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elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2020/12/20 22:20] tfischer |
elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2023/09/19 22:38] mexleadmin |
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- | ====== 7. Schaltvorgänge an RC-Kombinationen ====== | + | ====== 7 Schaltvorgänge an RC-Kombinationen ====== |
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\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 {{As}\over{V}}= 1 F = 1 Farad | + | C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 {{As}\over{V}}= 1 F = 1\; Farad |
\end{align*} | \end{align*} | ||
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- | Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, | + | Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, |
Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter $S$ eingefügt. | Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter $S$ eingefügt. | ||
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In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind: | In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind: | ||
- | * Eine **zeitlich veränderliche Spannung $u_C(t)$ am Kondensator** oder die **Spannung $u$ einer Wechselspannungsquelle** im Gegensatz zu einer konstanten Spannung $U_0$ an einer Konstantspannungsquelle | + | * Eine **zeitlich veränderliche Spannung $u_C(t)$ am Kondensator** oder die **Spannung $u$ einer Wechselspannungsquelle** im Gegensatz zu einer konstanten Spannung $U_q$ an einer Konstantspannungsquelle |
* Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einer Spule** oder **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einem Kondensator** | * Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einer Spule** oder **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einem Kondensator** | ||
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- | <WRAP right> | + | <WRAP right> |
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In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form: | In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form: | ||
- | * Die Kapazität $C$ kann über den Widerstand $R$ geladen werden, wenn der Wechselschalter $S$ die Gleichspannungsquelle $U_0$ mit den beiden verbindet. | + | * Die Kapazität $C$ kann über den Widerstand $R$ geladen werden, wenn der Wechselschalter $S$ die Gleichspannungsquelle $U_q$ mit den beiden verbindet. |
- | * Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reichenschaltung | + | * Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reihenschaltung |
* Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung $u_C$ im Oszilloskop als Datenpunkte über der Zeit und in der Schaltung als Zahlenwert angezeigt. | * Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung $u_C$ im Oszilloskop als Datenpunkte über der Zeit und in der Schaltung als Zahlenwert angezeigt. | ||
* Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern '' | * Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern '' | ||
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- | Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_0$ geladen werden. | + | Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_q$ geladen werden. |
- | * Damit die Spannung $U_0$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen. | + | * Damit die Spannung $U_q$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen. |
- | * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom (" | + | * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom (" |
* Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$. | * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$. | ||
* Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$. | * Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$. | ||
* Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator. | * Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator. | ||
- | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig auf die vorgegebene Spannung $U_0$ geladen. Er trägt dann die Ladung: $q(t \rightarrow \infty)=Q = C \cdot U_0$ | + | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig auf die vorgegebene Spannung $U_q$ geladen. Er trägt dann die Ladung: $q(t \rightarrow \infty)=Q = C \cdot U_q$ |
Der Ablauf soll nun im Einzelnen in Formeln gefasst werden. \\ | Der Ablauf soll nun im Einzelnen in Formeln gefasst werden. \\ | ||
Zeile 127: | Zeile 127: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | U_0 =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2} | + | U_q =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2} |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 146: | Zeile 146: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | U_0 &=u_R + u_C \\ | + | U_q &=u_R + u_C \\ |
&= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C | &= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 161: | Zeile 161: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | U_0 &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | U_q &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ |
&= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | ||
- | U_0 - \mathcal{C} & | + | U_q - \mathcal{C} & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 169: | Zeile 169: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \mathcal{C} = U_0 \\ \\ | + | \mathcal{C} = U_q \\ \\ |
R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ | R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ | ||
Zeile 179: | Zeile 179: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_0 | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 185: | Zeile 185: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | 0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_0 \\ | + | 0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_q \\ |
- | 0 &= \mathcal{A} | + | 0 &= \mathcal{A} |
- | \mathcal{A} &= - U_0 | + | \mathcal{A} &= - U_q |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 193: | Zeile 193: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | u_C(t) &= - U_0 \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_0 | + | u_C(t) &= - U_q \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 201: | Zeile 201: | ||
Und damit ergibt sich: | Und damit ergibt sich: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | u_C(t) & | + | u_C(t) & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: | Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | i_C(t) &= {{U_0}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | + | i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 221: | Zeile 221: | ||
<callout icon=" | <callout icon=" | ||
* Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\ | * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\ | ||
- | * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{- 1}) = U_0 \cdot (1 - {{1}\over{e}}) = U_0 \cdot ({{e-1}\over{e}}) = 0,63 \cdot U_0 = 63\% \cdot U_0 $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63$% aufgeladen**. \\ \\ | + | * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 1}) = U_q \cdot (1 - {{1}\over{e}}) = U_q \cdot ({{e-1}\over{e}}) = 0,63 \cdot U_q = 63\% \cdot U_q $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63$% aufgeladen**. \\ \\ |
- | * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{- 2}) = 86 \% \cdot U_0 = (63 \% + (1-63 \%) \cdot 63 \% ) \cdot U_0$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 \%$) wieder zu $63\%$ aufgeladen**. \\ \\ | + | * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 2}) = 86 \% \cdot U_q = (63 \% + (1-63 \%) \cdot 63 \% ) \cdot U_q$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 \%$) wieder zu $63\%$ aufgeladen**. \\ \\ |
* **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden. | * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden. | ||
* die Zeitkonstante $\tau$ kann auf mehrere Wege grafisch bestimmt werden: | * die Zeitkonstante $\tau$ kann auf mehrere Wege grafisch bestimmt werden: | ||
Zeile 238: | Zeile 238: | ||
Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet: | Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet: | ||
- | * Ein auf die Spannung $U_0$ geladener Kondensator mit der Kapazität $C$ wird über einen Widerstand $R$ zum Zeitpunkt $t=t_0$ kurzgeschlossen. | + | * Ein auf die Spannung $U_q$ geladener Kondensator mit der Kapazität $C$ wird über einen Widerstand $R$ zum Zeitpunkt $t=t_0$ kurzgeschlossen. |
- | * Dadurch liegt anfangs die volle Spannung $U_0$ an dem Widerstand an: $u_R(t_0)=U_0$ | + | * Dadurch liegt anfangs die volle Spannung $U_q$ an dem Widerstand an: $u_R(t_0)=U_q$ |
* Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$ | * Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$ | ||
- | * Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators $u_C$ abgesenkt, da gilt: $u_C = {{q(t)}{C}}$ | + | * Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators $u_C$ abgesenkt, da gilt: $u_C = {{q(t)}\over{C}}$ |
* Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig entladen. | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig entladen. | ||
Zeile 288: | Zeile 288: | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = U_0$: | + | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = U_q$: |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | U_0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} | + | U_q &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} |
