Unterschiede

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--- introduction_to_digital_systems:calc_decimal_example [2021/09/15 02:42] – tfischer
+++ introduction_to_digital_systems:calc_decimal_example [2021/09/15 03:45] (aktuell) – tfischer
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 ---->
-$I.\quad$ Calculation example for decimal value
+Calculation example for decimal value
 <----
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-Idea: The number $2658.47$ is only the representation with the numerals $[0..9]$, but what is the value behind it?
+Idea: The numeral $2658.47$ is only the representation with the digits $[0..9]$, but what is the value behind it?
 <----
 ---->
+so lets start
+<----
+---->
+. Put space between the digits \\ $\quad$
 \begin{align*}
 \begin{smallmatrix}
-\color{black}{\text{number}:}         & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
 \color{white}{\text{index}:}          & \color{white}{i}               & \color{white}{3}      & \color{white}{2}      & \color{white}{1}      & \color{white}{0 }      & \color{white}{-1}      & \color{white}{-2}      \\
-\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{B^i}             & \color{white}{10^3}   & \color{white}{10^2}   & \color{white}{10^1}   & \color{white}{10^0}    & \color{white}{10^{-1}} & \color{white}{10^{-2}} \\
+\color{white}{\text{place factor}:}   & \color{white}{B^i}             & \color{white}{10^3}   & \color{white}{10^2}   & \color{white}{10^1}   & \color{white}{10^0}    & \color{white}{10^{-1}} & \color{white}{10^{-2}} \\
 \color{white}{}                       & \color{white}{}                & \color{white}{1000}   & \color{white}{100 }   & \color{white}{10  }   & \color{white}{1   }    & \color{white}{0.1    } & \color{white}{0.01   } \\
-\color{white}{\text{numerals}:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
+\color{white}{\text{digits  }:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
-\color{white}{\text{calc.}:}          & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
+\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
 \color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
 \end{smallmatrix}
@@ Zeile 25: / Zeile 31: @@
 ---->
+. Write down the index for each position. \\ $\quad$
 \begin{align*}
 \begin{smallmatrix}
-\color{black}{\text{number}:}         & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
 \color{blue }{\text{index}:}          & \color{blue }{i}               & \color{blue }{3}      & \color{blue }{2}      & \color{blue }{1}      & \color{blue }{0 }      & \color{blue }{-1}      & \color{blue }{-2}      \\
-\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{B^i}             & \color{white}{10^3}   & \color{white}{10^2}   & \color{white}{10^1}   & \color{white}{10^0}    & \color{white}{10^{-1}} & \color{white}{10^{-2}} \\
+\color{white}{\text{place factor}:}   & \color{white}{B^i}             & \color{white}{10^3}   & \color{white}{10^2}   & \color{white}{10^1}   & \color{white}{10^0}    & \color{white}{10^{-1}} & \color{white}{10^{-2}} \\
 \color{white}{}                       & \color{white}{}                & \color{white}{1000}   & \color{white}{100 }   & \color{white}{10  }   & \color{white}{1   }    & \color{white}{0.1    } & \color{white}{0.01   } \\
-\color{white}{\text{numerals}:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
+\color{white}{\text{digits  }:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
-\color{white}{\text{calc.}:}          & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
+\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
 \color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
 \end{smallmatrix}
@@ Zeile 40: / Zeile 48: @@
 ---->
+. calculate the place factor \\ $\quad$
 \begin{align*}
 \begin{smallmatrix}
-\color{black}{\text{number}:}         & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
 \color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
-\color{blue }{\text{place value}:}    & \color{blue }{B^i}             & \color{blue }{10^3}   & \color{blue }{10^2}   & \color{blue }{10^1}   & \color{blue }{10^0}    & \color{blue }{10^{-1}} & \color{blue }{10^{-2}} \\
+\color{blue }{\text{place factor}:}   & \color{blue }{B^i}             & \color{blue }{10^3}   & \color{blue }{10^2}   & \color{blue }{10^1}   & \color{blue }{10^0}    & \color{blue }{10^{-1}} & \color{blue }{10^{-2}} \\
 \color{white}{}                       & \color{white}{}                & \color{white}{1000}   & \color{white}{100 }   & \color{white}{10  }   & \color{white}{1   }    & \color{white}{0.1    } & \color{white}{0.01   } \\
-\color{white}{\text{numerals}:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
+\color{white}{\text{digits  }:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
-\color{white}{\text{calc.}:}          & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
+\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
 \color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
 \end{smallmatrix}
 \end{align*}
 <----
 ---->
+. calculate the place factor \\ (= ..., thousands, hundreds, tens, ones, tenths, ...)
