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--- elektrotechnik_2:das_magnetostatische_feld [2021/03/04 03:34]
tfischer
+++ elektrotechnik_2:das_magnetostatische_feld [2023/09/19 23:01] (aktuell)
mexleadmin
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-====== 1. Das magnetostatische Feld ======
+====== 1 Das magnetostatische Feld ======
 ===== 1.1 Magnetische Erscheinungen  =====
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   * Die **Richtung des Magnetfelds** über den Probemagnet definiert: Der Nordpol des Probemagneten zeigt in Richtung des Magnetfelds.
   * Der **Betrag des Magnetfelds** ergibt sich durch das Drehmoment welches ein Probemagnet erfährt, der senkrecht zum Feld ausgerichtet ist.
-  * Magnetostatische Felder lassen sich superponieren, wie elektrostatische Felder auch.
   * Feldlinien scheinen sich voneinander abzustoßen (Querdruck). z.B. sichtbar beim Feldaustritt aus dem Permanentmagneten
   * Feldlinien versuchen einen möglichst kurzen Weg zurückzulegen (Längszug)
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-<WRAP right>
+==== Vergleich von Elektrostatik und Magnetostatik ====
-{{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=InverseRotational&d=streamlines&sl=none&st=19&ld=12&rx=75&ry=0&rz=0&zm=1.8 700,350 noborder}}
-</WRAP>
-Rechts ist das magnetische Feld des stromdurchflossenen Leiters dargestellt.
+^Eigenschaft ^ Elektrostatik ^ Magnetostatik ^
+| Feldlinienbilder | <imgcaption BildNr21 | Elektrostatische Feldlinien></imgcaption>{{drawio>elektrotechnik_2:ElektrostatischeFeldlinien}} | <imgcaption BildNr22 | Magnetostatische Feldlinien></imgcaption>{{drawio>elektrotechnik_2:MagnetostatischeFeldlinien}} |
+| Probe für das Feld | positive Probeladung  | Kompass |
+| Feldlinien | - beginnen auf einer positiven Ladung \\ - enden auf einer negativen Ladung  | - sind geschlossen \\ - haben kein Anfang und kein Ende |
+| Feldlinienenden | Es gibt Quellen und Senken | es gibt __keine__ Quellen und Senken |
+| Feldtyp | wirbelfreies **__Quellenfeld__** | quellenfreies **__Wirbelfeld__** |
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+===== 1.2 Magnetische Feldstärke =====
+<callout>
+=== Ziele ===
+Nach dieser Lektion sollten Sie:
+  - die beiden feldbeschreibenden Größen des magnetischen Feldes kennen.
+  - in der Lage sein, den Zusammenhang dieser beiden Größen zu beschreiben und anzuwenden.
-<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Achtung:">
-  * Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Feldstärke.
-  * Die Simulation in Falstad kann dies so nicht abbilden. Hier ist die Feldstärke durch die Farbintensität codiert (dunkelgrün = geringe Feldstärke, hellgrün bis weiß = hohe Feldstärke)
 </callout>
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+==== Simulation und Superposition des magnetostatischen Felds ====
-==== Superposition des magnetostatischen Felds ====
 <WRAP right>
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 </WRAP>
+Bevor die magnetische Feldstärke genauer betrachtet werden soll, wird hier auf die Simulation und Superposition des magnetischen Felds näher betrachtet werden.
+Magnetostatische Felder lassen sich superponieren, wie elektrostatische Felder auch. Dadurch lassen sich die Felder von mehreren stromdurchflossenen Leitungen zu einem einzigen zusammenfassen.
+Dieser Trick wird im folgenden Kapitel genutzt, um das Magnetfeld näher zu untersuchen.