- | U_0 &= \mathcal{A} | + | U_q &= \mathcal{A} |
- | \mathcal{A} & | + | \mathcal{A} & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 307: | Zeile 307: | ||
Und damit ergibt sich: | Und damit ergibt sich: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | u_C(t) & | + | u_C(t) & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: | Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | i_C(t) &= - {{U_0}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | + | i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 322: | Zeile 322: | ||
==== Periodische Schaltvorgänge ==== | ==== Periodische Schaltvorgänge ==== | ||
- | <WRAP right> | + | <WRAP right> |
</ | </ | ||
Zeile 371: | Zeile 371: | ||
=== Energiebetrachtung des Kondensator === | === Energiebetrachtung des Kondensator === | ||
- | Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ ergibt sich als für die gespeicherte Energie $\Delta W$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1 =t$: | + | Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ ergibt sich als für die gespeicherte Energie $\Delta W = \Delta W_C$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1 =t$: |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \Delta | + | \Delta |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 380: | Zeile 380: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{ - {{t}\over{\tau}} }) \\ | + | u_C(t) = U_q\cdot (1 - e^{ - {{t}\over{\tau}} }) \\ |
- | i_C(t) = {{U_0}\over{R}} \cdot e^{ -{{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2} | + | i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot e^{ -{{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2} |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 396: | Zeile 396: | ||
\Delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{d u_C(t)}\over{dt}} dt \quad & | \text{ Substitution der Integrationsvariable: | \Delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{d u_C(t)}\over{dt}} dt \quad & | \text{ Substitution der Integrationsvariable: | ||
&= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot du_C \quad & | \text{ Da die Kapazität konstant ist, kann Sie vor das Integral geschrieben werden}\\ | &= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot du_C \quad & | \text{ Da die Kapazität konstant ist, kann Sie vor das Integral geschrieben werden}\\ | ||
- | &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C d u_C \\ | + | &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C \, d u_C \\ |
&= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\ | &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\ | ||
- | \boxed{ W_C= {{1}\over{2}} C \cdot (U_1^2-U_0^2)} \tag{7.2.3} | + | \end{align*} |
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{\Delta | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Für einen vollständig entladenen Kondensator ($U_0=0V$) ergibt sich also eine beim Aufladen auf die Spannung $U$ gespeicherte Energie von $W={{1}\over{2}} C \cdot (U^2)$. | + | Für einen vollständig entladenen Kondensator ($U_q=0V$) ergibt sich also eine beim Aufladen auf die Spannung $U_q$ gespeicherte Energie von $\Delta W_C={{1}\over{2}} C \cdot U_q^2$. |
=== Energiebetrachtung des Widerstands === | === Energiebetrachtung des Widerstands === | ||
Zeile 414: | Zeile 416: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \Delta W_R & | + | \Delta W_R & |
- | & | + | & |
- | & | + | & |
- | & | + | & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 423: | Zeile 425: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \Delta W_R & | + | \Delta W_R & |
- | & | + | & |
- | \boxed{ \Delta W_R = {{1}\over{2}} \cdot {U_0^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4} | + | |
\end{align*} | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{ \Delta W_R = {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Das heißt, die am Widerstand umgesetzte Energie ist unabhängig vom Widerstandswert (bei einer idealen Konstantspannungsquelle $U_q$ und gegebenen Kondensator $C$)! Das klingt zunächst erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Egal, ob ein sehr großer Widerstand $R_1$ oder ein winzig kleiner Widerstand $R_2$ vorhanden ist: Es wird immer die gleiche Abwärme erzeugt. \\ | ||
+ | Anschaulich lässt sich dieser scheinbarer Widerspruch so auflösen: Ein höherer Widerstand $R_2$ bremst die kleinen Ladungspäckchen $\Delta q_1$, $\Delta q_2$, ... $\Delta q_n$ stärker aus. Aber ein betrachtetes, | ||
