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-====== Formelsammlung EEE1 / EEE2 ======
-<WRAP center round info 90%>
-**Konventionen:** \\
-DC-Größen: Großbuchstaben, z.B. $U, I$ \\
-Zeitabhängige Größen: Kleinbuchstaben, z.B. $u(t), i(t)$ \\
-AC-Zeiger: unterstrichen, z.B. $\underline{U}, \underline{I}, \underline{Z}$ \\
-Bei AC sind $U$ und $I$ ohne Hut meist Effektivwerte. \\
-$\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$, $\mu=\mu_0\mu_r$, $\omega=2\pi f$
-</WRAP>
-===== Konstanten =====
-^ Größe ^ Wert ^
-| Elementarladung | $e=1.602176634\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$ |
-| Avogadro-Konstante | $N_A=6.022142\cdot10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$ |
-| Permeabilität des Vakuums | $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\,\mathrm{Vs/(Am)}$ |
-| Permittivität des Vakuums | $\varepsilon_0=8.854187817\cdot10^{-12}\,\mathrm{As/(Vm)}$ |
-| Thermische Spannung, ca. 300 K | $U_T=\frac{kT}{q}\approx25.85\,\mathrm{mV}$ |
-====== EEE1 ======
-===== 1. Grundgrößen =====
-^ Größe ^ Formel ^ Einheit / Hinweis ^
-| Ladung | $Q=n\cdot e$ | $[Q]=\mathrm{C}=\mathrm{As}$ |
-| Strom | $I=\frac{Q}{t}$, $i(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ | $[I]=\mathrm{A}$ |
-| Spannung | $U=\frac{\Delta W}{Q}=\varphi_1-\varphi_2$ | $[U]=\mathrm{V}$ |
-| Arbeit / Energie | $W=UQ=UIt$ | $[W]=\mathrm{J}=\mathrm{Ws}$ |
-| Leistung | $P=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}$, bei DC: $P=UI$ | $[P]=\mathrm{W}$ |
-| Ohmsches Gesetz | $R=\frac{U}{I}$, $U=RI$ | $[R]=\Omega$ |
-| Leitwert | $G=\frac{1}{R}=\frac{I}{U}$ | $[G]=\mathrm{S}$ |
-| Differentielle Größen | $r=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}i}$, $g=\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}u}$ | Für nichtlineare Kennlinien |
-| Widerstand Leiter | $R=\rho\frac{l}{A}$ | $\rho$: spezifischer Widerstand |
-| Leitwert Leiter | $G=\kappa\frac{A}{l}$ | $\kappa=\frac{1}{\rho}$ |
-| Temperaturabhängigkeit | $R(\vartheta)=R_0\left(1+\alpha\Delta\vartheta+\beta\Delta\vartheta^2+\dots\right)$ | Näherung |
-===== 2. Leistung an Widerständen =====
-\[
-P=UI
-\]
-\[
-P=RI^2=\frac{U^2}{R}
-\]
-\[
-W=P\cdot t=UIt
-\]
-===== 3. Kirchhoff-Regeln und Widerstandsnetzwerke =====
-==== Knotenregel ====
-\[
-\sum_k I_k=0
-\]
-==== Maschenregel ====
-\[
-\sum_k U_k=0
-\]
-==== Reihenschaltung von Widerständen ====
-\[
-R_\mathrm{eq}=\sum_k R_k
-\]
-\[
-U_k=I\cdot R_k
-\]
-==== Parallelschaltung von Widerständen ====
-\[
-G_\mathrm{eq}=\sum_k G_k
-\]
-\[
-\frac{1}{R_\mathrm{eq}}=\sum_k\frac{1}{R_k}
-\]
-Für zwei Widerstände:
-\[
-R_\mathrm{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}
-\]
-==== Spannungsteiler, unbelastet ====
-\[
-U_1=U\frac{R_1}{R_1+R_2}