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-==== Vergleich von Elektrostatik und Magnetostatik ====
-^Eigenschaft ^ Elektrostatik ^ Magnetostatik ^
+<WRAP right>
-| Feldlinienbilder | <imgcaption BildNr21 | Elektrostatische Feldlinien></imgcaption>{{drawio>elektrotechnik_2:ElektrostatischeFeldlinien}} | <imgcaption BildNr22 | Magnetostatische Feldlinien></imgcaption>{{drawio>elektrotechnik_2:MagnetostatischeFeldlinien}} |
+{{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=InverseRotational&d=streamlines&sl=none&st=19&ld=12&rx=75&ry=0&rz=0&zm=1.8 700,350 noborder}}
-| Probe für das Feld | positive Probeladung  | Kompass |
+</WRAP>
-| Feldlinien | - beginnen auf einer positiven Ladung \\ - enden auf einer negativen Ladung  | - sind geschlossen \\ - haben kein Anfang und kein Ende |
-| Feldlinienenden | Es gibt Quellen und Senken | es gibt __keine__ Quellen und Senken |
-| Feldtyp | wirbelfreies Quellenfeld | quellenfreies Wirbelfeld |
+Rechts ist das magnetische Feld eines einzelnen stromdurchflossenen Leiters dargestellt. Diese wurde bereits schon im vorherigen Kapitel durch Symmetriebetrachtungen hergeleitet. Die Darstellung in der Simulation kann hier etwas vereinfacht werden, um die Gegebenheiten deutlicher zu sehen: Aktuell sind die Feldlinien in 3D dargestellt, was durch die Auswahl von "Display: Field Lines" und "No Slicing" geschieht. Wenn Sie statt "No Slicing" die Auswahl auf "Show Z Slice" stellen, so kann in eine 2D Darstellung gewechselt werden. In dieser können auch kleine Kompassnadeln das Magnetfeld darstellen. Wählen Sie dazu  "Display: Field Vectors" statt "Display: Field Lines". Zudem ist in der 2D-Darstellung am Mauszeiger eine "Magnetprobe", also eine beweglicher Kompass zu finden.
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-===== 1.2 Magnetische Feldstärke =====
+<WRAP right>
+{{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=InverseRotationalDouble&d=streamlines&sl=z&st=20&ld=8&a1=51&rx=33&ry=0&rz=0&zm=1.2 700,450 noborder}}
+</WRAP>
-<callout>
+Liegt nun ein weiterer stromdurchflossenen Leiter in der Nähe des ersten Leiters, so überlagern sich die Felder. In der Simulation rechts ist der Strom beider Leiter in die gleiche Richtung gerichtet. Das Feld zwischen den Leitern überlagert sich gerade so, dass es sich abschwächt. Dies lässt sich auch durch die bisherigen Kenntnisse herleiten, wenn gerade der Mittelpunkt zwischen beiden Leitern betrachtet wird: Dort ergibt die rechte Hand-Regel für den linken Leiter einen Vektor, der zum Betrachter hinwärts gerichtet ist. Für den rechten Leiter ergibt sich ein Vektor der vom Betrachter wegwärts gerichtet ist. Diese heben sich gerade auf. Weiter außenliegende Feldlinien führen um beide Leiter herum. Nord- und Südpol ist hier nach außen nicht fest lokalisiert.
-=== Ziele ===
-Nach dieser Lektion sollten Sie:
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+<WRAP right>
+{{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=InverseRotationalDipole&d=streamlines&sl=z&st=20&ld=8&a1=51&rx=33&ry=0&rz=0&zm=1.2 700,450 noborder}}
+</WRAP>
-  - die beiden feldbeschreibenden Größen des magnetischen Feldes kennen.
+Wenn hingegen der Strom des zweiten Leiters gerade entgegen des Stroms im ersten Leiter gerichtet ist, ändert sich das Bild: Hier ergibt sich eine verstärkende Überlagerung zwischen den beiden Leitern.
-  - in der Lage sein, den Zusammenhang dieser beiden Größen zu beschreiben und anzuwenden.