 \begin{align*}
 \begin{smallmatrix}
-\color{white}{\text{number}:}         & \color{white}{}                & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8.}      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
+\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
-\color{white}{\text{index}:}          & \color{white}{i}               & \color{white}{3}      & \color{white}{2}      & \color{white}{1}      & \color{white}{0 }      & \color{white}{-1}      & \color{white}{-2}      \\
+\color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
-\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{B^i}             & \color{white}{10^3}   & \color{white}{10^2}   & \color{white}{10^1}   & \color{white}{10^0}    & \color{white}{10^{-1}} & \color{white}{10^{-2}} \\
+\color{blue }{\text{place factor}:}   & \color{blue }{B^i}             & \color{blue }{10^3}   & \color{blue }{10^2}   & \color{blue }{10^1}   & \color{blue }{10^0}    & \color{blue }{10^{-1}} & \color{blue }{10^{-2}} \\
-\color{white}{}                       & \color{white}{}                & \color{white}{1000}   & \color{white}{100 }   & \color{white}{10  }   & \color{white}{1   }    & \color{white}{0.1    } & \color{white}{0.01   } \\
+\color{blue }{}                       & \color{blue }{}                & \color{blue }{1000}   & \color{blue }{100 }   & \color{blue }{10  }   & \color{blue }{1   }    & \color{blue }{0.1    } & \color{blue }{0.01   } \\
-\color{white}{\text{numerals}:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
+\color{white}{\text{digits  }:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
-\color{white}{\text{calc.}:}          & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
+\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
 \color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
 \end{smallmatrix}
 \end{align*}
 <----
 ---->
+. write down each digit of the numeral  \\ $\quad$
 \begin{align*}
 \begin{smallmatrix}
-\color{blue }{\text{number}:}         & \color{blue }{}                & \color{blue }{2}      & \color{blue }{6}      & \color{blue }{5}      & \color{blue }{8.}      & \color{blue }{4}       & \color{blue }{7}       \\
+\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
-\color{blue }{\text{index}:}          & \color{blue }{i}               & \color{blue }{3}      & \color{blue }{2}      & \color{blue }{1}      & \color{blue }{0 }      & \color{blue }{-1}      & \color{blue }{-2}      \\
+\color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
-\color{blue }{\text{place value}:}    & \color{blue }{B^i}             & \color{blue }{10^3}   & \color{blue }{10^2}   & \color{blue }{10^1}   & \color{blue }{10^0}    & \color{blue }{10^{-1}} & \color{blue }{10^{-2}} \\
+\color{black}{\text{place factor}:}   & \color{black}{B^i}             & \color{black}{10^3}   & \color{black}{10^2}   & \color{black}{10^1}   & \color{black}{10^0}    & \color{black}{10^{-1}} & \color{black}{10^{-2}} \\
-\color{blue }{}                       & \color{blue }{}                & \color{blue }{1000}   & \color{blue }{100 }   & \color{blue }{10  }   & \color{blue }{1   }    & \color{blue }{0.1    } & \color{blue }{0.01   } \\
+\color{black}{}                       & \color{black}{}                & \color{black}{1000}   & \color{black}{100 }   & \color{black}{10  }   & \color{black}{1   }    & \color{black}{0.1    } & \color{black}{0.01   } \\
-\color{blue }{\text{numerals}:}       & \color{blue }{z_i}             & \color{blue }{2}      & \color{blue }{6}      & \color{blue }{5}      & \color{blue }{8 }      & \color{blue }{4}       & \color{blue }{7}       \\
+\color{blue }{\text{digits  }:}       & \color{blue }{z_i}             & \color{blue }{2}      & \color{blue }{6}      & \color{blue }{5}      & \color{blue }{8 }      & \color{blue }{4}       & \color{blue }{7}       \\
-\color{blue }{\text{calc.}:}          & \color{blue }{z_i \cdot B^i}   & \color{blue }{2000}   & \color{blue }{600}    & \color{blue }{50}     & \color{blue }{8 }      & \color{blue }{0.4}     & \color{blue }{0.07}    \\
+\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
-\color{blue }{\text{result}:}         & \color{blue }{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{blue }{2658.47} \\
+\color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
