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elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2020/12/21 04:30]
tfischer 		elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2023/09/19 22:38]
mexleadmin
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-====== 7. Schaltvorgänge an RC-Kombinationen ======+====== 7 Schaltvorgänge an RC-Kombinationen ======
  
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 \begin{align*} \begin{align*}
-C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 {{As}\over{V}}= 1 F = 1 Farad+C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 {{As}\over{V}}= 1 F = 1\; Farad
 \end{align*} \end{align*}
    
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 </WRAP> </WRAP>
  
-Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, dass beim Laden des Kondensators neben der Spannungsquelle $U_0$ und dem Kondensator $C$ immer auch ein Widerstand $R$ in der Schaltung vorliegt. Dieser setzt sich zusammen aus dem Innenwiderstand der (nicht-idealen) Spannungsquelle, dem Innenwiderstand des Kondensators und dem parasitären (=störenden) Widerstand der Leitung. Bei praktischen Anwendungen ist häufig erwünscht dass sich Kondensatoren in einem bestimmten Zeitbereich aufladen. Dazu wird ein weiterer, reeller Widerstand in die Schaltung eingefügt. Die so entstandene Aneinanderreihung von Widerstand und Kondensator wird **RC-Glied** genannt. Sie gleicht einem Spannungsteiler, bei dem ein Widerstand durch einen Kondensator ausgetauscht wurde. \\+Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, dass beim Laden des Kondensators neben der Spannungsquelle $U_q$ und dem Kondensator $C$ immer auch ein Widerstand $R$ in der Schaltung vorliegt. Dieser setzt sich zusammen aus dem Innenwiderstand der (nicht-idealen) Spannungsquelle, dem Innenwiderstand des Kondensators und dem parasitären (=störenden) Widerstand der Leitung. Bei praktischen Anwendungen ist häufig erwünscht dass sich Kondensatoren in einem bestimmten Zeitbereich aufladen. Dazu wird ein weiterer, reeller Widerstand in die Schaltung eingefügt. Die so entstandene Aneinanderreihung von Widerstand und Kondensator wird **RC-Glied** genannt. Sie gleicht einem Spannungsteiler, bei dem ein Widerstand durch einen Kondensator ausgetauscht wurde. \\
  
 Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter $S$ eingefügt. Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter $S$ eingefügt.
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 In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind: In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind:
-  * Eine **zeitlich veränderliche Spannung $u_C(t)$ am Kondensator** oder die **Spannung $u$ einer Wechselspannungsquelle** im Gegensatz zu einer konstanten Spannung $U_0$ an einer Konstantspannungsquelle+  * Eine **zeitlich veränderliche Spannung $u_C(t)$ am Kondensator** oder die **Spannung $u$ einer Wechselspannungsquelle** im Gegensatz zu einer konstanten Spannung $U_q$ an einer Konstantspannungsquelle
   * Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einer Spule** oder **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einem Kondensator**   * Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einer Spule** oder **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einem Kondensator**
  