+Mit der Nomenklatur aus dem vorherigen Kapitel ist es hier auch möglich Nord- und Südpol lokal zu zu ordnen. Nach außen erscheint ein Pol vor den beiden Leitern lokalisiert zu sein und ein weiterer dahinter.
+in den beiden Simulationen lassen sich auch die Abstände der Leiter über den Slider "Line Separation" verändern. Was stellen Sie jeweils fest, wenn beide Linien nahe aneinander gebracht werden?
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+==== Herleitung der magnetischen Feldstärke (Teil 1, über Toroidspule) ====
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr04 | Magnetfeld in einer Toroidspule></imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=ToroidalSolenoidField&d=streamlines&sl=none&st=1&ld=8&a1=77&a2=26&a3=100&rx=0&ry=0&rz=0&zm=1.8 700,450 noborder}}
+</WRAP>
+Bisher wurde das Magnetfeld recht pragmatisch durch die Wirkung auf einen Kompass definiert.
+Für eine tiefere Analyse des Magnetfeldes soll das Feld nun wieder - wie beim elektrischen Feld - aus __zwei__ Richtungen betrachtet werden.
+Auch das Magnetfeld wird als ein "Verursacherfeld" (ein von Magnete erzeugtes Feld) und ein "wirkendes Feld" (Feld wirkt auf einen Magneten).
+In diesem Kapitel wird zunächst auf das magnetische Wirkfeld eingegangen. Für diese bietet sich die Betrachtung der Effekte im Inneren einer Ringspule (= Toroidspule) an.
+Diese ist in <imgref BildNr04> zu sehen. Aus Symmetriegründen ist auch hier klar, dass die Feldlinien sich als konzentrische Kreise ausbilden.
+In einem Experiment soll nun eine Magnetnadel im Inneren der Ringspule rechtwinklig zu den Feldlinien ausgerichtet werden.
+Dann wird das Magnetfeld ein Drehmoment erzeugen, welches die Magnetnadel in die Feldrichtung auszurichten versucht.
+Es ergibt sich nun:
+  - $M \neq M(\phi)$ : Bei gleichem Abstand von der Symmetrieachse ist das Drehmoment $M$ unabhängig vom Winkel $\phi$.
+  - $M \sim I$ : Je stärker der durch eine Wicklung fließende Strom, desto stärker die Wirkung, d.h. desto stärker das Drehmoment.
+  - $M \sim N$ : Je größer die Anzahl $N$ der Wicklungen, desto stärker das Drehmoment $M$.
+  - $M \sim {1 \over l}$ : Je kleiner der mittlere Spulenumfang $l$ desto größer das Drehmoment. Der mittlere Spulenumfang $l$ gleicht der Feldlinienlänge.
+Zusammengefasst wird daraus:
+\begin{align*}
+M \sim {{I \cdot N}\over{l}}
+\end{align*}
+Die **magnetische Feldstärke** $H$ im Innern der Ringspule wird angegeben als:
+\begin{align*}
+\boxed{H ={{I \cdot N}\over{l}}} \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die Toroidspule}
+\end{align*}
+Als Einheit der **magnetische Feldstärke** $H$ ergibt sich $[H] = {{[I]}\over{[l]}}= 1{{A}\over{m}}$
+==== Magnetische Durchflutung ====
+Die Ursache des magnetischen Feldes ist der Strom in der Windung der Spule. Wird dieser Strom $I$ und/oder die Anzahl $N$ der Wicklungen erhöht, so verstärkt sich die Wirkung. Um dies leichter handzuhaben, wird die **magnetische Durchflutung** eingeführt. Die magnetische Durchflutung $\theta$ ist definiert als
+\begin{align*}
+\boxed{\theta = N \cdot I}
+\end{align*}
+Die Einheit von $\theta$ ist: $[\theta]= 1A$ (veraltet auch Amperewindung genannt).
