Aus dem Alltag ist bekannt, dass Batteriespannungen bei starker Belastung einbrechen. Dies zeigt sich zum Beispiel bei beim Drehen des Zündschlüssels im Winter: Die Belastung durch den Startermotor ist teilweise so groß, dass das Abblendlicht oder Radio kurzzeitig aussetzt.
Ein anderes Beispiel sind $1,5V$-Batterien: Wird eine solche Batterie durch ein Drahtstück kurzgeschlossen so fließt nicht soviel Strom, dass das Drahtstück glüht, sondern merklich weniger.
Es ist also sinnvoll hier das Konzept der idealen Spannungsquelle weiter zu entwickeln. Zusätzlich werden wir sehen, dass damit auch eine Möglichkeit eröffnet wird, kompliziertere Schaltungen umzuwandeln und zu vereinfachen.
Zunächst soll der Begriff des Zweipols aus dem Kapitel Grundlagen und Grundbegriffe erweitert werden (Abbildung 1).
Nach dieser Lektion sollten Sie:
Für die ideale Spannungsquelle wurde definiert, dass diese unabhängig von der Last stets die gleiche Spannung liefert. In Abbildung 2 wird im Gegensatz dazu ein Beispiel einer „realitätsnahen“ Spannungsquelle als aktiven Zweipol dargestellt.
Diese Erkenntnis soll nun mit einigen Fachtermini beschrieben werden:
Wichtig: Wie in Folgenden zu sehen sein wird, können durch den Kurzschlussstrom im Inneren des Zweipols erhebliche Verlustleistung und damit eine große Abwärme entstehen. Dafür ist nicht jeder reelle Zweipol ausgelegt.
Interessant ist nun die Strom-Spannungs-Kennlinie der Schaltung in Abbildung 2. Diese ist in der Simulation unten zu sehen. Es ergibt sich ein linearer Verlauf (siehe Abbildung 3).
Rein mathematisch lässt sich der Verlauf über die Grundgleichung linearer Graphen mit dem y-Achsenabschnitt $I_{KS}$ und einer Steigung von $-{{I_{KS}}\over{U_{LL}}}$ darstellen:
\begin{align*} I = I_{KS} - {{I_{KS}}\over{U_{LL}}}\cdot U \tag{3.1.1} \end{align*}
Andererseits kann die Formel auch nach $U$ aufgelöst werden:
\begin{align*} U = U_{LL} - {{U_{LL}}\over{I_{KS}}}\cdot I \tag{3.1.2} \end{align*}
Wie sieht nun das Innere der linearen Quelle aus? In Abbildung 4 sind zwei mögliche, lineare Quellen dargestellt, die im Folgenden betrachtet werden.
Die lineare Spannungsquelle besteht aus einer Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellspannung $U_0$ (englisch: EMF für ElektroMotive Force) und dem Innenwiderstand $R_i$. Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Spannungsteiler betrachten. Dabei gilt:
\begin{align*} U = U_0 - R_i \cdot I \end{align*}
Die Quellspannung $U_0$ der idealen Spannungsquelle ist an den Klemmen des Zweipols zu messen, wenn dieser unbelastet ist. Dann fließt kein Strom über den Innenwiderstand $R_i$ und es ergibt sich dort kein Spannungsabfall. Es gilt also: Die Quellenspannung ist gleich der Leerlaufspannung $U_0 = U_{LL}$.
\begin{align*} U = U_{LL} - R_i \cdot I \end{align*}
Wenn die äußere Spannung $U=0$ ist, handelt es sich um den Kurzschlussfall. In diesem Fall wird $0 = U_{LL} - R_i \cdot I_{KS}$ und umgeformt $R_i = {{U_{LL}}\over{I_{KS}}}$. Es ergibt sich also die Gleichung $(3.1.2)$: \begin{align*} U = U_{LL} - {{U_{LL}}\over{I_{KS}}} \cdot I \end{align*}
Ist das also der gesuchte Aufbau der linearen Quelle? Zur Überprüfung soll nun noch die zweite lineare Quelle betrachtet werden.
