Im vorherigen Kapitel wurde bereits der Kondensator beschrieben. Er besteht aus zwei isolierten Leitern, die von einem Isolator getrennt sind (vgl. Abbildung 1).
Sie dienen als Energiespeicher. Dies geschieht in folgender Art:
Es gilt: Je größer die Spannung $U$ ist, desto mehr Ladungen $Q$ werden auf der Elektrode gespeichert. Dieser Zusammenhang ist direkt proportional mit der Proportionalitätskonstante $C$:
\begin{align*} C = {{Q}\over{U}} \quad \quad \text{mit:} \quad [C]=1 ~\rm {{As}\over{V}}= 1 ~\rm F = 1 ~\rm Farad \end{align*}
Aber nicht immer ist direkt zu erkennen, das ein Aufbau einen Kondensator enthält.
So sind folgende Beispiele auch Kondensatoren:
Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, dass beim Laden des Kondensators neben der Spannungsquelle $U_q$ und dem Kondensator $C$ immer auch ein Widerstand $R$ in der Schaltung vorliegt. Dieser setzt sich zusammen aus dem Innenwiderstand der (nicht-idealen) Spannungsquelle, dem Innenwiderstand des Kondensators und dem parasitären (=störenden) Widerstand der Leitung. Bei praktischen Anwendungen ist häufig erwünscht dass sich Kondensatoren in einem bestimmten Zeitbereich aufladen. Dazu wird ein weiterer, reeller Widerstand in die Schaltung eingefügt. Die so entstandene Aneinanderreihung von Widerstand und Kondensator wird RC-Glied genannt. Sie gleicht einem Spannungsteiler, bei dem ein Widerstand durch einen Kondensator ausgetauscht wurde.
Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter $S$ eingefügt.
Die zu betrachtende Schaltung sieht also dann aus wie in Abbildung 2 gezeigt.
Ein idealer Schalter ist dabei gekennzeichnet durch:
Da durch den kleinen Buchstaben bereits die Zeitabhängigkeit klar ist, wird bei diesen Größen gelegentlich diese nicht durch das nachgestellte $(t)$ angegeben. Es ist also $u = u(t)$.
Nach dieser Lektion sollten Sie:
In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form:
Capacitance C
und Resistance R
den Kapazitätswert $C$ und Widerstandswert $R$ zu verändern.Aufgaben:
Diese Schaltung wird in Folgenden in zwei einzelne Schaltungen zerlegt, welche nur das Laden bzw. nur das Entladen betrachten.
Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ von einer Gleichspannungsquelle $U_q$ geladen werden.
Der Ablauf soll nun im Einzelnen in Formeln gefasst werden.
In der Schaltung werden lineare Bauteile genutzt, d.h. die Komponentenwerte für den Widerstand $R$ und die Kapazität $C$ sind unabhängig vom Strom oder der Spannung.
Dann gelten Definitionsgleichungen für den Widerstand $R$ und die Kapazität $C$ auch für zeitlich veränderliche oder infinitesimale Größen:
\begin{align*} R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{{\rm d}u_R}\over{{\rm d}i_R}} = {\rm const.} \\ C = {{q (t)}\over{u_C(t)}} = {{{\rm d} q}\over{{\rm d}u_C}} = {\rm const.} \tag{7.1.1} \end{align*}
Die folgenden Erklärungen sind auch in diesen beiden Videos zum zum Laden und Entladen gut erklärt.
Durch die Betrachtung der Masche ergibt sich allgemein: Die Spannung der Quelle ist gleich der Summe der beiden Spannungen über Widerstand und Kondensator.
\begin{align*} U_q =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2} \end{align*}
Im ersten Augenblick ${\rm d}t$ fließt durch den Strom $i_C$ ein infinitesimal kleines Ladungs„häppchen“ ${\rm d}q$ von der Spannungsquelle getrieben durch den Stromkreis.
Für diese ergibt sich mit $(7.1.1)$:
\begin{align*} i_C = {{{\rm d}q}\over{{\rm d}t}} \quad \quad \text{und} \quad {\rm d}q = C \cdot {\rm d}u_C \end{align*}
Aus den beiden Formeln lässt sich der Ladestrom $i_C$ ermitteln:
\begin{align*} i_C = C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} \tag{7.1.3} \end{align*}
Damit wird $(7.1.2)$ zu:
\begin{align*} U_q &=u_R + u_C \\ &= R \cdot C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} + u_C \end{align*}
\begin{align*} u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \end{align*}
\begin{align*} U_q &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ U_q - \mathcal{C} &= ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} \\ \end{align*}
Diese Gleichung muss für jedes $t$ gelten. Dies ist nur möglich wenn der linke als auch der rechte Term gleich 0 werden.