- | Das heißt, die am Widerstand umgesetzte Energie ist unabhängig vom Widerstandswert (bei einer idealen Konstantspannungsquelle $U_0$ und gegebenen Kondensator $C$)! Das klingt zunächst erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Egal, ob ein sehr großer oder ein winzig | + | In realen Anwendungen sind, wie in vorherigen Kapiteln angesprochen, |
=== Betrachtung des gesamten Energieumsatzes === | === Betrachtung des gesamten Energieumsatzes === | ||
- | In den vorherigen Betrachtungen wurde auch der Energieumsatz beim kompletten Ladevorgang betrachtet. Dabei ergab sich, dass der Kondensator die Energie $W_C= {{1}\over{2}} \cdot {U_0^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.3)$) speichert und am Widerstand die Energie $W_R= {{1}\over{2}} \cdot {U_0^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.4)$) in Wärme umwandelt. Insgesamt speißt die Spannungsquelle also folgende Energie ein: | + | In den vorherigen Betrachtungen wurde auch der Energieumsatz beim kompletten Ladevorgang betrachtet. Dabei ergab sich, dass der Kondensator die Energie $W_C= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.3)$) speichert und am Widerstand die Energie $W_R= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.4)$) in Wärme umwandelt. Insgesamt speißt die Spannungsquelle also folgende Energie ein: |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | W_0 &= W_R + W_C = {U_0^2}\cdot{C} | + | \Delta |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 441: | Zeile 448: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | W_0 & | + | \Delta |
- | & | + | & |
- | & | + | & |
- | & | + | & |
- | & | + | & |
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. | + | Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. |
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | |||
+ | In folgender Simulation kann dies auch getestet werden. Neben dem bisher dargestellten RC-Glied ist hier zusätzlich | ||
+ | * links: Strom $u_C$ und Spannung $i_C$ am Kondensator | ||
+ | * mitte: Momentanleistung $p_C = u_C \cdot i_C$ des Kondensators | ||
+ | * rechts: gespeicherte Energie $w_C = \int u_C \cdot i_C \; dt$ des Kondensators | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
==== Aufgaben ==== | ==== Aufgaben ==== | ||
Zeile 467: | Zeile 494: | ||
{{youtube> | {{youtube> | ||
</ | </ | ||
+ | |||
+ | <panel type=" | ||
+ | |||
+ | <WRAP right> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Rechts sehen Sie eine Simulation, welche die beiden Kondensatoren $C_1$ und $C_2$ enthält. | ||
+ | Zu Beginn ist $C_1$ auf $10V$ und $C_2$ auf $0V$ aufgeladen. mit den Schaltern $S_1$ und $S_2$ können Sie auswählen, ob | ||
+ | - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ kurzgeschlossen werden, oder | ||
+ | - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ über den Widerstand $R$ verbunden werden. | ||
+ | |||
+ | Rechts in der Simulation sind zusätzlich noch einige " | ||
+ | |||
+ | Im folgenden sollen nun mit diesem Aufbau das Laden und Entladen eines Kondensators erklärt werden. | ||
+ | |||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | Unter dem elektrischen Aufbau sind folgende Größen im Zeitverlauf dargestellt: | ||
+ | |||
+ | ^ Spannung $u_1(C_1)$ des ersten Kondensators ^ Spannung $u_2(C_2)$ des zweiten Kondensators ^ gespeicherte Energie $w_1(C_1)$ ^ gespeicherte Energie $w_2(C_2)$ ^ gesamte Energie $\sum w$ ^ | ||
+ | | Anfänglich auf $10V$ aufgeladen | Anfänglich neutral geladen ($0V$) | Anfänglich gilt: \\ $w_1(C_1)= {1 \over 2} \cdot C \cdot U^2 = {1 \over 2} \cdot 10\mu F \cdot (10V)^2 = 500\mu W$ \\ Im Oszilloskop entspricht $1V \sim 1W$ | Anfänglich ist $w_2(C_2)=0$ , da der Kondensator nicht geladen ist. | Die Gesamtenergie ist $w_1 + w_2 = w_1$| | ||
+ | |||
+ | Der Kondensator $C_1$ hat also zunächst die volle Energie gespeichert und über ein Schließen des Schalters $S_2$ würde man ein Ausgleich der Spannungen und eine Gleichverteilung der Energie $w_1 + w_2 = 500\mu W$ erwarten. | ||
+ | |||
+ | - Schließen Sie den Schalter $S_2$ (der Wechselschalter $S_1$ soll auf den Schalter $S_2$ zeigen). Was stellen Sie fest? | ||
+ | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | ||
+ | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | ||
+ | - Öffnen Sie den $S_2$ - der Wechselschalter $S_1$ soll nicht geändert werden. Was stellen Sie fest? | ||
+ | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | ||
+ | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | ||
+ | - Wiederholen Sie 1. und 2. mehrmals. Kann etwas bzgl. der Verteilung der Energie abgeleitet werden? | ||
+ | - Wechseln Sie den Schalter $S_2$ auf den Widerstand. Was stellen Sie fest? | ||
+ | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | ||
+ | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | ||
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