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--- elektrotechnik_2:das_magnetostatische_feld [2021/03/09 03:14]
tfischer
+++ elektrotechnik_2:das_magnetostatische_feld [2023/09/19 23:01] (aktuell)
mexleadmin
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-====== 1. Das magnetostatische Feld ======
+====== 1 Das magnetostatische Feld ======
 ===== 1.1 Magnetische Erscheinungen  =====
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 </callout>
-=== Simulation und Superposition des magnetostatischen Felds ====
+==== Simulation und Superposition des magnetostatischen Felds ====
 <WRAP right>
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-=== Herleitung der magnetischen Feldstärke ====
+==== Herleitung der magnetischen Feldstärke (Teil 1, über Toroidspule) ====
 <WRAP right>
-<imgcaption BildNr04 | Magnetfeld in einer Toroidspule></imgcaption>{{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=ToroidalSolenoidField&d=streamlines&sl=none&st=1&ld=8&a1=77&a2=26&a3=100&rx=0&ry=0&rz=0&zm=1.8 700,350 noborder}}
+<imgcaption BildNr04 | Magnetfeld in einer Toroidspule></imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=ToroidalSolenoidField&d=streamlines&sl=none&st=1&ld=8&a1=77&a2=26&a3=100&rx=0&ry=0&rz=0&zm=1.8 700,450 noborder}}
 </WRAP>
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 Zusammengefasst wird daraus:
-$M \sim {{I \cdot N}\over{l}}$
+\begin{align*}
+M \sim {{I \cdot N}\over{l}}
+\end{align*}
 Die **magnetische Feldstärke** $H$ im Innern der Ringspule wird angegeben als:
-$H \sim {{I \cdot N}\over{l}}$
+\begin{align*}
+\boxed{H ={{I \cdot N}\over{l}}} \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die Toroidspule}
+\end{align*}
-Als Einheit der **magnetische Feldstärke** $H$ ergibt sich $[H] = {{[I]}{[l]}}= 1{{[A]}{[m]}}$
+Als Einheit der **magnetische Feldstärke** $H$ ergibt sich $[H] = {{[I]}\over{[l]}}= 1{{A}\over{m}}$
+==== Magnetische Durchflutung ====
-   - Erregerfeld
+Die Ursache des magnetischen Feldes ist der Strom in der Windung der Spule. Wird dieser Strom $I$ und/oder die Anzahl $N$ der Wicklungen erhöht, so verstärkt sich die Wirkung. Um dies leichter handzuhaben, wird die **magnetische Durchflutung** eingeführt. Die magnetische Durchflutung $\theta$ ist definiert als
-   - Elektret
+\begin{align*}
+\boxed{\theta = N \cdot I}
+\end{align*}
+Die Einheit von $\theta$ ist: $[\theta]= 1A$ (veraltet auch Amperewindung genannt).
+Damit ergibt sich die magnetische Feldstärke $H$ der Toroidspule zu: $H= {{\theta}\over{l}}$
+==== Herleitung der magnetischen Feldstärke (Teil 2, gerader Leiter) ====
+Die bisherigen Herleitung von der Toroidspule soll nun genutzt werden, um die Feldstärke um einen langen, geraden Leiter herzuleiten. Die Durchflutung $\theta$ bei einem einzelnen Leiter ergibt sich als $\theta = N \cdot I = 1 \cdot I = I$. Bei der Toroidspule ergab sich die magnetische Feldstärke durch Durchflutung $\theta$ geteilt durch die (mittlere) Feldlinienlänge. Aufgrund der (gleichen Rotations-)Symmetrie gilt dies auch für den einzelnen Leiter.
+Die Länge einer Feldlinie um den Leiter ist gegeben durch den Abstand $r$ der Feldlinie vom Leiter: $l = l(r) = 2 \cdot \pi \cdot r$. \\ Für die magnetische Feldstärke des einzelnen Leiter ergibt sich dann:
+\begin{align*}
+\boxed{H ={{\theta}\over{l}} = {{I}\over{2 \cdot \pi \cdot r}}} \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die den langen, geraden Leiter}
+\end{align*}
+<panel type="info" title="Aufgabe 1.2.1 Magnetische Feldstärke um einem lagnen geraden Leiter"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+In einem langen geraden Leiter mit rundem Querschnitt fließt der Strom $I = 100A$. Der Radius des Leiters beträgt $r_{L}= 4mm$
+  * Wie groß ist die magnetische Feldstärke $H_1$ an einem Punkt $P_1$, welcher sich __außerhalb__ des Leiters im Abstand von $r_1 = 10cm$ von der Leiterachse befindet?
+  * Wie groß ist die magnetische Feldstärke $H_2$ an einem Punkt $P_2$, welcher sich __innerhalb__ des Leiters im Abstand von $r_2 = 3mm$ von der Leiterachse befindet?
