Die Netzwerkanalyse nimmt in der Elektrotechnik eine zentrale Rolle ein. Sie ist deswegen so wichtig, weil damit die auf den ersten Blick komplizierte Schaltungen und Systeme soweit vereinfacht werden können, um diese zu verstehen und Ergebnisse daraus ableiten zu können.
Daneben sind kommen Netzwerke auch in anderen Bereichen vor, zum Beispiel dem Kraftfluss durch ein Fachwerk oder dem Wärmefluss durch einzelne Hardware-Elemente (Abbildung 1). Auch bei diesen Netzwerken können die im Folgenden gezeigten Konzepte angewandt werden.
Auf der Wikiseite zu Netzwerkanalyse sind die verschiedenen Methoden sehr gut kompakt beschrieben
Nach dieser Lektion sollten Sie:
Bevor die Netzwerkanalyse angegangen werden kann, muss die Schaltung geeignet vorbereitet werden (vgl. Abbildung 2):
In realen Anwendungen bietet es sich an die Anzahl der Variablen („was ist gesucht?“), der Parameter („was kann eingestellt werden?“, z.B. Poti) und der bekannten Größen („was ist gegeben?“) angegeben wird.
Damit wird klar, wie viele Gleichungen benötigt werden. Dies scheint bei größeren Netzwerken schwierig zu werden - aber dazu wird im Folgenden ein Trick vorgestellt.
Nicht selten hilft es die Zeichnung mehrmals (zumindest im Kopf) zu zeichnen, um hinreichend viel Platz für die Bezeichner zu haben (vgl. Abbildung 2 unten).
Im Kapitel 2. einfache Gleichstromkreise wurden bereits schon die Begriffe Knoten, Zweige und Masche erklärt. Diese sollen hier nun erweitert werden um im Folgenden besser die verschiedenen Netzwerkanalysemethoden erklären zu können.
In Abbildung 3 ist der Graph des Beispiel-Netzwerks gezeichnet. Auch dieses hatten wir schon gesehen, aber ohne zu wissen, dass es dies Graph genannt wird!
Wichtig hierbei ist aber: In diesem Graph werden nur die (echten) Knoten eingezeichnet. Knoten sind ja nach Definition die Verbindung von mehr als zwei Zweigen. Entsprechend ist die Verbindung zwischen $R_{10}$ und $R_7$ kein Knoten 1)! Aus diesem Grund ist auch der blaue Kreis als Zeichen für Knoten hier entfallen.
Ein Begriff der bisher noch nicht aufgetaucht ist, ist der des vollständigen Baums. Hierzu ist etwas (mathematische) Graphentheorie gefragt. Auch dort werden die Begriffe Knoten und Maschen so genutzt wie bisher. Ein Baum ist dabei eine spezielle Art eines Graphen. Der Graph in Abbildung 3 zeigt mehrere Maschen.
Ein Baum ist nun gerade dadurch gekennzeichnet, dass er keine Maschen enthält. Im Bild sind drei verschiedene Bäume gezeichnet. Aus einem vorgegebenen Netzwerk lassen sich (abhängig von der Anzahl der Knoten) viele verschiedene Bäume erstellen.
Bei den verschiedenen Bäumen gibt es nun welche, bei denen jeder Knoten zwei oder weniger Maschen verbindet.2) Diese werden vollständige Bäume (gelegentlich auch Hamiltonweg) genannt. Vollständige Bäume lassen sich auch so begreifen, dass dieser einen Weg durch das Netzwerk aufzeigt, bei dem alle Knoten nur genau einmal besucht wird.
Baum 3 in Abbildung 3 ist nun gerade einer der möglichen, vollständigen Bäume dieses Netzwerks.
Die Zweige in vollständigen Bäume werden nun nach ihrer Zugehörigkeit unterschieden:
Warum ist der Schwenk in die Graphentheorie nun sinnvoll? Der Trick ist, dass durch die Definition des vollständigen Baumes gerade alle Maschen entfernt wurden. Umgekehrt kann durch jeden Verbindungszweig eine neue (unabhängige) Masche erstellt werden. Wird also die Anzahl an unabhängigen Maschengleichungen $m$ gesucht, so ist dies gerade gleich der Anzahl der Verbindungszweige.
Dazu muss wie folgt vorgegangen werden:
Die Anzahl der unabhängigen Maschengleichungen $m$ ist also durch Abzählen der Knoten $k$ und Zweige $z$ über $m = v = z - k + 1$ auffindbar.