Es gilt also:
\begin{align*} \mathcal{C} = U_q \\ \\ R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ R \cdot C \cdot \mathcal{B} &= - 1 \\ \mathcal{B} &= - {{1}\over{R C}} \\ \end{align*}
Es ergibt sich also:
\begin{align*} u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q \end{align*}
Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ gerade gilt $u_C(t_0) = 0$:
\begin{align*} 0 &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}} + U_q \\ 0 &= \mathcal{A} + U_q \\ \mathcal{A} &= - U_q \end{align*}
Die Lösung ist also:
\begin{align*} u_C(t) &= - U_q \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q \end{align*}
Und damit ergibt sich: \begin{align*} u_C(t) &= U_q \cdot (1 - {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}}}}) \end{align*}
Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: \begin{align*} i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } } \end{align*}
In Abbildung 4 sind die beiden Zeitverläufe für die Ladespannung $u_C(t)$ und den Ladestrom $i_C(t)$ des Kondensators dargestellt.
Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet:
Auch dieser Ablauf soll nun im Einzelnen in Formel gefasst werden. Durch die Betrachtung der Masche ergibt sich allgemein: Die Summe der beiden Spannungen über Widerstand und Kondensator summieren sich auf Null.
\begin{align*} 0 =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \end{align*}
Damit ergibt sich mit $(7.1.3)$:
\begin{align*} 0 =u_R + u_C = R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C \end{align*}
\begin{align*} u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \end{align*}
\begin{align*} 0 &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ 0 - \mathcal{C} &= ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} \\ \end{align*}
Diese Gleichung muss für jedes $t$ gelten. Dies ist nur möglich wenn der linke als auch der rechte Term gleich 0 werden.
Es gilt also:
\begin{align*} \mathcal{C} = 0 \\ \\ R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ R \cdot C \cdot \mathcal{B} &= - 1 \\ \mathcal{B} &= - {{1}\over{R C}} \\ \end{align*}
Es ergibt sich also:
\begin{align*} u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} \end{align*}
Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt $t_0=0$ gerade gilt $u_C(t_0) = U_q$:
\begin{align*} U_q &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}} \\ U_q &= \mathcal{A} \\ \mathcal{A} &= U_q \end{align*}
Und damit ergibt sich: \begin{align*} u_C(t) &= U_q \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{\tau}}}} \quad \text{mit} \quad \tau = R C \end{align*}
Und mit $(7.1.3)$ wird $i_C$ zu: \begin{align*} i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } } \end{align*}
In Abbildung 6 sind wieder die beiden Zeitverläufe dargestellt; diesmal für die Entladespannung $u_C(t)$ und den Entladestrom $i_C(t)$ des Kondensators.
Da Der Strom nun aus dem Kondensator herausfließt, ist das Vorzeichen von $i_C$ negativ.
In der Simulation rechts ist ein periodischer Schaltvorgang zu sehen. Dabei wird über den Schalter der Kondensator periodisch ge- und entladen.
Dabei sind in der Simulation drei Slider gegeben, um den Widerstand $R$ (Resistance R), die Kapazität $C$ (Capacity C) und die Frequenz $f$ (Frequency f) ändern zu können.
Im Verlauf unten in der Simulation ist die Spannung $u_C$ über den Kondensator in grün und der Strom $i_C$ in gelb dargestellt.