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 </callout> </callout>
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BOJyWoVaYEBYDsuBmbSbMSAVmwDZcqRyJyRsCAoAN3G2xACZiuPMNyiiBTSKJjlWAJxAECdYT2KSVospFYBjZnEH7J-SadjxIvDJDC8s5crga8qDS2FysA7oZN8Bfto+fn5q-qbe4VF+HnTaAMp8ABxJvuTKIqYgAGYAhgA2AM4ApqK8kbzp4LypGrapQYb1TZkVVWBUxgIdEcHdnVGxUKwAHv644JDoLgTgtsz+IPGj4FSzYElWG+pJTDz8IACqK9vgCOsI6gh0Qg0rBLhCWAoIELZW+zwASvcDvFMKfB8eafEAAYVYD2MKUMigyQikrAADsxsLURNxUjFET5MVEwoFIniNGENNoxrxrnMrAQbHM9osAJb3Om2SQEMDrXizW7glZ4IRAtHKJKSXkQsbYcjoDxi3BbQgLA4AV1YAHs+OAxFN0BJYBJNTSQIyAPpggA0AB1CsqzZCsVJzPAIDALDq0B70GDckjcjpGQAXXIAOx0xWtEIItU06ngIC+xUKjMKQdD4cKPyAA 600,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BOJyWoVaYEBYDsuBmbSbMSAVmwDZcqRyJyRsCAoAN3G2xACZiuPMNyiiBTSKJjlWAJxAECdYT2KSVospFYBjZnEH7J-SadjxIvKebCsA7oZN8BT7Q6dO1z0-e9+nYLRQrADKfAAc4Y7kyiKmIABmAIYANgDOAKaivL68MeC8URpghcEOxaXFcbn5YFTGAnU+7o31foF02gAezrjgkOi8VATgJczOICGsPXUjYOFW8+rhTDz8IACq0+Dh6ghzCHt0QlEAjtsEuEJYCggQJVZrPABKF228Awr4fGNPIADCrEuxkihkUsSEUlYAAdmNgiiJuFEAlCHEi-F5XL50RovBpunwEMoxgRIPcwKsJgBLC5kgqSAhgOa8EYnAHbPBCb7w5S7cbzdk9bDkdCBSR4RaEcbrACurAA9nxwGIBugYBZaLx9jhyIy8hgLAhaDF9cYlSMqQB9f4AGgAOmkZdagcjrBY6erDWhvUgAUloUkdFSAC5JAB2OgyDsBBCKmnU8BAzwyaSpaVDEajaVeQA 600,400 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
 In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form:  In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form: 
-  * Die Kapazität $C$ kann über den Widerstand $R$ geladen werden, wenn der Wechselschalter $S$ die Gleichspannungsquelle $U_0$ mit den beiden verbindet.  +  * Die Kapazität $C$ kann über den Widerstand $R$ geladen werden, wenn der Wechselschalter $S$ die Gleichspannungsquelle $U_q$ mit den beiden verbindet.  
-  * Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reichenschaltung von $R$ und $C$ kurzzuschließen.+  * Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reihenschaltung von $R$ und $C$ kurzzuschließen.
   * Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung $u_C$ im Oszilloskop als Datenpunkte über der Zeit und in der Schaltung als Zahlenwert angezeigt.   * Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung $u_C$ im Oszilloskop als Datenpunkte über der Zeit und in der Schaltung als Zahlenwert angezeigt.
   * Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern ''Capacitance C'' und ''Resistance R'' den Kapazitätswert $C$ und Widerstandswert $R$ zu verändern.   * Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern ''Capacitance C'' und ''Resistance R'' den Kapazitätswert $C$ und Widerstandswert $R$ zu verändern.
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-Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_0$ geladen werden.  +Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_q$ geladen werden.  
-  * Damit die Spannung $U_0$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen. +  * Damit die Spannung $U_q$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen. 
-  * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom ("Ladestrom") im Stromkreis. Dieser wird nur durch den Widerstand $R$ begrenzt. Der ungeladene Kondensator hat zu dem Zeitpunkt eine Spannung $u_C(t_0)=0V$. Die maximale Spannung $u_R(t_0)=U_0$ liegt am Widerstand an. Der Strom ist $i_C(t_0)={{U_0}\over{R}}$.+  * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom ("Ladestrom") im Stromkreis. Dieser wird nur durch den Widerstand $R$ begrenzt. Der ungeladene Kondensator hat zu dem Zeitpunkt eine Spannung $u_C(t_0)=0V$. Die maximale Spannung $u_R(t_0)=U_q$ liegt am Widerstand an. Der Strom ist $i_C(t_0)={{U_q}\over{R}}$.
   * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$.    * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$. 
   * Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$.   * Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$.
   * Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator.   * Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator.
-  * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig auf die vorgegebene Spannung $U_0$ geladen. Er trägt dann die Ladung: $q(t \rightarrow \infty)=Q = C \cdot U_0$+  * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig auf die vorgegebene Spannung $U_q$ geladen. Er trägt dann die Ladung: $q(t \rightarrow \infty)=Q = C \cdot U_q$
  
 Der Ablauf soll nun im Einzelnen in Formeln gefasst werden. \\ Der Ablauf soll nun im Einzelnen in Formeln gefasst werden. \\
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 \begin{align*} \begin{align*}
-U_0 =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2}+U_q =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2}
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 146: Zeile 146:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-U_0 &=u_R + u_C \\ +U_q &=u_R + u_C \\ 
 &= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C  &= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C 
 \end{align*} \end{align*}
Zeile 161: Zeile 161:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-U_0 &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\+U_q &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\
     &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\     &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\
-U_0 - \mathcal{C} &=  ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} \\+U_q - \mathcal{C} &=  ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} \\
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 169: Zeile 169:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\mathcal{C} = U_0 \\ \\+\mathcal{C} = U_q \\ \\
  
 R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0  \quad  \quad     | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0  \quad  \quad     | : \mathcal{A} \quad | -1 \\
Zeile 179: Zeile 179:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_0+u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 185: Zeile 185:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_0 \\ +0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_q \\ 
-0 &= \mathcal{A}  + U_0 \\ +0 &= \mathcal{A}  + U_q \\ 
-\mathcal{A} &= - U_0+\mathcal{A} &= - U_q
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 193: Zeile 193:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) &= - U_0 \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_0 +u_C(t) &= - U_q \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q 
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 201: Zeile 201:
 Und damit ergibt sich: Und damit ergibt sich:
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) &= U_0 \cdot (1 - e^{\large{- {{t}\over{R C}}}})+u_C(t) &= U_q \cdot (1 - e^{\large{- {{t}\over{R C}}}})
 \end{align*} \end{align*}
  
 Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu:
 \begin{align*} \begin{align*}
-i_C(t) &= {{U_0}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } }+i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } }
 \end{align*} \end{align*}
  