-\]
-\[
-U_2=U\frac{R_2}{R_1+R_2}
-\]
-==== Spannungsteiler, belastet ====
-Mit Last $R_L$ parallel zu $R_1$:
-\[
-U_1=U\cdot\frac{R_1\parallel R_L}{R_2+(R_1\parallel R_L)}
-\]
-\[
-R_1\parallel R_L=\frac{R_1R_L}{R_1+R_L}
-\]
-Alternative Form:
-\[
-U_1=\frac{U}{1+\frac{R_2}{R_L}+\frac{R_2}{R_1}}
-\]
-==== Stromteiler ====
-Für zwei parallele Widerstände:
-\[
-I_1=I\frac{R_2}{R_1+R_2}
-\]
-\[
-I_2=I\frac{R_1}{R_1+R_2}
-\]
-Allgemein über Leitwerte:
-\[
-I_k=I\frac{G_k}{\sum_i G_i}
-\]
-==== Brückenschaltung, Abgleichbedingung ====
-\[
-\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}
-\]
-\[
-R_1R_4=R_2R_3
-\]
-===== 4. Quellen, Ersatzschaltungen und Leistungsanpassung =====
-==== Lineare Quelle ====
-\[
-U=U_0-R_iI
-\]
-\[
-I=I_K-G_iU
-\]
-==== Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom ====
-\[
-U_0=U_\mathrm{OC}
-\]
-\[
-I_K=I_\mathrm{SC}
-\]
-\[
-R_i=\frac{U_\mathrm{OC}}{I_\mathrm{SC}}
-\]
-\[
-G_i=\frac{I_\mathrm{SC}}{U_\mathrm{OC}}
-\]
-==== Thevenin- und Norton-Äquivalent ====
-^ Thevenin ^ Norton ^
-| Ideale Spannungsquelle $U_0$ in Reihe mit $R_i$ | Ideale Stromquelle $I_K$ parallel zu $R_i$ |
-| $U_0=I_KR_i$ | $I_K=\frac{U_0}{R_i}$ |
-==== Superpositionsprinzip ====
-  * Nur in linearen Netzwerken.
-  * Spannungsquellen deaktivieren: Kurzschluss.
-  * Stromquellen deaktivieren: Leerlauf.
-  * Spannungen und Ströme addieren.
-  * Leistungen nicht direkt addieren.
-==== Wirkungsgrad ====
-\[
-\eta=\frac{P_\mathrm{out}}{P_\mathrm{in}}
-\]
-Für Quelle mit Innenwiderstand $R_i$ und Last $R_L$:
-\[
-\eta=\frac{R_L}{R_i+R_L}
-\]
-==== Leistungsanpassung ====
-Maximale Lastleistung bei:
-\[
-R_L=R_i
-\]
-Nutzungsgrad:
-\[
-\varepsilon=\frac{R_LR_i}{(R_L+R_i)^2}
-\]
-Bei Leistungsanpassung:
-\[
-\varepsilon_\mathrm{max}=\frac{1}{4}
-\]
-===== 5. Elektrisches Feld =====
-==== Coulomb-Kraft ====
-\[
-\vec{F}_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}\vec{e}_r
-\]
-==== Elektrische Feldstärke einer Punktladung ====
-\[
-\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r^2}\vec{e}_r
-\]
-\[
-\vec{F}=q\vec{E}
-\]
-\[
-[E]=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}
-\]
-==== Spannung im Feld ====
-\[
-U=\int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{s}
-\]
-\[
-\Delta W=q\int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{s}
-\]
-==== Homogenes Plattenfeld ====
-\[
-E=\frac{U}{d}
-\]
-==== Ladungsdichten ====
-\[
-\rho_l=\frac{Q}{l}
-\]
-\[
-\rho_A=\frac{Q}{A}
-\]
-\[
-\rho_V=\frac{Q}{V}
-\]
-Differentiell:
-\[
-\rho_l=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}l},\quad
-\rho_A=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}A},\quad
-\rho_V=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}V}
-\]
-===== 6. Elektrische Flussdichte und Gaußsches Gesetz =====
