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elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2020/12/13 06:45] tfischer |
elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2023/09/19 22:57] (aktuell) mexleadmin |
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| - | ====== 7. Schaltvorgänge an RC-Kombinationen ====== | + | ====== 7 Schaltvorgänge an RC-Kombinationen ====== |
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| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 {{As}\over{V}}= 1 F = 1 Farad | + | C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 ~\rm {{As}\over{V}}= 1 ~\rm F = 1 ~\rm |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| Aber nicht immer ist direkt zu erkennen, das ein Aufbau einen Kondensator enthält. \\ So sind folgende Beispiele auch Kondensatoren: | Aber nicht immer ist direkt zu erkennen, das ein Aufbau einen Kondensator enthält. \\ So sind folgende Beispiele auch Kondensatoren: | ||
| * **offener Schalter**: Liegt zwischen den beiden Metallteilen eine Spannung an, so können sich dort auch Ladungen ansammeln. \\ Da die Abstände in der Regel groß sind und als Dielektrikum Luft verwendet wird, ist die Kapazität des so gebildeten Kondensators sehr klein. | * **offener Schalter**: Liegt zwischen den beiden Metallteilen eine Spannung an, so können sich dort auch Ladungen ansammeln. \\ Da die Abstände in der Regel groß sind und als Dielektrikum Luft verwendet wird, ist die Kapazität des so gebildeten Kondensators sehr klein. | ||
| - | * **Freileitung**: | + | * **Freileitung**: |
| * **Leiterbahn**: | * **Leiterbahn**: | ||
| - | * **Menschlicher Körper**: Der menschliche Körper kann ebenso Ladung aufnehmen. Die so aufgenommene Ladung bildet gegenüber anderen Objekten einen Kondensator. Dieser kann auf einige $kV$ aufgeladen werden. Dies macht besondert in Elektrolaboren Probleme, da durch die bloße Berührung von Bauteilen diese zerstört werden können. | + | * **Menschlicher Körper**: Der menschliche Körper kann ebenso Ladung aufnehmen. Die so aufgenommene Ladung bildet gegenüber anderen Objekten einen Kondensator. Dieser kann auf einige $\rm kV$ aufgeladen werden. Dies macht besondert in Elektrolaboren Probleme, da durch die bloße Berührung von Bauteilen diese zerstört werden können. |
| * **Membran von Nervenzellen**: | * **Membran von Nervenzellen**: | ||
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| - | Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, | + | Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, |
| - | Die zu betrachtende Schaltung sieht also dann aus wie in <imgref BildNr02> | + | |
| + | Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter $S$ eingefügt. | ||
| + | Die zu betrachtende Schaltung sieht also dann aus wie in <imgref BildNr02> | ||
| Ein idealer Schalter ist dabei gekennzeichnet durch: | Ein idealer Schalter ist dabei gekennzeichnet durch: | ||
| * unendlich schnellem Schalten | * unendlich schnellem Schalten | ||
| - | * Widerstand von $0\Omega$ im geschlossenen Zustand (" | + | * Widerstand von $0~\rm \Omega$ im geschlossenen Zustand (" |
| * Widerstand $\rightarrow \infty$ im offenen Zustand (" | * Widerstand $\rightarrow \infty$ im offenen Zustand (" | ||
| * keiner kapazitiven Wirkung | * keiner kapazitiven Wirkung | ||
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| In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind: | In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind: | ||
| - | * Eine **zeitlich veränderliche Spannung $u_C(t)$ am Kondensator** oder die **Spannung $u$ einer Wechselspannungsquelle** im Gegensatz zu einer konstanten Spannung $U_0$ an einer Konstantspannungsquelle | + | * Eine **zeitlich veränderliche Spannung $u_C(t)$ am Kondensator** oder die **Spannung $u$ einer Wechselspannungsquelle** im Gegensatz zu einer konstanten Spannung $U_q$ an einer Konstantspannungsquelle |
| * Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einer Spule** oder **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einem Kondensator** | * Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einer Spule** oder **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einem Kondensator** | ||
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| + | In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form: | ||
| + | * Die Kapazität $C$ kann über den Widerstand $R$ geladen werden, wenn der Wechselschalter $S$ die Gleichspannungsquelle $U_q$ mit den beiden verbindet. | ||
| + | * Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reihenschaltung von $R$ und $C$ kurzzuschließen. | ||
| + | * Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung $u_C$ im Oszilloskop als Datenpunkte über der Zeit und in der Schaltung als Zahlenwert angezeigt. | ||
| + | * Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern '' | ||
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| + | Aufgaben: | ||
| + | - Machen Sie sich damit vertraut, wie der Kondensatorstrom $i_C$ und die Kondensatorspannung $u_C$ von der vorgegebenen Kapazität $C$ und dem Widerstand $R$ abhängt. \\ Nutzen Sie dazu für $R=\{ 10~\rm \Omega, 100~\rm \Omega, 1~\rm k\Omega\}$ und $C=\{ 1 ~\rm \mu F, 10 ~\rm \mu F\}$. Wie schnell steigt die Kondensatorspannung $u_C$ jeweils n? | ||
| + | - Welche Größe ($i_C$ oder $u_C$) ist hier stetig? Warum muss diese stetig sein? Warum muss die andere Größe unstetig sein? | ||
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| + | Diese Schaltung wird in Folgenden in zwei einzelne Schaltungen zerlegt, welche nur das Laden bzw. nur das Entladen betrachten. | ||
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| {{drawio> | {{drawio> | ||
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| - | + | Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_q$ geladen werden. | |
| - | Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_0$ geladen werden. | + | * Damit die Spannung $U_q$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 ~\rm s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen. |
| - | * Damit die Spannung $U_0$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen. | + | * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom (" |
| - | * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom (" | + | |
| * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$. | * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt $u_C$. | ||
| * Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$. | * Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$. | ||
| * Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator. | * Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator. | ||
| - | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig geladen. Er trägt dann die Ladung: $q(t \rightarrow \infty)=Q = C \cdot U_0$ | + | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig |
| - | Der Ablauf soll nun im einzelnen | + | Der Ablauf soll nun im Einzelnen |
| - | Allgemein gilt auch bei zeitlich | + | In der Schaltung werden lineare Bauteile genutzt, d.h. die Komponentenwerte für den Widerstand $R$ und die Kapazität $C$ sind unabhängig vom Strom oder der Spannung. \\ |
| + | Dann gelten Definitionsgleichungen für den Widerstand $R$ und die Kapazität $C$ auch für zeitlich | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{du_R(t)}\over{di_R(t)}} \\ | + | R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{{\rm d}u_R}\over{{\rm d}i_R}} = {\rm const.} \\ |
| - | C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} = {{dq(t)}\over{du_C(t)}} | + | C = {{q (t)}\over{u_C(t)}} = {{{\rm d} q}\over{{\rm d}u_C}} = {\rm const.} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Die folgenden Erklärungen sind auch in diesen beiden Videos zum zum [[https:// | ||
| ==== Laden eines Kondensators zum Zeitpunkt t=0 ==== | ==== Laden eines Kondensators zum Zeitpunkt t=0 ==== | ||
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| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | U_0 =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.1} | + | U_q =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Im ersten Augenblick $dt$ fließt durch den Strom $i_C$ ein infinitesimal kleines Ladungs" | + | Im ersten Augenblick ${\rm d}t$ fließt durch den Strom $i_C$ ein infinitesimal kleines Ladungs" |
| - | Für diese ergibt sich: | + | Für diese ergibt sich mit $(7.1.1)$: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | i_C = {{dq}\over{dt}} \quad \quad \text{und} \quad dq = C \cdot du_C | + | i_C = {{{\rm d}q}\over{{\rm d}t}} \quad \quad \text{und} \quad {\rm d}q = C \cdot {\rm d}u_C |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
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| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | i_C = C \cdot {{du_C}\over{dt}} \tag{7.1.2} | + | i_C = C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} \tag{7.1.3} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Damit wird $(7.1.1)$ zu: | + | Damit wird $(7.1.2)$ zu: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | U_0 &=u_R + u_C \\ | + | U_q &=u_R + u_C \\ |