Die lineare Stromquelle besteht nun aus einer Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit dem Quellstrom $I_0$ und dem Innenwiderstand $R_i$, bzw. dem Innenleitwert $G_i = {{1}\over{R_i}}$. Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Stromteiler betrachten. Dabei gilt:
\begin{align*} I = I_0 - G_i \cdot U \end{align*}
Hierbei kann der Quellstrom im Kurzschlussfall an den Klemmen gemessen werden. Es gilt also: $I_{KS}= I_0$
\begin{align*} I = I_{KS} - G_i \cdot U \end{align*}
Wenn der äußere Strom $I=0$ ist, handelt es sich um den Leerlauf-Fall. In diesem Fall wird $0 = I_{KS} - G_i \cdot U_{LL}$ und umgeformt $G_i = {{I_{KS}}\over{U_{LL}}}$.
Es ergibt sich also Gleichung $(3.1.1)$:
\begin{align*} I = I_{KS} - {{I_{KS}}\over{U_{LL}}} \cdot U \end{align*}
Es scheint also so, als ob die beiden linearen Quellen das gleiche beschreiben.
Durch die vorherigen Berechnungen kamen wir zur interessanten Erkenntnis, dass sowohl die lineare Spannungsquelle, als auch die lineare Stromquelle das gleiche Ergebnis liefern. Es gilt: Für eine lineare Quelle kann als Ersatzschaltbild sowohl eine lineare Spannungsquelle als auch eine lineare Stromquelle angegeben werden! Wie bereits bei der Stern-Dreieck-Transformation wird damit nicht nur für eine Blackbox zwei Erklärungen geliefert. Auch hier können lineare Spannungsquellen in lineare lineare Stromquellen umgewandelt werden und umgekehrt.
Die Abbildung 5 stellt nochmals die beiden lineare Quellen und deren Kennlinien gegenüber:
Die Umwandlung geschieht nun so, dass sich die gleiche Kennlinie ergibt:
Abbildung 6 zeigt die Kennlinien der linearen Spannungsquelle (links) und eines ohmschen Widerstands (rechts). Dazu werden beide in der Simulation mit einem Testsystem verbunden: Im Fall der Quelle mit einem variablen, ohmschen Widerstand, im Fall des Verbrauchers mit einer variablen Quelle. Die so gebildeten Kennlinien wurden in vorherigen Kapitel beschrieben.
Aus beiden Kennlinien kann der Arbeitspunkt bestimmt werden. Dieser wird eingenommen, wenn beide die lineare Spannungsquelle mit dem ohmschen Widerstand verbunden werden (ohne die jeweiligen Testssysteme). In Abbildung 7 sind beide Kennlinien in einem Strom-Spannungsdiagramm gezeichnet. Der Schnittpunkt ist gerade der sich einstellende Arbeitspunkt. Wird der Lastwiderstand variiert, so ändert sich die Steigung umgekehrt proportional und ein neuer Arbeitspunkt stellt sich ein (hellgrau in der Abbildung).
Die Herleitung des Arbeitspunkts ist wird auch hier nochmals in einem Video erklärt.
Es soll noch kurz auf die Variation der unterschiedlichen Quellparameter eingegangen werden.
Bei der linearen Stromquelle kann der Quellstrom $I_0$ und der Innenleitwert $G_i$ variiert werden. Daraus ergeben sich die Geradenscharen in Abbildung 8 oben. Der Quellstrom verschiebt die Geraden, wobei die Steigung konstant bleibt. Der Innenleitwert ändert nur die Steigung; es ergibt sich eine Geradenschar um den Schnittpunkt $I_0 = I_{KS}$.
Da eine ideale Stromquelle stets den Quellstrom liefern soll, ist ihr Innenleitwert $G_i=0$.
Bei der linearen Spannungsquelle kann die Quellspannung $U_0$ und der Innenwiderstand $R_i$ variiert werden. Daraus ergeben sich die Geradenscharen in Abbildung 8 unten. Die Quellspannung verschiebt die Geraden, wobei die Steigung konstant bleibt. Der Innenwiderstand ändert nur die Steigung; es ergibt sich eine Geradenschar um den Schnittpunkt $U_0 = U_{LL}$.
Da eine ideale Spannungsquelle stets die Quellspannung liefern soll, ist ihr Innenwiderstand $R_i=0$.
Gegeben ist eine lineare Stromquelle, welche eine ohmsche Last $R_L=10\Omega$ versorgt. Es ergibt sich ein Strom an der Last von $I_L=2A$. Der Kurzschlussstrom ist $5 A$.
1. Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild des Aufbaus.