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 <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">
   * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\   * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\
-  * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{- 1}) = U_0 \cdot (1 - {{1}\over{e}}) = U_0 \cdot ({{e-1}\over{e}}) = 0,63 \cdot U_0 = 63\%  \cdot U_0 $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63$% aufgeladen**. \\ \\ +  * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 1}) = U_q \cdot (1 - {{1}\over{e}}) = U_q \cdot ({{e-1}\over{e}}) = 0,63 \cdot U_q = 63\%  \cdot U_q $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63$% aufgeladen**. \\ \\ 
-  * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{- 2}) = 86 \% \cdot U_0 = (63 \% + (1-63 \%) \cdot 63 \% ) \cdot U_0$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 \%$) wieder zu $63\%$ aufgeladen**. \\ \\+  * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 2}) = 86 \% \cdot U_q = (63 \% + (1-63 \%) \cdot 63 \% ) \cdot U_q$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 \%$) wieder zu $63\%$ aufgeladen**. \\ \\
   * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden.   * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden.
   * die Zeitkonstante $\tau$ kann auf mehrere Wege grafisch bestimmt werden:   * die Zeitkonstante $\tau$ kann auf mehrere Wege grafisch bestimmt werden:
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 Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet: Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet:
-  * Ein auf die Spannung $U_0$ geladener Kondensator mit der Kapazität $C$ wird über einen Widerstand $R$ zum Zeitpunkt $t=t_0$ kurzgeschlossen. +  * Ein auf die Spannung $U_q$ geladener Kondensator mit der Kapazität $C$ wird über einen Widerstand $R$ zum Zeitpunkt $t=t_0$ kurzgeschlossen. 
-  * Dadurch liegt anfangs die volle Spannung $U_0$ an dem Widerstand an: $u_R(t_0)=U_0$+  * Dadurch liegt anfangs die volle Spannung $U_q$ an dem Widerstand an: $u_R(t_0)=U_q$
   * Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$   * Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$
-  * Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators $u_C$ abgesenkt, da gilt: $u_C = {{q(t)}{C}}$+  * Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators $u_C$ abgesenkt, da gilt: $u_C = {{q(t)}\over{C}}$
   * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig entladen.    * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig entladen. 
  
Zeile 288: Zeile 288:
 \end{align*} \end{align*}
  
-Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = U_0$:+Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = U_q$:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-U_0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}}  \\ +U_q &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}}  \\ 
-U_0 &= \mathcal{A}  \\ +U_q &= \mathcal{A}  \\ 
-\mathcal{A} &= U_0+\mathcal{A} &= U_q
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 307: Zeile 307:
 Und damit ergibt sich: Und damit ergibt sich:
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) &= U_0 \cdot e^{\large{- {{t}\over{\tau}}}} \quad \text{mit} \quad \tau = R C+u_C(t) &= U_q \cdot e^{\large{- {{t}\over{\tau}}}} \quad \text{mit} \quad \tau = R C
 \end{align*} \end{align*}
  
 Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu:
 \begin{align*} \begin{align*}
-i_C(t) &= - {{U_0}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } }+i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } }
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 322: Zeile 322:
 ==== Periodische Schaltvorgänge ==== ==== Periodische Schaltvorgänge ====
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BOJyWoVaYEBYDsuBmbSbMSAVmwDZcqRyJyRsCAoAN3G2xACZiuPMNyiiBTSKJjlWAJxAECdYT2KSVosqwDGzOIL2T+kk7HiReC6AhLFsOMPjCKwrAO4HjfAV8jvvRgJqAVD+XuECjnR+HrzkyrwAHAZgSaEeGqnJmSIxfPHgVIHqRekhYKVeUaEAHt644JDovFQE4KnM3iAAyqx1FW1giZZD6olMPPwgAKp94InqCIM24Ah0Qsl+dQS4QlgKCBCplpM8AEpzSkZNCvh8HacgAMKsO0aJ2SKKyiIQJqwAB2Y2E+qhB5Sk-m4yS8wV8UPBGmCGi2fDW7UsBEgRzAEy6AEtLtjwLxJARnCS2htnnM8EI7iDlAtOkMaXVsOR0I5JHgRoROlMAK6sCrvUH5H48a6Ncyy1hnPi4EaVJWrEZ8GVGaBMXjaqTa1gAew1f2YYH2EmgcR2jl2vAqThsbSMGra+IA+k8ADQAHQAzoLPa8YfrZX8zPA0FHkM8AIYA2PafEAF1jADttABTf0vAjZTTqeAgM6Zv34v2pjPZv0XPNdQb6MhFgBiskzAEdBZmMwBPf0AM1YQA 600,450 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BOJyWoVaYEBYDsuBmbSbMSAVmwDZcqRyJyRsCAoAN3G2xACZiuPMNyiiBTSKJjlWAJxAECdYT2KSVosqwDGzOIL2T+kk7HiReC6AhLFsOMPjCKwrAO4HjfAV8jvvRgJqAVD+XuECjnR+HrzkyrwAHAZgSaEeGqnJmSIxfPHgVIHqRekhYKVeUaEAHt644JDovFQE4KnM3iAAyqx1FW1giZZD6olMPPwgAKp94InqCIM24Ah0Qsl+dQS4QlgKCBCplpM8AEpzSkZNCvh8HacgAMKsO0aJ2SKKyiIQJqwAB2Y2E+qhB5Sk-m4yS8wV8UPBGmCGi2fDW7UsBEgRzAEy6AEtLtjwLxJARnCS2htnnM8EI7iDlAtOkMaXVsOR0I5JHgRoROlMAK6sCrvUH5H48a6Ncyy1hnPi4EaVJWrEZ8GVGaBMXjaqTa1gAew1f2YYH2EmgcR2jl2vAqThsbSMGra+IA+k8ADQAHQAzoLPa8YfrZX8zPA0FHkM8AIYA2PafEAF1jADttABTf0vAjZTTqeAgM6Zv34v2pjPZv0XPNdQb6MhFgBiskzAEdBZmMwBPf0AM1YQA 600,450 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
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 === Energiebetrachtung des Kondensator === === Energiebetrachtung des Kondensator ===
  
-Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ ergibt sich als für die gespeicherte Energie $\Delta W$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1 =t$:+Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ ergibt sich als für die gespeicherte Energie $\Delta W = \Delta W_C$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1 =t$:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta W = \int_{t_0}^{t_1} dw = \int_{0}^t u \cdot i \cdot dt = \int_{0}^t u_C \cdot i_C dt \tag{7.2.1} +\Delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} dw = \int_{0}^t u \cdot i \cdot dt = \int_{0}^t u_C \cdot i_C dt \tag{7.2.1} 
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 380: Zeile 380:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{ - {{t}\over{\tau}} })  \\ +u_C(t) = U_q\cdot (1 - e^{ - {{t}\over{\tau}} })  \\ 
-i_C(t) = {{U_0}\over{R}} \cdot e^{ -{{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2}+i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot e^{ -{{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2}
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 400: Zeile 400:
 \end{align*} \end{align*}
 \begin{align*} \begin{align*}
-\boxed{ W_C= {{1}\over{2}} C \cdot (U_1^2-U_0^2)} \tag{7.2.3}+\boxed{\Delta  W_C= {{1}\over{2}} C \cdot (U_1^2-U_0^2)} \tag{7.2.3}
 \end{align*} \end{align*}
  
-Für einen vollständig entladenen Kondensator ($U_0=0V$) ergibt sich also eine beim Aufladen auf die Spannung $U$ gespeicherte Energie von $W={{1}\over{2}} C \cdot (U^2)$. +Für einen vollständig entladenen Kondensator ($U_q=0V$) ergibt sich also eine beim Aufladen auf die Spannung $U_q$ gespeicherte Energie von $\Delta W_C={{1}\over{2}} C \cdot U_q^2$. 
  
 === Energiebetrachtung des Widerstands === === Energiebetrachtung des Widerstands ===
Zeile 416: Zeile 416:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta W_R &=  R \cdot \int_{0}^t \left( { {U_0}\over{R}} \cdot e^ { -{{t}\over{\tau}}} \right)^2  dt \\ +\Delta W_R &=  R \cdot \int_{0}^t \left( { {U_q}\over{R}} \cdot e^ { -{{t}\over{\tau}}} \right)^2  dt \\ 
-   &=  { {U_0^2}\over{R}} \cdot \int_{0}^t  e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}}  dt \\ +   &=  { {U_q^2}\over{R}} \cdot \int_{0}^t  e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}}  dt \\ 
-   &=  { {U_0^2}\over{R}} \cdot   \left[ -{{\tau }\over{2}} \cdot e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \quad & | \text{mit } \tau = R \cdot C \\ +   &=  { {U_q^2}\over{R}} \cdot   \left[ -{{\tau }\over{2}} \cdot e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \quad & | \text{mit } \tau = R \cdot C \\ 
-   &=   -{{1}\over{2}} \cdot {U_0^2}\cdot{C} \cdot   \left[ e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \\+   &=   -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot   \left[ e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \\
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 425: Zeile 425:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta W_R &=  -{{1}\over{2}} \cdot {U_0^2}\cdot{C} \cdot   \left[ e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^{\infty} \\ +\Delta W_R &=  -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot   \left[ e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^{\infty} \\ 
-   &=  -{{1}\over{2}} \cdot {U_0^2}\cdot{C} \cdot   \left[ 0 - 1  \right] \\+   &=  -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot   \left[ 0 - 1  \right] \\
 \end{align*} \end{align*}
 \begin{align*} \begin{align*}
-\boxed{ \Delta W_R  =  {{1}\over{2}} \cdot {U_0^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4}+\boxed{ \Delta W_R  =  {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4}
 \end{align*} \end{align*}
  
