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elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2023/09/19 22:38]
mexleadmin 		elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2023/09/19 22:57] (aktuell)
mexleadmin
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 \begin{align*} \begin{align*}
-C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 {{As}\over{V}}= 1 F = 1\; Farad+C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 ~\rm {{As}\over{V}}= 1 ~\rm F = 1 ~\rm  Farad
 \end{align*} \end{align*}
    
 Aber nicht immer ist direkt zu erkennen, das ein Aufbau einen Kondensator enthält. \\ So sind folgende Beispiele auch Kondensatoren: Aber nicht immer ist direkt zu erkennen, das ein Aufbau einen Kondensator enthält. \\ So sind folgende Beispiele auch Kondensatoren:
   * **offener Schalter**: Liegt zwischen den beiden Metallteilen eine Spannung an, so können sich dort auch Ladungen ansammeln. \\ Da die Abstände in der Regel groß sind und als Dielektrikum Luft verwendet wird, ist die Kapazität des so gebildeten Kondensators sehr klein.   * **offener Schalter**: Liegt zwischen den beiden Metallteilen eine Spannung an, so können sich dort auch Ladungen ansammeln. \\ Da die Abstände in der Regel groß sind und als Dielektrikum Luft verwendet wird, ist die Kapazität des so gebildeten Kondensators sehr klein.
-  * **Freileitung**: Eine Freileitung stellt gegen das Massepotential des Erdbodens auch ein Kondensator dar. Das Laden und Entladen durch den Wechselstrom führt dazu, dass sich polarisierbare Moleküle Ausrichten können. So werden z.B. die Wassertropfen in der Nähe der Leitung durch das Feld durchgewalkt und brummen mit $100Hz$ und vielfachem davon (Oberwellen). Durch Spitzenentladung ergibt sich das hochfrequente Knistern.+  * **Freileitung**: Eine Freileitung stellt gegen das Massepotential des Erdbodens auch ein Kondensator dar. Das Laden und Entladen durch den Wechselstrom führt dazu, dass sich polarisierbare Moleküle Ausrichten können. So werden z.B. die Wassertropfen in der Nähe der Leitung durch das Feld durchgewalkt und brummen mit $100~\rm Hz$ und vielfachem davon (Oberwellen). Durch Spitzenentladung ergibt sich das hochfrequente Knistern.
   * **Leiterbahn**: Auch eine Leiterbahn auf einer Platine kann gegen eine naheliegende Massefläche einen Kondensator darstellen. Dies kann für digitale Signale eine Problem darstellen (sieh Lade- und Entladekurven im Folgenden)   * **Leiterbahn**: Auch eine Leiterbahn auf einer Platine kann gegen eine naheliegende Massefläche einen Kondensator darstellen. Dies kann für digitale Signale eine Problem darstellen (sieh Lade- und Entladekurven im Folgenden)
-  * **Menschlicher Körper**: Der menschliche Körper kann ebenso Ladung aufnehmen. Die so aufgenommene Ladung bildet gegenüber anderen Objekten einen Kondensator. Dieser kann auf einige $kV$ aufgeladen werden. Dies macht besondert in Elektrolaboren Probleme, da durch die bloße Berührung von Bauteilen diese zerstört werden können.+  * **Menschlicher Körper**: Der menschliche Körper kann ebenso Ladung aufnehmen. Die so aufgenommene Ladung bildet gegenüber anderen Objekten einen Kondensator. Dieser kann auf einige $\rm kV$ aufgeladen werden. Dies macht besondert in Elektrolaboren Probleme, da durch die bloße Berührung von Bauteilen diese zerstört werden können.
   * **Membran von Nervenzellen**: Auch bei Nervenzellen ergeben sich durch die Lipiddoppelschicht (Membran der Nervenzelle) und den zwei zellulären Flüssigkeiten mit unterschiedlichen Elektrolyten (Ionen) ergeben einen Kondensator. Die Nervenzellen sind für eine schnellere Übertragung mit einer dicken Schicht (Myelinschicht) umgeben. Diese senkt die Kapazität und erhöht damit das nacheinander stattfindende Aufladen aufeinanderfolgender Teile der Nervenzelle. Bei Krankheiten wie Creutzfeldt–Jakob oder Multiple Sklerose dünnt sich diese Schicht aus. Dies führt zu verzögerter Signalübertragung welche die Krankheitsbilder prägt.    * **Membran von Nervenzellen**: Auch bei Nervenzellen ergeben sich durch die Lipiddoppelschicht (Membran der Nervenzelle) und den zwei zellulären Flüssigkeiten mit unterschiedlichen Elektrolyten (Ionen) ergeben einen Kondensator. Die Nervenzellen sind für eine schnellere Übertragung mit einer dicken Schicht (Myelinschicht) umgeben. Diese senkt die Kapazität und erhöht damit das nacheinander stattfindende Aufladen aufeinanderfolgender Teile der Nervenzelle. Bei Krankheiten wie Creutzfeldt–Jakob oder Multiple Sklerose dünnt sich diese Schicht aus. Dies führt zu verzögerter Signalübertragung welche die Krankheitsbilder prägt. 
  
