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elektrotechnik_2:das_magnetostatische_feld [2021/03/04 10:56] tfischer |
elektrotechnik_2:das_magnetostatische_feld [2023/09/19 23:01] (aktuell) mexleadmin |
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| - | ====== 1. Das magnetostatische Feld ====== | + | ====== 1 Das magnetostatische Feld ====== |
| ===== 1.1 Magnetische Erscheinungen | ===== 1.1 Magnetische Erscheinungen | ||
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| * Die **Richtung des Magnetfelds** über den Probemagnet definiert: Der Nordpol des Probemagneten zeigt in Richtung des Magnetfelds. | * Die **Richtung des Magnetfelds** über den Probemagnet definiert: Der Nordpol des Probemagneten zeigt in Richtung des Magnetfelds. | ||
| * Der **Betrag des Magnetfelds** ergibt sich durch das Drehmoment welches ein Probemagnet erfährt, der senkrecht zum Feld ausgerichtet ist. | * Der **Betrag des Magnetfelds** ergibt sich durch das Drehmoment welches ein Probemagnet erfährt, der senkrecht zum Feld ausgerichtet ist. | ||
| - | * Magnetostatische Felder lassen sich superponieren, | ||
| * Feldlinien scheinen sich voneinander abzustoßen (Querdruck). z.B. sichtbar beim Feldaustritt aus dem Permanentmagneten | * Feldlinien scheinen sich voneinander abzustoßen (Querdruck). z.B. sichtbar beim Feldaustritt aus dem Permanentmagneten | ||
| * Feldlinien versuchen einen möglichst kurzen Weg zurückzulegen (Längszug) | * Feldlinien versuchen einen möglichst kurzen Weg zurückzulegen (Längszug) | ||
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| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | === Simulation | + | |
| + | ==== Vergleich | ||
| + | |||
| + | ^Eigenschaft ^ Elektrostatik ^ Magnetostatik ^ | ||
| + | | Feldlinienbilder | < | ||
| + | | Probe für das Feld | positive Probeladung | ||
| + | | Feldlinien | - beginnen auf einer positiven Ladung \\ - enden auf einer negativen Ladung | ||
| + | | Feldlinienenden | Es gibt Quellen und Senken | es gibt __keine__ Quellen und Senken | | ||
| + | | Feldtyp | wirbelfreies **__Quellenfeld__** | quellenfreies **__Wirbelfeld__** | | ||
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| + | ===== 1.2 Magnetische Feldstärke ===== | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | === Ziele === | ||
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| + | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| + | |||
| + | - die beiden feldbeschreibenden Größen des magnetischen Feldes kennen. | ||
| + | - in der Lage sein, den Zusammenhang dieser beiden Größen zu beschreiben und anzuwenden. | ||
| + | |||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | ==== Simulation und Superposition des magnetostatischen Felds ==== | ||
| <WRAP right> | <WRAP right> | ||
| - | {{url>https:// | + | Überlagerung magnetischer Felder (nur bis 04:08) |
| + | {{youtube>qAOfVXJMxk8? | ||
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| - | Für die | + | Bevor die magnetische Feldstärke genauer betrachtet werden soll, wird hier auf die Simulation und Superposition des magnetischen Felds näher betrachtet werden. |
| + | |||
| + | Magnetostatische Felder lassen sich superponieren, | ||
| + | Dieser Trick wird im folgenden Kapitel genutzt, um das Magnetfeld näher zu untersuchen. | ||
| + | |||
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| <WRAP right> | <WRAP right> | ||
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| - | Rechts ist das magnetische Feld des stromdurchflossenen Leiters dargestellt. | + | Rechts ist das magnetische Feld eines einzelnen |
| - | <callout icon=" | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
| - | * Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Feldstärke. | + | |
| - | * Die Simulation in Falstad kann dies so nicht abbilden. Hier ist die Feldstärke durch die Farbintensität codiert (dunkelgrün = geringe Feldstärke, | + | |
| - | </ | + | |
| + | <WRAP right> | ||
| + | {{url> | ||
| + | </ | ||