-==== Elektrische Flussdichte ====
-\[
-\vec{D}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}
-\]
-\[
-\vec{E}=\frac{\vec{D}}{\varepsilon_0\varepsilon_r}
-\]
-==== Gaußsches Gesetz ====
-\[
-Q=\oint_A \vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{A}
-\]
-==== Plattenanordnung ====
-\[
-D=\frac{Q}{A}
-\]
-\[
-E=\frac{D}{\varepsilon}
-\]
-==== Koaxiale Anordnung ====
-\[
-D(r)=\frac{Q}{2\pi lr}
-\]
-\[
-E(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon lr}
-\]
-===== 7. Kapazität und Kondensatoren =====
-==== Definition ====
-\[
-C=\frac{Q}{U}
-\]
-\[
-Q=CU
-\]
-==== Plattenkondensator ====
-\[
-C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}
-\]
-==== Zylinderkondensator / Koaxialkabel ====
-\[
-C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{2\pi l}{\ln\left(\frac{R_o}{R_i}\right)}
-\]
-==== Kugelkondensator ====
-\[
-C=4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{R_iR_o}{R_o-R_i}
-\]
-==== Kondensatoren parallel ====
-\[
-C_\mathrm{eq}=\sum_k C_k
-\]
-\[
-U_1=U_2=\dots=U
-\]
-\[
-Q_\mathrm{ges}=\sum_k Q_k
-\]
-==== Kondensatoren in Reihe ====
-\[
-\frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\sum_k\frac{1}{C_k}
-\]
-\[
-Q_1=Q_2=\dots=Q
-\]
-\[
-U_\mathrm{ges}=\sum_k U_k
-\]
-==== Energie im Kondensator ====
-\[
-W_C=\frac{1}{2}CU^2
-\]
-\[
-W_C=\frac{1}{2}QU
-\]
-\[
-W_C=\frac{Q^2}{2C}
-\]
-===== 8. Stromdichte und Leitung im Feld =====
-==== Stromdichte ====
-\[
-\vec{J}=\sigma\vec{E}
-\]
-\[
-\sigma=\frac{1}{\rho}
-\]
-==== Strom durch Fläche ====
-\[
-I=\iint_A \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{A}
-\]
-==== Spannung entlang Weg ====
-\[
-U=\int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{s}
-\]
-==== Leitwert aus Feldgrößen ====
-\[
-G=\frac{I}{U}
-=
-\frac{\iint_A \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{A}}
-{\int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{s}}
-\]
-==== Platte ====
-\[
-G=\sigma\frac{A}{l}
-\]
-\[
-R=\frac{l}{\sigma A}
-\]
-==== Koaxialanordnung ====
-\[
-G=\frac{2\pi\sigma l}{\ln\left(\frac{r_a}{r_i}\right)}
-\]
-===== 9. Magnetisches Feld =====
-==== Magnetische Feldstärke um langen geraden Leiter ====
-\[
-H_\varphi(r)=\frac{I}{2\pi r}
-\]
-\[
-[H]=\mathrm{\frac{A}{m}}
-\]
-==== Im Leiterinneren bei homogener Stromdichte ====
-Für Leiter radius $r_L$:
-\[
-H(r)=\frac{I_0r}{2\pi r_L^2}
-\quad
-(r<r_L)
-\]
-==== Magnetische Spannung / Durchflutung ====
-\[
-V_m=\int \vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{s}
-\]
-\[
-\Theta=\oint \vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{s}
-\]
-Für eine Spule:
-\[
-\Theta=NI
-\]
-Allgemein:
-\[
-\Theta=\sum_k N_kI_k
-\]
-==== Lange Spule ====
-\[
-H=\frac{NI}{l}
-\]