Aufgaben:
Nach dieser Lektion sollten Sie:
Es soll nun der Kondensator als Energiespeicher näher betrachtet werden. Diese Herleitung ist auch in diesem Youtube-Video erklärt. Hierfür betrachten wir wieder die Schaltung in Abbildung 2 an. Laut des Kapitels Grundlagen und Grundbegriffe ist die Leistung für konstante Werte (Gleichstom) definiert als:
\begin{align*} P={{\Delta W}\over{\Delta t}} = U \cdot I \end{align*}
Für veränderliche Signale ergibt sich die Momentanleistung als:
\begin{align*} p={{dw}\over{dt}} = u \cdot i \end{align*}
Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt $t_0 = 0$ ergibt sich als für die gespeicherte Energie $\Delta W = \Delta W_C$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1 =t$:
\begin{align*} \Delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} {\rm d}w = \int_{0}^t u \cdot i \cdot {\rm d}t = \int_{0}^t u_C \cdot i_C {\rm d}t \tag{7.2.1} \end{align*}
Beim Ladevorgang gilt
\begin{align*} u_C(t) = U_q\cdot (1 - {\rm e}^{ - {{t}\over{\tau}} }) \\ i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{ - {{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2} \end{align*}
Insbesondere gilt:
\begin{align*} C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} \ quad &\rightarrow \quad &q(t) &= {u_C(t)}\cdot{C} \\ i_C(t) = {{{\rm d} q(t)}\over{{\rm d}t}} \quad &\xrightarrow{C={\rm const.}} \quad &i_C(t) &= C \cdot {{{\rm d} u_C(t)}\over{{\rm d}t}} \end{align*}
Damit wird die gespeicherte Energie aus Formel $(7.2.1)$:
\begin{align*} \Delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{{\rm d} u_C(t)}\over{{\rm d}t}} {\rm d}t \quad & | \text{ Substitution der Integrationsvariable: } t \rightarrow u_C\\ &= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot {\rm d}u_C \quad & | \text{ Da die Kapazität konstant ist, kann Sie vor das Integral geschrieben werden}\\ &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C \, {\rm d} u_C \\ &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\ \end{align*} \begin{align*} \boxed{\Delta W_C= {{1}\over{2}} C \cdot (U_1^2-U_0^2)} \tag{7.2.3} \end{align*}
Für einen vollständig entladenen Kondensator ($U_q=0~\rm V$) ergibt sich also eine beim Aufladen auf die Spannung $U_q$ gespeicherte Energie von $\Delta W_C={{1}\over{2}} C \cdot U_q^2$.
Auch für den Widerstand lässt sich die umgesetzte Energie ermitteln:
\begin{align*} \Delta W_R = \int_{0}^t u_R \cdot i_R {\rm d}t = \int_{0}^t R \cdot i_R \cdot i_R {\rm d}t = R \cdot \int_{0}^t i_R^2 {\rm d}t \end{align*}
Da der Strom durch den Kondensator $i_C$ gleich dem durch den Widerstand ist $i_R$, ergibt sich über $(7.2.2)$:
\begin{align*} \Delta W_R &= R \cdot \int_{0}^t \left( { {U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^ { -{{t}\over{\tau}}} \right)^2 {\rm d}t \\ &= { {U_q^2}\over{R}} \cdot \int_{0}^t {\rm e}^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} {\rm d}t \\ &= { {U_q^2}\over{R}} \cdot \left[ -{{\tau }\over{2}} \cdot {\rm e}^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \quad & | \text{mit } \tau = R \cdot C \\ &= -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot \left[ {\rm d}^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^t \\ \end{align*}
Für $t \rightarrow \infty$ ergibt sich:
\begin{align*} \Delta W_R &= -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot \left[ {\rm e}^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}}} \right]_{0}^{\infty} \\ &= -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot \left[ 0 - 1 \right] \\ \end{align*} \begin{align*} \boxed{ \Delta W_R = {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4} \end{align*}
Das heißt, die am Widerstand umgesetzte Energie ist unabhängig vom Widerstandswert (bei einer idealen Konstantspannungsquelle $U_q$ und gegebenen Kondensator $C$)! Das klingt zunächst erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Egal, ob ein sehr großer Widerstand $R_1$ oder ein winzig kleiner Widerstand $R_2$ vorhanden ist: Es wird immer die gleiche Abwärme erzeugt.
Anschaulich lässt sich dieser scheinbarer Widerspruch so auflösen: Ein höherer Widerstand $R_2$ bremst die kleinen Ladungspäckchen $\Delta q_1$, $\Delta q_2$, … $\Delta q_n$ stärker aus. Aber ein betrachtetes, einzelnes Ladungspäckchen $\Delta q_k$ wird dennoch über den Widerstand $R_1$ oder $R_2$ die gleiche Spannung durchlaufen, da diese nur durch die angesammelten Päckchen im Kondensator gegeben ist: $u_r = U_q - u_C = U_q - {{q}\over{C}}$.
In realen Anwendungen sind, wie in vorherigen Kapiteln angesprochen, keine idealen Spannungsquellen möglich. Damit wird ohne einem reell verbauten Widerstand die Abwärme anteilig am Innenwiderstand der Quelle und am Innenwiderstand des Kondensators abgegeben. Der Innenwiderstand des Kondensators ist Frequenzabhängig, aber in der Regel kleiner als der Innenwiderstand der Quelle.