Diese Erklärung kann auch in diesem Video nochmals nachgehört werden und wird über StudyFlix nochmals anschaulich erklärt.
Im Zweigstromverfahren werden nun „einfach mal“ (fast) alle Gleichungen der Schaltung aufgestellt. Konkret werden für jeden Knoten und jede unabhängige Masche die Knoten- und Maschengleichungen aufgeschrieben:
Damit bildet sich ein lineares Gleichungssystem. Dieses kann dann als Matrixgleichung betrachtet werden und mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden.
Für das Beispiel (Abbildung 4) wären dies die Gleichungen:
Die Matrizen müssen noch bei den Spannungs- und Stromquellen korrigiert werden!!
\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{N_k}{I_k}=0 \\ \\ \end{align*}
Aufstellen der einzelnen Gleichungen: \begin{align*} \scriptsize\text{Knoten 'a'} & \scriptsize : -I_0 - I_9 - I_7 = 0 \\ \scriptsize\text{Knoten 'b'} & \scriptsize : +I_0 - I_1 - I_3 = 0 \\ \scriptsize\text{Knoten 'c'} & \scriptsize : + I_1 - I_2 - I_4 = 0 \\ \scriptsize\text{Knoten 'd'} & \scriptsize : - I_5 + I_4 - I_{11} = 0 \\ \scriptsize\text{Knoten 'e'} & \scriptsize : + I_5 + I_6 - I_7 = 0 \\ \scriptsize\text{Knoten 'f'} & \scriptsize : - I_2 + I_3 - I_6 + I_9 + I_{11} = 0 \end{align*}
Sortieren der Ströme in Spalten: \begin{align*} \begin{smallmatrix} \text{Knoten 'a'}: & -I_0 & & & & & & & - I_7 & - I_9 & & = 0 \\ \text{Knoten 'b'}: & +I_0 & - I_1 & & - I_3 & & & & & & & = 0 \\ \text{Knoten 'c'}: & & + I_1 &- I_2 & & - I_4 & & & & & & = 0 \\ \text{Knoten 'd'}: & & & & & + I_4 & - I_5 & & & & - I_{11} & = 0 \\ \text{Knoten 'e'}: & & & & & & + I_5 & + I_6 & - I_7 & & & = 0 \\ \text{Knoten 'f'}: & & & - I_2 & + I_3 & & & - I_6 & & + I_9 & + I_{11} & = 0 \\ \end{smallmatrix} \end{align*}
Aufstellen der Matrix: \begin{align*} \left( \begin{smallmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ +1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & +1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & +1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & +1 & +1& -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & +1 & 0 & 0 & -1& 0 & +1 & +1 \\ \end{smallmatrix} \right) \cdot \left( \begin{smallmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{11} \end{smallmatrix} \right) = \vec{0} \end{align*}
\begin{align*} \sum\limits_{m=0}^{N_m}{U_m}=0 \\ \\ \end{align*}
Aufstellen der einzelnen Gleichungen: \begin{align*} \scriptsize\text{Masche 'abf'} & \scriptsize : -U_0 + U_3 - U_9 = 0 \\ \scriptsize\text{Masche 'bcf'} & \scriptsize : +U_1 - U_2 - U_3 = 0 \\ \scriptsize\text{Masche 'cdf'} & \scriptsize : + U_2 + U_4 - U_{11} = 0 \\ \scriptsize\text{Masche 'def'} & \scriptsize : + U_5 - U_6 + U_{11} = 0 \\ \scriptsize\text{Masche 'eaf'} & \scriptsize : + U_6 - U_7 - U_{10} + U_9 = 0 \\ \quad \\ \end{align*}
Sortieren der Spannungen in Spalten: \begin{align*} \begin{smallmatrix} \text{Masche 'abf'}: &-U_0 & & & + U_3 & & & & & & - U_9 & & & = 0 \\ \text{Masche 'bcf'}: & & + U_1 & - U_2 & - U_3 & & & & & & & & & = 0 \\ \text{Masche 'cdf'}: & & & + U_2 & & + U_4 & & & & & & & - U_{11}& = 0 \\ \text{Masche 'def'}: & & & & & & + U_5 & - U_6 & & & & & + U_{11} & = 0 \\ \text{Masche 'eaf'}: & & & & & & & + U_6 & - U_7 - U_{10} & & - U_9 & & & = 0 \\ \quad \\ \quad \\ \end{smallmatrix} \end{align*}
Aufstellen der Matrix, hierbei aber $U_m = R_x \cdot I_m$ beachten: \begin{align*} \left( \begin{smallmatrix} -R_0 & 0 & 0 & +R_3 & 0 & 0 & 0 & -R_9 & 0 & 0 \\ 0 & +R_1 & -R_2 & -R_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & +R_2 & 0 & +R_4 & 0 & 0 & 0 & 0 & -R_{11} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & +R_5 &-R_6 & 0 & 0 & +R_{11} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &+R_6 &-R_7-U_{10}& -R_9 & 0 \\ \end{smallmatrix} \right) \cdot \left( \begin{smallmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{11} \end{smallmatrix} \right) = \vec{0} \quad \\ \end{align*}
Diese Matrizen lassen sich z.B. über das Gaußsche Eliminationsverfahren lösen.