-Das heißt, die am Widerstand umgesetzte Energie ist unabhängig vom Widerstandswert (bei einer idealen Konstantspannungsquelle $U_0$ und gegebenen Kondensator $C$)! Das klingt zunächst erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Egal, ob ein sehr großer Widerstand $R_1$ oder ein winzig kleiner Widerstand $R_2$ vorhanden ist: Es wird immer die gleiche Abwärme erzeugt. \\  +Das heißt, die am Widerstand umgesetzte Energie ist unabhängig vom Widerstandswert (bei einer idealen Konstantspannungsquelle $U_q$ und gegebenen Kondensator $C$)! Das klingt zunächst erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Egal, ob ein sehr großer Widerstand $R_1$ oder ein winzig kleiner Widerstand $R_2$ vorhanden ist: Es wird immer die gleiche Abwärme erzeugt. \\  
-Anschaulich lässt sich dieser scheinbarer Widerspruch so auflösen: Ein höherer Widerstand $R_2$ bremst die kleinen Ladungspäckchen $\Delta q_1$, $\Delta q_2$, ...  $\Delta q_n$ stärker aus. Aber ein betrachtetes, einzelnes Ladungspäckchen $\Delta q_k$ wird dennoch über den Widerstand $R_1$ oder $R_2$ die gleiche Spannung durchlaufen, da diese nur durch die angesammelten Päckchen im Kondensator gegeben ist: $u_r = U_0 - u_C = = U_0 - {{q}\over{C}}$. +Anschaulich lässt sich dieser scheinbarer Widerspruch so auflösen: Ein höherer Widerstand $R_2$ bremst die kleinen Ladungspäckchen $\Delta q_1$, $\Delta q_2$, ...  $\Delta q_n$ stärker aus. Aber ein betrachtetes, einzelnes Ladungspäckchen $\Delta q_k$ wird dennoch über den Widerstand $R_1$ oder $R_2$ die gleiche Spannung durchlaufen, da diese nur durch die angesammelten Päckchen im Kondensator gegeben ist: $u_r = U_q - u_C = U_q - {{q}\over{C}}$. 
  
 In realen Anwendungen sind, wie in vorherigen Kapiteln angesprochen, keine idealen Spannungsquellen möglich. Damit wird ohne einem reell verbauten Widerstand die Abwärme anteilig am Innenwiderstand der Quelle und am Innenwiderstand des Kondensators abgegeben. Der Innenwiderstand des Kondensators ist Frequenzabhängig, aber in der Regel kleiner als der Innenwiderstand der Quelle.  In realen Anwendungen sind, wie in vorherigen Kapiteln angesprochen, keine idealen Spannungsquellen möglich. Damit wird ohne einem reell verbauten Widerstand die Abwärme anteilig am Innenwiderstand der Quelle und am Innenwiderstand des Kondensators abgegeben. Der Innenwiderstand des Kondensators ist Frequenzabhängig, aber in der Regel kleiner als der Innenwiderstand der Quelle. 
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 === Betrachtung des gesamten Energieumsatzes === === Betrachtung des gesamten Energieumsatzes ===
  
-In den vorherigen Betrachtungen wurde auch der Energieumsatz beim kompletten Ladevorgang betrachtet. Dabei ergab sich, dass der Kondensator die Energie $W_C= {{1}\over{2}} \cdot {U_0^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.3)$) speichert und am Widerstand die Energie $W_R= {{1}\over{2}} \cdot {U_0^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.4)$) in Wärme umwandelt. Insgesamt speißt die Spannungsquelle also folgende Energie ein:+In den vorherigen Betrachtungen wurde auch der Energieumsatz beim kompletten Ladevorgang betrachtet. Dabei ergab sich, dass der Kondensator die Energie $W_C= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.3)$) speichert und am Widerstand die Energie $W_R= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.4)$) in Wärme umwandelt. Insgesamt speißt die Spannungsquelle also folgende Energie ein:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
- W_0 &= W_R + W_C =  {U_0^2}\cdot{C} +\Delta W_0 &=\Delta W_R + \Delta W_C =  {U_q^2}\cdot{C} 
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 448: Zeile 448:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-W_0 &=  \int_{0}^{\infty} u_0 \cdot i_0 \cdot dt \quad | \quad u_0 \text{ ist konstant, da Konstantspannungsquelle!} \\ +\Delta W_0 &=  \int_{0}^{\infty} u_0 \cdot i_0 \cdot dt \quad | \quad u_0 = U_q \text{ ist konstant, da Konstantspannungsquelle!} \\ 
-&= U_0 \cdot \int_{0}^{\infty} i_C dt \\ +&= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} i_C dt \\ 
-&= U_0 \cdot \int_{0}^{\infty} {{dq}\over{dt}} dt \\ +&= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} {{dq}\over{dt}} dt \\ 
-&= U_0 \cdot \int_{0}^Q dq = U_0 \cdot Q \quad | \quad \text{wobei gilt, dass } Q= C \cdot U_0 \\ +&= U_q \cdot \int_{0}^Q dq = U_q \cdot Q \quad | \quad \text{wobei gilt, dass } Q= C \cdot U_q \\ 
-&= U_0^2 \cdot C \\+&= U_q^2 \cdot C \\
 \end{align*} \end{align*}
  
-Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Auch hier hilft wieder der Blick auf kleine Ladungspakete, die von der idealen Quelle auf den Kondensator übertragen werden müssen. \\ <imgref BildNr06> zeigt Strom- und Spannungsverlauf am Kondensator und die gespeicherte Energie für verschiedene Widerstandswerte. Auch dort ist zu sehen, dass die maximal gespeicherte Energie (gestrichelte Linie im Bild rechts) allein durch $W= {{1}\over{2}} U_0^2 \cdot C = {{1}\over{2}} \cdot (5V)^2 \cdot 1 \mu F = 12,5 \mu Ws$ gegeben ist.+Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Auch hier hilft wieder der Blick auf kleine Ladungspakete, die von der idealen Quelle auf den Kondensator übertragen werden müssen. \\ <imgref BildNr06> zeigt Strom- und Spannungsverlauf am Kondensator und die gespeicherte Energie für verschiedene Widerstandswerte. Auch dort ist zu sehen, dass die maximal gespeicherte Energie (gestrichelte Linie im Bild rechts) allein durch $\Delta W= {{1}\over{2}} U_q^2 \cdot C = {{1}\over{2}} \cdot (5V)^2 \cdot 1 \mu F = 12,5 \mu Ws$ gegeben ist.
  
  
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-In folgender Simulation kann dies auch getestet werden. Neben dem bisher dargestellten RC-Glied ist hier zusätzlich ein Leistungsmessgerät und ein Integrator eingezeichnet. Darüber ist es möglich die Momentanleistung und die gespeicherte Energie darzustellen. Über den Slider %Resistance R% kann der Widerstandswert variiert werden. In den Oszilloskopen sind folgende Werte dargestellt:+In folgender Simulation kann dies auch getestet werden. Neben dem bisher dargestellten RC-Glied ist hier zusätzlich ein Leistungsmessgerät und ein Integrator eingezeichnet. Darüber ist es möglich die Momentanleistung und die gespeicherte Energie darzustellen. Über den Slider %%Resistance R%% kann der Widerstandswert variiert werden. In den Oszilloskopen sind folgende Werte dargestellt:
   * links: Strom $u_C$ und Spannung $i_C$ am Kondensator   * links: Strom $u_C$ und Spannung $i_C$ am Kondensator
   * mitte: Momentanleistung $p_C = u_C \cdot i_C$ des Kondensators   * mitte: Momentanleistung $p_C = u_C \cdot i_C$ des Kondensators
   * rechts: gespeicherte Energie $w_C = \int u_C \cdot i_C \; dt$ des Kondensators   * rechts: gespeicherte Energie $w_C = \int u_C \cdot i_C \; dt$ des Kondensators
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BOJyWoVaYEBYDsuBmbSbMSAVmwDZcqRyJyRsCAoAN3G2xACZiuPMNyiiBTSKJjlWAJxAFyvQczB1hPSWFYBjEFQEb9A-pLOx4kCDCtYw5AhX4IAHDUfWL2gO4rTfEwFIVl9-fwIqFwCzEOi4-zBaKFjecnVeKKMwDOTfLJyskWDQtPAqSQTy3Li1CsMk4IAPANxwSHReKgJwbOYAkABlVma1brAXZXGtFyYefhAAVWHwFy0EMYQ1uiEopoVcCDB7BRdM8b75gCVl8or2-US+XrmeAGFWAlxJRyERRUmRNZkgAHfSnFSRKIJKSxSFxAx1GK+OFGBEqPa8BDqXoeHqzfoAS2WuOy3zAY143R2IHezQOQnwIFwnRWkmptP0SHAXyZvUSVP6AFdWLU+OCjKl1EU+FpLHLgpc+MyyhVlVhJnxOXNoExeDqFJh+OT1lQyFRXBIdSlxX8SOjYtgsfDAkj9JBMiI0UZivQqkdlOQEJNesFoCAAJIAOwALgBTADmsgAhtGAPbyCrgTUAUUjsdk8YAngpRN0AAqp7z5vqZgDywIAggBbYHZgA2TYAOgBnMA93g9gid2SvJPApM6Alp2Ttrvdoe94eXWPdgnd6eznt97vYYcAcVkqcFkYAJpvu8oXJ2t-Br92ALRkOB3p+WO+P6DOXBY1xIciUU1yFjR9IDvUCbzfbtwMXHsbHgbJHVWHAXG-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 900,500 