| - | &= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C | + | &= R \cdot C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} + u_C |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| Zeile 135: | Zeile 157: | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | U_0 &= R \cdot C \cdot {{\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}}\over{dt}} | + | U_q &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ |
| - | &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | &= R \cdot C \cdot |
| - | U_0 - \mathcal{C} & | + | U_q - \mathcal{C} & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| Zeile 147: | Zeile 169: | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \mathcal{C} = U_0 \\ \\ | + | \mathcal{C} = U_q \\ \\ |
| R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ | R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ | ||
| Zeile 157: | Zeile 179: | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_0 | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = 0$: | + | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ gerade gilt $u_C(t_0) = 0$: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | 0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_0 \\ | + | 0 &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}} + U_q \\ |
| - | 0 &= \mathcal{A} | + | 0 &= \mathcal{A} |
| - | \mathcal{A} &= - U_0 | + | \mathcal{A} &= - U_q |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| Zeile 171: | Zeile 193: | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) &= - U_0 \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_0 \\ | + | u_C(t) &= - U_q \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q |
| - | & | + | |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| <-- | <-- | ||
| + | |||
| Und damit ergibt sich: | Und damit ergibt sich: | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) & | + | u_C(t) & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Und mit $(7.1.2)$ wird $i_C$ zu: | + | Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | i_C(t) &= {{U_0}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | + | i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } } |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
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| + | |||
| + | In <imgref BildNr04> | ||
| + | |||
| + | <WRAP right> | ||
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| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
| <callout icon=" | <callout icon=" | ||
| * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\ | * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\ | ||
| - | * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{- 1}) = U_0 \cdot (1 - {{1}\over{e}}) = U_0 \cdot ({{e-1}\over{e}}) = 0,63 \cdot U_0 = 63\% \cdot U_0 $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63$% aufgeladen**. \\ \\ | + | * Zum Zeitpunkt $t=\tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - {\rm e}^{- 1}) = U_q \cdot (1 - {{1}\over{\rm e}}) = U_q \cdot ({{{\rm e}-1}\over{\rm e}}) = 0,63 \cdot U_q = 63 ~\% \cdot U_q $ \\ **Es wird also der Kondensator nach einem $\tau$ auf $63~\%$ aufgeladen**. \\ \\ |
| - | * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_0 \cdot (1 - e^{- 2}) = 86 \% \cdot U_0 = (63 \% + (1-63 \%) \cdot 63 \% ) \cdot U_0$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 \%$) wieder zu $63\%$ aufgeladen**. \\ \\ | + | * Zum Zeitpunkt $t=2 \cdot \tau$ ergibt sich: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - {\rm e}^{- 2}) = 86 ~\% \cdot U_q = (63 ~\% + (1-63 ~\%) \cdot 63 ~\% ) \cdot U_q$ \\ **Nach jedem weiteren $\tau$ wird also der noch nicht aufgeladene Rest ($1-63 |
| - | * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden. | + | * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99~\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden. |
| + | * die Zeitkonstante $\tau$ kann auf mehrere Wege grafisch bestimmt werden: | ||
| + | * Eintragen des Spannungswertes welcher $63~\%$ entspricht auf der y-Achse. Suchen des Schnittpunktes mit dem Graphen. Ablesen des Zeitpunkts (siehe grüne Linien in <imgref BildNr04> | ||
| + | * Einzeichnen der Tangente zur (Spannungs)Ladekurve zum Zeitpunkt des entladenen Kondensators. \\ Diese schneidet eine horizontale Linie auf der Höhe der Ladespannung am Punkt $t=\tau$ (siehe schwarze und hellblaue Linien in <imgref BildNr04> | ||
| </ | </ | ||