2. Wie groß die der Innenleitwert der Quelle?
\begin{align*} U_{LL} &= U_i + U_L \\ R_i \cdot I_{KS} &= R_i \cdot I_L + R_L \cdot I_L \\ R_i \cdot I_{KS} - R_i \cdot I_L &= R_L \cdot I_L \\ R_i \cdot (I_{KS} - I_L) &= R_L \cdot I_L \\ R_i &= R_L \cdot \frac{I_L}{I_{KS} - I_L} \\ G_i &= \frac{I_{KS} - I_L}{R_L \cdot I_L} \\ \end{align*}
3. Welche Leistung nimmt die Last auf?
Nach dieser Lektion sollten Sie:
In Abbildung 5 ist zu sehen, dass der durch das Ohmmeter (Widerstandsmessgerät) gemessene Innenwiderstand der linearen Stromquelle genau gleich dem der linearen Spannungsquelle ist.
Betrachtet man die Eigenschaften des Ohmmeters in der Simulation, stellt man fest, dass dort ein Messstrom zur Ermittlung des Widerstandswerts genutzt wird. Dieses Konzept wird im 2. Semester noch Teil der Elektrotechniklabor-Versuchs zu Widerständen sein.
Jedoch wird hier ein sehr großer Messstrom von $1A$ verwendet. Dieser könnte in realen Aufbauten zu hohen Spannungen bzw. zur Zerstörung von Komponenten führen.
Warum ist dieser dennoch in der Simulation so hoch gewählt? Stellen Sie bei beiden linearen Quellen den Messstrom auf (realistischere) $1mA$. Was fällt dabei auf?
Die Schaltung in Abbildung 10 zeigt diese Schaltung nochmals. Das Ohmmeter ist durch eine Stromquelle und ein Voltmeter ersetzt, da im Folgenden nur die elektrischen Eigenschaften wichtig sind. In diesem Aufbau zeigt sich, dass der Strom durch $G_i$ gerade durch $I_i = I_0 + I_\Omega$ gegeben ist (Knotensatz). Die beiden Quellen in der Schaltung lassen sich also reduzieren.
Damit sollte die Situation mit einem Messstrom mit $1mA$ deutlich werden. Die Spannung am Widerstand ist nun durch $U_\Omega = R \cdot (I_0 + I_\Omega)$. Nur wenn $I_\Omega$ sehr groß ist, wird $I_0$ vernachlässigbar. Der Strom eines herkömmlichen Ohmmeters kann dies nicht bei jeder Messung gewährleisten.
Diese Erkenntnis kann nun aber auch bei komplizierteren Schaltungen genutzt werden. In Abbildung 8 ist eine solche Schaltung gezeichnet. Diese soll in einen gesuchten Ersatzleitwert $G_g$ und eine gesuchte Ersatzstromquelle mit $I_g$ umgewandelt werden.
Wichtig hierbei: Es können nur Zweipole über die Quellen-Dualität umgewandelt werden. D.h. es dürfen bei ausgewählten Teilbereichen der Schaltung nur 2 Knoten als Ausgangsklemmen agieren. Gibt es mehr Knoten ist die Umwandlung nicht möglich.
Jede beliebige Zusammenschaltung von linearen Spannungsquellen, Stromquellen und ohmschen Widerständen lässt sich
darstellen.
In Abbildung 12 ist zu sehen, dass die drei Schaltungen bei gleicher Last das gleiche Resultat (Spannung / Strom) liefern. Dies gilt auch, wenn statt der Last eine (Wechselspannungs)Quelle genutzt wird.
Ist nur der Ersatzwiderstand einer komplexeren Schaltung gesucht, so kann folgender Ansatz genutzt werden:
Die Ersatzschaltungen für die idealen Quellen sind über die Schaltbilder ersichtlich (siehe Abbildung 13).
Damit kann auch der Ersatzwiderstand der obigen komplexen Schaltung schnell hergeleitet werden.
Für den Quellstrom $I_0$ ideale Ersatzstromquelle bzw. der Quellspannung $U_0$ ideale Ersatzspannungsquelle kann diese Herleitung nicht genutzt werden.
Der Grund, dass der Innenwiderstand in dieser einfachen Weise ermittelt werden kann, wird im nächsten Kapitel Analyse von Gleichstromnetzen: Überlagerungsverfahren erklärt.