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 Ein idealer Schalter ist dabei gekennzeichnet durch: Ein idealer Schalter ist dabei gekennzeichnet durch:
   * unendlich schnellem Schalten   * unendlich schnellem Schalten
-  * Widerstand von $0\Omega$ im geschlossenen Zustand ("Kurzschluss")+  * Widerstand von $0~\rm \Omega$ im geschlossenen Zustand ("Kurzschluss")
   * Widerstand $\rightarrow \infty$ im offenen Zustand ("offene Leitung")   * Widerstand $\rightarrow \infty$ im offenen Zustand ("offene Leitung")
   * keiner kapazitiven Wirkung   * keiner kapazitiven Wirkung
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 Aufgaben: Aufgaben:
-  - Machen Sie sich damit vertraut, wie der Kondensatorstrom $i_C$ und die Kondensatorspannung $u_C$ von der vorgegebenen Kapazität $C$ und dem Widerstand $R$ abhängt. \\ Nutzen Sie dazu für $R=\{ 10\Omega, 100\Omega, 1k\Omega\}$ und $C=\{ 1\mu F, 10 \mu F\}$. Wie schnell steigt die Kondensatorspannung $u_C$ jeweils n?+  - Machen Sie sich damit vertraut, wie der Kondensatorstrom $i_C$ und die Kondensatorspannung $u_C$ von der vorgegebenen Kapazität $C$ und dem Widerstand $R$ abhängt. \\ Nutzen Sie dazu für $R=\{ 10~\rm \Omega, 100~\rm \Omega, 1~\rm k\Omega\}$ und $C=\{ 1 ~\rm \mu F, 10 ~\rm \mu F\}$. Wie schnell steigt die Kondensatorspannung $u_C$ jeweils n?
   - Welche Größe ($i_C$ oder $u_C$) ist hier stetig? Warum muss diese stetig sein? Warum muss die andere Größe unstetig sein?   - Welche Größe ($i_C$ oder $u_C$) ist hier stetig? Warum muss diese stetig sein? Warum muss die andere Größe unstetig sein?
  
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 Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_q$ geladen werden.  Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_q$ geladen werden. 
-  * Damit die Spannung $U_q$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen.+  * Damit die Spannung $U_q$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 ~\rm s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen.
   * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom ("Ladestrom") im Stromkreis. Dieser wird nur durch den Widerstand $R$ begrenzt. Der ungeladene Kondensator hat zu dem Zeitpunkt eine Spannung $u_C(t_0)=0V$. Die maximale Spannung $u_R(t_0)=U_q$ liegt am Widerstand an. Der Strom ist $i_C(t_0)={{U_q}\over{R}}$.   * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom ("Ladestrom") im Stromkreis. Dieser wird nur durch den Widerstand $R$ begrenzt. Der ungeladene Kondensator hat zu dem Zeitpunkt eine Spannung $u_C(t_0)=0V$. Die maximale Spannung $u_R(t_0)=U_q$ liegt am Widerstand an. Der Strom ist $i_C(t_0)={{U_q}\over{R}}$.
   * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$.    * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$. 
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 \begin{align*} \begin{align*}
-R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{du_R}\over{di_R}} = const. \\ +R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{{\rm d}u_R}\over{{\rm d}i_R}} = {\rm const.} \\ 
-C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} = {{dq}\over{du_C}}  = const.  \tag{7.1.1}+C = {{q  (t)}\over{u_C(t)}} = {{{\rm d}  q}\over{{\rm d}u_C}} = {\rm const.}  \tag{7.1.1}
 \end{align*} \end{align*}
  