| - | |||
| ==== Entladen eines Kondensators zum Zeitpunkt t=0 ==== | ==== Entladen eines Kondensators zum Zeitpunkt t=0 ==== | ||
| + | <WRAP right> | ||
| + | < | ||
| + | </ | ||
| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
| + | Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet: | ||
| + | * Ein auf die Spannung $U_q$ geladener Kondensator mit der Kapazität $C$ wird über einen Widerstand $R$ zum Zeitpunkt $t=t_0$ kurzgeschlossen. | ||
| + | * Dadurch liegt anfangs die volle Spannung $U_q$ an dem Widerstand an: $u_R(t_0)=U_q$ | ||
| + | * Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$ | ||
| + | * Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators $u_C$ abgesenkt, da gilt: $u_C = {{q(t)}\over{C}}$ | ||
| + | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig entladen. | ||
| - | Ermittlung der Ladekurve mittels Differentialgleichung | + | Auch dieser Ablauf soll nun im Einzelnen in Formel gefasst werden. |
| - | {{youtube> | + | Durch die Betrachtung der Masche ergibt sich allgemein: Die Summe der beiden Spannungen über Widerstand und Kondensator summieren sich auf Null. |
| - | Ermittlung der Entladekurve | + | \begin{align*} |
| - | {{youtube> | + | 0 =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C |
| + | \end{align*} | ||
| + | Damit ergibt sich mit $(7.1.3)$: | ||
| - | ==== Aufgaben | + | \begin{align*} |
| + | 0 =u_R + u_C = R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | --> auch hier nutzt etwas Mathematik: # | ||
| + | |||
| + | Dieses Ergebnis stellt wieder eine Differentialgleichung 1. Ordnung dar. \\ | ||
| + | Der passende Ansatz für ein solches Problem ist: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | u_C(t) | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | 0 &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | ||
| + | &= R \cdot C \cdot | ||
| + | 0 - \mathcal{C} & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Diese Gleichung muss für jedes $t$ gelten. Dies ist nur möglich wenn der linke als auch der rechte Term gleich 0 werden. \\ Es gilt also: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \mathcal{C} = 0 \\ \\ | ||
| + | |||
| + | R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ | ||
| + | R \cdot C \cdot \mathcal{B} &= - 1 \\ | ||
| + | \mathcal{B} &= - {{1}\over{R C}} \\ | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Es ergibt sich also: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = U_q$: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | U_q &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}} | ||
| + | U_q &= \mathcal{A} | ||
| + | \mathcal{A} &= U_q | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | <-- | ||
| + | |||
| + | <WRAP right> | ||
| + | < | ||
| + | </ | ||
| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Und damit ergibt sich: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | u_C(t) &= U_q \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{\tau}}}} \quad \text{mit} \quad \tau = R C | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | In <imgref BildNr05> | ||
| + | Da Der Strom nun aus dem Kondensator herausfließt, | ||
| + | |||
| + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| + | |||
| + | ==== Periodische Schaltvorgänge ==== | ||
| + | |||
| + | <WRAP right> | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | In der Simulation rechts ist ein periodischer Schaltvorgang zu sehen. Dabei wird über den Schalter der Kondensator periodisch ge- und entladen. | ||
| + | Dabei sind in der Simulation drei Slider gegeben, um den Widerstand $R$ (%%Resistance R%%), die Kapazität $C$ (%%Capacity C%%) und die Frequenz $f$ (%%Frequency f%%) ändern zu können. | ||
| + | Im Verlauf unten in der Simulation ist die Spannung $u_C$ über den Kondensator in grün und der Strom $i_C$ in gelb dargestellt. | ||
| + | |||
| + | Aufgaben: | ||
| + | - Erhöhen Sie die die Frequenz auf $f=10 ~\rm kHz$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? | ||
| + | - Erhöhen Sie nun zusätzlich die Kapazität auf $C=10 ~\rm \mu F$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? | ||
| + | - Erhöhen Sie nun zusätzlich den Widerstand auf $R= 1 ~\rm k\Omega$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? | ||
| - | In [[http:// | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
| ===== 7.2 Energie eines Kondensators ===== | ===== 7.2 Energie eines Kondensators ===== | ||
| Zeile 225: | Zeile 350: | ||
| </ | </ | ||
| + | <WRAP right> | ||
| + | < | ||
| + | </ | ||
| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
| - | Herleitung | + | Es soll nun der Kondensator als Energiespeicher näher betrachtet werden. Diese Herleitung ist auch in [[https:// |
| - | {{youtube>je40ruFNKig}} | + | Laut des Kapitels [[Grundlagen und Grundbegriffe# |
| + | \begin{align*} | ||
| + | P={{\Delta W}\over{\Delta t}} = U \cdot I | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Für veränderliche Signale ergibt sich die Momentanleistung als: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | p={{dw}\over{dt}} = u \cdot i | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | === Energiebetrachtung des Kondensator === | ||
| + | |||
| + | Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ ergibt sich als für die gespeicherte Energie $\Delta W = \Delta W_C$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1 =t$: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \Delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} {\rm d}w = \int_{0}^t u \cdot i \cdot {\rm d}t = \int_{0}^t u_C \cdot i_C {\rm d}t \tag{7.2.1} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Beim Ladevorgang gilt | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | u_C(t) = | ||
| + | i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{ - {{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Insbesondere gilt: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} \ quad & | ||
| + | i_C(t) = {{{\rm d} q(t)}\over{{\rm d}t}} \quad & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Damit wird die gespeicherte Energie aus Formel $(7.2.1)$: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \Delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{{\rm d} u_C(t)}\over{{\rm d}t}} {\rm d}t \quad & | \text{ Substitution der Integrationsvariable: | ||
| + | &= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot {\rm d}u_C \quad & | \text{ Da die Kapazität konstant ist, kann Sie vor das Integral geschrieben werden}\\ | ||
| + | &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C \, {\rm d} u_C \\ | ||
| + | &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\ | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \boxed{\Delta | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Für einen vollständig entladenen Kondensator ($U_q=0~\rm V$) ergibt sich also eine beim Aufladen auf die Spannung $U_q$ gespeicherte Energie von $\Delta W_C={{1}\over{2}} C \cdot U_q^2$. | ||
| + | |||
| + | === Energiebetrachtung des Widerstands === | ||
| + | |||
| + | Auch für den Widerstand lässt sich die umgesetzte Energie ermitteln: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \Delta W_R = \int_{0}^t u_R \cdot i_R {\rm d}t = \int_{0}^t R \cdot i_R \cdot i_R {\rm d}t = R \cdot \int_{0}^t i_R^2 {\rm d}t | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Da der Strom durch den Kondensator $i_C$ gleich dem durch den Widerstand ist $i_R$, ergibt sich über $(7.2.2)$: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \Delta W_R & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Für $t \rightarrow \infty$ ergibt sich: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \Delta W_R & | ||
| + | & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \boxed{ \Delta W_R = {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Das heißt, die am Widerstand umgesetzte Energie ist unabhängig vom Widerstandswert (bei einer idealen Konstantspannungsquelle $U_q$ und gegebenen Kondensator $C$)! Das klingt zunächst erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Egal, ob ein sehr großer Widerstand $R_1$ oder ein winzig kleiner Widerstand $R_2$ vorhanden ist: Es wird immer die gleiche Abwärme erzeugt. \\ | ||
| + | Anschaulich lässt sich dieser scheinbarer Widerspruch so auflösen: Ein höherer Widerstand $R_2$ bremst die kleinen Ladungspäckchen $\Delta q_1$, $\Delta q_2$, ... $\Delta q_n$ stärker aus. Aber ein betrachtetes, | ||
| + | |||
| + | In realen Anwendungen sind, wie in vorherigen Kapiteln angesprochen, | ||
| + | |||
| + | === Betrachtung des gesamten Energieumsatzes === | ||
| + | |||
| + | In den vorherigen Betrachtungen wurde auch der Energieumsatz beim kompletten Ladevorgang betrachtet. Dabei ergab sich, dass der Kondensator die Energie $W_C= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.3)$) speichert und am Widerstand die Energie $W_R= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.4)$) in Wärme umwandelt. Insgesamt speißt die Spannungsquelle also folgende Energie ein: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \Delta W_0 & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Dies ergibt sich auch über $(7.2.1)$: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \Delta W_0 & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Auch hier hilft wieder der Blick auf kleine Ladungspakete, | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <WRAP right> | ||