 \end{smallmatrix}
 \end{align*}
@@ Zeile 83: / Zeile 99: @@
 ---->
+. calculate the place value  \\ $\quad$
 \begin{align*}
 \begin{smallmatrix}
-\color{black}{\text{number}:}         & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
 \color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
-\color{black}{\text{place value}:}    & \color{black}{B^i}             & \color{black}{10^3}   & \color{black}{10^2}   & \color{black}{10^1}   & \color{black}{10^0}    & \color{black}{10^{-1}} & \color{black}{10^{-2}} \\
+\color{black}{\text{place factor}:}   & \color{black}{B^i}             & \color{black}{10^3}   & \color{black}{10^2}   & \color{black}{10^1}   & \color{black}{10^0}    & \color{black}{10^{-1}} & \color{black}{10^{-2}} \\
 \color{black}{}                       & \color{black}{}                & \color{black}{1000}   & \color{black}{100 }   & \color{black}{10  }   & \color{black}{1   }    & \color{black}{0.1    } & \color{black}{0.01   } \\
-\color{black}{\text{numerals}:}       & \color{black}{z_i}             & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8 }      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+\color{black}{\text{digits  }:}       & \color{black}{z_i}             & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8 }      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
-\color{black}{\text{calc.}:}          & \color{black}{z_i \cdot B^i}   & \color{black}{2000}   & \color{black}{600}    & \color{black}{50}     & \color{black}{8 }      & \color{black}{0.4}     & \color{black}{0.07}    \\
+\color{blue }{\text{place value}:}    & \color{blue }{z_i \cdot B^i}   & \color{blue }{2000}   & \color{blue }{600}    & \color{blue }{50}     & \color{blue }{8 }      & \color{blue }{0.4}     & \color{blue }{0.07}    \\
-\color{black}{\text{result}:}         & \color{black}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{black}{2658.47} \\
+\color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
 \end{smallmatrix}
 \end{align*}
 <----
 ---->
-| value                                  || 2                | 6                 | 5                | 8 ,              | 4                 | 7                 |
+.Add all place values  \\ $\quad$
-| index       | $i$                       | 3                | 2                 | 1                | 0                | -1                | -2                |
-| $\quad\quad$ \\ $\quad\quad$| $\quad\quad$| $\quad\quad$              | $\quad\quad$     | $\quad\quad$      | $\quad\quad$     | $\quad\quad$     | $\quad\quad$      | $\quad\quad$      |
-| $\quad\quad$| $\quad\quad$              | $\quad\quad$     | $\quad\quad$      | $\quad\quad$     | $\quad\quad$     | $\quad\quad$      | $\quad\quad$      |
-| $\quad\quad$| $\quad\quad$              | $\quad\quad$     | $\quad\quad$      | $\quad\quad$     | $\quad\quad$     | $\quad\quad$      | $\quad\quad$      |
-| $\quad\quad$ \\ $\quad\quad$| $\quad\quad$              | $\quad\quad$     | $\quad\quad$      | $\quad\quad$     | $\quad\quad$     | $\quad\quad$      | $\quad\quad$      |
-<----
----->
+\begin{align*}
-| value                                  || 2                | 6                | 5                | 8 ,               | 4                 | 7                 |
+\begin{smallmatrix}
-| index       | $i$                       | 3                | 2                 | 1                | 0                | -1                | -2                |
+\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
-| place value | $B^i$                     | $\small{10^3}$ \\ $\small{1000}$ | $\small{10^2}$ \\ $\small{100}$  | $\small{10^1}$ \\ $\small{10}$   | $\small{10^0}$ \\ $\small{1}$    | $\small{10^-1}$ \\ $\small{0.10}$  | $\small{10^-2}$ \\ $\small{0.01}$ |
+\color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
-| digit       | $z_i$                     | 2                | 6                | 5                | 8                | 4                 | 7                 |
+\color{black}{\text{place factor}:}   & \color{black}{B^i}             & \color{black}{10^3}   & \color{black}{10^2}   & \color{black}{10^1}   & \color{black}{10^0}    & \color{black}{10^{-1}} & \color{black}{10^{-2}} \\
-| calc.       | $z_i \cdot B^i$           | 2000             | 600              | 50               | 8                | 0.4               | 0.07              |