+</WRAP></WRAP></panel>
+<panel type="info" title="Aufgabe 1.2.2 Superposition"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr01 | Anordnung der Leiter>
+</imgcaption> \\
+{{drawio>Aufgabe1Leiteranordnung}} \\
+</WRAP>
+Drei lange gerade Leiter sind im Vakuum so angeordnet, dass sie an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks liegen (siehe <imgref BildNr01>). Der Radius des Umkreises ist $r = 2 cm$.
+Wie groß ist die magnetische Feldstärke $H$ im Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks?
+</WRAP></WRAP></panel>
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+Beim elektrischen Feld war die Feldliniendichte ein Maß für die Stärke des Feldes. Dies ist wird auch beim magnetischen Feld genutzt. Betrachtet man mit diesem Verständnis die Simulationen in Falstad (unten links), so stellt man eine Ungereimtheit fest: Im Gegensatz zur gerade angegebenen Beziehung, zeigt die Feldliniendichte in der Falstad-Simulation __**nicht**__ die Stärke des Feldes an. Unten rechts ist im Vergleich eine realitätsnahe Simulation dargestellt, die den Unterschied deutlich macht: in der Nähe des Leiters ist das Feld stärker. Damit muss dort auch die Feldliniendichte auch stärker sein.
 <WRAP right>
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 </WRAP>
-Werden mit dem nun aufgebauten Verständnis die bisherigen Simulationen betrachtet, so stellt man eine Ungereimtheit fest: Im Gegensatz zur Realität, zeigt die Feldliniendichte in der Falstad-Simulation __**nicht**__ die Stärke des Feldes an. Rechts ist eine realitätsnahe Simulation dargestellt, die den Unterschied deutlich macht: in der Nähe des Leiters ist das Feld stärker. Damit muss dort auch die Feldliniendichte auch stärker sein.
+<WRAP right>
+{{url>https://www.falstad.com/vector3dm/vector3dm.html?f=InverseRotational&d=streamlines&sl=z&st=19&ld=12&rx=0&ry=0&rz=0&zm=1.8 700,350 noborder}}
+</WRAP>
+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Achtung:">
   * Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Feldstärke.
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 </callout>
+==== Herleitung der magnetischen Feldstärke (Teil 3, Verallgemeinerung) ====
+Bisher konnten nur rotationssymmetrische Probleme gelöst werden. Nun soll dies verallgemeinert werden. Dazu soll nochmal ein Blick zurück auf das elektrische Feld geworfen werden. Für die elektrische Feldstärke $E$ eines Kondensator mit zwei Platten im Abstand von $s$ und der Potentialdifferenz $U$ gilt:
+\begin{align*}
+U = E \cdot s \quad \quad | \quad \text{gilt nur für den Kondensator}
+\end{align*}
+Dies wurde auf $U = \int_s E ds$ erweitert. Formt man zum Vergleich die Formel zur magnetischen Feldstärke $H$ einer Toroidspule mit der mittleren Feldlinienlänge $l$ um, so ergibt sich
+\begin{align*}
+\theta = H \cdot l \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die Toroidspule}
+\end{align*}
+Erkennen Sie die Ähnlichkeiten? Auch hier wird der Betrag der Feldstärke mit der Länge multipliziert, um auf eine weitere feldbeschreibende Größe (hier die Durchflutung $\theta$) zu gelangen. Aufgrund der Ähnlichkeit - die sich im Folgenden noch weiter zieht - wird die sogenannte **magnetische (Umlauf)Spannung $V_m$** eingeführt:
+\begin{align*}
+V_m = H \cdot s \quad \quad | \quad \text{gilt nur für die Toroidspule}
+\end{align*}
+Was ist nun der Unterschied zwischen der magnetischen Spannung $V_m$ und der Durchflutung $\theta$?
+  - Die erste Gleichung der Toroidspule ($\theta = H \cdot l$) gilt für einen Umlauf entlang einer Feldlinie. Zusätzlich ist die Durchflutung fest durch Strom und Anzahl der Wicklungen gegeben: $\theta = N \cdot I$.
+  - Die zweite Gleichung ($V_m = H \cdot s$) gilt unabhängig von der Weglänge $s$ entlang der Feldlinie. Wird gerade $s = l$ gewählt, so gleicht die magnetische Spannung der magnetischen Durchflutung.