| + | Liegt nun ein weiterer stromdurchflossenen Leiter in der Nähe des ersten Leiters, so überlagern sich die Felder. In der Simulation rechts ist der Strom beider Leiter in die gleiche Richtung gerichtet. Das Feld zwischen den Leitern überlagert sich gerade so, dass es sich abschwächt. Dies lässt sich auch durch die bisherigen Kenntnisse herleiten, wenn gerade der Mittelpunkt zwischen beiden Leitern betrachtet wird: Dort ergibt die rechte Hand-Regel für den linken Leiter einen Vektor, der zum Betrachter hinwärts gerichtet ist. Für den rechten Leiter ergibt sich ein Vektor der vom Betrachter wegwärts gerichtet ist. Diese heben sich gerade auf. Weiter außenliegende Feldlinien führen um beide Leiter herum. Nord- und Südpol ist hier nach außen nicht fest lokalisiert. | ||
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| + | <WRAP right> | ||
| + | {{url> | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | Wenn hingegen der Strom des zweiten Leiters gerade entgegen des Stroms im ersten Leiter gerichtet ist, ändert sich das Bild: Hier ergibt sich eine verstärkende Überlagerung zwischen den beiden Leitern. | ||
| + | Mit der Nomenklatur aus dem vorherigen Kapitel ist es hier auch möglich Nord- und Südpol lokal zu zu ordnen. Nach außen erscheint ein Pol vor den beiden Leitern lokalisiert zu sein und ein weiterer dahinter. | ||
| + | |||
| + | in den beiden Simulationen lassen sich auch die Abstände der Leiter über den Slider "Line Separation" | ||
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| - | ==== Superposition des magnetostatischen Felds ==== | + | ==== Herleitung der magnetischen Feldstärke (Teil 1, über Toroidspule) |
| <WRAP right> | <WRAP right> | ||
| - | Überlagerung magnetischer Felder (nur bis 04:08) | + | < |
| - | {{youtube>qAOfVXJMxk8?end=248}} | + | |
| </ | </ | ||
| + | |||
| + | Bisher wurde das Magnetfeld recht pragmatisch durch die Wirkung auf einen Kompass definiert. | ||
| + | Für eine tiefere Analyse des Magnetfeldes soll das Feld nun wieder - wie beim elektrischen Feld - aus __zwei__ Richtungen betrachtet werden. | ||
| + | Auch das Magnetfeld wird als ein " | ||
| + | In diesem Kapitel wird zunächst auf das magnetische Wirkfeld eingegangen. Für diese bietet sich die Betrachtung der Effekte im Inneren einer Ringspule (= Toroidspule) an. | ||
| + | Diese ist in <imgref BildNr04> | ||
| + | |||
| + | In einem Experiment soll nun eine Magnetnadel im Inneren der Ringspule rechtwinklig zu den Feldlinien ausgerichtet werden. | ||
| + | Dann wird das Magnetfeld ein Drehmoment erzeugen, welches die Magnetnadel in die Feldrichtung auszurichten versucht. | ||
| + | |||
| + | Es ergibt sich nun: | ||
| + | - $M \neq M(\phi)$ : Bei gleichem Abstand von der Symmetrieachse ist das Drehmoment $M$ unabhängig vom Winkel $\phi$. | ||
| + | - $M \sim I$ : Je stärker der durch eine Wicklung fließende Strom, desto stärker die Wirkung, d.h. desto stärker das Drehmoment. | ||
| + | - $M \sim N$ : Je größer die Anzahl $N$ der Wicklungen, desto stärker das Drehmoment $M$. | ||
| + | - $M \sim {1 \over l}$ : Je kleiner der mittlere Spulenumfang $l$ desto größer das Drehmoment. Der mittlere Spulenumfang $l$ gleicht der Feldlinienlänge. | ||
| + | |||
| + | Zusammengefasst wird daraus: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | M \sim {{I \cdot N}\over{l}} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Die **magnetische Feldstärke** $H$ im Innern der Ringspule wird angegeben als: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \boxed{H ={{I \cdot N}\over{l}}} \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die Toroidspule} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Als Einheit der **magnetische Feldstärke** $H$ ergibt sich $[H] = {{[I]}\over{[l]}}= 1{{A}\over{m}}$ | ||
| + | |||
| + | ==== Magnetische Durchflutung ==== | ||
| + | |||
| + | Die Ursache des magnetischen Feldes ist der Strom in der Windung der Spule. Wird dieser Strom $I$ und/oder die Anzahl $N$ der Wicklungen erhöht, so verstärkt sich die Wirkung. Um dies leichter handzuhaben, | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \boxed{\theta = N \cdot I} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | Die Einheit von $\theta$ ist: $[\theta]= 1A$ (veraltet auch Amperewindung genannt). | ||
| + | |||
| + | Damit ergibt sich die magnetische Feldstärke $H$ der Toroidspule zu: $H= {{\theta}\over{l}}$ | ||
| + | |||