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 \end{align*} \end{align*}
  
-Im ersten Augenblick $dt$ fließt durch den Strom $i_C$ ein infinitesimal kleines Ladungs"häppchen" $dq$ von der Spannungsquelle getrieben durch den Stromkreis. \\+Im ersten Augenblick ${\rm d}t$ fließt durch den Strom $i_C$ ein infinitesimal kleines Ladungs"häppchen" ${\rm d}q$ von der Spannungsquelle getrieben durch den Stromkreis. \\
 Für diese ergibt sich mit $(7.1.1)$: Für diese ergibt sich mit $(7.1.1)$:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-i_C = {{dq}\over{dt}} \quad \quad \text{und} \quad dq = C \cdot du_C+i_C = {{{\rm d}q}\over{{\rm d}t}} \quad \quad \text{und} \quad {\rm d}q = C \cdot {\rm d}u_C
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 140: Zeile 140:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-i_C = C \cdot {{du_C}\over{dt}} \tag{7.1.3}+i_C = C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} \tag{7.1.3}
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 147: Zeile 147:
 \begin{align*} \begin{align*}
 U_q &=u_R + u_C \\  U_q &=u_R + u_C \\ 
-&= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C +&= R \cdot C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} + u_C 
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 157: Zeile 157:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}+u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}
 \end{align*} \end{align*}
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-U_q &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ +U_q &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ 
-    &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ +    &= R \cdot C \cdot                         \mathcal{AB} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} +                \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ 
-U_q - \mathcal{C} &=  ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} \\+U_q - \mathcal{C} &=  ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} \\
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 179: Zeile 179:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q+u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q
 \end{align*} \end{align*}
  
-Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = 0$:+Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ gerade gilt $u_C(t_0) = 0$:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_q \\+0 &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}} + U_q \\
 0 &= \mathcal{A}  + U_q \\ 0 &= \mathcal{A}  + U_q \\
 \mathcal{A} &= - U_q \mathcal{A} &= - U_q
Zeile 193: Zeile 193:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) &= - U_q \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q +u_C(t) &= - U_q \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q 
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 201: Zeile 201:
 Und damit ergibt sich: Und damit ergibt sich:
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) &= U_q \cdot (1 - e^{\large{- {{t}\over{R C}}}})+u_C(t) &= U_q \cdot (1 - {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}}}})
 \end{align*} \end{align*}
  
 Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu:
 \begin{align*} \begin{align*}
-i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } }+i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } }
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 221: Zeile 221:
 <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">
   * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\   * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\
-  * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 1}) = U_q \cdot (1 - {{1}\over{e}}) = U_q \cdot ({{e-1}\over{e}}) = 0,63 \cdot U_q = 63\%  \cdot U_q $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63$% aufgeladen**. \\ \\ +  * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - {\rm e}^{- 1}) = U_q \cdot (1 - {{1}\over{\rm e}}) = U_q \cdot ({{{\rm e}-1}\over{\rm e}}) = 0,63 \cdot U_q = 63 ~\%  \cdot U_q $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63~\%$ aufgeladen**. \\ \\ 
-  * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 2}) = 86 \% \cdot U_q = (63 \% + (1-63 \%) \cdot 63 \% ) \cdot U_q$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 \%$) wieder zu $63\%$ aufgeladen**. \\ \\ +  * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - {\rm e}^{- 2}) = 86 ~\% \cdot U_q = (63 ~\% + (1-63 ~\%) \cdot 63 ~\% ) \cdot U_q$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 ~\%$) wieder zu $63~\%$ aufgeladen**. \\ \\ 
-  * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden.+  * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99~\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden.
   * die Zeitkonstante $\tau$ kann auf mehrere Wege grafisch bestimmt werden:   * die Zeitkonstante $\tau$ kann auf mehrere Wege grafisch bestimmt werden:
-    * Eintragen des Spannungswertes welcher $63\%$ entspricht auf der y-Achse. Suchen des Schnittpunktes mit dem Graphen. Ablesen des Zeitpunkts (siehe grüne Linien in <imgref BildNr04>).+    * Eintragen des Spannungswertes welcher $63~\%$ entspricht auf der y-Achse. Suchen des Schnittpunktes mit dem Graphen. Ablesen des Zeitpunkts (siehe grüne Linien in <imgref BildNr04>).
     * Einzeichnen der Tangente zur (Spannungs)Ladekurve zum Zeitpunkt des entladenen Kondensators. \\ Diese schneidet eine horizontale Linie auf der Höhe der Ladespannung am Punkt $t=\tau$ (siehe schwarze und hellblaue Linien in <imgref BildNr04>).     * Einzeichnen der Tangente zur (Spannungs)Ladekurve zum Zeitpunkt des entladenen Kondensators. \\ Diese schneidet eine horizontale Linie auf der Höhe der Ladespannung am Punkt $t=\tau$ (siehe schwarze und hellblaue Linien in <imgref BildNr04>).
 </callout> </callout>
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 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}+u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}
 \end{align*} \end{align*}
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-0 &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ +0 &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ 
-  &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ +  &= R \cdot C \cdot                         \mathcal{AB} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} +                \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ 
-0 - \mathcal{C} &=  ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} \\+0 - \mathcal{C} &=  ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} \\
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 285: Zeile 285:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} +u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} 
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 291: Zeile 291:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-U_q &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}}  \\+U_q &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}}  \\
 U_q &= \mathcal{A}  \\ U_q &= \mathcal{A}  \\
 \mathcal{A} &= U_q \mathcal{A} &= U_q
Zeile 307: Zeile 307:
 Und damit ergibt sich: Und damit ergibt sich:
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) &= U_q \cdot e^{\large{- {{t}\over{\tau}}}} \quad \text{mit} \quad \tau = R C+u_C(t) &= U_q \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{\tau}}}} \quad \text{mit} \quad \tau = R C
 \end{align*} \end{align*}
  
 Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu:
 \begin{align*} \begin{align*}
-i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } }+i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } }
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 330: Zeile 330:
  
 Aufgaben: Aufgaben:
-  - Erhöhen Sie die die Frequenz auf $f=10kHz$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? +  - Erhöhen Sie die die Frequenz auf $f=10 ~\rm kHz$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? 
-  - Erhöhen Sie nun zusätzlich die Kapazität auf $C=10 \mu F$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? +  - Erhöhen Sie nun zusätzlich die Kapazität auf $C=10 ~\rm \mu F$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? 
-  - Erhöhen Sie nun zusätzlich den Widerstand auf $R= 1 k\Omega$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$?+  - Erhöhen Sie nun zusätzlich den Widerstand auf $R= 1 ~\rm k\Omega$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$?
  
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
Zeile 374: Zeile 374:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} dw = \int_{0}^t u \cdot i \cdot dt = \int_{0}^t u_C \cdot i_C dt \tag{7.2.1} +\Delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} {\rm d}w = \int_{0}^t u \cdot i \cdot {\rm d}t = \int_{0}^t u_C \cdot i_C {\rm d}t \tag{7.2.1} 
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 380: Zeile 380:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-u_C(t) = U_q\cdot (1 - e^{ - {{t}\over{\tau}} })  \\ +u_C(t) =   U_q\cdot (1 -       {\rm e}^{ - {{t}\over{\tau}} })  \\ 
-i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot e^{ -{{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2}+i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{ - {{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2}
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 387: Zeile 387:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} \quad &\rightarrow  \quad &q(t) &= {u_C(t)}\cdot{C}  \\ +C      = {{q(t)}\over{u_C(t)}} \          quad &\rightarrow  \quad &q(t) &= {u_C(t)}\cdot{C}  \\ 
-i_C(t) = {{d q(t)}\over{dt}} \quad &\xrightarrow{C=konst.} \quad  &i_C(t) &= C \cdot {{d u_C(t)}\over{dt}} +i_C(t) = {{{\rm d} q(t)}\over{{\rm d}t}} \quad &\xrightarrow{C={\rm const.}} \quad  &i_C(t) &= C \cdot {{{\rm d} u_C(t)}\over{{\rm d}t}} 
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 394: Zeile 394:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{d u_C(t)}\over{dt}} dt \quad & | \text{ Substitution der Integrationsvariable: } t \rightarrow u_C\\ +\Delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{{\rm d} u_C(t)}\over{{\rm d}t}} {\rm d}t \quad & | \text{ Substitution der Integrationsvariable: } t \rightarrow u_C\\ 
-  &= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot  du_C  \quad & | \text{ Da die Kapazität konstant ist, kann Sie vor das Integral geschrieben werden}\\ +  &= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot  {\rm d}u_C  \quad & | \text{ Da die Kapazität konstant ist, kann Sie vor das Integral geschrieben werden}\\ 
-  &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C \, d u_C \\+  &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C \, {\rm d} u_C \\
   &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\   &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\
 \end{align*} \end{align*}
Zeile 403: Zeile 403:
 \end{align*} \end{align*}
  
