügt. | ||
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In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind: | In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind: | ||
- | * Eine **zeitlich veränderliche Spannung $u_C(t)$ am Kondensator** oder die **Spannung $u$ einer Wechselspannungsquelle** im Gegensatz zu einer konstanten Spannung $U_0$ an einer Konstantspannungsquelle | + | * Eine **zeitlich veränderliche Spannung $u_C(t)$ am Kondensator** oder die **Spannung $u$ einer Wechselspannungsquelle** im Gegensatz zu einer konstanten Spannung $U_q$ an einer Konstantspannungsquelle |
* Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einer Spule** oder **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einem Kondensator** | * Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einer Spule** oder **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einem Kondensator** | ||
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- | <WRAP right> | + | <WRAP right> |
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In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form: | In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form: | ||
- | * Die Kapazität $C$ kann über den Widerstand $R$ geladen werden, wenn der Wechselschalter $S$ die Gleichspannungsquelle $U_0$ mit den beiden verbindet. | + | * Die Kapazität $C$ kann über den Widerstand $R$ geladen werden, wenn der Wechselschalter $S$ die Gleichspannungsquelle $U_q$ mit den beiden verbindet. |
- | * Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reichenschaltung | + | * Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reihenschaltung |
* Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung $u_C$ im Oszilloskop als Datenpunkte über der Zeit und in der Schaltung als Zahlenwert angezeigt. | * Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung $u_C$ im Oszilloskop als Datenpunkte über der Zeit und in der Schaltung als Zahlenwert angezeigt. | ||
* Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern '' | * Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern '' | ||
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- | Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_0$ geladen werden. | + | Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_q$ geladen werden. |
- | * Damit die Spannung $U_0$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen. | + | * Damit die Spannung $U_q$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen. |
- | * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom (" | + | * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom (" |
* Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$. | * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$. | ||
* Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$. | * Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$. | ||
* Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator. | * Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator. | ||
- | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig auf die vorgegebene Spannung $U_0$ geladen. Er trägt dann die Ladung: $q(t \rightarrow \infty)=Q = C \cdot U_0$ | + | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig auf die vorgegebene Spannung $U_q$ geladen. Er trägt dann die Ladung: $q(t \rightarrow \infty)=Q = C \cdot U_q$ |
Der Ablauf soll nun im Einzelnen in Formeln gefasst werden. \\ | Der Ablauf soll nun im Einzelnen in Formeln gefasst werden. \\ | ||
Zeile 127: | Zeile 127: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | U_0 =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2} | + | U_q =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2} |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 146: | Zeile 146: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | U_0 &=u_R + u_C \\ | + | U_q &=u_R + u_C \\ |
&= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C | &= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 161: | Zeile 161: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | U_0 &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | U_q &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ |
&= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | ||
- | U_0 - \mathcal{C} & | + | U_q - \mathcal{C} & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 169: | Zeile 169: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \mathcal{C} = U_0 \\ \\ | + | \mathcal{C} = U_q \\ \\ |
R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ | R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ | ||
Zeile 179: | Zeile 179: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_0 | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 185: | Zeile 185: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | 0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_0 \\ | + | 0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_q \\ |
- | 0 &= \mathcal{A} | + | 0 &= \mathcal{A} |
- | \mathcal{A} &= - U_0 | + | \mathcal{A} &= - U_q |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 193: | Zeile 193: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | u_C(t) &= - U_0 \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_0 | + | u_C(t) &= - U_q \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 201: | Zeile 201: | ||
Und damit ergibt sich: | Und damit ergibt sich: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | u_C(t) & | + | u_C(t) & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: | Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | i_C(t) &= {{U_0}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | + | i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 221: | Zeile 221: | ||
<callout icon=" | <callout icon=" | ||
* Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\ | * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\ | ||
- | * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{- 1}) = U_0 \cdot (1 - {{1}\over{e}}) = U_0 \cdot ({{e-1}\over{e}}) = 0,63 \cdot U_0 = 63\% \cdot U_0 $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63$% aufgeladen**. \\ \\ | + | * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 1}) = U_q \cdot (1 - {{1}\over{e}}) = U_q \cdot ({{e-1}\over{e}}) = 0,63 \cdot U_q = 63\% \cdot U_q $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63$% aufgeladen**. \\ \\ |
- | * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{- 2}) = 86 \% \cdot U_0 = (63 \% + (1-63 \%) \cdot 63 \% ) \cdot U_0$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 \%$) wieder zu $63\%$ aufgeladen**. \\ \\ | + | * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 2}) = 86 \% \cdot U_q = (63 \% + (1-63 \%) \cdot 63 \% ) \cdot U_q$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 \%$) wieder zu $63\%$ aufgeladen**. \\ \\ |
* **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden. | * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden. | ||
* die Zeitkonstante $\tau$ kann auf mehrere Wege grafisch bestimmt werden: | * die Zeitkonstante $\tau$ kann auf mehrere Wege grafisch bestimmt werden: | ||
Zeile 238: | Zeile 238: | ||
Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet: | Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet: | ||
- | * Ein auf die Spannung $U_0$ geladener Kondensator mit der Kapazität $C$ wird über einen Widerstand $R$ zum Zeitpunkt $t=t_0$ kurzgeschlossen. | + | * Ein auf die Spannung $U_q$ geladener Kondensator mit der Kapazität $C$ wird über einen Widerstand $R$ zum Zeitpunkt $t=t_0$ kurzgeschlossen. |
- | * Dadurch liegt anfangs die volle Spannung $U_0$ an dem Widerstand an: $u_R(t_0)=U_0$ | + | * Dadurch liegt anfangs die volle Spannung $U_q$ an dem Widerstand an: $u_R(t_0)=U_q$ |
* Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$ | * Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$ | ||
- | * Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators $u_C$ abgesenkt, da gilt: $u_C = {{q(t)}{C}}$ | + | * Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators $u_C$ abgesenkt, da gilt: $u_C = {{q(t)}\over{C}}$ |
* Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig entladen. | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig entladen. | ||
Zeile 288: | Zeile 288: | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = U_0$: | + | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = U_q$: |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | U_0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} | + | U_q &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} |
- | U_0 &= \mathcal{A} | + | U_q &= \mathcal{A} |
- | \mathcal{A} & | + | \mathcal{A} & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 307: | Zeile 307: | ||
Und damit ergibt sich: | Und damit ergibt sich: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | u_C(t) & | + | u_C(t) & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: | Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | i_C(t) &= - {{U_0}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | + | i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 322: | Zeile 322: | ||
==== Periodische Schaltvorgänge ==== | ==== Periodische Schaltvorgänge ==== | ||
- | <WRAP right> | + | <WRAP right> |
</ | </ | ||
Zeile 350: | Zeile 350: | ||
</ | </ | ||
+ | <WRAP right> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | {{drawio> | ||
+ | </ | ||
- | Herleitung | + | Es soll nun der Kondensator als Energiespeicher näher betrachtet werden. Diese Herleitung ist auch in [[https:// |
- | {{youtube>je40ruFNKig}} | + | Laut des Kapitels [[Grundlagen und Grundbegriffe# |
+ | \begin{align*} | ||
+ | P={{\Delta W}\over{\Delta t}} = U \cdot I | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Für veränderliche Signale ergibt sich die Momentanleistung als: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | p={{dw}\over{dt}} = u \cdot i | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | === Energiebetrachtung des Kondensator === | ||
+ | |||
+ | Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ ergibt sich als für die gespeicherte Energie $\Delta W = \Delta W_C$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1 =t$: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} dw = \int_{0}^t u \cdot i \cdot dt = \int_{0}^t u_C \cdot i_C dt \tag{7.2.1} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Beim Ladevorgang gilt | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | u_C(t) = U_q\cdot (1 - e^{ - {{t}\over{\tau}} }) \\ | ||
+ | i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot e^{ -{{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Insbesondere gilt: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} \quad & | ||
+ | i_C(t) = {{d q(t)}\over{dt}} \quad & | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Damit wird die gespeicherte Energie aus Formel $(7.2.1)$: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{d u_C(t)}\over{dt}} dt \quad & | \text{ Substitution der Integrationsvariable: | ||
+ | &= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot du_C \quad & | \text{ Da die Kapazität konstant ist, kann Sie vor das Integral geschrieben werden}\\ | ||
+ | &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C \, d u_C \\ | ||
+ | &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\ | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{\Delta | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Für einen vollständig entladenen Kondensator ($U_q=0V$) ergibt sich also eine beim Aufladen auf die Spannung $U_q$ gespeicherte Energie von $\Delta W_C={{1}\over{2}} C \cdot U_q^2$. | ||
+ | |||
+ | === Energiebetrachtung des Widerstands === | ||
+ | |||