+Damit kann für jeden infinitesimal kleinen Weg $ds$ entlang einer Feldlinie die entstandene, infinitesimal kleine magnetische Spannung $dV_m = H \cdot ds$ ermittelt werden. Ändert sich nun entlang der Feldlinie die magnetische Feldstärke $H = H(\vec{s})$, so ergibt sich die magnetische Spannung von Punkt $\vec{s_1}$ nach Punkt $\vec{s_2}$ zu:
+\begin{align*}
+V_{m12} = V_m(\vec{s_1}, \vec{s_2})  = \int_\vec{s_1}^\vec{s_2} H(\vec{s}) ds
+\end{align*}
+Bisher wurde nur die Situation betrachtet, dass man immer entlang der gleichen Feldlinie läuft. $\vec{s}$ kam hier also immer auf der gleichen Feldlinie an. Will man dies noch erweitern auf beliebige Richtungen (also auch quer zu Feldlinien), so darf jeweils nur der Teil der magnetischen Feldstärke $\vec{H}$ in der Formel genutzt werden, welcher parallel zum Wegstück $d \vec{s}$ ist. Dies wird über die Skalarmultiplikation ermöglicht. Es gilt also allgemein:
+\begin{align*}
+\boxed{V_{m12}  = \int_\vec{s_1}^\vec{s_2} \vec{H} \cdot d \vec{s}}
+\end{align*}
+  * geschlossenes Ringintegral damit $V_m = \theta$
+==== Anwendung der verallgemeinerten Form ====
+=== ein oder mehrere stromdurchflossene Leiter ===
+  * Überprüfung der Gleichung für einzelnen Leiter
+  * Bei mehreren gilt $\theta = \sum I$
+  * Knotensatz
+  * grafische Beispiele für magn. Spannung pro Umlauf
+=== räumlich ausgedehnte Strömung ===
+  * Rechtsschraube zwischen $d \vec{s}$ und $d \vec{a}$
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+<panel type="info" title="Aufgabe 1.2.3 magnetische Spannung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
+<WRAP right>
+<imgcaption BildNr05 | verschiedene Trajektorien um stromdurchflossene Leiter>
+</imgcaption> \\
+{{drawio>Aufgabe3MagnefeldStromdurchflossenerLeiter}} \\
+</WRAP>
+Gegeben sind nebenstehende, geschlossene Trajektorien im magnetischen Feld von stromdurchflossenen Leitern (siehe <imgref BildNr05>). Dabei soll gelten: $I_1 = 2A$ und $I_2 = 4,5A$.
+Gesucht ist jeweils die magnetische Spannung $V_m$ entlang des eingezeichneten Wegs.
+</WRAP></WRAP></panel>
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
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 {{youtube>cU6Pbb71dyo}}
-Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.3.2/xcontent1.html|KIT-Brückenkurs >> 3.2.2 Magnetisches Feld]] die Inhalte (Text, Videos, Übungen) an. Achten Sie darauf, dass in der Auswahlleiste oben "Gesamt" ausgewählt wurde. Der letzte Teil zu "Magnetfeld mit Materie" kann übersprungen werden - dieser kommt erst in 2-3 Terminen.
+Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.4.2/xcontent1.html|KIT-Brückenkurs >> 4.2.2 Magnetisches Feld]] die Inhalte (Text, Videos, Übungen) an. Achten Sie darauf, dass in der Auswahlleiste oben "Gesamt" ausgewählt wurde. Der letzte Teil zu "Magnetfeld mit Materie" kann übersprungen werden - dieser kommt erst in 2-3 Terminen.
+\begin{align*}
+F = {{\mu _0}\over{2 \pi}} \cdot {{I_1 \cdot I_2 }\over{r}} \cdot l
+\end{align*}
+Mit:
+  * Leiterlänge $l$
+  * Abstand der Leiter $r$
+  * Ströme durch die Leiter $I_1$ und $I_2$
+  * Vakuumpermeabilität $\mu _0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} {{Vs}\over{Am}}$
 ===== 1.4 Lorentzkraft =====
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 ==== Video ====
-Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.3.2/xcontent2.html|KIT-Brückenkurs >> 3.2.3 Lorentz-Kraft]] die Inhalte (Text, Videos, Übungen) an. Achten Sie darauf, dass in der Auswahlleiste oben "Gesamt" ausgewählt wurde. Der letzte Teil zu "Magnetfeld mit Materie" kann übersprungen werden.
+Bitte sehen Sie sich auf der Seite des [[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.4.2/xcontent2.html|KIT-Brückenkurs >> 4.2.3 Lorentz-Kraft]] die Inhalte (Text, Videos, Übungen) an. Achten Sie darauf, dass in der Auswahlleiste oben "Gesamt" ausgewählt wurde. Der letzte Teil zu "Magnetfeld mit Materie" kann übersprungen werden.
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 </callout>
+===== 1.6 Poynting Vektor (nicht Teil des Curriculums) =====
+  * Anschauliches Bild des Poynting-Vektors entlang eines Stromkreises: https://de.cleanpng.com/png-jyy1vj/
+  * Gute Erklärung desEnergieflusses über ein Strom-Modell: https://www.forphys.de/Website/elekt/stromodl.html
+  * Sehr ausführliche Betrachtung des Energieflusses im Stromkreis: http://www.didaktik.physik.uni-duisburg-essen.de/~backhaus/publicat/Energie.pdf
 Kraftwirkung auf dia- und paramagnetische Stoffe im Magnetfeld