| + | < | ||
| + | </ | ||
| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| + | |||
| + | In folgender Simulation kann dies auch getestet werden. Neben dem bisher dargestellten RC-Glied ist hier zusätzlich ein Leistungsmessgerät und ein Integrator eingezeichnet. Darüber ist es möglich die Momentanleistung und die gespeicherte Energie darzustellen. Über den Slider %%Resistance R%% kann der Widerstandswert variiert werden. In den Oszilloskopen sind folgende Werte dargestellt: | ||
| + | * links: Strom $u_C$ und Spannung $i_C$ am Kondensator | ||
| + | * mitte: Momentanleistung $p_C = u_C \cdot i_C$ des Kondensators | ||
| + | * rechts: gespeicherte Energie $w_C = \int u_C \cdot i_C \; {\rm d}t$ des Kondensators | ||
| + | |||
| + | <WRAP right> | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| ==== Aufgaben ==== | ==== Aufgaben ==== | ||
| - | <WRAP group> < | + | |
| - | . | + | <panel type=" |
| - | </ | + | |
| - | Übungsaufgabe zum Laden/ | + | |
| {{youtube> | {{youtube> | ||
| + | </ | ||
| - | weitere Übungsaufgabe zum Laden/ | + | <panel type=" |
| {{youtube> | {{youtube> | ||
| + | </ | ||
| - | weitere Übungsaufgabe zum Laden des Kondensators | + | <panel type=" |
| {{youtube> | {{youtube> | ||
| + | </ | ||
| - | Übungsaufgabe zum Ladungsausgleich zweier Kondensatoren | + | <panel type=" |
| {{youtube> | {{youtube> | ||
| - | </ | + | </ |
| - | ---- | + | |
| + | <panel type=" | ||
| + | |||
| + | <WRAP right> | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | Rechts sehen Sie eine Simulation, welche die beiden Kondensatoren $C_1$ und $C_2$ enthält. | ||
| + | Zu Beginn ist $C_1$ auf $10~\rm V$ und $C_2$ auf $0~\m V$ aufgeladen. mit den Schaltern $S_1$ und $S_2$ können Sie auswählen, ob | ||
| + | - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ kurzgeschlossen werden, oder | ||
| + | - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ über den Widerstand $R$ verbunden werden. | ||
| + | |||
| + | Rechts in der Simulation sind zusätzlich noch einige " | ||
| + | |||
| + | Im folgenden sollen nun mit diesem Aufbau das Laden und Entladen eines Kondensators erklärt werden. | ||
| + | |||
| + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| + | Unter dem elektrischen Aufbau sind folgende Größen im Zeitverlauf dargestellt: | ||
| + | |||
| + | ^ Spannung $u_1(C_1)$ des ersten Kondensators ^ Spannung $u_2(C_2)$ des zweiten Kondensators ^ gespeicherte Energie $w_1(C_1)$ ^ gespeicherte Energie $w_2(C_2)$ ^ gesamte Energie $\sum w$ ^ | ||
| + | | Anfänglich auf $10~\rm V$ aufgeladen | Anfänglich neutral geladen ($0~\rm V$) | Anfänglich gilt: \\ $w_1(C_1)= {1 \over 2} \cdot C \cdot U^2 = {1 \over 2} \cdot 10 ~\rm \mu F \cdot (10~V)^2 = 500~\mu W$ \\ Im Oszilloskop entspricht $1~\rm V \sim 1~\rm W$ | Anfänglich ist $w_2(C_2)=0$ , da der Kondensator nicht geladen ist. | Die Gesamtenergie ist $w_1 + w_2 = w_1$| | ||
| + | |||
| + | Der Kondensator $C_1$ hat also zunächst die volle Energie gespeichert und über ein Schließen des Schalters $S_2$ würde man ein Ausgleich der Spannungen und eine Gleichverteilung der Energie $w_1 + w_2 = 500~\rm \mu W$ erwarten. | ||
| + | |||
| + | - Schließen Sie den Schalter $S_2$ (der Wechselschalter $S_1$ soll auf den Schalter $S_2$ zeigen). Was stellen Sie fest? | ||
| + | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | ||
| + | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | ||
| + | - Öffnen Sie den $S_2$ - der Wechselschalter $S_1$ soll nicht geändert werden. Was stellen Sie fest? | ||
| + | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | ||
| + | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | ||
| + | - Wiederholen Sie 1. und 2. mehrmals. Kann etwas bzgl. der Verteilung der Energie abgeleitet werden? | ||
| + | - Wechseln Sie den Schalter $S_2$ auf den Widerstand. Was stellen Sie fest? | ||
| + | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | ||
| + | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | ||
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| - | Vergleich der Elektrik mit der Fluidmechanik | ||
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