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BOJyWoVaYEBYDsuBmbSbMSAVmwDZcqRyJyRsCAoAN3G2xACZiuPMNyiiBTSKJjlWAJxAFyvQczB1hPSWFYBjEFQEb9A-pLOx4kCDCtYw5AhX4IAHDUfWL2gO4rTfEwFIVl9-fwIqFwCzEOi4-zBaKFjecnVeKKMwDOTfLJyskWDQtPAqSQTy3Li1CsMk4IAPANxwSHReKgJwbOYAkABlVma1brAXZXGtFyYefhAAVWHwFy0EMYQ1uiEopoVcCDB7BRdM8b75gCVl8or2-US+XrmeAGFWAlxJRyERRUmRNZkgAHfSnFSRKIJKSxSFxAx1GK+OFGBEqPa8BDqXoeHqzfoAS2WuOy3zAY143R2IHezQOQnwIFwnRWkmptP0SHAXyZvUSVP6AFdWLU+OCjKl1EU+FpLHLgpc+MyyhVlVhJnxOXNoExeDqFJh+OT1lQyFRXBIdSlxX8SOjYtgsfDAkj9JBMiI0UZivQqkdlOQEJNesFoCAAJIAOwALgBTADmsgAhtGAPbyCrgTUAUUjsdk8YAngpRN0AAqp7z5vqZgDywIAggBbYHZgA2TYAOgBnMA93g9gid2SvJPApM6Alp2Ttrvdoe94eXWPdgnd6eznt97vYYcAcVkqcFkYAJpvu8oXJ2t-Br92ALRkOB3p+WO+P6DOXBY1xIciUU1yFjR9IDvUCbzfbtwMXHsbHgbJHVWHAXG-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 900,500 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
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 <panel type="info" title="Aufgabe 7.2.5 Übungsaufgabe zum Ladungsausgleich zweier Kondensatoren"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <panel type="info" title="Aufgabe 7.2.5 Übungsaufgabe zum Ladungsausgleich zweier Kondensatoren"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3EZgBwDZkCYAsBWAnDgOxYDMG52IJEOIpAUAMbgbJ1tividRSzyQ8Q4SNF5wkCUyo4M7GXLA9JMAYLEahvSPQDmLDj04cuKvQu5ySsg9voZIhW1hMdUdEAFcAFAGEwAJT2jhYuFmDuWF5+GEEAziDkUWSJhFZykhAAZgCGADZxAKb0AO7OHISRbDokhJIkkFFh1nJhiFD0AMrglfJJ8ioguQWFvBj0AE6JlKhRGGkgs7xgpalySw1N1avz6VSNA-TQIACiAHaFE7oAngC2hQAul2OJVCC+r5JyAKrgf3IAdQ89RAADVfKDOic8rcADpxMDwjDwkjwrDwnCwiYAcQmAHtPGcACbQuFxTE4-GEkkwlFQWEohlxGA4ABU3hyAFpGAEAHoYdkAI25AXhkCZ4uZEvoWDAkhwPBSOFQkiWEHOlxu9yeU0lqOZ0DZHJF-KFIvpzItOgASiAFXsXPUMrwsCp+PBNJptHwcMEnFg8O4wFgtpkQx4fL5Yn66IHFqH4xG-IF6Lb7ZZ2JllC63WpPRpvSyZXK7UYeMqw1F1RcrndHs89WLDeyuTzTd5hTyrVb6AAPKgNCQkKiuiSRcBscb96jDvBsEiDuUQOZRXx9kDIJxLiRVg4r97ruW7oPBiTiKscdfYSR4OZEEB4f2JKLWq84Ye0DCoYdsC+JK8kO4Xw2MO+6dFekByBgn48Fwf4rP2KCfl8kAQBgoHPiA4H9lgqC0Jy8yLAuIAEU04DuCcEy3AAlg8Dx5ISujwkSlzwhqVzUYUZxHKcNY3HEni3PcuqvFYIAAhA7SAlB-wgIAiERAlEILgpCpLwoicTInE+rouSWK4gSxJqdp+lUkZtLkvSjLwsaPIMgyAAOHYimKEquWKxbykYeByDg4YOBwvGatcAlCQ2jJxLZoqwk5nYBN2ko6A4TgqvO6yjikUQlMmQTJYskCGOlWatCA2VRrlISpeAPnxpkNVRHJJQxumYD1cgdUlWVKZ5em-SOtMZFldGZQBu4SzpksOgjXGwZRC14Y6IKdBhJyYSoKgTjQU4Oh4h47SyqeJZIC8yT0LttD7Uou58JJry0CQZ37H8kgHUp-CINAaGvIOD27dQz10FdfAIDdbxWBAv1UIoLpA6oqGg3MUNUPQJDVK8aGSAAkmctHUfk8KgnieQPDkujFEAA 900,500 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3EZgBwDZkCYAsBWAnDgOxYDMG52IJEOIpAUAMbgbJ1tividRSzyQ8Q4SNF5wkCUyo4M7GXLA9JMAYLEahvSPQDmLDj04cuKvQu5ySsg9voZIhW1hMdUdEAFcwACgDCYACU9o4WLhZg7lhevn4YwQDOIOTRZMmEVnKSEABmAIYANgkApvQA7s4chFFsOiSEkiSQ0eHWcuGIUPQAyuDV8inyKiD5RcW8GPQATsmUqNEYGSDzvGDl6XIrTS2164uZVM1D9NAgAKIAdsVTugCeALbFAC7XE8lUIH7vknIAquAAuQAdQ8jRAADU-ODumcCvcADoJMCIjCIkiIrCInDwqYAcSmAHtPBcACawhEJbF4wnEslwtFQeFopkJGA4ABUPjyAFpGIEAHoYTkAI15gURkBZktZUvoWDAkhwPDSOFQkhWEEu1zujxeM2l6NZ0A5XLFgpFYsZrKtOgASiAlQcXI0srwsCp+PBNJptHwcCEnFg8O4wFgdtkwx5vP54gG6MHluHE1HYkF6PbHZZ2NllG6PWpvRpfWy5QqHUYeKqI9FNVcbg9nq8DRLjZyeXzzT5RXybTb6AAPKhNCQkKjuiRRcBsSaD6ijvBsEjDhUQBbRPwDkDIJwriQ1o5rz6bhX7kOhiTiGscTfYSR4BZEEB4QPJaK2m84Ue0DCoUdsK-JDeJDuD8Nijoe3Q3pAcgYN+PBcABayDig34-JAEAYOBr4gJBg5YKgtDcosyxLiAREtOA7hnFM9wAJZPE8BTEroiIktciJajctHFBcJznHWdwJJ49yPPq7xWCAQIQJ0wIwYCICAIhEILRGCkLQuSiLIgkqIJIamKUji+JEqSGm6YZNImfSlKMsyiKmnyTJMgADl2YoSlK7kSqWipGHgcg4JGDgcPx2q3EJIlNsyCT2eK8Iud2gS9tKOgOE4aqLps45pNEZSpsEqXLJAhiZTm7QgGUGAxvloTpeAfmJtk9XRApZRxpmYBNcgjVlbl-hpgVmaDM6swURVVXrEG7grJmKw6BUk3gJG7WRjowp0OE3LhKgqBOLBTg6ASHidPK55lkgbypPQh20MdSj7nw0nvLQJBXYcAKSCdKn8Ig0AYe8w4vYd1DvXQd18AgD0fFYECA1QihumDqjoZDCxw1Q9AkLU7wYZIACSFz0bRhSIuCBIFE8eS6KUQA 