Unterschiede
Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.
| Nächste Überarbeitung | Vorhergehende Überarbeitung | ||
|
electrical_engineering_1:dc_circuit_transients [2021/09/21 05:29] tfischer ↷ Seitename wurde von electrical_engineering_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen auf electrical_engineering_1:switching_operations_of_rc-combinations geändert |
electrical_engineering_1:dc_circuit_transients [2023/12/03 16:53] (aktuell) mexleadmin [Exercises] |
||
|---|---|---|---|
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | ====== | + | ====== |
| <WRAP onlyprint> | <WRAP onlyprint> | ||
| - | | + | |
| - | - Laden / Entladen von FET-Kondensator | + | |
| + | - Charge/discharge | ||
| </ | </ | ||
| < | < | ||
| - | < | + | < |
| - | < | + | < |
| - | </ | + | </ |
| - | {{drawio> | + | \\ {{drawio> |
| </ | </ | ||
| + | Here we will shortly introduce the basic idea behind a capacitor. A more detailed analysis will follow in electrical engineering II. \\ \\ | ||
| + | A capacitor consists of two insulated conductors (electrodes) separated by an insulator (cf. <imgref imageNo01 >). \\ | ||
| + | The electrodes serve as " | ||
| - | Im vorherigen Kapitel wurde bereits der Kondensator beschrieben. Er besteht aus zwei isolierten Leitern, die von einem Isolator getrennt sind (vgl. <imgref BildNr01> | + | - An external source draws charge carriers from one of the electrodes and carries them to the other electrode. |
| - | Sie dienen als Energiespeicher. Dies geschieht in folgender Art: | + | - If the external source is a voltage source with the voltage |
| - | - Eine äußere Quelle zieht Ladungsträger von einer der Elektroden ab und befördert diese zur anderen Elektrode | + | - These charges form an electric field in the space between the electrodes. This field stores the supplied energy. |
| - | - Ist die äußere Quelle eine Spannungsquelle mit der Spannung | + | |
| - | - Diese Ladungen bilden | + | |
| - | Es gilt: Je größer die Spannung | + | As larger the voltage |
| - | Dieser Zusammenhang ist direkt | + | |
| - | \begin{align*} | + | \begin{align*} |
| - | C = {{Q}\over{U}} | + | C = {{Q}\over{U}} \quad \text{with:} \quad [C]=1 ~{\rm {As}\over{V}}= 1 ~{\rm F} = 1 ~\rm Farad |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | |||
| - | Aber nicht immer ist direkt zu erkennen, das ein Aufbau einen Kondensator enthält. \\ So sind folgende Beispiele auch Kondensatoren: | ||
| - | * **offener Schalter**: Liegt zwischen den beiden Metallteilen eine Spannung an, so können sich dort auch Ladungen ansammeln. \\ Da die Abstände in der Regel groß sind und als Dielektrikum Luft verwendet wird, ist die Kapazität des so gebildeten Kondensators sehr klein. | ||
| - | * **Freileitung**: | ||
| - | * **Leiterbahn**: | ||
| - | * **Menschlicher Körper**: Der menschliche Körper kann ebenso Ladung aufnehmen. Die so aufgenommene Ladung bildet gegenüber anderen Objekten einen Kondensator. Dieser kann auf einige $kV$ aufgeladen werden. Dies macht besondert in Elektrolaboren Probleme, da durch die bloße Berührung von Bauteilen diese zerstört werden können. | ||
| - | * **Membran von Nervenzellen**: | ||
| - | <WRAP right> | + | But it is not always directly recognizable that a structure contains a capacitor. |
| - | < | + | |
| - | </ | + | |
| - | {{drawio> | + | |
| - | </ | + | |
| - | Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, dass beim Laden des Kondensators neben der Spannungsquelle $U_q$ und dem Kondensator $C$ immer auch ein Widerstand $R$ in der Schaltung vorliegt. Dieser setzt sich zusammen aus dem Innenwiderstand der (nicht-idealen) Spannungsquelle, dem Innenwiderstand des Kondensators und dem parasitären | + | * **open switch**: If there is a voltage between the two metal parts, charges can also accumulate there. \\ Since the distances are usually large and the air is used as the dielectric, the capacitance of the capacitor formed |
| + | * **Overhead line**: An overhead line also represents a capacitor against the ground potential of the earth. The charging and discharging by the alternating current leads to the fact that polarizable molecules can align themselves. For example, the water drops near the line are rolled through the field and hum with $100~\rm Hz$ and many times that (harmonics). Peak discharge results | ||
| + | * **Conductor trace**: A trace on a PCB can also be a capacitor against a nearby ground plane. This can be a problem for digital signals (see the charge and discharge curves below). | ||
| + | * **Human body**: The human body can likewise pick up charge. The charge thus absorbed forms a capacitor with respect to other objects. This can be charged up to some $kV$. This is a particular problem | ||
| + | | ||
| + | < | ||
| - | Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter | + | In the following, the charging process of a capacitor is to be considered in more detail. For this purpose, one has to realize, that during the charging of the capacitor, besides the voltage source $U_{\rm s}$ and the capacitor $C$, there is always a resistance $R$ in the circuit. This is composed of the internal resistance of the (non-ideal) voltage source, the internal resistance of the capacitor, and the parasitic (=interfering) resistance of the line. In practical applications, |