+ | Auch für den Widerstand lässt sich die umgesetzte Energie ermitteln: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta W_R = \int_{0}^t u_R \cdot i_R dt = \int_{0}^t R \cdot i_R \cdot i_R dt = R \cdot \int_{0}^t i_R^2 dt | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Da der Strom durch den Kondensator $i_C$ gleich dem durch den Widerstand ist $i_R$, ergibt sich über $(7.2.2)$: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta W_R & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Für $t \rightarrow \infty$ ergibt sich: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta W_R & | ||
+ | & | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{ \Delta W_R = {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Das heißt, die am Widerstand umgesetzte Energie ist unabhängig vom Widerstandswert (bei einer idealen Konstantspannungsquelle $U_q$ und gegebenen Kondensator $C$)! Das klingt zunächst erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Egal, ob ein sehr großer Widerstand $R_1$ oder ein winzig kleiner Widerstand $R_2$ vorhanden ist: Es wird immer die gleiche Abwärme erzeugt. \\ | ||
+ | Anschaulich lässt sich dieser scheinbarer Widerspruch so auflösen: Ein höherer Widerstand $R_2$ bremst die kleinen Ladungspäckchen $\Delta q_1$, $\Delta q_2$, ... $\Delta q_n$ stärker aus. Aber ein betrachtetes, | ||
+ | |||
+ | In realen Anwendungen sind, wie in vorherigen Kapiteln angesprochen, | ||
+ | |||
+ | === Betrachtung des gesamten Energieumsatzes === | ||
+ | |||
+ | In den vorherigen Betrachtungen wurde auch der Energieumsatz beim kompletten Ladevorgang betrachtet. Dabei ergab sich, dass der Kondensator die Energie $W_C= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.3)$) speichert und am Widerstand die Energie $W_R= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.4)$) in Wärme umwandelt. Insgesamt speißt die Spannungsquelle also folgende Energie ein: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta W_0 & | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Dies ergibt sich auch über $(7.2.1)$: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta W_0 & | ||
+ | &= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} i_C dt \\ | ||
+ | &= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} {{dq}\over{dt}} dt \\ | ||
+ | &= U_q \cdot \int_{0}^Q dq = U_q \cdot Q \quad | \quad \text{wobei gilt, dass } Q= C \cdot U_q \\ | ||
+ | &= U_q^2 \cdot C \\ | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Auch hier hilft wieder der Blick auf kleine Ladungspakete, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | |||
+ | In folgender Simulation kann dies auch getestet werden. Neben dem bisher dargestellten RC-Glied ist hier zusätzlich ein Leistungsmessgerät und ein Integrator eingezeichnet. Darüber ist es möglich die Momentanleistung und die gespeicherte Energie darzustellen. Über den Slider %%Resistance R%% kann der Widerstandswert variiert werden. In den Oszilloskopen sind folgende Werte dargestellt: | ||
+ | * links: Strom $u_C$ und Spannung $i_C$ am Kondensator | ||
+ | * mitte: Momentanleistung $p_C = u_C \cdot i_C$ des Kondensators | ||
+ | * rechts: gespeicherte Energie $w_C = \int u_C \cdot i_C \; dt$ des Kondensators | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
==== Aufgaben ==== | ==== Aufgaben ==== | ||
Zeile 372: | Zeile 494: | ||
{{youtube> | {{youtube> | ||
</ | </ | ||
+ | |||
+ | <panel type=" | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Rechts sehen Sie eine Simulation, welche die beiden Kondensatoren $C_1$ und $C_2$ enthält. | ||
+ | Zu Beginn ist $C_1$ auf $10V$ und $C_2$ auf $0V$ aufgeladen. mit den Schaltern $S_1$ und $S_2$ können Sie auswählen, ob | ||
+ | - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ kurzgeschlossen werden, oder | ||
+ | - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ über den Widerstand $R$ verbunden werden. | ||
+ | |||
+ | Rechts in der Simulation sind zusätzlich noch einige " | ||
+ | |||
+ | Im folgenden sollen nun mit diesem Aufbau das Laden und Entladen eines Kondensators erklärt werden. | ||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | Unter dem elektrischen Aufbau sind folgende Größen im Zeitverlauf dargestellt: | ||
+ | |||
+ | ^ Spannung $u_1(C_1)$ des ersten Kondensators ^ Spannung $u_2(C_2)$ des zweiten Kondensators ^ gespeicherte Energie $w_1(C_1)$ ^ gespeicherte Energie $w_2(C_2)$ ^ gesamte Energie $\sum w$ ^ | ||
+ | | Anfänglich auf $10V$ aufgeladen | Anfänglich neutral geladen ($0V$) | Anfänglich gilt: \\ $w_1(C_1)= {1 \over 2} \cdot C \cdot U^2 = {1 \over 2} \cdot 10\mu F \cdot (10V)^2 = 500\mu W$ \\ Im Oszilloskop entspricht $1V \sim 1W$ | Anfänglich ist $w_2(C_2)=0$ , da der Kondensator nicht geladen ist. | Die Gesamtenergie ist $w_1 + w_2 = w_1$| | ||
+ | |||
+ | Der Kondensator $C_1$ hat also zunächst die volle Energie gespeichert und über ein Schließen des Schalters $S_2$ würde man ein Ausgleich der Spannungen und eine Gleichverteilung der Energie $w_1 + w_2 = 500\mu W$ erwarten. | ||
+ | |||
+ | - Schließen Sie den Schalter $S_2$ (der Wechselschalter $S_1$ soll auf den Schalter $S_2$ zeigen). Was stellen Sie fest? | ||
+ | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | ||
+ | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | ||
+ | - Öffnen Sie den $S_2$ - der Wechselschalter $S_1$ soll nicht geändert werden. Was stellen Sie fest? | ||
+ | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | ||
+ | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | ||
+ | - Wiederholen Sie 1. und 2. mehrmals. Kann etwas bzgl. der Verteilung der Energie abgeleitet werden? | ||
+ | - Wechseln Sie den Schalter $S_2$ auf den Widerstand. Was stellen Sie fest? | ||
+ | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | ||
+ | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | {{page> | ||
+ | |||
+ | |||