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elektrotechnik_2:netzwerke_bei_veraenderlicher_frequenz [2021/06/15 00:39] tfischer |
elektrotechnik_2:netzwerke_bei_veraenderlicher_frequenz [2023/09/19 23:02] (aktuell) mexleadmin |
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| - | ====== 4. Netzwerke bei veränderlicher Frequenz ====== | + | ====== 4 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz ====== |
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| + | Weiterführende Inhalte sind beim {{https:// | ||
| ==== Einführung ==== | ==== Einführung ==== | ||
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| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \underline{U}_L = j\omega \cdot C \cdot \underline{I}_L \quad \rightarrow \quad \underline{Z}_L = j\omega \cdot L | + | \underline{U}_L = j\omega \cdot L \cdot \underline{I}_L \quad \rightarrow \quad \underline{Z}_L = j\omega \cdot L |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
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| Bisher wurden Komponenten wie Widerstände, | Bisher wurden Komponenten wie Widerstände, | ||
| - | Bei den Vierpolen ist die Relation von "was geht rein" (z.B. Spannung | + | Bei den Vierpolen ist die Relation von "was geht raus" (z.B. $\underline{U}_A$ oder $\underline{U}_2$) zu "was geht rein" (z.B. Spannung |
| - | Damit ergibt sich aus den Ein- und Ausgangsgrößen | + | Damit ergibt sich aus den Aus- und Eingangsgrößen |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| \underline{A} & = \frac {\underline{U}_A}{\underline{U}_E} \\ | \underline{A} & = \frac {\underline{U}_A}{\underline{U}_E} \\ | ||
| & \text{mit} \; \underline{U}_E = U_E \cdot e^{j \varphi_{uE}} \\ | & \text{mit} \; \underline{U}_E = U_E \cdot e^{j \varphi_{uE}} \\ | ||
| - | & \text{und} \; \underline{U}_A = U_2 \cdot e^{j \varphi_{uA}} \\ \\ | + | & \text{und} \; \underline{U}_A = U_A \cdot e^{j \varphi_{uA}} \\ \\ |
| \underline{A}& | \underline{A}& | ||
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| === Plotten von Amplituden- und Frequenzgang === | === Plotten von Amplituden- und Frequenzgang === | ||
| - | < | + | Die Übertragungsfunktion lässt sich auch zerlegt in Amplitudengang und Frequenzgang darstellen. Dazu bietet es sich an |
| + | * den Amplitudengang doppeltlogarithmisch und | ||
| + | * den Phasengang einfach logarithmisch | ||
| + | aufzuzeichnen. <imgref BildNr03> | ||
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| - | Die Übertragungsfunktion lässt sich auch zerlegt in Amplitudengang und Frequenzgang darstellen. Dazu bietet es sich an | ||
| - | * den Amplitudengang doppeltlogarithmisch und | ||
| - | * den Phasengang einfach logarithmisch | ||
| - | aufzuzeichnen. <imgref BildNr03> | ||
| Auch hier ist das bei der Grenzwertbetrachtung festgestellte Verhalten zu sehen: bei kleine Frequenzen $\omega$ (entspricht kleinen $x$) strebt der Amplitudengang gegen Null. Bei großen Frequenzen stellt sich ein Verhältnis $U_A / U_E = 1 $ ein. | Auch hier ist das bei der Grenzwertbetrachtung festgestellte Verhalten zu sehen: bei kleine Frequenzen $\omega$ (entspricht kleinen $x$) strebt der Amplitudengang gegen Null. Bei großen Frequenzen stellt sich ein Verhältnis $U_A / U_E = 1 $ ein. | ||
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| - | ==== RL-Reihenschaltung ==== | + | === RL-Tiefpass |
| + | <WRAP right> | ||
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| + | {{drawio> | ||
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| + | Bisher wurde nur eine Variante des RL-Glieds betrachtet, nämlich jenes, bei welchem die Ausgangsspannung $\underline{U}_A$ an der Induktivität abgegriffen wird. Hier soll kurz darauf eingegangen werden, was passiert, wenn die beiden Komponenten vertauscht werden. | ||
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| + | In diesem Falle ergibt sich als normierte Übertragungsfunktion: | ||
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| + | \begin{align*} | ||
| + | \underline{A}_{norm} | ||
| + | \end{align*} | ||
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| + | Die Grenzfrequenz ist wieder über $f_{Gr} = \frac{R}{2 \pi \cdot L}$ gegeben. | ||