| - | Die zu betrachtende Schaltung sieht also dann aus wie in < | + | |
| - | Ein idealer Schalter ist dabei gekennzeichnet durch: | + | * infinitely fast switching |
| - | * unendlich schnellem Schalten | + | * resistance of $0~\Omega$ |
| - | * Widerstand von $0\Omega$ | + | * resistance |
| - | * Widerstand | + | * no capacitive effect |
| - | * keiner kapazitiven Wirkung | + | |
| </ | </ | ||
| Zeile 55: | Zeile 50: | ||
| < | < | ||
| - | In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind: | + | In this chapter also time-varying quantities are considered. These are generally marked with lowercase letters. Examples of time-varying quantities are: |
| - | * Eine **zeitlich veränderliche Spannung $u_C(t)$ am Kondensator** oder die **Spannung $u$ einer Wechselspannungsquelle** im Gegensatz zu einer konstanten Spannung $U_q$ an einer Konstantspannungsquelle | + | |
| - | * Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einer Spule** oder **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ an einem Kondensator** | + | |
| - | Da durch den kleinen Buchstaben bereits die Zeitabhängigkeit klar ist, wird bei diesen Größen gelegentlich diese nicht durch das nachgestellte | + | * A **time-varying voltage $u_C(t)$ across a capacitor** or the **voltage $U_{\rm s}$ of an ac voltage source** |
| + | * A **time-varying current $i_L(t)$ across a coil** or **time-varying current $i_C(t)$ across a capacitor**. | ||
| + | |||
| + | Since the time dependence is already clear from the lowercase letter, these quantities are occasionally not indicated by the trailing | ||
| </ | </ | ||
| - | ===== 7.1 Zeitverlauf des Lade- und Entladevorgangs | + | ===== 5.1 Time Course of the Charging and Discharging Process |
| < | < | ||
| - | === Ziele === | + | === Learning Objectives |
| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | + | By the end of this section, you will be able to: |
| - | + | - know the time constant | |
| - | - die Zeitkonstante | + | - determine the time characteristic of the currents and voltages at the RC element for a given resistance and capacitance. |
| - | - den Zeitverlauf der Ströme und Spannungen am RC-Glied bei gegebenem Widerstand und Kapazität ermitteln können. | + | - know the continuity conditions of electrical quantities. |
| - | - die Stetigkeitsbedingungen der elektrischen Größen kennen. | + | - know when (=according to which measure) the capacitor is considered to be fully charged/discharged, i.e. a steady state can be considered to have been reached. |
| - | - wissen, ab wann (=nach welchem Maß) der Kondensator als vollständig aufgeladen | + | |
| </ | </ | ||
| - | <WRAP right> | + | In the simulation below you can see the circuit |
| - | </ | + | |
| - | In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung in einer etwas abgewandelten Form: | + | |
| - | | + | * But it is also possible to short-circuit the series circuit of $R$ and $C$ via the switch $S$. |
| - | * Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reichenschaltung von $R$ und $C$ kurzzuschließen. | + | * Furthermore, |
| - | * Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung | + | * Additionally it is possible to change the capacitance value $C$ and resistance value $R$ with the sliders |
| - | * Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern | + | |
| - | Aufgaben: | + | Exercises: |
| - | - Machen Sie sich damit vertraut, wie der Kondensatorstrom $i_C$ und die Kondensatorspannung $u_C$ von der vorgegebenen Kapazität $C$ und dem Widerstand $R$ abhängt. \\ Nutzen Sie dazu für $R=\{ 10\Omega, 100\Omega, 1k\Omega\}$ und $C=\{ 1\mu F, 10 \mu F\}$. Wie schnell steigt die Kondensatorspannung $u_C$ jeweils n? | + | |
| - | - Welche Größe ($i_C$ oder $u_C$) ist hier stetig? Warum muss diese stetig sein? Warum muss die andere Größe unstetig sein? | + | |
| - | \\ | + | - Become familiar with how the capacitor current $i_C$ and capacitor voltage $u_C$ depend on the given capacitance $C$ and resistance $R$. \\ To do this, use for $R=\{ 10~\Omega, 100~\Omega, 1~k\Omega\}$ and $C=\{ 1~\rm µF, 10 ~ µF\}$. How fast does the capacitor voltage $u_C$ increase in each case n? |
| + | - Which quantity ($i_C$ or $u_C$) is continuous here? Why must this one be continuous? Why must the other quantity be discontinuous? | ||
| - | Diese Schaltung wird in Folgenden in zwei einzelne Schaltungen zerlegt, welche nur das Laden bzw. nur das Entladen betrachten. | + | < |
| + | |||
| + | In the following, this circuit is divided into two separate circuits, which consider only charging and only discharging. | ||
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | <WRAP right> | + | Here is a short introduction about the transient behavior of an RC element (starting at 15:07 until 24:55) |
| - | < | + | {{youtube>8nyNamrWcyE? |
| - | </ | + | |
| - | {{drawio>SchaltungEntladekurve2}} \\ | + | |
| - | </ | + | |
| - | Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität | + | To understand the charging process of a capacitor, an initially uncharged capacitor with capacitance |
| - | * Damit die Spannung $U_q$ zu einer bestimmten Zeit $t_0 = 0 s$ erst wirkt wird der Schalter $S$ zu diesem Zeitpunkt geschlossen. | + | |
| - | * Direkt nach dem Zeitpunkt $t_0$ fließt der maximale Strom (" | + | |
| - | * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt | + | |
| - | * Somit reduziert sich die Spannung $u_R$ am Widerstand und damit auch der Strom $i_R$. | + | |
| - | * Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator. | + | |
| - | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ vollständig auf die vorgegebene Spannung $U_q$ geladen. Er trägt dann die Ladung: $q(t \rightarrow \infty)=Q = C \cdot U_q$ | + | |
| - | Der Ablauf soll nun im Einzelnen | + | * In order that the voltage $U_{\rm s}$ acts at a certain time $t_0 = 0 ~s$ the switch $S$ is closed at this time. |
| - | In der Schaltung werden lineare Bauteile genutzt, d.h. die Komponentenwerte für den Widerstand | + | * Directly after the time $t_0$ the maximum current (" |
| - | Dann gelten Definitionsgleichungen für den Widerstand | + | * The current causes charge carriers to flow from one electrode to the other. Thus the capacitor is charged and its voltage increases $u_C$. |
| + | * Thus the voltage | ||
| + | * With the current thus reduced, less charge flows on the capacitor. | ||
| + | * Ideally, the capacitor is not fully charged to the specified voltage | ||
| - | \begin{align*} | + | < |
| - | R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{du_R}\over{di_R}} = const. \\ | + | |
| - | C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} = {{dq}\over{du_C}} = const. | + | The process is now to be summarized in detail in formulas. Linear components are used in the circuit, i.e. the component values for the resistor $R$ and the capacitance $C$ are independent of the current or the voltage. Then definition equations for the resistor $R$ and the capacitance $C$ are also valid for time-varying or infinitesimal quantities: |
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{{\rm d}u_R}\over{{\rm d}i_R}} = {\rm const.} \\ | ||
| + | C = {{q(t)} | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Die folgenden Erklärungen sind auch in diesen beiden Videos zum zum [[https:// | + | The following explanations are also well explained |
| - | ==== Laden eines Kondensators zum Zeitpunkt t=0 ==== | ||
| - | Durch die Betrachtung der Masche ergibt sich allgemein: Die Spannung der Quelle ist gleich der Summe der beiden Spannungen über Widerstand und Kondensator. | + | ==== Charging a capacitor at time t=0 ==== |
| - | \begin{align*} | + | By considering the loop, the general result is: the voltage of the source is equal to the sum of the two voltages across the resistor and capacitor. |
| - | U_q =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{7.1.2} | + | |
| + | \begin{align*} | ||
| + | U_{\rm s} =u_R + u_C = R \cdot i_C + u_C \tag{5.1.2} | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Im ersten Augenblick | + | At the first instant |
| - | Für diese ergibt sich mit $(7.1.1)$: | + | |
| - | \begin{align*} | + | \begin{align*} |
| - | i_C = {{dq}\over{dt}} \quad \quad \text{und} \quad dq = C \cdot du_C | + | i_C = {{{\rm d}q}\over{{\rm d}t}} \quad \text{and} \quad {\rm d}q = C \cdot {\rm d}u_C |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Aus den beiden Formeln lässt sich der Ladestrom | + | The charging current |
| - | \begin{align*} | + | \begin{align*} |
| - | i_C = C \cdot {{du_C}\over{dt}} \tag{7.1.3} | + | i_C = C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} \tag{5.1.3} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Damit wird $(7.1.2)$ | + | Thus $(5.1.2)$ |
| - | \begin{align*} | + | \begin{align*} |
| - | U_q &=u_R + u_C \\ | + | U_{\rm s} &= u_R |
| - | &= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C | + | &= R \cdot C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} + u_C |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | --> | + | --> |
| - | Dieses Ergebnis stellt eine Differentialgleichung 1. Ordnung dar. \\ | + | This result represents a 1st order differential equation. This should generally be rewritten |
| - | Dieses sollte generell | + | |
| - | Dies liegt hier schon vor. Der passende Ansatz für ein solches Problem ist: | + | |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | U_q &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | U_{\rm s} &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ |
| - | &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ |
| - | U_q - \mathcal{C} & | + | U_{\rm s} - \mathcal{C} & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Diese Gleichung muss für jedes $t$ gelten. Dies ist nur möglich wenn der linke als auch der rechte Term gleich | + | This equation must hold for every $t$. This is only possible if the left, as well as the right term, become equal to 0. \\ Thus: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \mathcal{C} = U_q \\ \\ | + | \mathcal{C} = U_{\rm s} \\ \\ |
| R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ | R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \\ | ||
| Zeile 176: | Zeile 166: | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Es ergibt sich also: | + | So it follows: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_{\rm s} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt | + | For the solution it must still hold that at time $t_0=0$ $u_C(t_0) = 0$ just holds: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | 0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_q \\ | + | 0 &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}} + U_{\rm s} \\ |