-==== Ringspule / Toroid ====
-\[
-H=\frac{NI}{2\pi R}
-\]
-==== Magnetische Flussdichte ====
-\[
-\vec{B}=\mu\vec{H}
-\]
-\[
-\mu=\mu_0\mu_r
-\]
-==== Lorentzkraft auf stromdurchflossenen Leiter ====
-\[
-\vec{F}=I\vec{l}\times\vec{B}
-\]
-\[
-F=IlB\sin\alpha
-\]
-===== 10. Magnetischer Fluss, Induktion und magnetischer Kreis =====
-==== Magnetischer Fluss ====
-\[
-\Phi=\iint_A \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}
-\]
-\[
-[\Phi]=\mathrm{Wb}=\mathrm{Vs}
-\]
-Für geschlossene Oberfläche:
-\[
-\oint_A \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}=0
-\]
-==== Faradaysches Induktionsgesetz ====
-\[
-u_\mathrm{ind}=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
-\]
-Für $N$ Windungen:
-\[
-u_\mathrm{ind}=-N\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
-\]
-==== Magnetischer Widerstand / Reluktanz ====
-\[
-R_m=\frac{\Theta}{\Phi}
-\]
-Für homogenen Abschnitt:
-\[
-R_m=\frac{l}{\mu A}
-\]
-==== Magnetischer Kreis ====
-\[
-\sum_k \Phi_k=0
-\]
-\[
-\sum_k \Theta_k=0
-\]
-\[
-\Theta=R_m\Phi
-\]
-==== Luftspalt ====
-\[
-R_{m,\delta}=\frac{\delta}{\mu_0A}
-\]
-===== 11. Induktivität =====
-==== Definition ====
-\[
-L=\frac{\Psi}{i}
-\]
-\[
-\Psi=N\Phi
-\]
-\[
-u_L=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}
-\]
-Mit Lenzschem Vorzeichen für induzierte Gegenspannung:
-\[
-u_\mathrm{ind}=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}
-\]
-==== Lange Spule ====
-\[
-L=\mu_0\mu_r\frac{N^2A}{l}
-\]
-==== Ringspule ====
-\[
-L=\mu_0\mu_r\frac{N^2h(r_o-r_i)}{\pi(r_o+r_i)}
-\]
-==== Induktivitäten in Reihe ====
-\[
-L_\mathrm{eq}=\sum_k L_k
-\]
-==== Induktivitäten parallel ====
-\[
-\frac{1}{L_\mathrm{eq}}=\sum_k\frac{1}{L_k}
-\]
-==== Energie in der Spule ====
-\[
-W_L=\frac{1}{2}LI^2
-\]
-===== 12. Operationsverstärker, ideal =====
-==== Idealer OPV ====
-\[
-A_0\rightarrow\infty
-\]
-\[
-R_\mathrm{in}\rightarrow\infty
-\]
-\[
-R_\mathrm{out}\rightarrow0
-\]
-Bei Gegenkopplung:
-\[
-u_+=u_-
-\]
-\[
-i_+=i_-=0
-\]
-==== Invertierender Verstärker ====
-\[
-U_a=-\frac{R_2}{R_1}U_e
-\]
-\[
-A_v=-\frac{R_2}{R_1}
-\]
-==== Nichtinvertierender Verstärker ====
-\[
-U_a=\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)U_e
-\]
-\[
-A_v=1+\frac{R_2}{R_1}
-\]
-==== Spannungsfolger ====
-\[
-U_a=U_e
-\]
-\[
-A_v=1
-\]
-==== Addierer, invertierend ====
-\[
-U_a=-R_f\left(\frac{U_1}{R_1}+\frac{U_2}{R_2}+\dots+\frac{U_n}{R_n}\right)
-\]
-Bei gleichen Eingangswiderständen $R$:
-\[
-U_a=-\frac{R_f}{R}\sum_k U_k
-\]
-==== Subtrahierer, symmetrisch ====
-Bei $R_1=R_3$ und $R_2=R_4$:
-\[
-U_a=\frac{R_2}{R_1}(U_2-U_1)
-\]
-====== EEE2 ======
-===== 13. RC-Schaltvorgänge =====
-==== Zeitkonstante ====
-\[
-\tau=RC
-\]
-Nach ungefähr $5\tau$ gilt der Endzustand praktisch als erreicht.