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| + | ==== RC-Reihenschaltung ==== | ||
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| + | === RC-Hochpass === | ||
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| + | <WRAP right> | ||
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| + | {{drawio> | ||
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| + | Nun soll ein Spannungsteiler durch einen Widerstand $R$ und eine Kapazität $C$ aufgebaut werden. Ganz ähnlich zu den bisherigen Kapiteln kann hier auch die Übertragungsfunktion ermittelt werden. | ||
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| + | Hier ergibt sich als normierte Übertragungsfunktion: | ||
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| + | \begin{align*} | ||
| + | \underline{A}_{norm} | ||
| + | \end{align*} | ||
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| + | In diesem Fall wird die Normierungsvariable $x = \omega RC$. Auch hier wird die Grenzfrequenz über das Gleichsetzen von $R$ und dem Betrag der Impedanz der Kapazität ermittelt: | ||
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| + | \begin{align*} | ||
| + | R &= \frac{1}{\omega_{Gr} C} \\ | ||
| + | \omega_{Gr} | ||
| + | 2 \pi f_{Gr} &= \frac{1}{RC} | ||
| + | \boxed{f_{Gr} =\frac{1}{2 \pi\cdot RC} } | ||
| + | \end{align*} | ||
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| + | === RC-Tiefpass === | ||
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| + | <WRAP right> | ||
| + | < | ||
| + | </ | ||
| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
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| + | Auch hier soll die Spannung an der Impedanz als Ausgangsspannung genutzt werden. Damit ergibt sich ein Tiefpass. | ||
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| + | Hier ergibt sich als normierte Übertragungsfunktion: | ||
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| + | \begin{align*} | ||
| + | \underline{A}_{norm} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Auch ist die Grenzfrequenz gegeben durch $f_{Gr} =\frac{1}{2 \pi\cdot RC}$ | ||
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| ===== 4.2 Resonanzerscheinungen ===== | ===== 4.2 Resonanzerscheinungen ===== | ||
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| - | === Ziele === | ||
| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
| - | - wissen, dass zwischen Magnetpolen Kräfte wirken und die Richtung der Kräfte kennen. | ||
| - | - wissen, dass sich um einen stromdurchflossenen Leiter ein magnetisches Feld bildet. | ||
| - | - die Feldlinien des magnetischen Feldes skizzieren können. Dabei wissen Sie welche Richtung das Feld hat und wo das Feld am dichtesten ist. | ||
| - | </ | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
| + | ==== RLC - Serienschwingkreis ==== | ||
| - | ==== Effekte um Permanentmagneten ==== | + | <WRAP right> |
| + | < | ||
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| + | {{drawio> | ||
| + | </ | ||
| + | Wird ein Widerstand $R$ ein Kondensator $C$ und eine Induktivität $L$ in Reihe geschaltet, so ergibt sich ein Serienschwingkreis. Bei diesem ist die Ausgangsspannung nicht eindeutig definiert. Es muss im Folgenden betrachtet werden, wie sich die Spannungen über die einzelnen Komponenten verhalten. | ||
| + | Die Gesamtspannung (= Eingangsspannung $U_E$) ergibt sich dabei zu: | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \underline{U} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | Da der Strom im Stromkreis konstant sein muss, kann hier die Gesamtimpedanz auf einfache Weise ermittelt werden: | ||
| - | [[http:// | + | \begin{align*} |
| + | \underline{U} &= R \cdot \underline{I} + j \omega L \cdot \underline{I} + \frac {1}{j\omega C } \cdot \underline{I} \\ | ||
| + | \underline{U} &= \left( R + j \omega L - j \cdot \frac {1}{\omega C } \right) \cdot \underline{I} \\ | ||