| - | 0 &= \mathcal{A} | + | 0 &= \mathcal{A} |
| - | \mathcal{A} &= - U_q | + | \mathcal{A} &= - U_{\rm s} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Die Lösung ist also: | + | |
| + | So the solution is: | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) &= - U_q \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q | + | u_C(t) &= - U_{\rm s} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_{\rm s} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| <-- | <-- | ||
| - | + | And this results in: | |
| - | Und damit ergibt sich: | + | |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) & | + | u_C(t) & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Und mit $(7.1.3)$ | + | And with $(5.1.3)$, $i_C$ becomes: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | + | i_C(t) &= {{U_{\rm s}}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } } |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | In < | + | In < |
| - | < | + | < |
| - | < | + | </ |
| - | </ | + | {{drawio> |
| - | {{drawio> | + | |
| </ | </ | ||
| - | <callout icon=" | + | <callout icon=" |
| - | * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\ | + | |
| - | * Zum Zeitpunkt | + | * There must be a unitless term in the exponent. So $RC$ must also represent a time. This time is called |
| - | * Zum Zeitpunkt | + | * At time $t=\tau$, we get: $u_C(t) = U_{\rm s} \cdot (1 - {\rm e}^{- 1}) = U_{\rm s} \cdot (1 - {{1}\over{\rm e}}) = U_{\rm s} \cdot ({{{\rm e}-1}\over{\rm e}}) = 0.63 \cdot U_{\rm s} = 63~\% \cdot U_{\rm s} $. \\ So, **the capacitor is charged to $63~\%$ after one $\tau$.** |
| - | * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99\%$ | + | * At time $t=2 \cdot \tau$ we get: $u_C(t) = U_{\rm s} \cdot (1 - {\rm e}^{- 2}) = 86~\% \cdot U_{\rm s} = (63~\% + (100~\% |
| - | * die Zeitkonstante | + | * After about $t=5 \cdot \tau$, the result is a capacitor charged to over $99~\%$. In real circuits, **a charged capacitor can be assumed after** |
| - | * Eintragen des Spannungswertes welcher | + | * The time constant |
| - | * Einzeichnen der Tangente zur (Spannungs)Ladekurve zum Zeitpunkt des entladenen Kondensators. \\ Diese schneidet eine horizontale Linie auf der Höhe der Ladespannung am Punkt $t=\tau$ (siehe schwarze und hellblaue Linien | + | * Plotting the voltage value corresponding to $63~\%$ on the y-axis. Finding the point of intersection with the graph. Reading the time (see green lines in < |
| + | * Plotting the tangent to the (voltage) charge curve at the time of the discharged capacitor. This intersects a horizontal line at the level of the charging voltage at the point $t=\tau$ (see black and light blue lines in < | ||
| </ | </ | ||
| - | ==== Entladen eines Kondensators zum Zeitpunkt t=0 ==== | ||
| - | < | + | ==== Discharging a capacitor at time t=0 ==== |
| - | < | + | |
| - | </ | + | < |
| - | {{drawio> | + | < |
| + | </ | ||
| + | {{drawio> | ||
| </ | </ | ||
| - | Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet: | + | The following situation is considered for the discharge: |
| - | * Ein auf die Spannung | + | |
| - | * Dadurch liegt anfangs die volle Spannung | + | * A capacitor charged to voltage |
| - | * Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$ | + | * As a result, the full voltage |
| - | * Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators | + | * The initial discharge current is thus defined by the resistance: $i_C ={{u_R}\over{R}}$ |
| - | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ | + | * The discharging charges lower the voltage of the capacitor |
| + | * Ideally, the capacitor is not fully discharged before | ||
| - | Auch dieser Ablauf soll nun im Einzelnen | + | Also, this process now is to put into a formula |
| - | Durch die Betrachtung der Masche ergibt sich allgemein: Die Summe der beiden Spannungen über Widerstand und Kondensator summieren sich auf Null. | + | |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| Zeile 251: | Zeile 243: | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Damit ergibt sich mit $(7.1.3)$: | + | This gives $(5.1.3)$: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | 0 =u_R + u_C = R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C | + | 0 =u_R + u_C = R \cdot C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} + u_C |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | --> | + | --> |
| - | Dieses Ergebnis stellt wieder eine Differentialgleichung 1. Ordnung dar. \\ | + | This result again represents a 1st order differential equation. The appropriate approach to such a problem is: |
| - | Der passende Ansatz für ein solches Problem ist: | + | |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | 0 &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | 0 &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} |
| - | &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} |