-==== Allgemeine Lösung 1. Ordnung ====
-\[
-x(t)=x(\infty)+\left[x(0^+)-x(\infty)\right]e^{-t/\tau}
-\]
-==== Kondensator lädt von 0 auf $U_s$ ====
-\[
-u_C(t)=U_s\left(1-e^{-t/(RC)}\right)
-\]
-\[
-i_C(t)=\frac{U_s}{R}e^{-t/(RC)}
-\]
-\[
-q_C(t)=C u_C(t)
-\]
-Bei $t=\tau$:
-\[
-u_C(\tau)\approx0.632U_s
-\]
-==== Kondensator entlädt von $U_s$ auf 0 ====
-\[
-u_C(t)=U_s e^{-t/(RC)}
-\]
-\[
-i_C(t)=-\frac{U_s}{R}e^{-t/(RC)}
-\]
-Bei $t=\tau$:
-\[
-u_C(\tau)\approx0.368U_s
-\]
-==== Energieänderung Kondensator ====
-\[
-\Delta W_C=\frac{1}{2}C(U_1^2-U_0^2)
-\]
-===== 14. Wechselstrom-Grundlagen =====
-==== Sinusförmige Größen ====
-\[
-u(t)=\hat{U}\sin(\omega t+\varphi_u)
-\]
-\[
-i(t)=\hat{I}\sin(\omega t+\varphi_i)
-\]
-\[
-\omega=2\pi f
-\]
-\[
-T=\frac{1}{f}
-\]
-==== Effektivwert ====
-\[
-X_\mathrm{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T x^2(t)\,\mathrm{d}t}
-\]
-Für Sinus:
-\[
-U=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}
-\]
-\[
-I=\frac{\hat{I}}{\sqrt{2}}
-\]
-==== Phasenwinkel ====
-\[
-\varphi=\varphi_u-\varphi_i
-\]
-^ Bauteil ^ Phasenlage ^
-| Widerstand | $u$ und $i$ in Phase, $\varphi=0$ |
-| Kondensator | Strom eilt Spannung um $90^\circ$ voraus, $\varphi=-90^\circ$ |
-| Spule | Spannung eilt Strom um $90^\circ$ voraus, $\varphi=+90^\circ$ |
-===== 15. Komplexe Rechnung und Impedanzen =====
-==== Komplexe Darstellung ====
-\[
-\underline{X}=X e^{j\varphi}=X(\cos\varphi+j\sin\varphi)
-\]
-\[
-j^2=-1
-\]
-==== Komplexer Widerstand / Impedanz ====
-\[
-\underline{Z}=\frac{\underline{U}}{\underline{I}}
-\]
-\[
-\underline{Z}=R+jX
-\]
-\[
-Z=|\underline{Z}|=\sqrt{R^2+X^2}
-\]
-\[
-\varphi=\arctan\left(\frac{X}{R}\right)
-\]
-==== Bauteilimpedanzen ====
-^ Bauteil ^ Impedanz ^ Betrag ^ Phase ^
-| Widerstand | $\underline{Z}_R=R$ | $R$ | $0^\circ$ |
-| Kondensator | $\underline{Z}_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}$ | $\frac{1}{\omega C}$ | $-90^\circ$ |
-| Spule | $\underline{Z}_L=j\omega L$ | $\omega L$ | $+90^\circ$ |
-==== Admittanz ====
-\[
-\underline{Y}=\frac{1}{\underline{Z}}
-\]
-\[
-\underline{Y}=G+jB
-\]
-==== Komplexes Ohmsches Gesetz ====
-\[
-\underline{U}=\underline{Z}\,\underline{I}
-\]
-\[
-\underline{I}=\underline{Y}\,\underline{U}
-\]
-==== Reihenschaltung bei AC ====
-\[
-\underline{Z}_\mathrm{eq}=\sum_k \underline{Z}_k
-\]
-==== Parallelschaltung bei AC ====
-\[
-\underline{Y}_\mathrm{eq}=\sum_k \underline{Y}_k
-\]
-\[
-\frac{1}{\underline{Z}_\mathrm{eq}}=\sum_k\frac{1}{\underline{Z}_k}