900,500 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
 +
 +Rechts sehen Sie eine Simulation, welche die beiden Kondensatoren $C_1$ und $C_2$ enthält. 
 +Zu Beginn ist $C_1$ auf $10V$ und $C_2$ auf $0V$ aufgeladen. mit den Schaltern $S_1$ und $S_2$ können Sie auswählen, ob
 +  - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ kurzgeschlossen werden, oder
 +  - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ über den Widerstand $R$ verbunden werden.
 +
 +Rechts in der Simulation sind zusätzlich noch einige "Messgeräte" vorhanden, um aus den Spannungen über den Kondensatoren die gespeicherte potentielle Energie zu berechnen. \\
 +
 +Im folgenden sollen nun mit diesem Aufbau das Laden und Entladen eines Kondensators erklärt werden.
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +Unter dem elektrischen Aufbau sind folgende Größen im Zeitverlauf dargestellt:
 +
 +^ Spannung $u_1(C_1)$ des ersten Kondensators ^ Spannung $u_2(C_2)$ des zweiten Kondensators ^ gespeicherte Energie $w_1(C_1)$ ^ gespeicherte Energie $w_2(C_2)$ ^ gesamte Energie $\sum w$ ^
 +| Anfänglich auf $10V$ aufgeladen | Anfänglich neutral geladen ($0V$) | Anfänglich gilt: \\ $w_1(C_1)= {1 \over 2} \cdot C \cdot U^2 = {1 \over 2} \cdot 10\mu F  \cdot (10V)^2 = 500\mu W$ \\ Im Oszilloskop entspricht $1V \sim 1W$ | Anfänglich ist $w_2(C_2)=0$ , da der Kondensator nicht geladen ist. | Die Gesamtenergie ist $w_1 + w_2 = w_1$|
 +
 +Der Kondensator $C_1$ hat also zunächst die volle Energie gespeichert und über ein Schließen des Schalters $S_2$ würde man ein Ausgleich der Spannungen und eine Gleichverteilung der Energie $w_1 + w_2 = 500\mu W$ erwarten.
 +
 +  - Schließen Sie den Schalter $S_2$ (der Wechselschalter $S_1$ soll auf den Schalter $S_2$ zeigen). Was stellen Sie fest?
 +    - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$?
 +    - Was die Energien und die Gesamtenergie? \\ Wie ist das mit der vorherigen Gesamtenergie verständlich?
 +  - Öffnen Sie den $S_2$ - der Wechselschalter $S_1$ soll nicht geändert werden. Was stellen Sie fest?
 +    - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$?
 +    - Was die Energien und die Gesamtenergie? \\ Wie ist das mit der vorherigen Gesamtenergie verständlich?
 +  - Wiederholen Sie 1. und 2. mehrmals. Kann etwas bzgl. der Verteilung der Energie abgeleitet werden?
 +  - Wechseln Sie den Schalter $S_2$ auf den Widerstand. Was stellen Sie fest?
 +    - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$?
 +    - Was die Energien und die Gesamtenergie? \\ Wie ist das mit der vorherigen Gesamtenergie verständlich?
  
 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
  
 +{{page>aufgabe_7.2.6_mit_rechnung&nofooter}}