| + | \underline{Z}_{ges} &= R + j \omega L - j \cdot \frac {1}{\omega C } | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Als Betrag der (Eingangs)Spannung $U$ bzw. der (Eingangs- bzw. Gesamt)Impedanz $Z$ und die Phase ergeben sich zu: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | U &= \sqrt{U_R^2 + (U_Z)^2} = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | Z &= \sqrt{R^2 + (Z)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \varphi_u = \varphi_Z &= arctan \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Es sind nun 3 unterschiedliche Situationen zu unterscheiden: | ||
| + | * Ist $U_L > U_C$ so verhält sich der gesamte Aufbau wie eine ohmsch-induktive Last. Dies ist bei hohen Frequenzen der Fall. | ||
| + | * Wird hier $U_L$ gleich $U_C$, so liegt die gesamte Eingangsspannung $U$ am Widerstand an. In diesem Fall ist der Gesamtwiderstand $Z$ minimal und nur ohmsch. \\Der Strom $I$ ist dann also maximal. Wenn der Strom maximal ist, so sind auch die Reaktionen der Kapazität und Induktivität - also deren Spannungen - maximal. Diese Situation ist der **Resonanzfall**. | ||
| + | * Ist $U_L < U_C$ so verhält sich der gesamte Aufbau wie eine ohmsch-kapazitive Last. Dies bei niedrigen Frequenzen ist der Fall. | ||
| + | |||
| + | Auch hier scheint es eine ausgezeichnete Frequenz zu geben, nämlich, wenn $U_L = U_C$ bzw. $Z_C = Z_L$ gilt: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \frac{1}{\omega_0 C} & = \omega L \\ | ||
| + | \omega_0 & = \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ | ||
| + | 2\pi f_0 & = \frac{1}{\sqrt{LC}} | ||
| + | \rightarrow | ||
| + | \boxed{ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} } | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Die Frequenz $f_0$ wird **Resonanzfrequenz** genannt. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | ^ ^ $\quad$ ^ $f \rightarrow 0$ ^ $\quad$ ^ $f = f_0$ ^ $\quad$ ^ $f \rightarrow \infty$ | ||
| + | | Spannung $U_R$ \\ am Widerstand | ||
| + | | Spannung $U_L$ \\ an der Induktivität | | $\boldsymbol{0}$ \\ da $\omega L$ sehr klein wird | | $\boldsymbol{\omega_0 L \cdot I = \omega_0 L \cdot \frac{U}{R} = \color{blue}{\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}\cdot U}$ | | $\boldsymbol{U}$ \\ da $\omega L$ sehr groß wird | | ||
| + | | Spannung $U_C$ \\ am Kondensator | ||
| + | |||
| + | Die Rechnung in der Tabelle zeigt, dass im Resonanzfall die Spannung am Kondensator bzw. an der Induktivität um den Faktor $\color{blue}{\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}$ von der Eingangsspannung abweichen. Diese Größe wird **Güte** $Q_S$ genannt: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \boxed{ Q_S = \frac{U_C}{U} |_{\omega = \omega_0} = \frac{U_L}{U} |_{\omega = \omega_0} = \color{blue}{\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}} } | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Die Güte kann größer, kleiner oder gleich 1 sein. | ||
| + | * Ist die Güte sehr groß, so wird im Resonanzfall die Überschwingung der Spannungen an den Impedanzen sehr groß. Dies ist bei verschiedenen Anwendungen nützlich und notwendig z.B. bei einem RLC-Glied als Antenne. | ||
| + | * Ist die Güte sehr klein, so ist kein Überschwingen mehr zu sehen. Je nachdem an welcher Impedanz die Ausgangsspannung gemessen wird, bildet sich ein Hochpass oder Tiefpass aus ähnlich dem RC- bzw. dem RL-Glied. Dieser hat aber eine steilere Steigung im sperrenden Bereich. Das bedeutet, dass die Filterwirkung besser ist. | ||
| + | |||
| + | Der Kehrwert der Güte wird **Dämpfung** $d_S$ genannt. Dieser wird bei der Nutzung der Schaltung als einen nicht-überschwingenden Filter angegeben. | ||
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| + | \begin{align*} | ||
| + | \boxed{ d_S = \frac{1}{Q_S} = R \sqrt{\frac{C}{L}} } | ||
| + | \end{align*} | ||
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| ===== Entkoppelkondensator am Mikrocontroller ===== | ===== Entkoppelkondensator am Mikrocontroller ===== | ||
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| Hinweis: Die Simulation gibt ein stark vereinfachtes Bild wieder. Die Reaktion des Mikrocontroller ist auf ein Dreiecksignal reduziert dargestellt, | Hinweis: Die Simulation gibt ein stark vereinfachtes Bild wieder. Die Reaktion des Mikrocontroller ist auf ein Dreiecksignal reduziert dargestellt, | ||
| Weitere Details sind sind [[https:// | Weitere Details sind sind [[https:// | ||
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