-\]
-==== Spannungsteiler mit Impedanzen ====
-\[
-\underline{U}_1=\underline{U}\frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_1+\underline{Z}_2}
-\]
-==== Stromteiler mit Impedanzen ====
-\[
-\underline{I}_1=\underline{I}\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1+\underline{Z}_2}
-\]
-===== 16. Komplexe Leistung =====
-==== Augenblicksleistung ====
-\[
-p(t)=u(t)i(t)
-\]
-==== Scheinleistung ====
-\[
-S=UI
-\]
-==== Wirkleistung ====
-\[
-P=UI\cos\varphi
-\]
-==== Blindleistung ====
-\[
-Q=UI\sin\varphi
-\]
-==== Komplexe Leistung ====
-\[
-\underline{S}=\underline{U}\,\underline{I}^*
-\]
-\[
-\underline{S}=P+jQ
-\]
-\[
-\underline{S}=UIe^{j\varphi}
-\]
-==== Leistungsdreieck ====
-\[
-S^2=P^2+Q^2
-\]
-\[
-\cos\varphi=\frac{P}{S}
-\]
-\[
-\sin\varphi=\frac{Q}{S}
-\]
-==== Leistungen an idealen Bauteilen ====
-^ Bauteil ^ Wirkleistung $P$ ^ Blindleistung $Q$ ^
-| Widerstand | $P=I^2R=\frac{U^2}{R}$ | $Q=0$ |
-| Spule | $P=0$ | $Q=I^2\omega L=\frac{U^2}{\omega L}$ |
-| Kondensator | $P=0$ | $Q=-I^2\frac{1}{\omega C}=-U^2\omega C$ |
-===== 17. Filter und Grenzfrequenzen =====
-==== Allgemeine Übertragungsfunktion ====
-\[
-\underline{A}=\frac{\underline{U}_\mathrm{out}}{\underline{U}_\mathrm{in}}
-\]
-\[
-A=|\underline{A}|
-\]
-Bei Grenzfrequenz einfacher passiver Filter:
-\[
-A=\frac{1}{\sqrt{2}}
-\]
-==== RC-Tiefpass ====
-Ausgang am Kondensator:
-\[
-\underline{A}=\frac{1}{1+j\omega RC}
-\]
-\[
-A=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}
-\]
-\[
-f_c=\frac{1}{2\pi RC}
-\]
-==== RC-Hochpass ====
-Ausgang am Widerstand:
-\[
-\underline{A}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}
-\]
-\[
-A=\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}
-\]
-\[
-f_c=\frac{1}{2\pi RC}
-\]
-==== RL-Tiefpass ====
-Ausgang am Widerstand:
-\[
-\underline{A}=\frac{R}{R+j\omega L}
-\]
-\[
-A=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega L}{R}\right)^2}}
-\]
-\[
-f_c=\frac{R}{2\pi L}
-\]
-==== RL-Hochpass ====
-Ausgang an der Spule:
-\[
-\underline{A}=\frac{j\omega L}{R+j\omega L}
-\]
-\[
-A=\frac{\omega L/R}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega L}{R}\right)^2}}
-\]
-\[
-f_c=\frac{R}{2\pi L}
-\]
-===== 18. RLC-Schwingkreise =====
-==== Serien-RLC ====
-\[
-\underline{Z}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)
-\]
-Resonanzbedingung:
-\[
-\omega_0L=\frac{1}{\omega_0C}
-\]
-\[
-\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}