+Damit ergibt sich die magnetische Feldstärke $H$ der Toroidspule zu: $H= {{\theta}\over{l}}$
+==== Herleitung der magnetischen Feldstärke (Teil 2, gerader Leiter) ====
+Die bisherigen Herleitung von der Toroidspule soll nun genutzt werden, um die Feldstärke um einen langen, geraden Leiter herzuleiten. Die Durchflutung $\theta$ bei einem einzelnen Leiter ergibt sich als $\theta = N \cdot I = 1 \cdot I = I$. Bei der Toroidspule ergab sich die magnetische Feldstärke durch Durchflutung $\theta$ geteilt durch die (mittlere) Feldlinienlänge. Aufgrund der (gleichen Rotations-)Symmetrie gilt dies auch für den einzelnen Leiter.
+Die Länge einer Feldlinie um den Leiter ist gegeben durch den Abstand $r$ der Feldlinie vom Leiter: $l = l(r) = 2 \cdot \pi \cdot r$. \\ Für die magnetische Feldstärke des einzelnen Leiter ergibt sich dann:
+\begin{align*}
+\boxed{H ={{\theta}\over{l}} = {{I}\over{2 \cdot \pi \cdot r}}} \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die den langen, geraden Leiter}
+\end{align*}
+<panel type="info" title="Aufgabe 1.2.1 Magnetische Feldstärke um einem lagnen geraden Leiter"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+In einem langen geraden Leiter mit rundem Querschnitt fließt der Strom $I = 100A$. Der Radius des Leiters beträgt $r_{L}= 4mm$
+  * Wie groß ist die magnetische Feldstärke $H_1$ an einem Punkt $P_1$, welcher sich __außerhalb__ des Leiters im Abstand von $r_1 = 10cm$ von der Leiterachse befindet?
+  * Wie groß ist die magnetische Feldstärke $H_2$ an einem Punkt $P_2$, welcher sich __innerhalb__ des Leiters im Abstand von $r_2 = 3mm$ von der Leiterachse befindet?
+</WRAP></WRAP></panel>
+<panel type="info" title="Aufgabe 1.2.2 Superposition"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr01 | Anordnung der Leiter>
+</imgcaption> \\
+{{drawio>Aufgabe1Leiteranordnung}} \\
+</WRAP>
+Drei lange gerade Leiter sind im Vakuum so angeordnet, dass sie an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks liegen (siehe <imgref BildNr01>). Der Radius des Umkreises ist $r = 2 cm$.
+Wie groß ist die magnetische Feldstärke $H$ im Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks?
+</WRAP></WRAP></panel>
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+Beim elektrischen Feld war die Feldliniendichte ein Maß für die Stärke des Feldes. Dies ist wird auch beim magnetischen Feld genutzt. Betrachtet man mit diesem Verständnis die Simulationen in Falstad (unten links), so stellt man eine Ungereimtheit fest: Im Gegensatz zur gerade angegebenen Beziehung, zeigt die Feldliniendichte in der Falstad-Simulation __**nicht**__ die Stärke des Feldes an. Unten rechts ist im Vergleich eine realitätsnahe Simulation dargestellt, die den Unterschied deutlich macht: in der Nähe des Leiters ist das Feld stärker. Damit muss dort auch die Feldliniendichte auch stärker sein.
+<WRAP right>
+{{url>https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fy0yrGYK/width/500/height/500/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/preferhtml5 700,350 noborder}}
+</WRAP>
+<WRAP right>
+{{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=InverseRotational&d=streamlines&sl=z&st=19&ld=12&rx=0&ry=0&rz=0&zm=1.8 700,350 noborder}}
+</WRAP>
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Achtung:">
+  * Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Feldstärke.