Im Video 1 werden folgende Schritte beschrieben:
1. Aufschreiben der gegebenen Schaltung und Größen
2. Einzeichnen und Bezeichnen der Knoten
3. Einzeichnen und Bezeichnen der Maschen
Zweigstromanalyse 1/4
Im Video 2 werden folgende Schritte beschrieben:
4. Einzeichnen und Bezeichnen der Zweigströme
5. Einzeichnen und Bezeichnen der Zweigspannungen
Zweigstromanalyse 2/4
Im Video 3 werden folgende Schritte beschrieben:
6. Knotengleichungen und Maschengleichungen aufstellen
7. Umwandeln in Matrix-Schreibweise
Zweigstromanalyse 3/4
Im (hier nicht eingebetteten) Video 4 werden folgende Schritte beschrieben:
8. Einfügen der Zahlenwerte
9. Berechnung der Matrix mittels Taschenrechner
Im Maschenstromverfahren werden nur für alle Maschen m jeweils die Gleichung: $\sum\limits_{j=0}^{N_j}{U_j}=0$ betrachtet. Diese werden aber in der Form $R\cdot I = U $ dargestellt.
Vorteil hierbei: Die Anzahl der zu lösenden Gleichungen reduziert sich auf die Anzahl der unabhängigen Maschenströme.
Auch diese können als Matrixgleichung betrachtet werden und wider mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden.
Im Video 1 wird anhand eines Beispiels das Maschenstromverfahren angewandt.
Wichtig: Zwar erklärt das Video die Anwendung super, enthält aber bei Minute 6:50 einen kleinen Fehler. Das Vorzeichen der Spannungen auf der rechten Seite muss jeweils invertiert werden. Dies wurde einige Sekunden davor auch richtig erklärt.
Maschenstromanalyse
Auch im Video 2 wird anhand eines Beispiels das Maschenstromverfahren angewandt.
Maschenstromanalyse
Im (hier nicht eingebetteten) Video 3 zeigt ausführlich, wie das Maschenstromverfahren hergeleitet werden kann.
Im Knotenpotentialverfahren werden nur für alle Knoten k jeweils die Gleichung: $\sum\limits_{i=0}^{N_i}{I_i}=0$ betrachtet. Diese werden aber in der Form ${1\over R} \cdot U = I $ bzw. $G \cdot U = I $ dargestellt.
Vorteil hierbei: Die Anzahl der zu lösenden Gleichungen reduziert sich auf die Anzahl der vorhandenen Knoten (minus 1).
Auch diese können als Matrixgleichung betrachtet werden und wider mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden.
Im Video 1 wird die Idee hinter der Knotenpotentialanalyse einfach erklärt.
einfaches Beispiel für eine Knotenpotentialanalyse
Auch im Video 2 wird anhand eines Beispiels das Knotenpotentialverfahren angewandt.
komplexeres Beispiel für eine Knotenpotentialanalyse
Im (hier nicht eingebetteten) Video 3 zeigt ausführlich, wie das Knotenpotentialverfahren hergeleitet werden kann.
Das Superpositionsprinzip soll zunächst durch einige Beispiele dargestellt werden
Die Frage klingt zunächst weit weg vom Thema, hat aber unmittelbaren Bezug dazu. Der Punkt ist, dass zur Lösung das Füllen des Pools als linear angenommen wird. Alice wird also $1 \over 2$, Bob $1 \over 3$ und Carol $1 \over 4$ des Pools pro Tag füllen. Am ersten Tag ist also ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4} = {{6 + 4 + 3} \over 12} = {13 \over 12}$ des Pools gefüllt.