Nach dieser Lektion sollten Sie:
Leistung und Wirkungsgrad wurden bereits im 1. Kapitel und 2. Kapitel für einen einfachen Gleichstrom-Stromkreis betrachtet. Im Folgenden soll dies nochmals mit den Kenntnissen der Zweipole analysiert werden. Gerade für die Bereiche der Nachrichten- und Energietechnik ist dies wichtig. Die Ziele sind dabei unterschiedlich:
Diese beiden Ziele scheinen zunächst das ähnlich zu klingen, sind aber deutlich zu unterscheiden, wie gleich zu sehen sein wird.
Zunächst muss betrachtet werden, wie die Leistung bestimmt werden kann. Das Leistungsmessgerät (oder Wattmeter) besteht aus einem kombinierten Amperemeter und Voltmeter.
In Abbildung 15 ist das Wattmeter mit dem Schaltsymbol als rundes Element mit gekreuzten Messeingängen zu sehen. In der Schaltung ist auch je eine Wattmeter für die (nicht außen messbare) abgegebene Leistung der idealen Quelle $P_Q$ und die aufgenommene Leistung des Verbrauchers $P_R$ eingezeichnet.
Die Simulation in Abbildung 16 zeigt folgendes:
P_L
über die Zeit in einem Diagramm aufgetragen.Lastwiderstand R_L
, mit welchem der Wert des Lastwiderstands $R_L$ geändert werden kann.Versuchen Sie nun in der Simulation den Wert des Lastwiderstands $R_L$ (Schieberegler) so zu variieren, dass sich die maximale Leistung einstellt. Welcher Widerstandswert stellt sich ein?
Abbildung 17 zeigt drei Diagramme:
Die beiden Leistungen sind wie folgt definiert:
Der ganze Zusammenhang kann in einer ausführlichen Simulation nochmals analysiert werden.
Um das untere Diagramm in Abbildung 17 zu verstehen, sollen hier nochmals die Definitionsgleichungen der beiden Bezugsgrößen beschrieben werden:
Der Wirkungsgrad $\eta$ beschreibt die abgegebene Leistung (Verbraucherleistung) in Verhältnis zur zugeführten Leistung (Leistung der idealen Quelle): \begin{align*}\eta = {{P_{ab}}\over{P_{zu}}} = {{R_L\cdot I_L^2}\over{(R_L+R_i) \cdot I_L^2}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{ \eta = {{R_L}\over{R_L+R_i}} } \end{align*}
Der Ausnutzungsgrad $\varepsilon$ beschreibt die abgegebene Leistung in Verhältnis zur maximal möglichen Leistung der idealen Quelle. Dabei wird nicht (wie beim Wirkungsgrad) von der aktuell zugeführten Leistung ausgegangen, sondern von der bestmöglichen Leistung der idealen Quelle, d.h. im Kurzschlussfall: \begin{align*}\varepsilon = {{P_{ab}}\over{P_{zu,max}}} = {{R_L\cdot I_L^2}\over{{U_0^2}\over{R_i}}} = {{R_L\cdot R_i \cdot I_L^2} \over {U_0^2}} = {{R_L\cdot R_i \cdot \left({{U_0}\over{R_L+R_i}}\right)^2} \over {U_0^2}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{\varepsilon = {{R_L\cdot R_i } \over {(R_L+R_i)^2}} = {{R_L} \over {(R_L+R_i)}}\cdot {{R_i} \over {(R_L+R_i)}}} \end{align*}
In der Energietechnik ist eine Situation nahe an (1.) in Abbildung 17 gewünscht: Maximale Leistungsabgabe bei geringsten Verlusten am Innenwiderstand der Quelle. Der Innenwiderstand der Quelle sollte also im Vergleich zum Verbraucher niedrig sein $R_L \gg R_i $. Der Wirkungsgrad soll gegen $\eta \rightarrow 100\%$ gehen.
In der Nachrichtentechnik ist eine Situation eine andere und entspricht der Situation (2.): Es soll die maximale Leistung aus der Quelle entnommen werden, ohne Rücksicht auf die Verluste über den Innenwiderstand. Dazu wird der Innenwiderstand der Quelle (z.B. eines Empfängers) und des Verbrauchers (z.B. der nachgelagerten Auswertung) aufeinander abgestimmt. Dieser Fall wird Leistungsanpassung oder Widerstandsanpassung genannt. Der Ausnutzungsgrad wird hier maximal: $\varepsilon = 25\%$
Die Leistungsanpassung ist wird auch hier nochmals in einem Video erklärt.