| - | 0 - \mathcal{C} & | + | - \mathcal{C} & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Diese Gleichung muss für jedes $t$ gelten. Dies ist nur möglich wenn der linke als auch der rechte Term gleich | + | This equation must hold for every $t$. This is only possible if the left, as well as the right term, become equal to 0. Thus: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| Zeile 282: | Zeile 273: | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Es ergibt sich also: | + | So it follows: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + 0 |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt | + | For the solution it must still hold that at time $t_0=0$ $u_C(t_0) = U_{\rm s}$ just holds: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | U_q &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} | + | U_{\rm s} &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}} |
| - | U_q & | + | \mathcal{A} |
| - | \mathcal{A} & | + | \end{align*} |
| + | |||
| + | Therefore, the result is: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | u_C(t) | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| <-- | <-- | ||
| - | < | + | < |
| - | < | + | < |
| - | </ | + | </ |
| - | {{drawio> | + | {{drawio> |
| </ | </ | ||
| - | + | And this results in: | |
| - | Und damit ergibt sich: | + | |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) & | + | u_C(t) & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Und mit $(7.1.3)$ | + | And with $(5.1.3)$, $i_C$ becomes: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | + | i_C(t) &=- {{U_{\rm s}}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } } |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | In < | + | In < |
| - | Da Der Strom nun aus dem Kondensator herausfließt, ist das Vorzeichen von $i_C$ negativ. | + | |
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | ==== Periodische Schaltvorgänge | + | ==== Periodic switching operations |
| - | < | + | < |
| - | </ | + | |
| + | In the simulation on the right, a periodic switching operation can be seen. The capacitor is periodically charged and discharged via the switch. Three sliders are given in the simulation to change the resistance $R$ (< | ||
| - | In der Simulation rechts ist ein periodischer Schaltvorgang zu sehen. Dabei wird über den Schalter der Kondensator periodisch ge- und entladen. | + | Exercises: |
| - | Dabei sind in der Simulation drei Slider gegeben, um den Widerstand $R$ (%%Resistance R%%), die Kapazität $C$ (%%Capacity C%%) und die Frequenz $f$ (%%Frequency f%%) ändern zu können. | + | |
| - | Im Verlauf unten in der Simulation ist die Spannung $u_C$ über den Kondensator in grün und der Strom $i_C$ in gelb dargestellt. | + | |
| - | Aufgaben: | + | |
| - | | + | - Now increase the capacitance to $C=10 ~{\rm µF}$ using the corresponding slider. What is the change for $u_C$ and $i_C$? |
| - | - Erhöhen Sie nun zusätzlich die Kapazität auf $C=10 \mu F$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? | + | - Now increase the resistance to $R= 1 ~\rm k\Omega$ |
| - | - Erhöhen Sie nun zusätzlich den Widerstand auf $R= 1 k\Omega$ | + | |
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | ===== 7.2 Energie eines Kondensators | + | ===== 5.2 Energy stored in a Capacitor |
| < | < | ||
| - | === Ziele === | + | === Learning Objectives |
| - | Nach dieser Lektion sollten Sie: | + | By the end of this section, you will be able to: |
| + | - calculate the energy content in a capacitor. | ||
| + | - calculate the change in energy of a capacitor resulting from a change in voltage between the capacitor terminals. | ||
| + | - calculate (initial) current, (final) voltage, and charge when balancing the charge of several capacitors (also via resistors). | ||
| - | - den Energieinhalt in einem Kondensator berechnen können. | ||
| - | - die Energieänderung eines Kondensators berechnen können, welche sich durch eine Änderung der Spannung zwischen den Kondensatoranschlüssen ergibt. | ||
| - | - (Anfangs)Strom, | ||
| - | |||
| </ | </ | ||
| - | < | + | < |
| - | < | + | |
| - | </ | + | |
| - | {{drawio> | + | |
| - | </ | + | |
| - | Es soll nun der Kondensator als Energiespeicher näher betrachtet werden. Diese Herleitung ist auch in [[https:// | + | Now the capacitor as energy storage is to be looked at more closely. This derivation is also explained |
| - | Laut des Kapitels | + | |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| Zeile 363: | Zeile 349: | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Für veränderliche Signale ergibt sich die Momentanleistung als: | + | For variable signals, the instantaneous power is given as: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | p={{dw}\over{dt}} = u \cdot i | + | p={{{\rm d}w}\over{{\rm d}t}} = u \cdot i |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | === Energiebetrachtung des Kondensator | + | === Energy consideration of the capacitor |
| - | Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt | + | Charging the capacitor at time $t_0 = 0$ results in $\Delta W = \Delta W_C$ for the stored energy at a later time $t_1 =t$: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \Delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} | + | \Delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} |
| + | = \int_{0}^t u | ||
| + | = \int_{0}^t u_C \cdot i_C {\rm d}t \tag{5.2.1} | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Beim Ladevorgang gilt | + | During the charging process |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = U_q\cdot (1 - e^{ - {{t}\over{\tau}} }) \\ | + | u_C(t) = U_{\rm s} \cdot (1 - {\rm e}^{ -{{t}\over{\tau}} }) \\ |