| + | ==== Herleitung der magnetischen Feldstärke (Teil 2, gerader Leiter) ==== | ||
| + | |||
| + | Die bisherigen Herleitung von der Toroidspule soll nun genutzt werden, um die Feldstärke um einen langen, geraden Leiter herzuleiten. Die Durchflutung $\theta$ bei einem einzelnen Leiter ergibt sich als $\theta = N \cdot I = 1 \cdot I = I$. Bei der Toroidspule ergab sich die magnetische Feldstärke durch Durchflutung $\theta$ geteilt durch die (mittlere) Feldlinienlänge. Aufgrund der (gleichen Rotations-)Symmetrie gilt dies auch für den einzelnen Leiter. | ||
| + | |||
| + | Die Länge einer Feldlinie um den Leiter ist gegeben durch den Abstand $r$ der Feldlinie vom Leiter: $l = l(r) = 2 \cdot \pi \cdot r$. \\ Für die magnetische Feldstärke des einzelnen Leiter ergibt sich dann: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \boxed{H ={{\theta}\over{l}} = {{I}\over{2 \cdot \pi \cdot r}}} \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die den langen, geraden Leiter} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | <panel type=" | ||
| + | |||
| + | In einem langen geraden Leiter mit rundem Querschnitt fließt der Strom $I = 100A$. Der Radius des Leiters beträgt $r_{L}= 4mm$ | ||
| + | |||
| + | * Wie groß ist die magnetische Feldstärke $H_1$ an einem Punkt $P_1$, welcher sich __außerhalb__ des Leiters im Abstand von $r_1 = 10cm$ von der Leiterachse befindet? | ||
| + | * Wie groß ist die magnetische Feldstärke $H_2$ an einem Punkt $P_2$, welcher sich __innerhalb__ des Leiters im Abstand von $r_2 = 3mm$ von der Leiterachse befindet? | ||
| + | |||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | <panel type=" | ||
| + | |||
| + | <WRAP right> | ||
| + | < | ||
| + | </ | ||
| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | Drei lange gerade Leiter sind im Vakuum so angeordnet, dass sie an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks liegen (siehe <imgref BildNr01> | ||
| + | |||
| + | Wie groß ist die magnetische Feldstärke $H$ im Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks? | ||
| + | </ | ||
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| + | |||
| + | Beim elektrischen Feld war die Feldliniendichte ein Maß für die Stärke des Feldes. Dies ist wird auch beim magnetischen Feld genutzt. Betrachtet man mit diesem Verständnis die Simulationen in Falstad (unten links), so stellt man eine Ungereimtheit fest: Im Gegensatz zur gerade angegebenen Beziehung, zeigt die Feldliniendichte in der Falstad-Simulation __**nicht**__ die Stärke des Feldes an. Unten rechts ist im Vergleich eine realitätsnahe Simulation dargestellt, | ||
| <WRAP right> | <WRAP right> | ||
| - | {{url> | + | {{url> |
| </ | </ | ||
| <WRAP right> | <WRAP right> | ||
| - | {{url> | + | {{url> |
| </ | </ | ||
| + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| + | <callout icon=" | ||
| + | * Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Feldstärke. | ||
| + | * Die Simulation in Falstad kann dies so nicht abbilden. Hier ist die Feldstärke durch die Farbintensität codiert (dunkelgrün = geringe Feldstärke, | ||
| + | </ | ||
| + | ==== Herleitung der magnetischen Feldstärke (Teil 3, Verallgemeinerung) ==== | ||
| + | Bisher konnten nur rotationssymmetrische Probleme gelöst werden. Nun soll dies verallgemeinert werden. Dazu soll nochmal ein Blick zurück auf das elektrische Feld geworfen werden. Für die elektrische Feldstärke $E$ eines Kondensator mit zwei Platten im Abstand von $s$ und der Potentialdifferenz $U$ gilt: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | U = E \cdot s \quad \quad | \quad \text{gilt nur für den Kondensator} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | Dies wurde auf $U = \int_s E ds$ erweitert. Formt man zum Vergleich die Formel zur magnetischen Feldstärke $H$ einer Toroidspule mit der mittleren Feldlinienlänge $l$ um, so ergibt sich | ||
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | + | \begin{align*} |
| - | ==== Vergleich von Elektrostatik und Magnetostatik ==== | + | \theta |
| + | \end{align*} | ||
| - | ^Eigenschaft ^ Elektrostatik ^ Magnetostatik ^ | + | Erkennen Sie die Ähnlichkeiten? |
| - | | Feldlinienbilder | < | + | |