-Für einen vollständig entladenen Kondensator ($U_q=0V$) ergibt sich also eine beim Aufladen auf die Spannung $U_q$ gespeicherte Energie von $\Delta W_C={{1}\over{2}} C \cdot U_q^2$. +Für einen vollständig entladenen Kondensator ($U_q=0~\rm V$) ergibt sich also eine beim Aufladen auf die Spannung $U_q$ gespeicherte Energie von $\Delta W_C={{1}\over{2}} C \cdot U_q^2$. 
  
 === Energiebetrachtung des Widerstands === === Energiebetrachtung des Widerstands ===
Zeile 410: Zeile 410:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta W_R =  \int_{0}^t u_R \cdot i_R dt = \int_{0}^t R \cdot i_R \cdot i_R dt  = R \cdot \int_{0}^t i_R^2  dt +\Delta W_R =  \int_{0}^t u_R \cdot i_R {\rm d}t = \int_{0}^t R \cdot i_R \cdot i_R {\rm d}t  = R \cdot \int_{0}^t i_R^2 {\rm d}t 
 \end{align*} \end{align*}
  
Zeile 416: Zeile 416:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta W_R &=  R \cdot \int_{0}^t \left( { {U_q}\over{R}} \cdot e^ { -{{t}\over{\tau}}} \right)^2  dt \\ +\Delta W_R &=  R \cdot \int_{0}^t \left( { {U_q}\over{R}} \cdot          {\rm e}^ { -{{t}\over{\tau}}} \right)^2 {\rm d}t \\ 
-   &=  { {U_q^2}\over{R}} \cdot \int_{0}^t  e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}}  dt \\ +           &=  { {U_q^2}\over{R}} \cdot \int_{0}^t                       {\rm e}^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}}   {\rm d}t \\ 
-   &=  { {U_q^2}\over{R}} \cdot   \left[ -{{\tau }\over{2}} \cdot e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \quad & | \text{mit } \tau = R \cdot C \\ +           &=  { {U_q^2}\over{R}} \cdot  \left[ -{{\tau }\over{2}} \cdot {\rm e}^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \quad & | \text{mit } \tau = R \cdot C \\ 
-   &=   -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot   \left[ e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \\+           &=   -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot   \left[      {\rm d}^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \\
 \end{align*} \end{align*}
  
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 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta W_R &=  -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot   \left[ e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^{\infty} \\+\Delta W_R &=  -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot   \left[ {\rm e}^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^{\infty} \\
    &=  -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot   \left[ 0 - 1  \right] \\    &=  -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot   \left[ 0 - 1  \right] \\
 \end{align*} \end{align*}
Zeile 448: Zeile 448:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\Delta W_0 &=  \int_{0}^{\infty} u_0 \cdot i_0 \cdot dt \quad | \quad u_0 = U_q \text{ ist konstant, da Konstantspannungsquelle!} \\ +\Delta W_0 &=           \int_{0}^{\infty} u_0 \cdot i_0 \cdot {\rm d}t \quad | \quad u_0 = U_q \text{ ist konstant, da Konstantspannungsquelle!} \\ 
-&= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} i_C dt \\ +           &= U_q \cdot \int_{0}^{\infty}                         i_C {\rm d}t \\ 
-&= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} {{dq}\over{dt}} dt \\ +           &= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} {{{\rm d}q}\over{{\rm d}t}} {\rm d}t \\ 
-&= U_q \cdot \int_{0}^Q dq = U_q \cdot Q \quad | \quad \text{wobei gilt, dass } Q= C \cdot U_q \\ +           &= U_q \cdot \int_{0}^Q                                    {\rm d}q = U_q \cdot Q \quad | \quad \text{wobei gilt, dass } Q= C \cdot U_q \\ 
-&= U_q^2 \cdot C \\+           &= U_q^2 \cdot C \\
 \end{align*} \end{align*}
  
-Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Auch hier hilft wieder der Blick auf kleine Ladungspakete, die von der idealen Quelle auf den Kondensator übertragen werden müssen. \\ <imgref BildNr06> zeigt Strom- und Spannungsverlauf am Kondensator und die gespeicherte Energie für verschiedene Widerstandswerte. Auch dort ist zu sehen, dass die maximal gespeicherte Energie (gestrichelte Linie im Bild rechts) allein durch $\Delta W= {{1}\over{2}} U_q^2 \cdot C = {{1}\over{2}} \cdot (5V)^2 \cdot 1 \mu F = 12,5 \mu Ws$ gegeben ist.+Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Auch hier hilft wieder der Blick auf kleine Ladungspakete, die von der idealen Quelle auf den Kondensator übertragen werden müssen. \\ <imgref BildNr06> zeigt Strom- und Spannungsverlauf am Kondensator und die gespeicherte Energie für verschiedene Widerstandswerte. Auch dort ist zu sehen, dass die maximal gespeicherte Energie (gestrichelte Linie im Bild rechts) allein durch $\Delta W= {{1}\over{2}} U_q^2 \cdot C = {{1}\over{2}} \cdot (5V)^2 \cdot 1 \mu F = 12,5 ~\rm \mu Ws$ gegeben ist.
  
  
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   * links: Strom $u_C$ und Spannung $i_C$ am Kondensator   * links: Strom $u_C$ und Spannung $i_C$ am Kondensator
   * mitte: Momentanleistung $p_C = u_C \cdot i_C$ des Kondensators   * mitte: Momentanleistung $p_C = u_C \cdot i_C$ des Kondensators
-  * rechts: gespeicherte Energie $w_C = \int u_C \cdot i_C \; dt$ des Kondensators+  * rechts: gespeicherte Energie $w_C = \int u_C \cdot i_C \; {\rm d}t$ des Kondensators
  