Die drei benötigen also ${12 \over 13}$ eines Tages.
Dieser Lösungsweg ist aber nur möglich, da bei linearen Systemen die Teilergebnisse addiert werden können.
Aufgabe:Eine mechanische, lineare Feder wird mit den Massen $m_1$ und $m_2$ im Gravitationsfeld der Erde ausgelenkt (siehe Abbildung 5). Wie groß ist die Auslenkung, wenn beide Massen gleichzeitig angehängt werden?
Auch hier wird ein lineares Gesetz genutzt: \begin{align*} \vec{s}= f(\vec{F}) = - D \cdot \vec{F} \end{align*}
Es gilt hier der (scheinbar triviale) Ansatz: \begin{align*} \vec{s}_{1+2} = f(\vec{F_1} + \vec{F_2}) &= - D \cdot (\vec{F_1} + \vec{F_2}) \\ &= - D \cdot \vec{F_1} - D \cdot \vec{F_2} \\ &= f(\vec{F_1}) + f(\vec{F_2}) \\ &= \vec{s_1} + \vec{s_2} \end{align*}
Für die Elektrotechnik wurde dieses Prinzip durch Hermann_von_Helmholtz beschrieben:
Die Ströme in den Zweigen in einem linearen Netzwerk sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellen hervorgerufen werden.
Im Überlagerungsverfahren kann also der gesuchte Strom (bzw. die gesuchte Spannung) in einer Schaltung mit mehreren Quellen als Überlagerung der entstehenden Ströme (bzw. Spannungen) der einzelnen Quellen betrachtet werden.
Das „Rezept“ für die Überlagerung ist Folgendes:
x
x=x+1
3) und zu Punkt 2, solange nicht die Teilströme aller Quellen berechnet wurdenDieses Vorgehen wird in den beiden Videos rechts nochmals detaillierter an Beispielen erklärt.
einfache Betrachtung des Superpositionsprinzips
komplexeres Beispiel für das Überlagerungsverfahren
Stellen Sie sich vor, Sie wollen entwickeln eine Schaltung entwickeln, welche ein Sensorsignal so konditionieren soll, dass dieses von einem Mikrocontroller verarbeitet werden kann. Das Sensorsignal ist im Bereich $U_{sens} \in [-15...15V]$, der Microcontrollereingang kann Werte einlesen im Bereich $U_{uC} \in [0...3,3V]$. Der Sensor kann einem Strom von maximal $I_{sens,max}=1mA$ liefern. Für den Innenwiderstand des Microcontrollereingangs gilt: $R_{uC} \rightarrow \infty$
Zur Konditionierung soll das Eingangssignal über den Längswiderstand $R_3$ auf das Mittenpotential eines Spannungsteiler $R_1 - R_2$ mit $R_1$ gegen $U_{uC,max}$ geführt werden (ähnliche Schaltung siehe in Simulation rechts).
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit
$R_1=5 \Omega$
$U_1=2 V$
$I_2=1 A$
$R_3=20 \Omega$
$U_3=8 V$
$R_4=10 \Omega$
Bestimmen Sie die Leerlaufspannung zwischen A und B mittels des Superpositionsprinzips.
Werden die Komponenten verschoben, so ist die Schaltung besser zu verstehen:
Es zeigt sich, dass sich im Leerlauffall durch keinen Widerstand Strom fließt. Für die Wirkung gilt also: $U_{AB,1} = U_1$
(Strom)Quelle $I_2$
Auch hier können Komponenten verschoben werden, um die Schaltung besser zu verstehen:
Hier erzeugt die Stromquelle $I_2$ am Widerstand $R_2$ die Spannung $U_{AB_2}$: $U_{AB,2} = - R_1 \cdot I_2$
(Spannungs)Quelle $U_3$
Ebenso wird auch hier die Schaltung verständlicher durch ein Verschieben der Komponenten:
In dieser Schaltung ergibt sich im Leerlauffall ein unbelasteter Spannungsteiler über $R_3$ und $R_4$. Über den Widerstand $R_1$ fließt im Leerlauf kein Strom.
Es ergibt sich:
\begin{align*} U_{AB,3} = \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot U_3 \end{align*}
Resultierende Spannung
\begin{align*} U_{AB} &= U_1 - R_1 \cdot I_2 + \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot U_3 \\ \end{align*}
x=x+1
ist hierbei nicht mathematisch, sondern prozedural wie in der Programmiersprache C gemeint