| - | i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot e^{ -{{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2} | + | i_C(t) = {{U_{\rm s}}\over{R}} \cdot |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Insbesondere gilt: | + | In particular: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} \quad & | + | C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} |
| - | i_C(t) = {{d q(t)}\over{dt}} \quad & | + | i_C(t) = {{{\rm d} q(t)}\over{{\rm d}t}} \quad & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Damit wird die gespeicherte Energie aus Formel | + | Thus, the stored energy from formula |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \Delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{d u_C(t)}\over{dt}} dt \quad & | \text{ | + | \Delta W_C &= \int_{0}^t |
| - | &= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot | + | |
| - | &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C \, d u_C \\ | + | |
| - | &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\ | + | |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{\Delta | + | \boxed{\Delta |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Für einen vollständig entladenen Kondensator | + | Thus, for a fully discharged capacitor |
| - | === Energiebetrachtung des Widerstands | + | === Energy Consideration on the Resistor |
| - | Auch für den Widerstand lässt sich die umgesetzte Energie ermitteln: | + | The converted energy can also be determined for the resistor: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \Delta W_R = \int_{0}^t u_R \cdot i_R dt = \int_{0}^t R \cdot i_R \cdot i_R dt = R \cdot \int_{0}^t i_R^2 | + | \Delta W_R = \int_{0}^t u_R \cdot i_R {\rm d}t |
| + | = \int_{0}^t | ||
| + | = R \cdot \int_{0}^t i_R^2 | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Da der Strom durch den Kondensator | + | Since the current through the capacitor |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \Delta W_R & | + | \Delta W_R & |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Für $t \rightarrow \infty$ | + | For $t \rightarrow \infty$ |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \Delta W_R & | + | \Delta W_R & |
| - | | + | |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \boxed{ \Delta W_R = {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4} | + | \boxed{ \Delta W_R = {{1}\over{2}} \cdot {U_{\rm s}^2}\cdot{C}} \tag{5.2.4} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Das heißt, die am Widerstand umgesetzte Energie ist unabhängig vom Widerstandswert | + | This means that the energy converted at the resistor is independent of the resistance value (for an ideal constant voltage source |
| - | Anschaulich lässt sich dieser scheinbarer Widerspruch so auflösen: Ein höherer Widerstand | + | |
| - | In realen Anwendungen sind, wie in vorherigen Kapiteln angesprochen, keine idealen Spannungsquellen möglich. Damit wird ohne einem reell verbauten Widerstand die Abwärme anteilig am Innenwiderstand der Quelle und am Innenwiderstand des Kondensators abgegeben. Der Innenwiderstand des Kondensators ist Frequenzabhängig, aber in der Regel kleiner als der Innenwiderstand der Quelle. | + | In real applications, as mentioned |
| - | === Betrachtung des gesamten Energieumsatzes | + | === Consideration of total energy turnover |
| - | In den vorherigen Betrachtungen wurde auch der Energieumsatz beim kompletten Ladevorgang betrachtet. Dabei ergab sich, dass der Kondensator die Energie | + | In the previous considerations, the energy conversion during the complete charging process was also considered. It was found that the capacitor stores the energy |
| + | So, in total, the voltage source injects the following energy: | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \Delta W_0 & | + | \Delta W_0 & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Dies ergibt sich auch über $(7.2.1)$: | + | This also follows via $(5.2.1)$: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \Delta W_0 & | + | \Delta W_0 & |
| - | & | + | |
| - | & | + | |
| - | & | + | |
| - | & | + | |
| + | | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Auch hier hilft wieder der Blick auf kleine Ladungspakete, die von der idealen Quelle auf den Kondensator übertragen werden müssen. \\ < | + | This means that only half of the energy emitted by the source is stored in the capacitor! Again, This doesn' |
| - | + | < | |
| - | < | + | < |
| - | < | + | </ |
| - | </ | + | {{drawio> |
| - | {{drawio> | + | |
| </ | </ | ||
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | In folgender Simulation kann dies auch getestet werden. Neben dem bisher dargestellten | + | This can also be tested in the following simulation. |
| - | * links: Strom $u_C$ und Spannung $i_C$ am Kondensator | + | |
| - | * mitte: Momentanleistung $p_C = u_C \cdot i_C$ des Kondensators | + | |
| - | * rechts: gespeicherte Energie $w_C = \int u_C \cdot i_C \; dt$ des Kondensators | + | |
| - | <WRAP right> | + | * left: Current $u_C$ and voltage $i_C$ at the capacitor. |
| - | </ | + | * middle: Instantaneous power $p_C = u_C \cdot i_C$ of the capacitor. |
| + | * right: stored energy $w_C = \int u_C \cdot i_C \; {\rm d}t$ of the capacitor | ||
| + | < | ||
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | ==== Aufgaben | + | ==== Exercises |