+\color{black}{}                       & \color{black}{}                & \color{black}{1000}   & \color{black}{100 }   & \color{black}{10  }   & \color{black}{1   }    & \color{black}{0.1    } & \color{black}{0.01   } \\
-| Result      $\sum_i{ z_i \cdot B^i }$  || 2658,47 |||||||
+\color{black}{\text{digits  }:}       & \color{black}{z_i}             & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8 }      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+\color{black}{\text{place value}:}    & \color{black}{z_i \cdot B^i}   & \color{black}{2000}   & \color{black}{600}    & \color{black}{50}     & \color{black}{8}      & \color{black}{0.4}     & \color{black}{0.07}    \\
+\color{blue }{\text{result}:}         & \color{blue }{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{blue }{2658.47} \\
+\end{smallmatrix}
+\end{align*}
 <----
----->
-|aus (2+3)|$\color{blue}{I_p} = \color{blue}{I_m} = 0$  |$I_p$ und $I_m$ sind damit definiert|
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<----
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-|aus (6)|$\color{blue}{I_o} = I_1 $  |$I_o$ ist damit bekannt, wenn $I_1$ bekannt ist|
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<----
----->
-|aus (7) und (3)|$I_1 - I_2 -\color{blue}{0} = 0 $  |$\quad$|
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<----
----->
-|$\quad$|$I_1 = I_2 = I_o$  |$\quad$|
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<----
----->
-|$\quad$|$\color{blue}{I_1} = \color{blue}{I_2} = \color{blue}{I_o} $  |mit (8) und (9): $I_\boxed{}=\frac{U_\boxed{}}{R_\boxed{}}$ und (5)|
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<----
----->
-| $\quad$ |$\frac{U_1}{R_1}= \frac{U_2}{R_2} = \frac{U_A}{R_1 + R_2}$   |Spannungsteilerformel, $I=const.$ |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<----
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-| (10)|$U_2= U_A\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}$   |Spannungsteilerformel|
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<----
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-$II.\quad$ Betrachtung der Spannungsverstärkung
-<----
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-|aus (0)  |$\color{blue}{A_V}=\frac{U_A}{U_E}$  |  $\quad$|
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{U_A}{\color{blue}{U_E}}$  |mit (4): $U_E=U_2+U_D$|
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{U_A}{\color{blue}{U_2+U_D}}$  | $\quad$  |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{U_A}{\color{blue}{U_2}+U_D}$  | mit (10): $U_2= U_A\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}$  |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{U_A}{\color{blue}{U_A\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}}+U_D}$  | $\quad$ |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{U_A}{U_A\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}+U_D}$  | $\quad$ |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{U_A}{U_A\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}+\color{blue}{U_D}}$  | mit (1)|
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{U_A}{U_A\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}+\color{blue}{\frac{U_A}{A_D}}}$  | $\quad$ |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{U_A}{U_A\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}+\frac{U_A}{A_D}}$  | $\quad$ |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{\color{blue}{U_A}}{\color{blue}{U_A}\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}+\frac{\color{blue}{U_A}}{A_D}}$  | Erweitern mit $\frac{1}{U_A}$ |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{1}{\frac{R_2}{R_1+R_2}+\frac{1}{A_D}}$  | $\quad$  |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
----->>
-| $\quad$  |$A_V=\frac{1}{\frac{R_2}{R_1+R_2}+\color{blue}{\frac{1}{A_D}}}$  | mit $\frac{1}{A_D} \xrightarrow{A_D \rightarrow \infty} 0$   |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
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-| $\quad$  |$A_V=\frac{1}{\frac{R_2}{R_1+R_2}}$  | Bruch umformen   |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----
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-| $\quad$  |$A_V=\frac{R_1+R_2}{R_2}$  | $\quad$   |
-|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$|
-<<----