In den vorherigen Betrachtungen wurde auch der Energieumsatz beim kompletten Ladevorgang betrachtet. Dabei ergab sich, dass der Kondensator die Energie $W_C= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.3)$) speichert und am Widerstand die Energie $W_R= {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} $ (siehe $(7.2.4)$) in Wärme umwandelt. Insgesamt speißt die Spannungsquelle also folgende Energie ein:
\begin{align*} \Delta W_0 &=\Delta W_R + \Delta W_C = {U_q^2}\cdot{C} \end{align*}
Dies ergibt sich auch über $(7.2.1)$:
\begin{align*} \Delta W_0 &= \int_{0}^{\infty} u_0 \cdot i_0 \cdot {\rm d}t \quad | \quad u_0 = U_q \text{ ist konstant, da Konstantspannungsquelle!} \\ &= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} i_C {\rm d}t \\ &= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} {{{\rm d}q}\over{{\rm d}t}} {\rm d}t \\ &= U_q \cdot \int_{0}^Q {\rm d}q = U_q \cdot Q \quad | \quad \text{wobei gilt, dass } Q= C \cdot U_q \\ &= U_q^2 \cdot C \\ \end{align*}
Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Auch hier hilft wieder der Blick auf kleine Ladungspakete, die von der idealen Quelle auf den Kondensator übertragen werden müssen.
Abbildung 8 zeigt Strom- und Spannungsverlauf am Kondensator und die gespeicherte Energie für verschiedene Widerstandswerte. Auch dort ist zu sehen, dass die maximal gespeicherte Energie (gestrichelte Linie im Bild rechts) allein durch $\Delta W= {{1}\over{2}} U_q^2 \cdot C = {{1}\over{2}} \cdot (5V)^2 \cdot 1 \mu F = 12,5 ~\rm \mu Ws$ gegeben ist.
In folgender Simulation kann dies auch getestet werden. Neben dem bisher dargestellten RC-Glied ist hier zusätzlich ein Leistungsmessgerät und ein Integrator eingezeichnet. Darüber ist es möglich die Momentanleistung und die gespeicherte Energie darzustellen. Über den Slider Resistance R kann der Widerstandswert variiert werden. In den Oszilloskopen sind folgende Werte dargestellt:
Rechts sehen Sie eine Simulation, welche die beiden Kondensatoren $C_1$ und $C_2$ enthält. Zu Beginn ist $C_1$ auf $10~\rm V$ und $C_2$ auf $0~\m V$ aufgeladen. mit den Schaltern $S_1$ und $S_2$ können Sie auswählen, ob
Rechts in der Simulation sind zusätzlich noch einige „Messgeräte“ vorhanden, um aus den Spannungen über den Kondensatoren die gespeicherte potentielle Energie zu berechnen.
Im folgenden sollen nun mit diesem Aufbau das Laden und Entladen eines Kondensators erklärt werden.
Unter dem elektrischen Aufbau sind folgende Größen im Zeitverlauf dargestellt:
Spannung $u_1(C_1)$ des ersten Kondensators | Spannung $u_2(C_2)$ des zweiten Kondensators | gespeicherte Energie $w_1(C_1)$ | gespeicherte Energie $w_2(C_2)$ | gesamte Energie $\sum w$ |
---|---|---|---|---|
Anfänglich auf $10~\rm V$ aufgeladen | Anfänglich neutral geladen ($0~\rm V$) | Anfänglich gilt: $w_1(C_1)= {1 \over 2} \cdot C \cdot U^2 = {1 \over 2} \cdot 10 ~\rm \mu F \cdot (10~V)^2 = 500~\mu W$ Im Oszilloskop entspricht $1~\rm V \sim 1~\rm W$ | Anfänglich ist $w_2(C_2)=0$ , da der Kondensator nicht geladen ist. | Die Gesamtenergie ist $w_1 + w_2 = w_1$ |
Der Kondensator $C_1$ hat also zunächst die volle Energie gespeichert und über ein Schließen des Schalters $S_2$ würde man ein Ausgleich der Spannungen und eine Gleichverteilung der Energie $w_1 + w_2 = 500~\rm \mu W$ erwarten.
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit
Zu Beginn ist der Kondensator entladen, alle Schalter sind geöffnet. Der Schalter S1 wird zum Zeitpunkt t = 0 s geschlossen.
1. Bestimmen Sie die Zeitkonstante $\tau$ für diesen Ladevorgang.
2. Welche Spannung stellt sich am Kondensator $C$ zum Zeitpunkt $t=10 µs$ ein?
3. Wie hoch ist die Energie im Kondensator, wenn dieser vollständig geladen ist?
4. Bestimmen Sie die neue Zeitkonstante, die wirksam ist, wenn nach dem vollständigen Laden der Schalter S1 geöffnet und gleichzeitig S2 geschlossen wird.
5. Nachdem der Kondensator vollständig entladen wurde, werden alle Schalter wieder geöffnet.
Der Schalter S4 wird für $t = 1μs$ geschlossen.
Welche Spannung stellt sich an C ein?