| - | <panel type=" | + | <panel type=" |
| - | {{youtube> | + | <WRAP group>< |
| - | </ | + | |
| - | <panel type=" | + | {{youtube> |
| - | {{youtube> | + | |
| - | </ | + | |
| - | <panel type=" | ||
| - | {{youtube> | ||
| </ | </ | ||
| - | <panel type=" | + | # |
| - | {{youtube> | + | |
| - | </ | + | |
| - | <panel type=" | + | The following circuit shows a charging/ |
| - | <WRAP right> | + | The values of the components shall be the following: |
| - | </ | + | * $R_1 = 1.0 \rm k\Omega$ |
| + | * $R_2 = 2.0 \rm k\Omega$ | ||
| + | * $R_3 = 3.0 \rm k\Omega$ | ||
| + | * $C = 1 \rm \mu F$ | ||
| + | * $S_1$ and $S_2$ are opened in the beginning (open-circuit) | ||
| - | Rechts sehen Sie eine Simulation, welche die beiden Kondensatoren $C_1$ und $C_2$ enthält. | + | {{drawio> |
| - | Zu Beginn ist $C_1$ auf $10V$ und $C_2$ auf $0V$ aufgeladen. mit den Schaltern $S_1$ und $S_2$ können Sie auswählen, ob | + | |
| - | - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ kurzgeschlossen werden, oder | + | |
| - | - die Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ über den Widerstand $R$ verbunden werden. | + | |
| - | Rechts in der Simulation sind zusätzlich noch einige " | + | 1. For the first tasks, the switch $S_1$ gets closed at $t=t_0 = 0s$. \\ |
| - | Im folgenden sollen nun mit diesem Aufbau das Laden und Entladen eines Kondensators erklärt werden. | + | 1.1 What is the value of the time constant $\tau_1$? |
| - | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | + | # |
| - | Unter dem elektrischen Aufbau sind folgende Größen im Zeitverlauf dargestellt: | + | |
| - | ^ Spannung $u_1(C_1)$ des ersten Kondensators ^ Spannung $u_2(C_2)$ des zweiten Kondensators ^ gespeicherte Energie $w_1(C_1)$ ^ gespeicherte Energie $w_2(C_2)$ ^ gesamte Energie | + | The time constant |
| - | | Anfänglich auf $10V$ aufgeladen | Anfänglich neutral geladen ($0V$) | Anfänglich gilt: \\ $w_1(C_1)= {1 \over 2} \cdot C \cdot U^2 = {1 \over 2} \cdot 10\mu F \cdot (10V)^2 = 500\mu W$ \\ Im Oszilloskop entspricht | + | Now, we try to determine which $R$ and $C$ must be used here. \\ |
| + | To find this out, we have to look at the circuit when $S_1$ gets closed. | ||
| - | Der Kondensator $C_1$ hat also zunächst die volle Energie gespeichert und über ein Schließen des Schalters $S_2$ würde man ein Ausgleich der Spannungen und eine Gleichverteilung der Energie $w_1 + w_2 = 500\mu W$ erwarten. | + | {{drawio> |
| - | - Schließen Sie den Schalter | + | We see that for the time constant, we need to use $R=R_1 + R_2$. |
| - | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | + | |
| - | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | + | |
| - | - Öffnen Sie den $S_2$ - der Wechselschalter $S_1$ soll nicht geändert werden. Was stellen Sie fest? | + | |
| - | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | + | |
| - | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | + | |
| - | - Wiederholen Sie 1. und 2. mehrmals. Kann etwas bzgl. der Verteilung der Energie abgeleitet werden? | + | |
| - | - Wechseln Sie den Schalter $S_2$ auf den Widerstand. Was stellen Sie fest? | + | |
| - | - Was machen die Spannungen $u_1$ und $u_2$? | + | |
| - | - Was die Energien und die Gesamtenergie? | + | |
| - | </WRAP></WRAP></panel> | + | # |
| + | |||
| + | # | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \tau_1 &= R\cdot C \\ | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | 1.2 What is the formula for the voltage $u_{R2}$ over the resistor $R_2$? Derive a general formula without using component values! | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | To get a general formula, we again take a look at the circuit, but this time with the voltage arrows. | ||
| + | |||
| + | {{drawio>electrical_engineering_1: | ||
| + | |||
| + | We see, that: $U_1 = u_C + u_{R2}$ and there is only one current in the loop: $i = i_C = i_{R2}$\\ | ||
| + | The current is generally given with the exponential function: $i_c = {{U}\over{R}}\cdot e^{-t/\tau}$, with $R$ given here as $R = R_1 + R_2$. | ||
| + | Therefore, $u_{R2}$ can be written as: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | u_{R2} &= R_2 \cdot i_{R2} \\ | ||
| + | & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | u_{R2} = U_1 \cdot {{R_2}\over{R_1 + R_2}} \cdot e^{t/ \tau} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | # | ||
| + | |||
| + | 2. At a distinct time $t_1$, the voltage $u_C$ is charged up to $4/5 \cdot U_1$. | ||
| + | At this point, the switch $S_1$ will be opened. \\ Calculate $t_1$! | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | We can derive $u_{C}$ based on the exponential function: $u_C(t) = U_1 \cdot (1-e^{-t/ | ||
| + | Therefore, we get $t_1$ by: | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | u_C = 4/5 \cdot U_1 & | ||
| + | 4/5 & | ||
| + | e^{-t/ | ||
| + | | ||
| + | t &= -\tau \cdot \rm ln (1/5) \\ | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | t & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | # | ||
| + | |||
| + | 3. The switch $S_2$ will get closed at the moment $t_2 = 10 ~\rm ms$. The values of the voltage sources are now: $U_1 = 5.0 ~\rm V$ and $U_2 = 10 ~\rm V$. | ||
| + | |||
| + | 3.1 What is the new time constant $\tau_2$? | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | Again, the time constant $\tau$ is given as: $\tau= R\cdot C$. \\ | ||