+  * Die Simulation in Falstad kann dies so nicht abbilden. Hier ist die Feldstärke durch die Farbintensität codiert (dunkelgrün = geringe Feldstärke, hellgrün bis weiß = hohe Feldstärke)
 </callout>
+==== Herleitung der magnetischen Feldstärke (Teil 3, Verallgemeinerung) ====
+Bisher konnten nur rotationssymmetrische Probleme gelöst werden. Nun soll dies verallgemeinert werden. Dazu soll nochmal ein Blick zurück auf das elektrische Feld geworfen werden. Für die elektrische Feldstärke $E$ eines Kondensator mit zwei Platten im Abstand von $s$ und der Potentialdifferenz $U$ gilt:
+\begin{align*}
+U = E \cdot s \quad \quad | \quad \text{gilt nur für den Kondensator}
+\end{align*}
+Dies wurde auf $U = \int_s E ds$ erweitert. Formt man zum Vergleich die Formel zur magnetischen Feldstärke $H$ einer Toroidspule mit der mittleren Feldlinienlänge $l$ um, so ergibt sich
+\begin{align*}
+\theta = H \cdot l \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die Toroidspule}
+\end{align*}
+Erkennen Sie die Ähnlichkeiten? Auch hier wird der Betrag der Feldstärke mit der Länge multipliziert, um auf eine weitere feldbeschreibende Größe (hier die Durchflutung $\theta$) zu gelangen. Aufgrund der Ähnlichkeit - die sich im Folgenden noch weiter zieht - wird die sogenannte **magnetische (Umlauf)Spannung $V_m$** eingeführt:
+\begin{align*}
+V_m = H \cdot s \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die Toroidspule}
+\end{align*}
+Was ist nun der Unterschied zwischen der magnetischen Spannung $V_m$ und der Durchflutung $\theta$?
+  - Die erste Gleichung der Toroidspule ($\theta = H \cdot l$) gilt für einen Umlauf entlang einer Feldlinie. Zusätzlich ist die Durchflutung fest durch Strom und Anzahl der Wicklungen gegeben: $\theta = N \cdot I$.
+  - Die zweite Gleichung ($V_m = H \cdot s$) gilt unabhängig von der Weglänge $s$ entlang der Feldlinie. Wird gerade $s = l$ gewählt, so gleicht die magnetische Spannung der magnetischen Durchflutung.
+Damit kann für jeden infinitesimal kleinen Weg $ds$ entlang einer Feldlinie die entstandene, infinitesimal kleine magnetische Spannung $dV_m = H \cdot ds$ ermittelt werden. Ändert sich nun entlang der Feldlinie die magnetische Feldstärke $H = H(\vec{s})$, so ergibt sich die magnetische Spannung von Punkt $\vec{s_1}$ nach Punkt $\vec{s_2}$ zu:
+\begin{align*}
+V_{m12} = V_m(\vec{s_1}, \vec{s_2})  = \int_\vec{s_1}^\vec{s_2} H(\vec{s}) ds
+\end{align*}
+Bisher wurde nur die Situation betrachtet, dass man immer entlang der gleichen Feldlinie läuft. $\vec{s}$ kam hier also immer auf der gleichen Feldlinie an. Will man dies noch erweitern auf beliebige Richtungen (also auch quer zu Feldlinien), so darf jeweils nur der Teil der magnetischen Feldstärke $\vec{H}$ in der Formel genutzt werden, welcher parallel zum Wegstück $d \vec{s}$ ist. Dies wird über die Skalarmultiplikation ermöglicht. Es gilt also allgemein:
+\begin{align*}
+\boxed{V_{m12}  = \int_\vec{s_1}^\vec{s_2} \vec{H} \cdot d \vec{s}}
+\end{align*}
+  * geschlossenes Ringintegral damit $V_m = \theta$
+==== Anwendung der verallgemeinerten Form ====
+=== ein oder mehrere stromdurchflossene Leiter ===
+  * Überprüfung der Gleichung für einzelnen Leiter
+  * Bei mehreren gilt $\theta = \sum I$
+  * Knotensatz
+  * grafische Beispiele für magn. Spannung pro Umlauf
+=== räumlich ausgedehnte Strömung ===
+  * Rechtsschraube zwischen $d \vec{s}$ und $d \vec{a}$
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
+<panel type="info" title="Aufgabe 1.2.3 magnetische Spannung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 <WRAP right>
-{{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=ToroidalSolenoidField&d=streamlines&sl=none&st=1&ld=8&a1=77&a2=26&a3=100&rx=0&ry=0&rz=0&zm=1.8 700,350 noborder}}
+<imgcaption BildNr05 | verschiedene Trajektorien um stromdurchflossene Leiter>
+</imgcaption> \\
+{{drawio>Aufgabe3MagnefeldStromdurchflossenerLeiter}} \\
 </WRAP>
-   - Erregerfeld
+Gegeben sind nebenstehende, geschlossene Trajektorien im magnetischen Feld von stromdurchflossenen Leitern (siehe <imgref BildNr05>). Dabei soll gelten: $I_1 = 2A$ und $I_2 = 4,5A$.