| - | | Probe für das Feld | positive Probeladung | + | |
| - | | Feldlinien | - beginnen | + | |
| - | | Feldlinienenden | Es gibt Quellen und Senken | es gibt __keine__ Quellen und Senken | | + | |
| - | | Feldtyp | wirbelfreies Quellenfeld | quellenfreies Wirbelfeld | | + | |
| + | \begin{align*} | ||
| + | V_m = H \cdot s \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die Toroidspule} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | Was ist nun der Unterschied zwischen der magnetischen Spannung $V_m$ und der Durchflutung $\theta$? | ||
| + | - Die erste Gleichung der Toroidspule ($\theta = H \cdot l$) gilt für einen Umlauf entlang einer Feldlinie. Zusätzlich ist die Durchflutung fest durch Strom und Anzahl der Wicklungen gegeben: $\theta = N \cdot I$. | ||
| + | - Die zweite Gleichung ($V_m = H \cdot s$) gilt unabhängig von der Weglänge $s$ entlang der Feldlinie. Wird gerade $s = l$ gewählt, so gleicht die magnetische Spannung der magnetischen Durchflutung. | ||
| - | ===== 1.2 Magnetische | + | Damit kann für jeden infinitesimal kleinen Weg $ds$ entlang einer Feldlinie die entstandene, |
| - | < | + | \begin{align*} |
| - | === Ziele === | + | V_{m12} |
| + | \end{align*} | ||
| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | + | Bisher wurde nur die Situation betrachtet, dass man immer entlang der gleichen Feldlinie läuft. $\vec{s}$ kam hier also immer auf der gleichen Feldlinie an. Will man dies noch erweitern auf beliebige Richtungen (also auch quer zu Feldlinien), |
| - | - die beiden feldbeschreibenden Größen des magnetischen Feldes kennen. | + | \begin{align*} |
| - | | + | \boxed{V_{m12} |
| + | \end{align*} | ||
| - | </callout> | + | |
| + | * geschlossenes Ringintegral damit $V_m = \theta$ | ||
| + | |||
| + | ==== Anwendung der verallgemeinerten Form ==== | ||
| + | |||
| + | === ein oder mehrere stromdurchflossene Leiter === | ||
| + | |||
| + | * Überprüfung der Gleichung für einzelnen Leiter | ||
| + | * Bei mehreren gilt $\theta = \sum I$ | ||
| + | * Knotensatz | ||
| + | * grafische Beispiele für magn. Spannung pro Umlauf | ||
| + | |||
| + | === räumlich ausgedehnte Strömung === | ||
| + | |||
| + | * Rechtsschraube zwischen $d \vec{s}$ und $d \vec{a}$ | ||
| + | |||
| + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| + | |||
| + | <panel type=" | ||
| <WRAP right> | <WRAP right> | ||
| - | {{url>https:// | + | < |
| + | </ | ||
| + | {{drawio>Aufgabe3MagnefeldStromdurchflossenerLeiter}} \\ | ||
| </ | </ | ||
| - | - Erregerfeld | + | Gegeben sind nebenstehende, |
| - | - Elektret | + | |
| + | Gesucht ist jeweils die magnetische Spannung $V_m$ entlang des eingezeichneten Wegs. | ||
| + | |||
| + | </ | ||
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| + | |||
| ===== 1.3 Das Ampere' | ===== 1.3 Das Ampere' | ||
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| {{youtube> | {{youtube> | ||
| - | Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https:// | + | Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https:// |
| + | \begin{align*} | ||
| + | F = {{\mu _0}\over{2 \pi}} \cdot {{I_1 \cdot I_2 }\over{r}} \cdot l | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Mit: | ||
| + | * Leiterlänge $l$ | ||
| + | * Abstand der Leiter $r$ | ||
| + | * Ströme durch die Leiter $I_1$ und $I_2$ | ||
| + | * Vakuumpermeabilität $\mu _0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} {{Vs}\over{Am}}$ | ||
| ===== 1.4 Lorentzkraft ===== | ===== 1.4 Lorentzkraft ===== | ||
| Zeile 200: | Zeile 357: | ||
| ==== Video ==== | ==== Video ==== | ||
| - | Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https:// | + | Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https:// |
| Zeile 218: | Zeile 375: | ||
| </ | </ | ||
| + | |||
| + | ===== 1.6 Poynting Vektor (nicht Teil des Curriculums) ===== | ||
| + | |||
| + | * Anschauliches Bild des Poynting-Vektors entlang eines Stromkreises: | ||
| + | * Gute Erklärung desEnergieflusses über ein Strom-Modell: | ||
| + | * Sehr ausführliche Betrachtung des Energieflusses im Stromkreis: http:// | ||
| Kraftwirkung auf dia- und paramagnetische Stoffe im Magnetfeld | Kraftwirkung auf dia- und paramagnetische Stoffe im Magnetfeld | ||