| + | Again, we try to determine which $R$ and $C$ must be used here. \\ | ||
| + | To find this out, we have to look at the circuit when $S_1$ is open and $S_2$ is closed. | ||
| + | |||
| + | {{drawio>electrical_engineering_1: | ||
| + | |||
| + | We see that for the time constant, we now need to use $R=R_3 + R_2$. | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \tau_2 &= R\cdot C \\ | ||
| + | & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \tau_2 &= 5~\rm ms \\ | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | # | ||
| + | |||
| + | 3.2 Calculate the moment $t_3$ when $u_{R2}$ is smaller than $1/10 \cdot U_2$. | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | To calculate the moment $t_3$ when $u_{R2}$ is smaller than $1/10 \cdot U_2$, we first have to find out the value of $u_{R2}(t_2 = 10 ~\rm ms)$, when $S_2$ just got closed. \\ | ||
| + | * Starting from $t_2 = 10 ~\rm ms$, the voltage source $U_2$ charges up the capacitor $C$ further. | ||
| + | * Before at $t_1$, when $S_1$ got opened, the value of $u_c$ was: $u_c(t_1) = 4/5 \cdot U_1 = 4 ~\rm V$. | ||
| + | * This is also true for $t_2$, since between $t_1$ and $t_2$ the charge on $C$ does not change: $u_c(t_2) = 4 ~\rm V$. | ||
| + | * In the first moment after closing $S_2$ at $t_2$, the voltage drop on $R_3 + R_2$ is: $U_{R3+R2} = U_2 - u_c(t_2) = 6 ~\rm V$. | ||
| + | * So the voltage divider of $R_3 + R_2$ lead to $ \boldsymbol{u_{R2}(t_2 = 10 ~\rm ms)} = {{R_2}\over{R_3 + R2}} \cdot U_{R3+R2} = {{2 {~\rm k\Omega}}\over{3 {~\rm k\Omega} + 2 {~\rm k\Omega} }} \cdot 6 ~\rm V = \boldsymbol{2.4 ~\rm V} $ | ||
| + | |||
| + | We see that the voltage on $R_2$ has to decrease from $2.4 ~\rm V $ to $1/10 \cdot U_2 = 1 ~\rm V$. \\ | ||
| + | To calculate this, there are multiple ways. In the following, one shall be retraced: | ||
| + | * We know, that the current $i_C = i_{R2}$ subsides exponentially: | ||
| + | * So we can rearrange the task to focus on the change in current instead of the voltage. | ||
| + | * The exponential decay is true regardless of where it starts. | ||
| + | |||
| + | So from ${{i_{R2}(t)}\over{I_{R2~ 0}}} = {\rm e}^{-t/ | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | {{i_{R2}(t_3)}\over{i_{R2}(t_2)}} & | ||
| + | -{{t_3 - t_2}\over{\tau_2}} | ||
| + | | ||
| + | | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | t_3 &= 14.4~\rm ms \\ | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | # | ||
| + | |||
| + | 3.3 Draw the course of time of the voltage $u_C(t)$ over the capacitor. | ||
| + | |||
| + | {{drawio> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | # | ||
| + | {{drawio>electrical_engineering_1: | ||
| + | # | ||
| + | |||
| + | # | ||
| {{page> | {{page> | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||
| + | |||
| + | < | ||
| + | |||
| + | In the simulation, you see the two capacitors $C_1$ and $C_2$ (The two small resistors with $1 ~\rm µ\Omega$ have to be there for the simulation to run). At the beginning, $C_1$ is charged to $10~{\rm V}$ and $C_2$ to $0~{\rm V}$. With the switches $S_1$ and $S_2$ you can choose whether | ||
| + | |||
| + | - the capacitances $C_1$ and $C_2$ are shorted, or | ||
| + | - the capacitors $C_1$ and $C_2$ are connected via resistor $R$. | ||
| + | |||
| + | On the right side of the simulation, there are some additional " | ||
| + | |||
| + | In the following, the charging and discharging of a capacitor are to be explained with this construction. | ||
| + | |||
| + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| + | |||
| + | Under the electrical structure, the following quantities are shown over time: | ||
| + | |||
| + | ^Voltage $u_1(C_1)$ of the first capacitor^Voltage $u_2(C_2)$ of the second capacitor^Stored energy $w_1(C_1)$^Stored energy $w_2(C_2)$^Total energy $\sum w$| | ||
| + | |Initially charged to $10~{\rm V}$|Initially neutrally charged ($0~{\rm V}$)|Initially holds: \\ $w_1(C_1)= {1 \over 2} \cdot C \cdot U^2 = {1 \over 2} \cdot 10~{\rm µF} \cdot (10~{\rm V})^2 = 500~{\rm µW}$ \\ In the oscilloscope, | ||
| + | |||
| + | The capacitor $C_1$ has thus initially stored the full energy and via closing of the switch, $S_2$ one would expect a balancing of the voltages and an equal distribution of the energy $w_1 + w_2 = 500~\rm µW$. | ||
| + | |||
| + | - Close the switch $S_2$ (the toggle switch $S_1$ should point to the switch $S_2$). What do you find? | ||
| + | - What do the voltages $u_1$ and $u_2$ do? | ||
| + | - What are the energies and the total energy? \\ How is this understandable with the previous total energy? | ||
| + | - Open $S_2$ - the changeover switch $S_1$ should not be changed. What do you find? | ||
| + | - What do the voltages $u_1$ and $u_2$ do? | ||
| + | - What are the energies and the total energy? \\ How is this understandable with the previous total energy? | ||
| + | - Repeat 1. and 2. several times. Can anything be deduced regarding the distribution of energy? | ||
| + | - Change the switch $S_2$ to the resistor. What do you observe? | ||
| + | - What do the voltages $u_1$ and $u_2$ do? | ||
| + | - What are the energies and the total energy? \\ How is this understandable with the previous total energy? | ||
| + | |||
| + | # | ||
| + | |||