-   - Elektret
+Gesucht ist jeweils die magnetische Spannung $V_m$ entlang des eingezeichneten Wegs.
+</WRAP></WRAP></panel>
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 ===== 1.3 Das Ampere'sche Kraftgesetz, magnetische Flussdichte =====
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 {{youtube>cU6Pbb71dyo}}
-Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.3.2/xcontent1.html|KIT-Brückenkurs >> 3.2.2 Magnetisches Feld]] die Inhalte (Text, Videos, Übungen) an. Achten Sie darauf, dass in der Auswahlleiste oben "Gesamt" ausgewählt wurde. Der letzte Teil zu "Magnetfeld mit Materie" kann übersprungen werden - dieser kommt erst in 2-3 Terminen.
+Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.4.2/xcontent1.html|KIT-Brückenkurs >> 4.2.2 Magnetisches Feld]] die Inhalte (Text, Videos, Übungen) an. Achten Sie darauf, dass in der Auswahlleiste oben "Gesamt" ausgewählt wurde. Der letzte Teil zu "Magnetfeld mit Materie" kann übersprungen werden - dieser kommt erst in 2-3 Terminen.
+\begin{align*}
+F = {{\mu _0}\over{2 \pi}} \cdot {{I_1 \cdot I_2 }\over{r}} \cdot l
+\end{align*}
+Mit:
+  * Leiterlänge $l$
+  * Abstand der Leiter $r$
+  * Ströme durch die Leiter $I_1$ und $I_2$
+  * Vakuumpermeabilität $\mu _0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} {{Vs}\over{Am}}$
 ===== 1.4 Lorentzkraft =====
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 ==== Video ====
-Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.3.2/xcontent2.html|KIT-Brückenkurs >> 3.2.3 Lorentz-Kraft]] die Inhalte (Text, Videos, Übungen) an. Achten Sie darauf, dass in der Auswahlleiste oben "Gesamt" ausgewählt wurde. Der letzte Teil zu "Magnetfeld mit Materie" kann übersprungen werden.
+Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.4.2/xcontent2.html|KIT-Brückenkurs >> 4.2.3 Lorentz-Kraft]] die Inhalte (Text, Videos, Übungen) an. Achten Sie darauf, dass in der Auswahlleiste oben "Gesamt" ausgewählt wurde. Der letzte Teil zu "Magnetfeld mit Materie" kann übersprungen werden.
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 </callout>
+===== 1.6 Poynting Vektor (nicht Teil des Curriculums) =====
+  * Anschauliches Bild des Poynting-Vektors entlang eines Stromkreises: https://de.cleanpng.com/png-jyy1vj/
+  * Gute Erklärung desEnergieflusses über ein Strom-Modell: https://www.forphys.de/Website/elekt/stromodl.html
+  * Sehr ausführliche Betrachtung des Energieflusses im Stromkreis: http://www.didaktik.physik.uni-duisburg-essen.de/~backhaus/publicat/Energie.pdf
 Kraftwirkung auf dia- und paramagnetische Stoffe im Magnetfeld