 <WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BOJyWoVaYEBYDsuBmbSbMSAVmwDZcqRyJyRsCAoAN3G2xACZiuPMNyiiBTSKJjlWAJxAFyvQczB1hPSWFYBjEFQEb9A-pLOx4kCDCtYw5AhX4IAHDUfWL2gO4rTfEwFIVl9-fwIqFwCzEOi4-zBaKFjecnVeKKMwDOTfLJyskWDQtPAqSQTy3Li1CsMk4IAPANxwSHReKgJwbOYAkABlVma1brAXZXGtFyYefhAAVWHwFy0EMYQ1uiEopoVcCDB7BRdM8b75gCVl8or2-US+XrmeAGFWAlxJRyERRUmRNZkgAHfSnFSRKIJKSxSFxAx1GK+OFGBEqPa8BDqXoeHqzfoAS2WuOy3zAY143R2IHezQOQnwIFwnRWkmptP0SHAXyZvUSVP6AFdWLU+OCjKl1EU+FpLHLgpc+MyyhVlVhJnxOXNoExeDqFJh+OT1lQyFRXBIdSlxX8SOjYtgsfDAkj9JBMiI0UZivQqkdlOQEJNesFoCAAJIAOwALgBTADmsgAhtGAPbyCrgTUAUUjsdk8YAngpRN0AAqp7z5vqZgDywIAggBbYHZgA2TYAOgBnMA93g9gid2SvJPApM6Alp2Ttrvdoe94eXWPdgnd6eznt97vYYcAcVkqcFkYAJpvu8oXJ2t-Br92ALRkOB3p+WO+P6DOXBY1xIciUU1yFjR9IDvUCbzfbtwMXHsbHgbJHVWHAXG-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 900,500 noborder}} <WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3BOJyWoVaYEBYDsuBmbSbMSAVmwDZcqRyJyRsCAoAN3G2xACZiuPMNyiiBTSKJjlWAJxAFyvQczB1hPSWFYBjEFQEb9A-pLOx4kCDCtYw5AhX4IAHDUfWL2gO4rTfEwFIVl9-fwIqFwCzEOi4-zBaKFjecnVeKKMwDOTfLJyskWDQtPAqSQTy3Li1CsMk4IAPANxwSHReKgJwbOYAkABlVma1brAXZXGtFyYefhAAVWHwFy0EMYQ1uiEopoVcCDB7BRdM8b75gCVl8or2-US+XrmeAGFWAlxJRyERRUmRNZkgAHfSnFSRKIJKSxSFxAx1GK+OFGBEqPa8BDqXoeHqzfoAS2WuOy3zAY143R2IHezQOQnwIFwnRWkmptP0SHAXyZvUSVP6AFdWLU+OCjKl1EU+FpLHLgpc+MyyhVlVhJnxOXNoExeDqFJh+OT1lQyFRXBIdSlxX8SOjYtgsfDAkj9JBMiI0UZivQqkdlOQEJNesFoCAAJIAOwALgBTADmsgAhtGAPbyCrgTUAUUjsdk8YAngpRN0AAqp7z5vqZgDywIAggBbYHZgA2TYAOgBnMA93g9gid2SvJPApM6Alp2Ttrvdoe94eXWPdgnd6eznt97vYYcAcVkqcFkYAJpvu8oXJ2t-Br92ALRkOB3p+WO+P6DOXBY1xIciUU1yFjR9IDvUCbzfbtwMXHsbHgbJHVWHAXG-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 900,500 noborder}}
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 Rechts sehen Sie eine Simulation, welche die beiden Kondensatoren $C_1$ und $C_2$ enthält.  Rechts sehen Sie eine Simulation, welche die beiden Kondensatoren $C_1$ und $C_2$ enthält. 
-Zu Beginn ist $C_1$ auf $10V$ und $C_2$ auf $0V$ aufgeladen. mit den Schaltern $S_1$ und $S_2$ können Sie auswählen, ob+Zu Beginn ist $C_1$ auf $10~\rm V$ und $C_2$ auf $0~\m V$ aufgeladen. mit den Schaltern $S_1$ und $S_2$ können Sie auswählen, ob
   - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ kurzgeschlossen werden, oder   - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ kurzgeschlossen werden, oder
   - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ über den Widerstand $R$ verbunden werden.   - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ über den Widerstand $R$ verbunden werden.
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 ^ Spannung $u_1(C_1)$ des ersten Kondensators ^ Spannung $u_2(C_2)$ des zweiten Kondensators ^ gespeicherte Energie $w_1(C_1)$ ^ gespeicherte Energie $w_2(C_2)$ ^ gesamte Energie $\sum w$ ^ ^ Spannung $u_1(C_1)$ des ersten Kondensators ^ Spannung $u_2(C_2)$ des zweiten Kondensators ^ gespeicherte Energie $w_1(C_1)$ ^ gespeicherte Energie $w_2(C_2)$ ^ gesamte Energie $\sum w$ ^
-| Anfänglich auf $10V$ aufgeladen | Anfänglich neutral geladen ($0V$) | Anfänglich gilt: \\ $w_1(C_1)= {1 \over 2} \cdot C \cdot U^2 = {1 \over 2} \cdot 10\mu F  \cdot (10V)^2 = 500\mu W$ \\ Im Oszilloskop entspricht $1V \sim 1W$ | Anfänglich ist $w_2(C_2)=0$ , da der Kondensator nicht geladen ist. | Die Gesamtenergie ist $w_1 + w_2 = w_1$|+| Anfänglich auf $10~\rm V$ aufgeladen | Anfänglich neutral geladen ($0~\rm V$) | Anfänglich gilt: \\ $w_1(C_1)= {1 \over 2} \cdot C \cdot U^2 = {1 \over 2} \cdot 10 ~\rm \mu F  \cdot (10~V)^2 = 500~\mu W$ \\ Im Oszilloskop entspricht $1~\rm V \sim 1~\rm W$ | Anfänglich ist $w_2(C_2)=0$ , da der Kondensator nicht geladen ist. | Die Gesamtenergie ist $w_1 + w_2 = w_1$|
  
-Der Kondensator $C_1$ hat also zunächst die volle Energie gespeichert und über ein Schließen des Schalters $S_2$ würde man ein Ausgleich der Spannungen und eine Gleichverteilung der Energie $w_1 + w_2 = 500\mu W$ erwarten.+Der Kondensator $C_1$ hat also zunächst die volle Energie gespeichert und über ein Schließen des Schalters $S_2$ würde man ein Ausgleich der Spannungen und eine Gleichverteilung der Energie $w_1 + w_2 = 500~\rm \mu W$ erwarten.
  
   - Schließen Sie den Schalter $S_2$ (der Wechselschalter $S_1$ soll auf den Schalter $S_2$ zeigen). Was stellen Sie fest?   - Schließen Sie den Schalter $S_2$ (der Wechselschalter $S_1$ soll auf den Schalter $S_2$ zeigen). Was stellen Sie fest?