-\]
-\[
-f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
-\]
-Bei Resonanz:
-\[
-\underline{Z}=R
-\]
-==== Güte, Serienkreis ====
-\[
-Q=\frac{\omega_0L}{R}
-\]
-\[
-Q=\frac{1}{\omega_0CR}
-\]
-==== Bandbreite, Serienkreis ====
-\[
-\Delta\omega=\frac{R}{L}
-\]
-\[
-Q=\frac{\omega_0}{\Delta\omega}
-\]
-==== Parallel-RLC, idealisiert ====
-\[
-\underline{Y}=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)
-\]
-Resonanz:
-\[
-\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}
-\]
-===== 19. Magnetisch gekoppelte Spulen / Transformator =====
-==== Gegenseitige Induktivität ====
-\[
-M=k\sqrt{L_1L_2}
-\]
-\[
-\le k\le1
-\]
-==== Gekoppelte Spulen ====
-Je nach Punktkonvention mit Vorzeichen $\pm$:
-\[
-u_1=L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}\pm M\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}
-\]
-\[
-u_2=L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}\pm M\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}
-\]
-==== Idealer Transformator ====
-\[
-\frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2}
-\]
-\[
-\frac{I_1}{I_2}=-\frac{N_2}{N_1}
-\]
-\[
-P_1=P_2
-\]
-==== Transformierte Lastimpedanz ====
-\[
-\underline{Z}'=\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2\underline{Z}_L
-\]
-===== 20. Halbleiter und Diode =====
-==== Thermische Spannung ====
-\[
-U_T=\frac{kT}{q}
-\]
-Bei $T\approx300\,\mathrm{K}$:
-\[
-U_T\approx25.85\,\mathrm{mV}
-\]
-==== Shockley-Gleichung ====
-\[
-I_D=I_S\left(e^{\frac{U_D}{nU_T}}-1\right)
-\]
-$n$: Emissionskoeffizient, typischerweise $1\dots2$.
-==== Vereinfachtes Diodenmodell ====
-^ Zustand ^ Näherung ^
-| Sperrbetrieb | $I_D\approx0$ |
-| Durchlassbetrieb Silizium | $U_D\approx0.7\,\mathrm{V}$ |
-| Durchlassbetrieb Schottky | $U_D\approx0.2\dots0.4\,\mathrm{V}$ |
-| Z-Diode im Durchbruch | $U_D\approx-U_Z$ |
-==== Kleinsignalwiderstand Diode ====
-\[
-r_d\approx\frac{nU_T}{I_D}
-\]
-===== 21. Diodenanwendungen =====
-==== Einweggleichrichter, ideal ====
-Mittelwert bei Sinus-Eingang:
-\[
-U_\mathrm{DC}\approx\frac{\hat{U}}{\pi}
-\]
-==== Brückengleichrichter / Zweiweggleichrichter, ideal ====
-\[
-U_\mathrm{DC}\approx\frac{2\hat{U}}{\pi}
-\]
-==== Glättungskondensator, grobe Näherung ====
-\[
-\Delta U\approx\frac{I_L}{f_r C}
-\]
-^ Gleichrichter ^ Ripple-Frequenz ^
-| Einweg | $f_r=f$ |
-| Zweiweg / Brücke | $f_r=2f$ |
-==== Begrenzerschaltung mit Diode ====
-Positive Begrenzung, idealisiert:
-\[
-u_\mathrm{out}\lessapprox U_\mathrm{ref}+U_D
-\]
-Negative Begrenzung, idealisiert:
-\[
-u_\mathrm{out}\gtrapprox U_\mathrm{ref}-U_D
-\]
-===== 22. Bipolartransistor, Basisformeln =====
-==== Ströme ====
-\[
-I_E=I_C+I_B
-\]
-\[
-I_C=\beta I_B
-\]
-\[
-I_E=(\beta+1)I_B
-\]
-\[
-\alpha=\frac{I_C}{I_E}
-\]
-\[
-\beta=\frac{I_C}{I_B}
-\]
-\[
-\alpha=\frac{\beta}{\beta+1}
-\]
-==== Basis-Emitter-Spannung, Silizium ====
-\[
-U_{BE}\approx0.7\,\mathrm{V}
-\]
-==== Betriebsbereiche, NPN ====
-^ Bereich ^ Bedingung / Näherung ^
-| Sperrbereich | $I_B\approx0$, $I_C\approx0$ |
-| Aktiver Bereich | $I_C\approx\beta I_B$ |
-| Sättigung | $U_{CE}\approx U_{CE,\mathrm{sat}}\approx0.1\dots0.3\,\mathrm{V}$ |
-==== Kleinsignalgrößen ====
-\[
-g_m=\frac{I_C}{U_T}
-\]
-\[
-r_e\approx\frac{U_T}{I_E}
-\]
-\[
-r_\pi=\frac{\beta}{g_m}
-\]
-==== Emitterschaltung, grobe Spannungsverstärkung ====
-Ohne Emittergegenkopplung:
-\[
-A_v\approx-g_mR_C
-\]
-Mit Emitterwiderstand, grob:
-\[
-A_v\approx-\frac{R_C}{r_e+R_E}
-\]
-===== 23. MOSFET, Basisformeln =====
-==== N-Kanal Enhancement MOSFET ====
-^ Bereich ^ Bedingung ^
-| Sperrbereich | $U_{GS}<U_{th}$ |
-| Linear-/Triodenbereich | $U_{GS}>U_{th}$ und $U_{DS}<U_{GS}-U_{th}$ |
-| Sättigungsbereich | $U_{GS}>U_{th}$ und $U_{DS}\ge U_{GS}-U_{th}$ |
-==== Linearbereich ====
-\[
-I_D\approx k\left[(U_{GS}-U_{th})U_{DS}-\frac{U_{DS}^2}{2}\right]
-\]
-==== Sättigungsbereich ====
-\[
-I_D\approx\frac{k}{2}(U_{GS}-U_{th})^2
-\]
-Mit Kanallängenmodulation:
-\[
-I_D\approx\frac{k}{2}(U_{GS}-U_{th})^2(1+\lambda U_{DS})
-\]
-==== Transkonduktanz ====
-\[
-g_m\approx\frac{2I_D}{U_{GS}-U_{th}}
-\]
-===== 24. Nützliche Umformungen =====
-==== Logarithmen und Exponentialfunktionen bei RC-Vorgängen ====
-Aus
-\[
-u_C(t)=U_s(1-e^{-t/\tau})
-\]
-folgt für Laden auf Anteil $a=\frac{u_C}{U_s}$:
-\[
-t=-\tau\ln(1-a)
-\]
-Aus
-\[
-u_C(t)=U_0e^{-t/\tau}
-\]
-folgt für Entladen auf Anteil $a=\frac{u_C}{U_0}$:
-\[
-t=-\tau\ln(a)
-\]
-==== dB-Umrechnung ====
-Für Spannungs- oder Stromverhältnisse:
-\[
-A_\mathrm{dB}=20\log_{10}\left(\frac{X_2}{X_1}\right)
-\]
-Für Leistungsverhältnisse:
-\[
-P_\mathrm{dB}=10\log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)
-\]
-==== Häufige Näherungen ====
-^ Ausdruck ^ Näherung ^
-| $e^{-1}$ | $0.368$ |
-| $1-e^{-1}$ | $0.632$ |
-| $\sqrt{2}$ | $1.414$ |
-| $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $0.707$ |
-| $20\log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ | $-3.01\,\mathrm{dB}$ |